TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS - COLEGIO PREMIUM

Curso: Trigonometr?a

Ciclo Invierno 2020

TEMA N? 08

TRANSFORMACIONES TRIGONOM?TRICAS

1) A producto

Sen M Sen N 2 Sen M N Cos M N

2

2

SenM SenN 2 Sen M N Cos M N

2

2

Cos M Cos N 2 Cos M N Cos M N

2

2

Cos M Cos N - 2 Sen M N Sen M N

2

2

2) A suma o diferencia 2 Cos A Cos B = Cos (A + B) + Cos (A ? B) 2 Sen A Sen B = Cos (A ? B) ? Cos (A + B) 2 Sen A Cos B = Sen (A + B) + Sen (A ? B) Sen(A B) Tan A Tan B = CosA.CosB

Sen(A B) Cot A + Cot B =

SenA.SenB

Cot A ? Cot B = Sen(B A) SenA SenB

3) Degradaciones o formas lineales 1) Sen2x 1 Cos 2x

2

* Cos2x 1 Cos 2x 2

2) Sen3x 3Senx Sen3x 4

* Cos3x 3Cosx Cos3x

4

3) Sen4x 3 4Cos2x Cos4x 8

* Cos4x 3 4Cos2x Cos4x 8

4) Sen5x 10Senx 5Sen3x Sen5x 16

* Cos5x 10Cosx 5Cos3x Cos5x 16

5) Sen6x 10 15Cos2x 6Cos4x Cos6x 32

* Cos6x 10 15Cos2x 6Cos4x Cos6x 32

4) Series trigonom?tricas

1) A = Sena + Sen(a+r) + Sen(a+2r) + ... + Sen[a + (n ? 1)r]

Sen ao an Sen nr

A

2 Sen r

2

2

ao : 1er ?ngulo r : raz?n n : n?mero de t?rminos an : ?ltimo ?ngulo

2) A= Cosa + Cos(a+r) + Cos(a+2r) + ... + Cos [a + (n ? 1)r]

A

Cos

ao

2

an

Sen

Sen r

nr 2

2

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ao : 1er ?ngulo r : raz?n n : n?mero de t?rminos an : ?ltimo ?ngulo

Transformando:

sen(4x x) sen(4x x) sen5x J = cos(5x 2x) cos(5x 2x) cos7x

5) Identidades bajo condici?n de arco

Si: A + B + C = 180?

Sen A + Sen B + Sen C = 4Cos A Cos B Cos C 222

Cos A + Cos B + Cos C ? 1 = 4Sen A Sen B Sen C 222

Tg A + Tg B + Tg C = Tg A Tg B Tg C

Sen A + Sen B ? Sen C = 4Sen A Sen B Cos C 222

Sen

A

?

Sen

B +

Sen

C

=

4Sen A Cos B Sen C 222

Sen

A +

Sen

B

+

Sen

C

=

4Cos A Sen B Sen C 222

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Simplifica:

2sen2x.cos3x senx J = 2sen4x.cosx sen3x

Soluci?n: Tenemos: J = 2sen2x.cos3x senx

2sen4x.cosx sen3x

Transformando: J = sen(2x 3x) sen(2x 3x) senx

sen(4x x) sen(4x x) sen3x J = sen5x sen(x) senx

sen5x sen3x sen3x

sen(-x) = -senx J = sen5x senx senx

sen5x sen3x sen3x

Reduciendo: J = sen5x

sen5x

Operando:

sen5x sen3x sen5x sen3x J = cos7x cos3x cos7x cos3x

J tan3x

3) Reduce :

sen5x.senx cos7x.cosx

J =

cos6x

Soluci?n : En la expresi?n :

sen5x.senx cos7x.cosx

J =

cos6x

Multiplicamos x 2 : 2sen5x.senx 2cos7x.cosx

2J = cos6x

transformando : 2J= cos x(5x x) cos x(5x x) cos(7x x) cos(7x x)

cos 6x

cos4x cos6x cos8x cos6x 2J =

cos6x

reduciendo :

cos8x cos4x

2J=

cos6x

transformando a producto :

cos8x+cos4x=2cos

8x

2

4x

cos

8 x

2

4x

2 c os 6x. c os 2x

2J =

c os 6x

simplificando :

J cos2x

J 1

2) Reduce :

2sen4x.cos x sen5x J = 2cos5x.cos2x cos7x

Soluci?n : En la expresi?n:

2sen4x. cosx sen5x J = 2cos5x.cos2x cos7x

4) Simplifica : J=sen3x.cos2x+sen3x.cos4x+senx.cos6x

Soluci?n : En la expresi?n : J=sen3x.cos2x+sen3x.cos4x+senx.cos6x

Multiplicamos x 2 : 22J= 2sen3x.cos2x 2sen3x.cos4x 2senx.cos6x

transformando : 2J=sen5x+senx+sen7x-senx + sen7x-sen5x

TRIGONOMETR?A

2

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reduciendo : 2J = 2sen7x

Multiplicamos x 2 : 2J=2cos5x.cos2x+2sen6x.senx-2cos4x.cosx

J sen7x

5) Reduce : J = cos5x.cos2x+sen6x.senx-cos4x.cosx

Soluci?n : En la expresi?n : J = cos5x.cos2x+sen6x.senx-cos4x.cosx

transformando : 2J = cos7x + cos3x + cos5x ? cos7x ? (cos5x+ cos3x)

2J = cos7x + cos3x + cos5x ? cos7x ? cos5x ? cos3x reduciendo : 2J = 0 J 0

FUNCIONES TRIGONOM?TRICAS INVERSAS

1) Noci?n de Funci?n Inversa Si la funci?n tiene la propiedad de que la imagen es exclusiva o sea que cada imagen en el recorrido lo es de un solo elemento del dominio, se dice entonces que esta funci?n establece una correspondencia biun?voca o biyectiva entre los elementos del dominio y los del recorrido.

Cuando tal es el caso, se puede definir una nueva funci?n, inversa de la funci?n original cuyo recorrido sea el dominio de la primera, se dice entonces que cada funci?n es la inversa de la otra.

2) Funci?n Inyectiva: Una funci?n es inyectiva o univalente si y s?lo si para todo x1, x2 Dom F se cumple: f(x1) = f(x2) x1 = x2

Llamada tambi?n funci?n uno a uno o univalente. Ejemplo: f(x) = x + 1 es inyectiva.

Aplicando la definici?n: f(x1) = f(x2) x1 = x2 x1 + 1 = x2 + 1 x1 = x2

Interpretaci?n geom?trica de una funci?n inyectiva

Una funci?n "f" es inyectiva si cualquier recta horizontal corta a la gr?fica "f" a lo m?s en un punto.

3) Funci?n sobreyectiva Una funci?n f se llama sobrayectiva, suryectiva o sobre si el conjunto de llegada coincide con el rango de f. Tambi?n podemos definirla de la siguiente forma.

Dada la funci?n f. A B si y B x A / (x, y) f f es sobreyectiva Ejemplo: La funci?n f: 0, /2 [0; 1]; f(x) = Sen x

No es sobreyectiva dado que si:

0 < x < /2 0 < Sen x < 1 Es decir 0 < f(x) < 1 Ran f = 0, 1 Se observa que el conjunto de llegada no coincide con el Ran(f) = 0, 1

4) Funci?n biyectiva Una funci?n "f" se llama biyectiva. Si f es inyectiva y sobreyectiva.

Productorias:

Cos

Cos 2n 1

3 Cos 2n 1

5 2n 1

...

Cos

2n 2n

1 1

1 2

Cos

2 Cos 2n 1

4 Cos 2n 1

6 2n 1

...

Cos

2n 2n 1

1 2

Cos

2n 1

Cos

2 2n 1

Cos

3 2n 1

...

Cos

n 2n 1

1 2n

y x2 +1 x

No es inyectiva

y y=x3+1 x

Si es inyectiva

Sen Sen 2 Sen 3 ... Sen n

2n 1

2n 1

2n 1

2n 1

2n 1 2n

5) Definici?n de funci?n inversa Si una funci?n f es biyectiva es decir, es univalente y suryectiva, entonces existe su funci?n inversa denotada por f* o f?1.

TRIGONOMETR?A

3

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Obtenci?n de la funci?n inversa Dada una funci?n f biyectiva la funci?n inversa f* se obtiene intercambiando "x" por "y" "y" por "x" verific?ndose que:

Dom f?1 = Ran f Ran f?1 = Dom f

Obtenci?n de la gr?fica de la funci?n inversa Dada la gr?fica de una funci?n "f", para obtener la gr?fica de su respectiva funci?n inversa f* se procede de la siguiente manera.

i) Se traza la recta y = x (recta que es eje de simetr?a entre f y f*).

ii) Se refleja la gr?fica "f" respecto al eje de simetr?a.

iii) La gr?fica reflejada es su gr?fica de la funci?n f?1.

Las funciones trigonom?tricas por ser peri?dicas no son univalentes, sin embargo al restringir sus dominios, se logra que sean inyectivas.

Dichas restricciones se muestran a continuaci?n:

Funci?n y = Sen x y = Cos x y = Tan x y = Cot x y = Sec x y = Csc x

Dominio [/2, /2]

[0, ] /2, /2

0, [0, ] ? /2 [/2, /2] ? 0

Rango [1, 1] [1, 1]

R R R ? [1, 1] R ? [1, 1]

Notaci?n para una funci?n inversa.

Sea ft() = n = Arc FT(n) = FT?1 (n) Entonces si: y= FT (x) x = Arc FT (y)

Luego: Y ArcF.T(x)

Sea: Funci?n original Funci?n inversa

Sen = N = Arc Sen N Entonces se lee: "" es el arco cuyo seno es "N".

6) Funciones Trigonom?tricas Inversas: Notaci?n, Dominio y Rango

F.T.I Arco Seno Arco Coseno Arco Tangente Arco Cotangente * Arco Secante Arco Cosecante

Notaci?n

Arc Sen

Sen-1

Arc Cos

Cos-1

Arc Tg

Tg-1

Arc Ctg

Ctg-1

Arc Sec

Sec-1

Arc Csc

Csc-1

Dominio [-1,1] [-1,1]

Rango [-/2, /2]

[0, ] -/2, /2

[0, /2 > < /2, ] [-/2, 0 > < 0, /2]

* A veces se considera Rango (Arc Ctg) = /2, 2] ? {0}

7) Propiedades de las Funciones Trigonom?tricas Inversas

a) F.T. (Arc F. Tx) = x x Dom (Arc F.T) Arc F.T (F.T ) = Rang (Arc F.T)

Arc Sen (-x) = -Arc Sen x Arc Cos (-x) = - Arc Cos x Arc Tg (-x) = -Arc Tg x Arc Ctg (-x) = - Arc Ctg x Arc Sec (-x) = - Arc Sec x Arc Csc (-x) = -Arc Csc x

variables negativos

b) Arc. Sen x = Arc . Csc 1 x [-1, 1] - {0} x

Arc. Cos x = Arc. Sec 1 x [-1, 1] - {0} x

Arc. Tg x = Arc . Ctg

1 x

x

0,

Arc. Tg x = Arc . Cot

1 x

?

x

,

0

Arc. Cot x = Arc . Tan

1 x

x 0,

Arc. Ctg x = + Arc Tan

1 x

x , 0

Identidades aditivas y rec?procas

Arc. Sec x = Arc Cos

1 x

x R ? 1, 1

Arc. Csc x = Arc Sen 1 x R ? 1, 1 x

TRIGONOMETR?A

4

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c) Arc Sen x + Arc Cos x = x [-1, 1] 2

Arc Tg x + Arc Ctg x = x R - {0} 2

Arc Sec x+Arc Csc x= x ,1 1, 2

d) Arc Tg(m) + Arc Tg (n) = Arc Tg m n K 1 m.m

Donde el valor de k depende de m y n.

Si m.n < 1

K=0

Si m.n > 1 y m > 0 K = 1

Si m.n > 1 y m < 0 K = -1

e) Arc Sen x Arc Sen y = Arc Sen x 1 y2 y 1 x2

Arc Cos x Arc Cos y = Arc Cos

xy (1 x2 )(1 y)2

Arc

Tg

x

Arc

Tg

y

=

Arc

Tg

xy 1 xy

Estas f?rmulas son v?lidas siempre que la suma o la diferencia pertenece al rango de la inversa respectiva.

FUNCI?N ARCO TANGENTE

y

/2

x

y ArcTgx

0

/ 2

ArcTgx x ,

2

2

FUNCI?N ARCO COTANGENTE

y

y ArcCtgx

/2

0

x

0 ArcCtgx x ,

FUNCI?N ARCO SECANTE

y

y ArcSecx

/2

8) Gr?ficas de Funciones Inversas

FUNCI?N ARCO SENO

y /2

y ArcSenx

1 0 1

x

0 ArcsSecx ArcSecx x , 11,

22

FUNCI?N ARCO COSECANTE

y

x

1

01

/ 2

ArcSenx x 1,1

2

2

FUNCI?N ARCO COSENO

y

/2

y ArcCosx

x 1 0 1

0 ArcCosx x 1,1

/2

y ArcCscx

x

1 0

1

/ 2

ArcCscx 0 0 ArcCscx x , 11,

2

2

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Calcula.

1 = arcsen + arccos

2

2

2

Soluci?n:

Tenemos:

1

2

= arcsen + arccos = +

2

2

TRIGONOMETR?A

5

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