TRIGONOMETRIA: DISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE

[Pages:14]FACOLTA` DI INGEGNERIA CORSO DI AZZERAMENTO - MATEMATICA

ANNO ACCADEMICO 2010-2011

ESERCIZI DI

TRIGONOMETRIA: DISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE

Esercizio 1: Risolvere la seguente disequazione

1 sin x > .

2

Svolgimento: Trovare le soluzioni della disequazione data significa determinare l'ascissa dei 1

punti della circonferenza goniometrica le cui ordinate sono maggiori di . 2

1 Gli angoli x tali che sin x = sono

2

5

x = + 2k 6

e

x = + 2k , 6

k Z,

essendo la funzione seno periodica di periodo 2 . Allora la disequazione data `e verificata se

5

+ 2k < x < + 2k ,

6

6

k Z.

Esercizio 2: Risolvere la seguente disequazione 2 sin2 x + 3 sin x + 1 < 0 .

Svolgimento: Ponendo y = sin x la disequazione data diventa

la cui soluzione `e data da

2y2 + 3y + 1 < 0 ,

1 -1 < y < - .

2 Allora la disequazione data equivale a

1 -1 < sin x < - .

2 Gli angoli x tali che sin x = -1 sono

3

x = + 2k , 2

k Z,

1

2

CORSO DI AZZERAMENTO - MATEMATICA

1 mentre quelli per cui sin x = - sono

2 7 x = + 2k e 6

11 x = 6 + 2k , k Z ,

essendo la funzione seno periodica di periodo 2 . Allora la disequazione data `e verificata se

7

11

3

+ 2k < x < 6

6

+ 2k ,

x = + 2k , 2

k Z.

Esercizio 3: Risolvere la seguente disequazione sin x + cos x < 1 .

Svolgimento: Tale disequazione `e lineare in seno e coseno e si pu`o risolvere utilizzando le formule parametriche

2t sin x = 1 + t2 ,

1 - t2 cos x = 1 + t2

x = + 2k , k Z ,

x dove t = tan . Per poter usare queste formule bisogna imporre che

2

x = + 2k , k Z .

Ponendo x = + 2k , k Z nella disequazione e tenendo conto del fatto che le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2 si ha

sin + cos = 0 + (-1) = -1 < 1 ,

quindi x = + 2k , k Z , sono soluzioni della disequazione data. Sostituendo nell'equazione le formule parametriche si ottiene

2t 1 - t2 1 + t2 + 1 + t2 < 1 .

Facendo il minimo comune multiplo si ha

2t + 1 - t2 - 1 - t2

1 + t2

< 0,

da cui segue

2t - 2t2 1 + t2 < 0 .

Essendo 1 + t2 > 0 , tale disequazione equivale a

e quindi a

2t - 2t2 < 0 , 2t (t - 1) > 0 ,

le cui soluzioni sono date da

t < 0 t > 1.

CORSO DI AZZERAMENTO - MATEMATICA

3

Allora si ha

x

x

tan < 0 tan > 1 .

2

2

x La disequazione tan < 0 ha come soluzione

2

x

+ k < 2

< + k , 2

k Z,

da cui segue

+ 2k < x < 2 + 2k , k Z .

x Infine la disequazione tan > 1 , `e verificata se

2

x

+ k < 4

< + k , 22

k Z,

e quindi se

+ 2k < x < + 2k , 2

k Z.

Tenendo conto del fatto che x = + 2k , k Z , sono soluzioni, allora la disequazione

data `e verificata se

+ 2k < x < 2 + 2k , 2

k Z.

Esercizio 4: Risolvere la seguente disequazione

sin2 x +

3 -1

sin x cos x -

3 cos2 x > 0 .

3

3

Svolgimento: Tale disequazione `e omogenea di secondo grado e per risolverla conviene

dividere entrambi i membri per cos2 x : tale passaggio `e lecito solo se cos x = 0 . Se cos x = 0

allora

x=

+ k , 2

k Z.

Sostituendo tali valori nella disequazione si ha

sin2

+ k

+

3

- 1 sin + k cos + k -

3 cos2

+ k

2

3

2

2

3

2

3

3

=1+

-1 ?0- ?0

3

3

= 1 > 0,

quindi x = + k , 2

k Z , sono soluzioni della disequazione data.

Dividendo entrambi i membri della disequazione per cos2 x > 0 si ottiene

tan2 x +

3

3

- 1 tan x - > 0 .

3

3

4

CORSO DI AZZERAMENTO - MATEMATICA

Ponendo y = tan x tale disequazione diventa

y2 +

3

3

-1 y- > 0,

3

3

le cui soluzioni sono

3

y 1. tan x > 1 .

5

+ k < x < + k ,

2

6

k Z,

mentre l'equazione tan x > 1 ha come soluzioni

+ k < x < 4

+ k , 2

k Z.

Quindi,

tenendo

conto

del

fatto

che

x = + k , 2

k Z,

sono soluzioni,

la

disequazione

data risulta verificata se

5

+ k < x < + k ,

4

6

k Z.

Esercizio 5: Risolvere la seguente disequazione

2 cos x - 1 1.

cos x

Svolgimento: Facendo il minimo comune multiplo la disequazione data diventa

che equivale a

2 cos x - 1 - cos x 0

cos x

Poich?e

cos x - 1 0.

cos x cos x 1 x R

essendo

-1 cos x 1 x R ,

la disequazione data equivale a

cos x > 0 ,

CORSO DI AZZERAMENTO - MATEMATICA

5

che ha come soluzione

- + 2k < x < 2

+ 2k , 2

k Z.

Esercizi: Risolvere le seguenti disequazioni

1 1. sin x >

2 2. tan x (tan x - 1) < 0

sin x

3.

0

cos x + 1

1

4.

0

1 + 2 sin x

7. 2 cos x - 1 < 0

1

3

8. - < sin x <

2

2

9. 2 cos2 x + |cos x| < sin2 x - cos x

10. |tan x| < 3

x 11. 2 cos + sin x 0

2

12. sin x (2 cos x - 1) > 0

13. cos2 x - |sin x| > 1 + sin x

3

14.

2 cos x

2 cos x

15. 3 tan2 x - 1 < 3 tan x

16. cos x - sin x > 0

sin 5x + sin 3x

17.

>0

sin 4x

2 |sin x| - 1

18.

>0

2 sin x - 1

19. 3 sin x cos x - 3 cos2 x < 3 sin x - 3 cos x

6

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20. cos 2x - cos x > 0

21. 2 sin2 x - 1 < 0

22. 2 sin x < sin x + 1

4 cos2 x - 3

23.

>0

2 sin x - 1

1 - 2 |cos x|

24.

>0

1 + cos x

25. cos2 x cos x 3

26. |sin x| 2

27. 2 cos x - 2 < 0

3 tan x - 1

28.

3

sin x

30. sin 2x + cos 2x < 1

31. sin2 x < 1 2

2 |sin x| + 3

32.

>0

cos x

33. 3 cos 2x + sin 2x < 0

sin2 x - 2

34.

0

22

36. (2 sin x - 1) sin x > 0

37. |2 cos x| > 3

CORSO DI AZZERAMENTO - MATEMATICA

7

38.

2

sin2

x

> tan2 x

cos x

39. sin2 x - 1 sin x > 0 2

40. |sin x - cos x| < 1

1 41. 0 < cot x

2

42. sin 2x - cos x + 1 > 2 sin x

1 - 2 |cos x|

43.

>0

2 cos x + 1

44. 3 tan2 x - 2 tan x < 3

cos 5x + cos 3x

45.

0

cos 4x

46. tan2 x + cos x < 1 2

47. 2 cos x > 3

48. 2 sin2 x - 1 - cos x < sin x 3

49. |tan x| < 1 3

50. 2 cos2 x - cos x < 0

sin x + 3

51.

3

sin x

52. cos 2x < sin x

53. tan2 x - 3 > 0

sin x

54.

1

cos x + 1

55. 2 2 + cos x > 1 + 2 cos x

4 cos2 x - 1

56.

0

2 sin x - 1

61.

0

2 sin x + 3

63.

0

|cos x|

64. 2 cos2 x - 1 > sin x - cos x

65. tan x 3

2 cos x - 3

66.

0

68. 2 |cos x| - 1 < 0 x

69. cos x < cos 2

70. |sin x| - 1 > 0

71. 3 tan x + 3 (2 sin x - 1) < 0

cot x + 3

72. sin 2x - cos x < 0

2 cos x - 3

73.

0

sin x

74. 2 cos2 x 1

1 - 3 cot2 x

75.

................
................

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