Problems. Your approach may be di erent but may still be ...

1. Verify the Identity:

Ans: Please note that there are more than one approach to any of the identity

problems. Your approach may be different but may still be correct.

cos2 x ? sin2 x

a.

= cot x ? tan x

cos x sin x

sin2 x

cos x sin x

cos2 x

?

=

?

= cot x ? tan x = R.H.S.

Ans: L.H.S. =

cos x sin x cos x sin x

sin x cos x

b.

cos x ? sin x

= csc x ? sec x

cos x sin x

Ans: LHS =

c.

sin x

1

1

cos x

?

=

?

= csc x ? sec x = RHS.

cos x sin x cos x sin x sin x cos x

tan x + 1

= sin x + cos x

sec x

tan x

1

1

1

sin x

Ans: LHS =

+

= tan x ¡¤

+

=

¡¤ cos x + cos x =

sec x

sec x

sec x

sec x

cos x

sin x + cos x = RHS.

d.

sin x + 1

cos x

=

cos x

1 ? sin x

Ans:

(sin x + 1)(cos x) (sin x + 1)(cos x) (sin x + 1)(cos x)

(sin x + 1)(cos x)

LHS =

=

=

=

=

(cos x)(cos x)

(cos2 x)

(1 ? sin x)(1 + sin x)

1 ? sin2 x

cos x

= RHS.

1 ? sin x

e. tan x + cot x = sec x csc x

sin x

cos x

sin2 x + cos2 x

1

Ans: LHS = tan x + cot x =

+

=

=

=

cos x

sin x

cos x sin x

cos x sin x

1

1

¡¤

= sec x csc x = RHS.

cos x sin x









sin(x + h) ? sin x

(cos h) ? 1

sin h

f.

= (sin x)

+ (cos x)

h

h

h

Ans: LHS =

sin(x + h) ? sin x sin x cos h + cos x sin h ? sin x

=

=

h

h

(sin x cos h ? sin x) + cos x cos h sin x(cos h ? 1) + cos x sin h

=

=

h

h

sin x(cos h ? 1) cos x sin h

cos h ? 1

sin h

+

= sin x ¡¤

+ cos x ¡¤

= RHS.

h

h

h

h

g.

cos x ? cos 3x

= tan x

sin x + sin 3x










x?3x

4x

sin

?2

sin

?2 sin x+3x

cos x ? cos 3x

2


2


2
sin

Ans: LHS =

=

=

sin x + sin 3x

2 sin x+3x

cos x?3x

2 sin 4x

2

2

2 cos

? sin(2x) sin(?x)

sin(2x) sin x

sin x

=

=

= tan x = RHS.

sin(2x) cos x

sin(2x) cos x cos x

h.

?2x

2


?2x

2




=

sin x

= (csc x)(1 + cos x)

1 ? cos x

sin x

(sin x)(1 + cos x)

sin x(1 + cos x) sin x(1 + cos x)

=

=

=

=

1 ? cos x (1 ? cos x)(1 + cos x)

1 ? cos2 x

sin2 x

1 + cos x

1

= (1 + cos x) ¡¤

= (1 + cos x) csc x = RHS.

sin x

sin x

Ans: LHS =

i.

sin 2x

= 1 ? cos 2x

cot x

sin 2x 2 sin x cos x

1

=

= 2 sin x cos x ¡¤

cot x

cot x

cot x

sin x

= 2 sin x cos x tan x = 2 sin x cos x ¡¤

= 2 sin2 x = sin2 x + sin2 x =

cos x

2

2

2

(1 ? cos x) + sin x = 1 ? (cos x ? sin2 x) = 1 ? cos 2x = RHS.

Ans: LHS =

j.

sin(x ? y) tan x ? tan y

=

sin(x + y) tan x + tan y

sin x cos y ? cos x sin y

(sin x cos y ? cos x sin y)/(cos x cos y)

=

=

sin x cos y + cos x sin y

(sin x cos y + cos x sin y)/(cos x cos y)

sin x cos y?cos x sin y

sin x cos y

cos x sin y

sin y

sin x

tan x ? tan y

cos x cos y

cos x cos y ? cos x cos y

cos x ? cos y

= sin x cos y cos x sin y = sin x sin y =

= RHS.

sin x cos y+cos x sin y

tan

x

+

tan

y

+

+

cos x cos y

cos x cos y

cos x cos y

cos x

cos y

Ans: LHS =

k.

2 ? sec2 x

= cos 2x

sec2 x

2

sec2 x

2 ? sec2 x

=

?

= 2 cos2 x ? 1 = cos 2x = RHS.

Ans: LHS =

2

2

2

sec x

sec x sec x

l.

sin x + sin 5x

= tan 3x

cos x + cos 5x




2 sin x+5x

sin x + sin 5x

2
cos

Ans: LHS =

=

cos x + cos 5x

2 cos x+5x

cos

2

sin 3x cos(?2x)

sin 3x

=

= tan 3x = RHS.

cos 3x cos(?2x) cos 3x

m.




6x

?4x

2
cos

2


6x

?4x

2 cos

2




sin

=

cos




x?y

2


x?y

2




cos

=?

sin

x?y

2


x?y

2






x?y

= ? cot

2

cos x ? cos y

x+y

x?y

= ? tan

tan

cos x + cos y

2

2










x?y

x+y

?2 sin x+y

sin

?

sin

cos x ? cos y

2


2


2
sin

Ans: LHS =

=

=

x+y

x?y

x+y

cos x + cos y

2 cos 2 cos 2

cos 2 cos















x+y

x?y

sin 2

sin 2

x?y

x+y







?

tan

= RHS.

x+y ¡¤

x?y = ? tan

2

2

cos 2

cos 2

x?y

2


x?y

2




sec(x) sec(y)

1 ? tan(x) tan(y)

1

1

=

=

Ans: LHS = sec(x + y) =

cos(x + y) cos x cos y ? sin x sin y

o. sec(x + y) =

1

cos x cos y

cos x cos y?sin x sin y

cos x cos y

=

1

1

1

cos x ¡¤ cos y

sin x sin y

? cos

x ¡¤ cos y

=

sec x sec y

= RHS

1 ? tan x tan y

sin(x + y)

= tan x + tan y

cos x cos y

sin(x + y) sin x cos y + cos x sin y

sin x cos y

cos x sin y

Ans: LHS =

=

=

+

=

cos x cos y

cos x cos y

cos x cos y cos x cos y

sin x sin y

+

= tan x + tan y = RHS

cos x cos y

p.

=

x?y

sin x + sin y

= ? cot

cos x ? cos y

2




2 sin x+y

sin x + sin y

2
cos

Ans: LHS =

=

cos x ? cos y

?2 sin x+y

sin

2

RHS.

n.

x?5x

2


x?5x

2

=



=

cos(x ? y)

= tan x + cot y

cos x sin y

cos(x ? y) cos x cos y + sin x sin y

cos x cos y sin x sin y

Ans: LHS =

=

=

+

=

cos x sin y

cos x sin y

cos x sin y cos x sin y

cos y sin x

+

= cot y + tan x = RHS.

sin y cos x

q.

r. sin(x + y) sin(x ? y) = cos2 y ? cos2 x

1

Ans: LHS = sin(x+y) sin(x?y) = (cos [(x + y) ? (x ? y)] ? cos [(x + y) + (x ? y)]) =

2

1

1

(cos [x + y ? x + y] ? cos [x + y + x ? y]) = (cos(2y) ? cos(2x)) =

2

2






1




1

2 cos2 (y) ? 1 ? 2 cos2 (x) ? 1 =

2 cos2 (y) ? 1 ? 2 cos2 (x) + 1 =

2

2


1  2




1

2 cos2 (y) ? 2 cos2 (x) =

2 cos (y) ? cos2 (x) = cos2 (y) ? cos2 (x) = RHS

2

2

2

1 ? tan x

s. cos(2x) =

1 + tan2 x

1 ? tan2 x 1 ? tan2 x

1

2

Ans: RHS =

=

=

(1?tan

x)¡¤

= (1?tan2 x) cos2 x =

2

2

2

1 + tan x

sec x

sec x

sin2 x

2

2

2

2

¡¤ cos2 x = cos2 x ? sin2 x = cos(2x) = LHS

cos x ? tan x cos x = cos x ?

2

cos x

t. 1 + cos(2x) = cot x sin(2x)

cos x

Ans: RHS = cot x sin(2x) =

¡¤ 2 sin x cos x = 2 cos2 x = 2 cos2 x ? 1 + 1 =

sin x

2

(2 cos x ? 1) + 1 = cos(2x) + 1 = LHS

u. sin(3x) = 3 sin x ? 4 sin3 x

Ans: LHS = sin(3x) = sin(2x + x) = sin(x) cos(2x) + cos(x) sin(2x) =

sin(x)(1?2 sin2 (x))+cos(x)¡¤2 sin(x) cos(x) = sin(x)?2 sin3 (x)+2 sin(x) cos2 (x) =

sin(x)?2 sin3 (x)+2 sin(x)(1?sin2 (x)) = sin(x)?2 sin3 (x)+2 sin(x)?2 sin3 (x) =

3 sin(x) ? 4 sin3 (x) = RHS

v. sin(2x) =

2 tan x

1 + tan2 x

1

sin x

2 tan x

2

=

2

tan

x

¡¤

=

2

tan

x

cos

x

=

2

¡¤

¡¤ cos2 x =

2

2

1 + tan x

sec x

cos x

2 sin x cos x = sin(2x) = LHS

Ans: RHS =

w. 1 + tan x tan(2x) = tan(2x) cot(x) ? 1

1

2 tan x

1

?1=

¡¤

?1=

2

tan x

1 ? tan x tan x

2

2

1 ? tan2 x 2 ? (1 ? tan2 x) 2 ? 1 + tan2 x

?1=

?

=

=

=

1 ? tan2 x

1 ? tan2 x 1 ? tan2 x

1 ? tan2 x

1 ? tan2 x

1 + tan2 x 1 + tan2 x + (tan2 x ? tan2 x) 1 + 2 tan2 x ? tan2 x 1 ? tan2 x + 2 tan2 x

=

=

=

1 ? tan2 x

1 ? tan2 x

1 ? tan2 x

1 ? tan2 x

2 tan2 x

2 tan x

1 ? tan2 x

+

=

1

+

tan

x

¡¤

= 1 + tan x tan(2x) = LHS

=

1 ? tan2 x 1 ? tan2 x

1 ? tan2 x

(cot x) ? 1 1 ? sin(2x)

x.

=

(cot x) + 1

cos(2x)

Ans: RHS = tan(2x) cot(x) ? 1 = tan(2x) ¡¤

(cot x) ? 1

Ans: LHS =

=

(cot x) + 1

cos x

sin x

cos x

sin x

x

? sin

sin x

=

x

+ sin

sin x

cos x?sin x

sin x

cos x+sin x

sin x

=

cos x ? sin x

=

cos x + sin x

(cos x ? sin x)(cos x ? sin x) cos2 x ? 2 cos x sin x + sin2 x

=

=

(cos x + sin x)(cos x ? sin x)

cos2 x ? sin2 x

cos2 x + sin2 x ? 2 cos x sin x 1 ? 2 cos x sin x 1 ? 2 sin(2x)

=

=

= RHS

cos(2x)

cos2 x ? sin2 x

cos2 x ? sin2 x

y. sin(4x) = 4 sin x cos x ? 8 sin3 x cos x

Ans: LHS = sin(4x) = sin(2(2x)) = 2 sin(2x) cos(2x) = 2(2 sin x cos x)(1 ?

2 sin2 x) = 4 sin x cos x(1 ? 2 sin2 x) = 4 sin x cos x ? 8 sin3 x cos x = RHS

z. cos(4x) = 8 cos4 x ? 8(cos2 x) + 1



2

2

2

2

Ans: LHS = cos(4x) = cos(2(2x))

=

2

cos

(2x)?1

=

2

[cos(2x)]

?1

=

2

2

cos

x

?

1

?




4

2

4

2

4

2

1 = 2 4 cos x ? 4 cos x + 1 ?1 = 8 cos x?8 cos x+2?1 = 8 cos x?8 cos x+

1 = RHS

2

cot x + tan x

2

Ans: RHS =

=

cot x + tan x

aa. sin(2x) =

cos x

sin x

2

+

sin x

cos x

=

2

cos2 x

sin x cos x

+

2

sin x

sin x cos x

=

2

cos2 x+sin2 x

sin x cos x

=

 ................
................

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