Petit formulaire de trigonom´etrie

Petit formulaire de trigonom?etrie

L1 MIASHS -- Analyse 1 19 novembre 2014

Sans forc?ement les conna^itre par coeur, vous devez ^etre capable de reconstituer les formules usuelles de la trigonom?etrie en quelques minutes.

Commen?cons par la c?el`ebre cons?equence du th?eor`eme de Pythagore : pour tout R,

cos2 + sin2 = 1.

1 Propri?et?es li?ees au cercle trigonom?etrique

1.1 Sym?etries, parit?e

Parit?e sin(-) = - sin cos(-) = cos tan(-) = - tan

R?eflexion d'axe = /2 sin( - ) = sin

cos( - ) = - cos tan( - ) = - tan

R?eflexion d'axe = /4

sin(

2

-

)

=

cos

cos(

2

-

)

=

sin

tan(

2

-

)

=

(tan

)-1

1.2 P?eriodicit?e, d?ecalages

D?ecalage de /2

D?ecalage de

D?ecalage de 2

sin(

+

2

)

=

cos

cos(

+

2

)

=

- sin

tan(

+

2

)

=

-(tan

)-1

sin( + ) = - sin cos( + ) = - cos tan( + ) = tan

sin( + 2) = sin cos( + 2) = cos tan( + 2) = tan

Les fonctions sinus et cosinus sont p?eriodiques, de p?eriode 2. La fonction tangente est p?eriodique, de p?eriode .

1.3 E?quations trigonom?etriques

On a les ?equivalences suivantes :

cos x = cos x = + 2k ou x = - + 2k sin x = sin x = + 2k ou x = - + 2k tan x = tan x = + k

(avec k Z) (avec k Z) (avec k Z)

1

2 Formules d'addition et de diff?erence

Rappelons les formules d'addition :

cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a - b) = sin a cos b - sin b cos a

Ces formules d?ecrivent ce qui se passe quand on compose les rotations du plan. Le meilleur moyen pour les retrouver est d'utiliser l'?ecriture exponentielle des nombres complexes.

On en d?eduit les formules de l'angle double :

cos (2x) = cos2(x) - sin2(x) = 2 cos2(x) - 1 = 1 - 2 sin2(x) sin (2x) = 2 sin(x) cos(x)

Autre

cons?equence

:

pour

a

et

b

dans

R

\

2

+

Z,

nous

avons

:

tan(a

+

b)

=

tan a + tan b 1 - tan a tan b

tan(a

-

b)

=

tan a - tan b 1 + tan a tan b

tan(2a)

=

1

2 tan a - tan2

a

Enfin, les formules de Simpson permettent de transformer des sommes en produits :

cos p + cos q

=

2

cos

p

+ 2

q

cos

p

- 2

q

cos p - cos q

=

-2

sin

p

+ 2

q

sin

p

- 2

q

sin p + sin q = 2 sin p + q cos p - q

2

2

sin p - sin q

=

2

cos

p

+ 2

q

sin

p

- 2

q

2

 ................
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