Pythagorean identities - University of Washington

1. Pythagorean identities

sin2 x + cos2 x = 1

1 + tan2 x = sec2 x

2. Sum-Difference formulas

sin(x ¡À y) = sin x cos y ¡À sin y cos x

cos(x ¡À y) = cos x cos y ? sin x sin y

tan(x ¡À y) =

tan x¡Àtan y

1?tan x tan y

cot(x ¡À y) =





¦Á¡À¦Â

arctan(¦Á) ¡À arctan(¦Â) = arctan 1?¦Á¦Â

cot x cot y?1

cot x¡Àcot y

3. Double Angle formulas

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = cos2 x ? sin2 x = 2 cos2 x ? 1 = 1 ? 2 sin2 x

tan 2x =

2 tan x

1?tan2 x

4. Half Angle formulas

sin2 x =

1?cos(2x)

2

cos2 x =

1+cos(2x)

2

tan2 x =

1?cos(2x)

1+cos(2x)

5. Sum to product formulas

sin x+sin y = 2 sin( x+y

) cos( x?y

)

2

2

sin x?sin y = 2 cos( x+y

) sin( x?y

)

2

2

) cos( x?y

)

cos x+cos y = 2 cos( x+y

2

2

cos x?cos y = ?2 sin( x+y

) sin( x?y

)

2

2

6. Product to sums formulas

sin x sin y = 21 (cos(x ? y) ? cos(x + y))

cos x cos y = 21 (cos(x ? y) + cos(x + y))

sin x cos y = 21 (sin(x + y) + sin(x ? y))

7. Another useful trick

¡Ì

A sin x + B cos x = A2 + B 2 sin(x + ¦Á), where ¦Á = arccos ¡ÌA2A+B 2

1

 ................
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