Derivatatjafs



Analys 5 p

Derivatatjafs

derivatan är kurvans lutning i punkten x

derivatan i punkten x ger tangentens k-värde i punkten x

tangentens ekvation: enpunktsformeln y-y1=k(x-x1)

räta linjens k =(y2-y1)/(x2-x1)

eller k= y/x då linjen går genom origo

normalen är vinkelrät mot tangenten

tangentens k * normalens k = -1 dvs kt*kn=-1

grafens skärningspunkt på y-axeln sätt x=0

grafens skärningspunkt med x-axeln sätt y=0

asymtot= en linje genom två punkter som en kurva närmar sig obegränsat

utför polynomdivision för att finna asymtoten till en rationell funktion

(x2-x-2)/(x+2) =x-3+4/(x+2)

y=x-3 är asymtotens ekvation

eftersom 1/0 ej är definierat så är -2 också en asymtot men lodrät (y=-2)

sekant = en linje genom två punkter som beskriver kurvans medellutning

medelvärdessatsen f(b)-f(a)=f´(c)(b-a)

[eg. likadan som räta linjens kvärde k =(y2-y1)/(x2-x1)]

avståndsformeln avståndet d mellan två punkter (x2-x1) och (y2-y1)

d2=(x2-x1)2+(y2-y1)2 (pyth)

f´(x) = 0 ger extrempunkterna

f´´(x)= ger min eller max

om f´´(x)= positiv så är det funktionens minpunkt

om f´´(x)= negativ så är det funktionens maxpunkt

inflektionspunkt = där funktionen byter mellan konvexivitet och konkavitet förutsatt att f(x) är kontinuerlig då f´´(x)=0 och uppvisar teckenväxling för växande x.

Om kordan mellan två punkter på

kurvan ligger ovanför kurvan så är funktionen konvex i intervallet konvex

kurvan ligger under kurvan så är funktionen konkav i intervallet

konkav

Funktioners växande och avtagande

f´(x)(0 för ett intervall I -> funktionen är växande på intervallet I

f´(x)(0 avtagande

f´(x)>0 strängt växande

f´(x) Nk=1/4 y-5=1/4(x-0)

y=1/4x+5

f(3)=-2 Nk=-1/2(3-4)=-1/2 y-2=-1/2(x-3)

y=-1/2x+7/2

Ekvationstjafs

Absolut förbjudet att förkorta bort x:en vid ekv lösn då försvinner rötter.

De flesta ekvationer går ut på att skriva om uttrycket så att du bara har en variabel i VL och ett siffer värde i högerledet tex

sin2x +1/2sinx=-1

x2+3x=1

2logx=10/3 etc.

För att kunna lösa dem krävs kunskaper om logaritmlagar, trigonometriska formler etc.

Det kan vara bra att kunna kvadratkomplettera antingen för att lösa ekvationen eller för att skriva om ett uttryck så att det lättare går att behandla.

[pic] [pic] [pic]

Logaritmekvationer

3log 81=x (vilket tal skall 3 upphöjas till för att få 81) 3x=81 x=4

[pic]

Världens folkmängd uppgick id mitten av 1977 till 4,3 miljarder. Den tillväxte då på ett sätt som innebar en fördubbling på 35 år.

a.ställ upp en formel som beskriver befolkningstilväxten

b. uppskatta med formeln väldens folkmängd år 2000

c. vilket år skulle världens folkmängd enligt denna formel uppgå till 10 miljarder.

a antag att efter x år är folkmängden y miljarder och fördubbling sker på 35 år.

y=4,3*2x/35

b. folkmängd år 2000 2000-1977=23 år x=23

y=4,3*223/35

y(6,8 miljarder

c. vilket år är folkmängden 10 miljarder y=10

10=4,3*2x/35 (dividera bägge sidor med 4,3 och logaritmera)

lg(10/4,3)=lg2x/35 (lg 2x/35=x/35*lg2)

x=35lg(10/4,3)/lg2

x(42,6 år 1977+43=2020

[pic]

[pic]

Trigtjafs

Här handlar det återigen om att skriva om så att man har alla sinar eller cosar på en sida och sen lösa ekv.

sinlösningar har två fall x+ n*2( eller (-x +n *2(

coslösningar (x + n*2(

[pic]

sinx=-1 sinx=0,5

1

0,5

-1 5(/6 (/6

2 (/3

1 sin(/6=1/2

(/6

(3

lös ekvationen

[pic]

dubbla vinkeln sin 2x=2sinxcosx

sin 4x=2sin2xcos2x

cos2x=cos2x-sin2x=2cos2x-1=1-2sin2x

cos4x=2cos2 2x-1

sin3x kräver additionssats + dubbla vinkeln

[pic]

cos 3x på liknande sätt

1. 26:e oktober 95

Lös ekvationen cosx+cos2x=0

[pic]

1.25:e nov 95(tentauppgift)

Lös ekvationen sinx =sin2x

[pic]

ex med dubbla vinkeln

[pic]

Tentauppg.23 aug -95

[pic]

cosx=0

Ellentjafs

lös ekv

[pic]

Olikheter

Vilka x satisfierar olikheten |x-3|=7

De x vars avstånd till 3 = 7

. . . . . . . . . . . . . . . . .

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

svar -4 och 7

Potensekvationer

x4=9

(x4)1/4=91/4

x=91/4

x( 1,73

3x2,19=13

(x2,19)1/2,19=(13/3)1/2,19

x(1,95

Gränstjafs

metoder för lösning

dividera med högsta xfaktorn tex x3

Multipicera med konjugatuttrycket

+ * - = ( ) -

Om x -> ( är alla y/x att betrakta som noll

ex

f(x)= (2x3-7x+3)/(3x3+x2+1)

x-- > ( (x3 kommer att dominera dividera med x3)

[pic]

rotuttryck multipliceras med konjugatkvantiteten och divideras med högsta x termen, division med tex x gör att division under rottecknet kommer att ske med x2.

[pic]

ex då x går mot - ( (x oändligt litet)

[pic]

Viktiga gränsvärden

n100

---------- går mot 0 då n går mot oändligheten

(1,001)n(växer fortast)

(sinx)/x=1 då x går mot 0 (När x går mot noll så är kvoten nästan 1 sinx och x nästan lika stora )

Deriveringstjafs

regler

|f(x) |f´(x) |

|sinx |cosx |

|cosx |-sinx |

Kedjeregeln(inre och yttre derivata)

|f(x) |Yttre |Inre |= |f´(x) |

|cos 2x |(cos u) |2x |-sin 2x *2 |-2sin2x |

|(2x)3 |( )3 |2x |3(2x)2*2 |6(2x)2 |

|sin2 x |( )2 |sin x |2*sin x *cosx |2sin x cos x |

|-2x-2 |-2( )-2 |x |-2*(x)-3*-2 |4(x)-3 |

( f(x) )3 *( f´(x) )

= 3( f(x) )2 * (f´(x))

h(x) =f(x) +g(x) h´(x)=f´(x)+g´(x)

h(x)=f(x) * g(x) h´(x)=f(x)*g´(x) + f´(x)*g(x)

f(x) f(x)*g´(x) - f´(x)*g(x)

h(x)= ----------- h`(x)=-----------------------------

g(x) [g(x)]2

y=f(g(x)) y´=f´(g(x)*g´(x)

y= ax y´=ax * ln a (y=ax=e xlna y´=exlna*lna)

y=lnx y´=1/x

y=e2x y´=2e2x

inverserna

[pic]

[pic]

[pic]

Regler för primitiva funktioner

[pic]

Obs räknaren:sin 2x/3 slå med parantes ex: sin (2x/3)

Integraler

En graf tillsammans med x-axeln innesluter ett område. Arean av detta område beskriver värder av den primitiva funktionen.

Om man känner en graf som beskriver hastighet så kommer arean att beskriva sträckan.

f´(x) = hastigheten F(x) = sträckan

= acelerationen F(x) = hastigheten

= befolkningsökningen F(x) = befolkningsmängden

= effekt (Nm/s=watt) F(x) = arbete (Nm = Joule)

Om g(x) uttrycker tex en förbrukningshastighet så kommer integralen att uttrycka förbrukningen under en viss tid.

[pic]

f(x)

a b

[pic]

Grafen över x-axeln:

integralens värde och arean är lika stora.

Värdet för en integral under x-axeln är negativt.

För att beräkna arean skrivs uttrycket:

[pic] a b

f(x)

En funktion både över och under x-axeln.

värdet beräknas som vanligt[pic] a b c

arean beräknas[pic]

f(x) g(x)

a b

Arean mellan två kurvor.

[pic]alltid den översta kurvan först.

Samma regel gäller omkurvorna är på var sin sida om x-axeln. Genom att addera talet C hissas graferna upp ovan x-axeln vid integralerna försvinner dessa c

[pic]

skilj mellan integralens värde och dess area.

3

B

A y=-4

(2,-4(

Beräkna arean a och b.

arean A begränsas av y-axeln, linjen y=-4 och grafen.

arean B begränsas avgrafen och x-axeln.

[pic]

Ibland får man ta till andra lösningar

y=cosx

B

A

Beräkna arean B.

Arean AB -B

integralen - triangeln.

maxpunkt

A

Y=3x2-x3

Beräkna arean a som begränsas av grafen, y-axeln och tangenten vid maxpunkten (1,2).

[pic]

alltid den översta grafen eller linjen först.

primitiva funktioner ,exponentiella och logaritmiska.

[pic]

Integraler med ex och ln

[pic]

Ln1 = 0

[pic]

Beräkna exakt och som närmevärde

[pic]

Beräkna exakt integralen

[pic]

Rotationsvolymer ( runt x-axeln)

[pic]

Vid rotation runt y-axeln löser man istället ut x2 ur funktionsuttrycket

tex y=(36-x2)/6 ger att x2=36-6y

[pic]

B(y) är snittarean=((x2

Partiell integration

[pic]

Ibland lönar det sig att studera och justera. Framför allt gäller detta integraler med rationellt innehåll samt vissa e integraler.

T.ex genom att studera nämnaren och se vad som händer när man deriverar den.

ex[pic] om man studerar den primitiva funktionen till nämnaren och deriverar den påminner resultatet starkt om ursprungsuttrycket.

Skriv om nämnaren: (2+x3)-2 i sitt primitiva ursprung måste det ha stått ungefär (2+x3)-1

Vad händer om vi deriverar detta uttryck?

y=(2+x3)-1 y´=-1(2+x3)-2 *3x2 nästan rätt sånär på -1 och faktorn framför x3 .

Justera! Genom att dela med -3

[pic]

Den vill vi ha!

[pic] går också bra.

Kolla vad som händer om man deriverar e-termen inre derivatan blir här-3x2.Justera genom att dela med -3. [pic] Nu vill vi ha den här!

Substitutionstjafs

[pic]

Tänk så här vi har ersatt x med roten ur t. Vad skall vi ersätta dx med? Jo derivatan av roten ur t.

[pic]

Observera att det alltid är den term som vi ersatt x med som skall deriveras.

T.ex om vi ersatt x med t2 så blir ”dt”faktorn 2t.

Så om vi fortsätter på det första exemplet. Så blir uttrycket efter substitution som följer.

[pic]

Observera att integrationsgränserna kan ändras vid substitution. Se sid 205 i boken.

För övrigt önskar jag er lycka till på tentan.

Magnus Lagerberg

den 28 maj 1997

; )

................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download