SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (S.E.L.) 3x3

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Para resolver un sistema hay que ir realizando transformaciones en las ecuaciones, de manera que nos resulte m?s f?cil poder despejar todas las inc?gnitas.

Las distintas transformaciones que podemos hacer se basan en obtener sucesivos sistemas equivalentes aplicando ciertos criterios.

Se llama ecuaci?n lineal o de primer grado a una ecuaci?n de la forma:

a1x1 a2 x2 an xn b Las inc?gnitas de la ecuaci?n son: x1, x2 , , xn y en cada ecuaci?n las

inc?gnitas pueden tomar cualquier n?mero real.

Los coeficientes de las inc?gnitas son: a1, a2 , , an y en cada

ecuaci?n son n?meros reales fijos. El t?rmino independiente es: b y en cada ecuaci?n es un n?mero fijo.

La soluci?n de la ecuaci?n son los valores:

x1 1, x2 2 ,, xn n que transforman la igualdad en una

identidad num?rica. Discutir una ecuaci?n es averiguar si tiene o no soluciones. Resolver una ecuaci?n es encontrar las soluciones de la ecuaci?n

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto con varias ecuaciones lineales que se representa as?:

a11x1 a12 x2 a1n xn b1

a21x1

a22 x2

a2n xn

b2

am1x1 am2 x2 amn xn bm

El sistema anterior es un sistema de m ecuaciones lineales con n

inc?gnitas, donde la llave indica que las ecuaciones deben tratarse de forma simult?nea.

-- Los n?meros reales aij se llaman coeficientes del sistema

-- Los xi se llaman inc?gnitas del sistema -- Y los n?meros reales b j se llaman t?rminos independientes

Un sistema que tiene una ecuaci?n incompatible, es incompatible.

SISTEMAS EQUIVALENTES

Se dice que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones, es decir, cuando toda soluci?n del primero es soluci?n del segundo y viceversa.

Si dos s.e.l. son equivalentes entonces tienen el mismo n?mero de inc?gnitas aunque no necesariamente igual n?mero de ecuaciones.

Es evidente que si se cambia el orden de las ecuaciones, el sistema resultante no s?lo es equivalente al inicial, sino que es el mismo.

CRITERIOS DE EQUIVALENCIA

1? Si se multiplican los dos miembros de una ecuaci?n de un sistema por un n?mero distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado.

2? Si a una ecuaci?n de un sistema se le suma o resta otra ecuaci?n del mismo, resulta otro sistema equivalente.

Observaciones:

o Multiplicar una ecuaci?n por cero equivale a suprimirla o El 1? criterio se utiliza para conseguir que los coeficientes de una

inc?gnita, en dos ecuaciones, sean iguales en valor absoluto (salvo el signo) y as? poder eliminarla sumando ecuaciones (2? criterio). o Si los n?meros son enteros conviene elegir como coeficiente com?n de una inc?gnita el mcm (m?n. com?n m?ltiplo) de los coeficientes para que los c?lculos sean m?s sencillos. o Si al sumar ecuaciones de un sistema resulta una ecuaci?n incompatible, el sistema tambi?n lo es.

TEOREMA DE EQUIVALENCIA

La soluci?n de este sistema es un conjunto ordenado de n?meros reales

1,2,,n tales que al sustituir las inc?gnitas por estos valores

se verifican a la vez las m ecuaciones (es decir, se cumplen todas las

ecuaciones del sistema simult?neamente).

DISCUTIR un sistema es averiguar si el sistema tiene o no soluciones. RESOLVER un sistema es hallar todas sus soluciones ESTUDIAR un sistema = DISCUTIR + RESOLVER

Las ecuaciones polin?micas de primer grado se llaman lineales. En ellas, las inc?gnitas no est?n elevadas a ning?n exponente distinto de uno, ni multiplicadas entre s?, ni bajo radicales, ni en el denominador, ni situadas en el exponente, ni afectadas por operaciones logar?tmicas o trigonom?tricas. Un sistema que est? formado por ecuaciones todas lineales, se denomina lineal.

Si en un sistema lineal de ecuaciones sustituimos una ecuaci?n cualquiera por la ecuaci?n que resulta al multiplicarla por un n?mero cualquiera no nulo y sumarla, miembro a miembro, a otras ecuaciones del sistema (despu?s de multiplicar estas ?ltimas por un n?mero cualquiera) el nuevo sistema lineal que obtenemos es equivalente al primero (tiene las mismas soluciones que el primero).

M?todo de Gauss para Sistemas Lineales

Una generalizaci?n del m?todo de reducci?n, utilizado para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos inc?gnitas, es el m?todo de Gauss.

El m?todo consiste en triangular el sistema, y para conseguirlo, utilizamos los criterios de equivalencia antes mencionados, de manera que consigamos hacer 0 los valores que est?n debajo de los elementos de la diagonal principal.

Esquema de un sistema escalonado o triangular:

TIPOS DE SISTEMAS

En relaci?n con su soluci?n, tenemos:

Sistemas

Co(cmonpsoalutciib?nl)es

Determinados (una soluci?n)

Indeterminados (infinitas soluciones)

Incompatibles

(sin soluci?n)

x y z x y z x y z

x y z

y z

y z

x y z

y z

z

(El punto azul representa cualquier n?mero real)

Resolver un sistema dispuesto as? resulta muy sencillo pues solo es necesario ir sustituyendo los valores de las inc?gnitas, comenzando por la ?ltima ecuaci?n. Este proceso se extiende, de forma an?loga, a sistemas de cuatro o m?s ecuaciones.

En relaci?n con sus t?rminos independientes, tenemos:

Sist.

homog?neos

Indeterminado (con infinitas soluciones) Determinado (con una soluci?n impropia)

x1 x2 xn 0

Si escribimos el sistema en notaci?n matricial (matriz ampliada), todav?a resulta m?s r?pido resolverlo.

xyz

0 0

0 0

0

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SISTEMAS INCOMPATIBLES (SIN SOLUCI?N)

Si al aplicar el m?todo de Gauss llegamos a una ecuaci?n del tipo

0x 0y 0z k k 0, entonces el sistema es incompatible (una

ecuaci?n de este tipo es absurda).

SISTEMAS INDETERMINADOS (CON INFINITAS SOLUCIONES)

Si al aplicar el m?todo de Gauss llegamos a una ecuaci?n del tipo 0x 0y 0z 0, se suprime. Si quedan menos ecuaciones que

inc?gnitas, el sistema tiene infinitas soluciones y se conoce como sistema indeterminado (una ecuaci?n de este tipo no aporta nada).

Observaciones: En los ejemplos que siguen, si los representamos de forma cl?sica las ecuaciones se nombran como E1, E2 y E3. En cambio, si utilizamos la notaci?n matricial, las nombramos y enumeramos como filas F1, F2 y F3. El s?mbolo significa intercambiar una fila por otra. Un n?mero delante de fila (F) o ecuaci?n (E) indica multiplicar por dicho n?mero.

Ejemplo 1

x 2x

y y

z z

2

1

EE32 EE32E21E1

x y 2z 2

x y z 2 3y 3z 3 E2 E2/3 2y 3z 0

x y z 2 y z 1 E3E32E2 2y 3z 0

x yz 2 y z 1 z 2

x 1 y3 z2

El sistema es compatible determinado.

Ejemplo 2

3x 2y z 0 3 2 1 0

1 1 1 4

x

x x y

z y z

2 3 4

1 1

1

0 1 1

1 0

2 3

F1F4

1 1

1

4

3

0

1

2

1 0 3

2

1

0

FFF324 FFF324F3F11F1

1 0 0

1 1 0

1 0 1

4

1 1

2 7

F4 F4 5F2

0 0

1 0

1 4

0

2

1 7

0

5

4

12

0

0

4

2

1 1 1 4 x y z 4

F4 F4 4F3

0 0

0

1 0

0 1

2 7

0

0

26

y 2

z7

0 26

La ecuaci?n 4 (E4) es incompatible, luego el sistema es incompatible. Ejemplo 3

x y 3z 2 1

2x 3y 4z 1

2

1 3

3 4

2 1

FF32 FF3222FF11

1 0

1 1

3 2

2 3

2x y 8z 7 2 1 8 7

0 1 2 3

1 1 3 2 x y 3z 2

F3 F3 F2

0

1

2

3

y 2z 3

0 0 0 0

z ; y 2 3 ; x 2 3 3 2 x 5 5

La ecuaci?n 3 (E3) se suprime, por tanto hay m?s inc?gnitas que ecuaciones y el sistema es indeterminado. Para cada valor del par?metro obtenemos una soluci?n del sistema.

Ejemplo 4

xyz 1 1

2x

3y

z

2

2

1 3

1 1

1

2

FF32 FF3252FF11

5x y 2z 4 5 1 2 4

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0

1 6

3

4

F3 F3 6 F2

0

1

3

4

7 1

0 0 25 25

x yz 1 x 1

y 3z 4

y 1

25z 25

z 1

El sistema es compatible determinado.

Ejemplo 5

3x 2y 2z 4 3 2 2 4

1 4 4 2

4x y z 7

4

1

1

7

F2 F2 2F1

4

1

1

7

x 4y 4 z 2 1 4 4 2

3 2 2 4

FF32 FF3234FF11

1 0

4 15

4 15

2 15

FF32 FF32//1105

1 0

4 1

4 1

2 1

0 10 10 10

0 1 1 1

1 4 4 2 x 4y 4z 2

F3 F3 F2

0

1

1

1

y z 1

0 0 0 0

z ; y 1 ; x 4 1 4 2 x 2

La ecuaci?n 3 (E3) se suprime, por tanto hay m?s inc?gnitas que ecuaciones y el sistema es indeterminado. Para cada valor del par?metro obtenemos una soluci?n del sistema.

Ejemplo 6

x 2y 4z 3 1 2 4 3

2x 4y 8z 1

2

48

1 F2 F2 2F1

y z 2 0 1 1 2

1 2 4 3

x 2y 4z 3

0

0 0 5

0 5

0 1 1 2

y z 2

La ecuaci?n 2 (E2) es incompatible, luego el sistema es incompatible.

Ejemplo 7

x y z 10 1

x 2y z 11 2x y z 8

1 2

1 2 1

1 1 1

10 11

FF32 FF322FF11

1 0

8

0

1 3 1

1 2 3

1 1 1 10

1 1 1 10

F3 F2

0

1

3

28

F3 F3 3F2

0

1

3

28

0 3 2 21

0 0 7 63

x y z 10 x 1 9 10

y 3z 28

y 39 28

7z 63

z

63 7

9

El sistema es compatible determinado.

x 0 y 1 z 9

10 2281

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