1.1 Ecuaciones lineales

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1.1 Ecuaciones lineales 1

1.1 Ecuaciones lineales

OBJETIVOS

Resolver ecuaciones lineales en una variable. Resolver ecuaciones que conducen a una ecuaci?n lineal utilizando las propiedades de las

ecuaciones. Resolver ecuaciones con fracciones y cuya soluci?n conduce a una ec uaci?n lineal.

Ecuaciones

Una ecuaci?n algebraica de una variable es un enunciado de la forma

AB En donde A y B son expresiones algebraicas con una sola variable. A continuaci?n se muestran algunos ejemplos de ecuaciones con una variable:

2x 5 4x 8

t 1 t5 t p2 3 p 5 0

Se dice que un n?mero es una soluci?n o ra?z de una ecuaci?n, si al sustituir dicho n?mero por la variable de la ecuaci?n obtenemos un enunciado verdadero. Por ejemplo, para probar que el n?mero 2 es una soluci?n de la ecuaci?n

7x 3 9x 8 6

2

4

Se sustituye el n?mero 2 en lugar de la variable x, se efect?an las operaciones aritm?ticas en cada lado de la ecuaci?n

7(2) 3 9(2) 8 6

2

4

17 10 6 24

17 5 6 2

66

como el enunciado que se obtuvo es verdadero, decimos que x 2 es una soluci?n de la ecuaci?n anterior.

Dos ecuaciones se dice que son ecuaciones equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones, por ejemplo las ecuaciones

6x 12 0 y x 1 1

son equivalentes porque ambas tienen como ?nica soluci?n al n?mero x 2 .

Se dice que una ecuaci?n es una identidad, cuando cualquier valor que tome la variable da como resultado un enunciado verdadero. Por ejemplo, la ecuaci?n:

x2 4 (x 2)(x 2)

es una identidad, pues al sustituir x por cualquier n?mero real se obtiene un enunciado verdadero. Mientras que una se llama ecuaci?n condicional o simplemente ecuaci?n, cuando solamente algunos n?meros son soluciones de la misma.

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Por ejemplo la ecuaci?n x2 x 6 0

Tiene solamente dos soluciones que son x 3 y x 2 .

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Soluci?n de una ecuaci?n

Resolver una ecuaci?n consiste en encontrar los valores de la variable que hacen que el enunciado sea verdadero. Para ello se transforma la ecuaci?n en una serie de ecuaciones equivalentes, hasta obtener la soluci?n de la ecuaci?n. Estas transformaciones se fundamentan en dos propiedades de las ecuaciones, la propiedad aditiva y la propiedad multiplicativa. Estas propiedades se enuncian a continuaci?n

Propiedades de las ecuaciones

1. Simplificar cualquiera de los lados de la ecuaci?n utilizando las operaciones algebraicas y las propiedades de los n?meros reales. Las dos ecuaciones siguientes son equivalentes 7x 6 5x 8

2x 6 8 2. Sumar o restar la misma cantidad a ambos lados de una ecuaci?n produce

ecuaciones equivalentes, como se ilustra con el siguiente ejemplo 2x 6 8

2x 6 6 8 6

2x 2 En general si a b entonces a c b c . 3. Multiplicar o dividir ambos lados de una ecuaci?n por una cantidad diferente de cero, produce ecuaciones equivalentes, como por ejemplo

2x 2 22 x 1 En general si a b y c 0 entonces ac bc .

Para ilustrar el uso de las propiedades de las ecuaciones se presenta el siguiente ejemplo

Ejemplo 1: Uso de las propiedades de las ecuaciones

Resuelva la ecuaci?n

2x 4(50 x) 140

Soluci?n

Desarrollando el producto entre par?ntesis y sumando t?rminos semejantes se tiene 2x 200 4x 140

2x 200 140 Ahora se resta 200 a ambos lados de la ecuaci?n (propiedad aditiva) y luego simplificando

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2x 200 200 140 200 2x 60

1.1 Ecuaciones lineales 3

Dividiendo ambos lados de la ecuaci?n anterior entre ?2, se obtiene el valor de x 2x 60 2 2 x 30

Para comprobar que el valor de obtenido, es en realidad la soluci?n de la ecuaci?n, se sustituye ?ste valor en la ecuaci?n original y se realizan las operaciones aritm?ticas resultantes

2(30) 4(50 30) 140

60 4(20) 140

60 80 140

140 140

Como la ?ltima expresi?n es un enunciado verdadero, se concluye que la soluci?n de la ecuaci?n es x 30 .

Cuando se resuelve una ecuaci?n es normal que se quiera llegar a la respuesta lo antes posible, en este sentido, suelen omitirse algunos pasos cuando se utilizan las propiedades de las ecuaciones. Com?nmente se dice que si un n?mero est? sumando en un lado de la ecuaci?n, pasa al otro lado restando; o bien que si un n?mero est? multiplicando en un lado pasa al otro lado dividiendo. En realidad lo que se est? haciendo es utilizar las propiedades de las ecuaciones en una forma abreviada. En la pr?ctica el ejemplo anterior suele resolverse como se muestra a continuaci?n

2x 4(50 x) 140 2x 200 4x 140

2x 200 140

Como 200 est? sumando en el lado izquierdo, pasa restando al otro lado de la ecuaci?n, es decir

2x 140 200

2x 60 Como ?2 est? multiplicando a la inc?gnita x, pasa dividiendo al otro lado de la ecuaci?n

x 60 2

x 30

Si se observa cuidadosamente las dos soluciones es claro que la diferencia consiste en que se ha dejado de anotar algunos n?meros, por lo dem?s ambos procedimientos son equivalentes.

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1.1 Ecuaciones lineales 4

Muchas de las aplicaciones en las ciencias se pueden modelar utilizando una ecuaci?n lineal. Una ecuaci?n lineal se define como:

Ecuaci?n lineal

Una Ecuaci?n lineal con variable x es una ecuaci?n que puede escribirse en la forma

ax b 0 donde a y b son n?meros reales, con a 0

Las ecuaciones lineales generalmente pueden resolverse utilizando procedimientos que producen ecuaciones equivalentes, la soluci?n general de una ecuaci?n lineal es la siguiente

ax b b b

ax b

ax b aa x b

a Muchas ecuaciones no se encuentran en forma lineal, pero pueden ser transformadas en una ecuaci?n lineal utilizando las propiedades de las ecuaciones, como se muestra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2: Soluci?n de una ecuaci?n con productos

Resuelva la ecuaci?n

(x 2)(5x 1) 5x(x 1)

Soluci?n

Efectuando los productos a ambos lados de la ecuaci?n se tiene (x 2)(5x 1) 5x(x 1)

5x2 10x x 2 5x2 5x

5x2 9x 2 5x2 5x Restando 5x2 a ambos lados de la ecuaci?n

9x 2 5x Sumando 2 a ambos lados

9x 5x 2 Restando 5x a ambos lados de la ecuaci?n se obtiene

9x 5x 2

4x 2 Dividiendo ambos lados entre 4 y simplificando

4x 2 44 x1

2 Para hacer la prueba se sustituye el resultado obtenido en la ecuaci?n original, y se efect?an las operaciones aritm?ticas en cada lado de la ecuaci?n

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1.1 Ecuaciones lineales 5

(x 2)(5x 1) 5x(x 1)

1 2 5 1 5 1 1 1

2

2

22

5 3 5 3

2 2 22

15 15 44 De donde se concluye que la soluci?n es x 1

2

El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento m?s apropiado para resolver una ecuaci?n que contiene n?meros racionales. Aunque es posible resolverla siguiendo caminos diferentes, se recomienda al estudiante resolver las ecuaciones siguiendo el procedimiento que aqu? se muestra.

Ejemplo 3: Soluci?n de una ecuaci?n con n?meros fraccionarios

Resuelva la ecuaci?n

5x 5 2x 4

2

6

Soluci?n

Para resolver una ecuaci?n que contiene fracciones, lo primero que hay que hacer es obtener una ecuaci?n equivalente que no contenga denominadores; para lograr esto se debe multiplicar ambos lados de la ecuaci?n por el MCM de todos los denominadores. En ?ste ejemplo El MCM de los denominadores es 6 ya que el 6 contiene exactamente al 2 y al 6. Multiplicando toda la ecuaci?n por 6 obtenemos

6 5x 5 6 2x 4

2

6

6 5x (6)(5) 2x 4 2

3(5x) 30 2x 4

Observe que primero se ha dividido el MCM entre cada denominador y una vez hecho esto, se procede a desarrollar los productos resultantes. Este procedimiento permite manejar n?meros m?s peque?os que los que se hubieran obtenido si primero se desarrollan los productos.

Desarrollando productos y despejando la inc?gnita se tiene

15x 2x 4 30

13x 26

x 26 13

x 2 Al hacer la prueba se concluye que la soluci?n de la ecuaci?n es x 2 .

Los ejemplos que siguen son de dificultad m?s alta ya que las ecuaciones que se proponen no son lineales, pues contienen fracciones algebraicas. Al resolverlas utilizando las propiedades de las

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1.1 Ecuaciones lineales 6

ecuaciones, muchas veces se reducen a una ecuaci?n lineal. Es importante aclarar que la ecuaci?n lineal que se obtiene no es equivalente en todos los reales a la ecuaci?n propuesta, pues, cuando una ecuaci?n contiene fracciones algebraicas con inc?gnita en el denominador; seguramente existen n?meros reales para los cuales la fracci?n no est? definida y por lo tanto ?stos n?meros nunca ser?n soluciones de la ecuaci?n original, aunque si pueden ser soluciones de la ecuaci?n lineal que se obtiene. En el ejemplo 5 se ilustra ?ste caso.

Ejemplo 4: Soluci?n de una ecuaci?n con fracciones algebraicas

Resuelva la ecuaci?n

2 1 3 2x 3 x 3 4x 6

Soluci?n

Para resolver una ecuaci?n que contiene fracciones algebraicas lo primero que hay que hacer es factorizar todos los denominadores presentes en la ecuaci?n. Los denominadores 2x 3 y x 3 no se pueden factorizar mientras que el tercer denominador tiene factor com?n 2,

4x 6 2(2x 3)

La ecuaci?n con los denominadores factorizados es 2 1 3

2x 3 x 3 2(2x 3)

Para obtener una ecuaci?n equivalente a la anterior, que no contenga denominadores, se debe multiplicar ambos lados de la ecuaci?n por el m?nimo com?n m?ltiplo de los denominadores

MCM = 2(2x 3)(x 3)

Multiplicando ambos lados de la ecuaci?n por el MCM se obtiene

2(2x 3)(x 3) 2 1 2x 3 x 3

2(2x

3)(x

3)

3 2(2x

3)

Se desarrollan las operaciones pero teniendo el cuidado de dejar indicados los productos. Esto se hace as? para cancelar los factores comunes al numerador y al denominador en cada una de las fracciones resultantes

2(2x 3)(x 3)(2) 2(2x 3)(x 3)(1) 2(2x 3)(x 3)(3)

2x 3

x 3

2(2x 3)

Al cancelar los factores comunes en cada fracci?n se obtiene una ecuaci?n que no contiene denominadores. Observe que en la primera fracci?n se cancela el t?rmino (2x 3) , en la segunda fracci?n se cancela el t?rmino (x 3) y en la fracci?n al lado derecho se cancela el 2 y el t?rmino (2x 3) . Luego de cancelar los factores la ecuaci?n resultante es

4(x 3) 2(2x 3) 3(x 3)

Ahora se puede resolver la ecuaci?n siguiendo el procedimiento mostrado en los ejemplos 1 y 2

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1.1 Ecuaciones lineales 7

4x 12 4x 6 3x 9

18 3x 9

3x 9 18

x 9 3

x 3 Se deja al lector que realice la prueba, sustituyendo x 3 en la ecuaci?n inicial para comprobar que se ha encontrado la soluci?n de la ecuaci?n.

Ejemplo 5: Ecuaci?n con fracciones algebraicas sin soluci?n

Resuelva la ecuaci?n

1 x 5 x 5 x 5

Soluci?n

Procediendo como en el ejemplo 4 se multiplica ambos lados de la ecuaci?n por el MCM que para esta ecuaci?n es x 5

(x 5) 1 x (x 5) 5

x 5

x 5

Al desarrollar productos y efectuar las operaciones resultantes se obtiene

(x 5) x 5

2x 10

x 5

Pero x 5 no es soluci?n de la ecuaci?n pues al sustituirlo en la ecuaci?n inicial se obtiene una divisi?n entre cero

1 5 5 55 55

15 5 00

Como la divisi?n entre cero no est? definida, se concluye que la ecuaci?n no tiene soluci?n.

Ejemplo 6: Soluci?n de una ecuaci?n con fracciones algebraicas

Resuelva la ecuaci?n

2 2x 1

x

2 7

1

2x2 1 2x2 15x 7

Soluci?n

La dificultad de ?sta ecuaci?n es mayor que la de los ejemplos anteriores. Como un primer paso se deben factorizar todos los denominadores y obtener el m?nimo com?n m?ltiplo de ellos; los dos denominadores en el lado izquierdo de la ecuaci?n no se pueden factorizar, mientras que 2x2 15x 7 es un trinomio de la forma general, que se puede factorizar como

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1.1 Ecuaciones lineales 8

2x2 15x 7 (2x 1)(x 7)

Como el m?nimo com?n m?ltiplo es el producto de todos los factores tomando cada uno de ellos con el mayor exponente, se obtiene que el MCM (2x 1)(x 7) . Si ninguno

de los factores del MCM es igual a cero, se puede multiplicar ambos lados de la ecuci?n por ?l, para obtener una ecuaci?n equivalente que no contenga denominadores

(2x 1)(x 7) 2 2 2x 1 x 7

(2x

1)(x

7) 1

(2x

2x2 1 1)(x

7)

2(x 7) 2(2x 1) (2x 1)(x 7) (2x2 1)

Efectuando productos y sumando t?rminos semejantes se tiene 2x 14 4x 2 2x2 x 14x 7 2x2 1

6x 16 15x 8

6x 15x 8 16

21x 24

x 24 8 21 7

Al hacer la prueba se puede verificar que la soluci?n es x 8 7

Algunas ecuaciones tienen dos o m?s inc?gnitas o variables. En algunos casos es necesario despejar una variable en t?rminos de las otras. El siguiente ejemplo ilustra una ecuaci?n de ?ste estilo.

Ejemplo 7: Soluci?n de una ecuaci?n con varias variables

En un circuito el?ctrico con tres resistencias R1, R2, R3, colocadas en paralelo, se desea encontrar el valor de una resistencia R, que es equivalente a las tres resistencias en paralelo. La ecuaci?n que relaciona a las cuatro resistencias es la siguiente

111 1 R R1 R2 R3

a. Despejar R en t?rminos de las otras resistencias. b. Si R1 530, R2 1200, R3 3500, calcular el valor de R.

Soluci?n

a. Para despejar R, se puede comenzar eliminando los denominadores, para lograr esto se multiplica ambos lados de la ecuaci?n por el m?nimo com?n m?ltiplo, que en este caso es RR1R2R3

R

R1

R2

R3

1 R

R

R1R2

R3

1 R1

R

R1

R2

R3

1 R2

R

R1

R2

R3

1 R3

Al cancelar los factores comunes al numerador y denominador de cada fracci?n se tiene

R1R2R3 RR2R3 RR1R3 RR1R2

Factorizando R en el lado derecho de la ecuaci?n anterior y despejando

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