Transformari identice ale expresiilor algebrice



Ecuatii si inecuatii trigonometrice

I. Ecuatii trigonometrice

Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice.

Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul

|sinx = a,   cosx = a,   tgx = a,   ctgx = a,   a � R. |(1) |

Cum rezolvarea ecuatiilor trigonometrice se reduce la rezolvarea ecuatiilor de tipul (1) (utilizand diferite transformari), vom aminti afirmatiile de baza referitor solutiile ecuatiilor (1).

Afirmatia 1. Ecuatia

|sinx = a,     a � R, |(2) |

pentru |a| > 1 solutii nu are, iar pentru |a| � 1 multimea solutiilor ei se contine in formula

|x = (-1)narcsina + πn,     n � Z, |(3) |

unde arcsina � [-[(π)/ 2];[(π)/ 2]] este unghiul, sinusul caruia este egal cu a, iar Z desemneaza multimea numerelor intregi, sau, echivalent (tinand seama de paritatea lui n), in totaliatea

|[pic] |(4) |

|x = arcsina + 2πk, | |

|    k � Z. | |

| | |

| | |

|x = π - arcsina + 2πk, | |

| | |

| | |

Nota 1. Daca in ecuatia (2) a � {0;-1;1} solutiile ei (3) se scriu mai simplu, si anume

|sinx = 0   �   x = πn,   n � Z, |

|sinx = 1   �   x = π/2 + 2πn,   n � Z, |

|sinx = -1   �   x = -π/2 + 2πn,   n � Z. |

Exemplul 1. Sa se rezolve ecuatiile

[pic]

Rezolvare. a) Cum [pic]conform (3) solutiile ecuatiei date sunt

[pic]

sau tinand seama ca [pic]se obtine

[pic]

b) Similar exemplului a) se obtine [pic]sau, tinand seama arcsinus ca functia este o functie impara,

[pic]

c) Cum [pic]rezulta ca ecuatia data nu are solutii.

Afirmatia 2. Ecuatia

|cosx = a |(5) |

pentru |a| > 1 nu are solutii, iar pentru |a| � 1 multimea solutiilor ei se contine in formula

|x = � arccosa + 2πn,   n � Z, |(6) |

unde arccosa � [0;π] este unghiul, cosinusul caruia este egal cu a.

Nota 2. Daca in ecuatia (5) a � {0;1;-1} solutiile ei (6) se scriu mai simplu, si anume

|cosx = 0   �   x = π/2 + πn,   n � Z, |

|cosx = 1   �   x = 2πn,   n � Z, |

|cosx = -1   �   x = π + 2πn,   n � Z. |

Exemplul 2. Sa se rezolve ecuatiile:

a) cosx = -1/2;     b) cosx = 2/3;     c) [pic]

Rezolvare. a) Cum [pic]conform (6) solutiile ecuatiei date sunt [pic]sau tinand seama ca [pic]se obtine [pic]

b) Similar exemplului a) se obtine [pic]

c) Cum [pic]ecuatia data nu are solutii.

Afirmatia 3. Ecuatia

|tgx = a,   a � R |(7) |

are solutiile

|x = arctga + πn,   n � Z, |(8) |

unde arctga � (-π/2;π/2) este unghiul, tangenta caruia este egala cu a.

Afirmatia 4. Ecuatia

|ctgx = a,   a � R |(9) |

are solutiile

|x = arcctga + πn,   n � Z, |(10) |

unde arcctga � (0;π) este unghiul, cotangenta caruia este egala cu a.

Exemplul 3. Sa se rezolve ecuatiile

a) tgx = 1;     b) tgx = -2;     c) ctgx = -1;     d) ctgx = 3.

Rezolvare. a) Conform (8) solutiile ecuatiei date sunt x = arctg1 + πn,   n � Z, sau tinand seama ca [pic]se obtine [pic]

b) Similar exemplului precedent se obtine x = arctg(-2) + πn,   n � Z, sau tinand seama ca arctangenta este o functie impara, x = -arctg2 + πn,   n � Z.

c) Se tine seama de (10) si se obtine

x = arcctg (-1) + πn,   n � Z,

sau, cum [pic]  [pic]

d) Similar exemplului c) se obtine x = arcctg3 + πn,   n � Z.

Observatie. Ecuatiile

|sin f(x) = a,     cos f(x) = a,     tg f(x) = a,     ctg f(x) = a |(11) |

prin intermediul substitutiei f(x) = t se reduc la rezolvarea ecuatiilor (1).

Exemplul 4. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin(2x - 1) = 1;     b) cos(x2 + 4) = -1;     c) [pic]    d) ctgx3 = -2.

Rezolvare. a)

|sin(2x - 1) = 1   �   |

|[pic] |

|sint = 1, |

| |

| |

|t = 2x - 1, |

| |

| |

|  �   2x - 1 = π/2 + 2πn,   n � Z   � |

| |

|�   2x = π/2 + 2πn + 1,   n � Z   �   x = π/4 + πn + 1/2,   n � Z. |

b)

|cos(x2 + 4) = -1   �   |

|[pic] |

|cost = -1, |

| |

| |

|t = x2 + 4, |

| |

| |

|  �   |

|[pic] |

|x2 + 4 = π + 2πn,   n � Z, |

| |

| |

|π + 2πn � 4, |

| |

| |

| |

|�   x2 = π + 2πn - 4,   n = 1,2,3,...   �   [pic]  n = 1,2,3,... |

| |

(se tine seama ca radicalul de ordin par exista doar din valori nenegative).

c) [pic]  �   [pic]  �   2x = π/3 + πn,   n � Z   �     [pic]

d) ctgx3 = -2   �   x3 = arcctg(-2) + πn,   n � Z   �   [pic]

Ecuatii trigonometrice reductibile la ecuatii de gradul al doilea

Ecuatia

|asin2x + bsinx + c = 0,   a, b, c � R,   a � 0 |(12) |

prin intermediul substitutiei t = sinx,   (|t| � 1) se reduce la ecuatia patrata at2 + bt + c = 0.

Exemplul 5. Sa se rezolve ecuatiile

a) 2sin2x - 5sinx + 2 = 0;     b) sin22x - sin2x = 0;     c) sin2x - sinx + 6 = 0.

Rezolvare. a) Se noteaza sinx = t si ecuatia devine

2t2 - 5t + 2 = 0,

de unde t1 = 1/2 si t2 = 2. Cum |t| � 1, ramane t = 1/2 si prin urmare ecuatia initiala este echivalenta cu ecuatia

sinx = 1/2,

solutiile careia sunt (a se vedea (3)) [pic]

b) Se noteaza sinx = t si se obtine ecuatia patrata t2 - t = 0 cu solutiile t1 = 0 si t2 = 1. Astfel ecuatia initiala este echivalenta cu totalitatea de ecuatii

|[|sin2x = 0, |

|p| |

|i| |

|c| |

|]| |

| |sin2x = 1, |

de unde

[pic]

c) Similar exemplelor precedente se obtine ecuatia patrata t2 - t + 6 = 0, care nu are solutii. Rezulta ca si ecuatia trigonometrica nu are solutii.

Ecuatiile

|acos2x + bcosx + c = 0, |(13) |

|atg2x + btgx + c = 0, |(14) |

|actg2x + bctgx + c = 0, |(15) |

unde a, b, c � R,   a � 0 se rezolva similar ecuatiei (12).

In cazul ecuatiei (13) se tine seama ca t = cosx in modul urmeaza sa nu intreaca unu, iar pentru t = tgx   (t = ctgx) in ecuatia (14) (respectiv (15)) restrictii nu sunt.

Exemplul 6. Sa se rezolve ecuatiile

a) 6cos2x - 5cosx + 1 = 0;     b) tg22x - 4tg2x + 3 = 0;     c) [pic]

Rezolvare. a) Se noteaza cosx = t si se obtine ecuatia patrata

6t2 - 5t + 1 = 0

cu solutiile t = 1/3 si t2 = 1/2. Cum ambele solutii verifica conditia |t| � 1 se obtine totalitatea

|[|cosx = 1/3, |

|p| |

|i| |

|c| |

|]| |

| |cosx = 1/2, |

de unde [pic]    [pic]

b) Se noteaza tg2x = t si se obtine ecuatia patrata

t2 - 4t + 3 = 0

cu solutiile t1 = 1 si t2 = 3. Prin urmare

|[|tg2x = 1, |  �  |[|[pic] |

|p| | |p| |

|i| | |i| |

|c| | |c| |

|]| | |]| |

| |tg2x = 3, | | |2x = arctg3 + πk,   k � Z, |

de unde [pic]    [pic]

c) Se rezolva similar exemplului precedent si se obtine [pic]    x = 2arcctg2 + 2πk,   n, k � Z.

Ecuatia

|acos2x + bsinx + c = 0, |(16) |

utilizand identitatea trigonometrica de baza sin2x + cos2x = 1, se reduce la rezolvarea unei ecuatii de tipul (12):

a(1 - sin2x) + bsinx + c = 0.

Similar, ecuatia

|asin2x + bcosx + c = 0 |(17) |

se reduce la rezolvarea unei ecuatii de tipul (13):

a(1 - cos2x) + bcosx + c = 0.

Utilizand formulele

cos2x = 1 - 2sin2x,     cos2x = 2cos2x - 1

ecuatiile

|acos2x + bsinx + c = 0, |(18) |

|acos2x + bcosx + c = 0, |(19) |

se reduc la rezolvarea ecuatiilor de tipul (12) si respectiv (13).

Exemplul 7. Sa se rezolve ecuatiile:

a) 2sin2x + 5cosx - 5 = 0;       b) [pic]

Rezolvare. a) Cum sin2x = 1 - cos2x, ecuatia devine

2(1 - cos2x) + 5cosx - 5 = 0

sau

2cos2x - 5cosx + 3 = 0,

de unde cosx = 3/2 (aceasta ecuatie nu are solutii) sau cosx = 1, cu solutiile x = 2πk,   k � Z.

b) Cum cos4x = 1 - 2sin22x, ecuatia devine

[pic]

sau

[pic]

de unde

|[|sin2x = 0, |

|p| |

|i| |

|c| |

|]| |

| |[pic] |

si [pic]

Ecuatia

|atgx + bctgx + c = 0 |(20) |

tinand seama ca tgx·ctgx = 1   ([pic]) prin intermediul substitutiei t = tgx (atunci ctgx = 1/t) se reduce la o ecuatie trigonometrica de tipul (14).

Exemplul 8. Sa se rezolve ecuatia:

[pic]

Rezolvare. Cum [pic]si [pic]ecuatia devine

tgx + 5ctgx - 6 = 0.

Se noteaza tgx = t, atunci [pic]si se obtine ecuatia patrata

t2 - 6t + 5 = 0

cu solutiile t1 = 1 si t2 = 5. Asadar

|[|tgx = 1, |  �  |[|[pic] |

|p| | |p| |

|i| | |i| |

|c| | |c| |

|]| | |]| |

| |tgx = 5, | | |x = arctg5 + πn,   n � Z. |

Ecuatii omogene

Ecuatia

|a0sinnx + a1sinn-1xcosx + ... + ak-1sinxcosn-1x + ancosnx = 0, |(21) |

unde a0·an � 0, se numeste ecuatie omogena de gradul n in raport cu sinx si cosx.

Cum [pic]nu verifica ecuatia (21) (toti termenii, incepand cu al doilea sunt nuli, iar primul este diferit de zero) multiplicand ecuatia cu [pic]se obtine ecuatia echivalenta

a0tgnx + a1tgn-1x + ... + an-1tgx + an = 0

care prin substitutia tgx = t, se reduce la rezolvarea unei ecuatii algebrice de gradul n.

Exemplul 9. Sa se rezolve ecuatiile

|a) sin2x - cos2x = 0; |c) 5sin2x + 5sinxcosx = 3; |

|b) sin2x + sin2x - 3cos2x = 0;       |d) [pic] |

Rezolvare. a) Ecuatia a) reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul intai. Se multiplica cu [pic]si se obtine ecuatia liniara in raport cu tg2x

tg2x - 1 = 0

de unde tg2x = 1 si [pic]

b) Cum sin2x = 2sinxcosx ecuatia b) se scrie sin2x + 2sinxcosx - 3cos2x = 0 si reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se multiplica cu [pic]si se obtine ecuatia patrata

tg2x + 2tgx - 3 = 0

cu solutiile tgx = -3 si tgx = 1. Prin urmare

|[|x = -arctg3 + πn,   n � Z, |

|p| |

|i| |

|c| |

|]| |

| |[pic] |

c) Se scrie 3 = 3·1 = 3·(sin2x + cos2x) si ecuatia devine

5sin2x + 5sinx·cosx = 3sin2x + 3cos2x

sau

2sin2x + 5sinx·cosx - 3cos2x = 0

adica o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se rezolva similar exemplelor precedente si se obtin solutiile x = -arctg3 + πk,   k � Z si [pic]

d) Cum cos2x = cos2x - sin2x, sin2x = 2sinxcosx, [pic]ecuatia devine

[pic]

sau

[pic]

adica este o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se multiplica cu [pic]si se obtine ecuatia patrata

[pic]

cu solutia [pic]sau, rationalizand numitorul, [pic]

Asadar, [pic]

Metoda transformarii sumei functiilor trigonometrice in produs.

Ecuatiile de forma

|sinα(x) � sinβ(x) = 0 |(22) |

|cosα(x) � cosβ(x) = 0 |(23) |

cu ajutorul formulelor transformarii sumei in produs

|[pic] |(24) |

|[pic] |(25) |

|[pic] |(26) |

se reduc la ecuatii trigonometrice simple.

Exemplul 10. Sa se rezolve ecuatiile

|a) sin3x + sinx = 0;       |c) cos5x = sin3x; |

|b) cosx + cos3x = 0; |d) sinx + cos2x + sin3x + cos4x = 0. |

Rezolvare. a)

|sin3x + sinx = 0   �   |

|[pic] |

|  �   |

|[pic] |

|sin2x = 0, |

| |

| |

|cosx = 0, |

| |

| |

|  � |

| |

|[pic] |

|  �   |

|[pic] |

| |

(se observa ca solutiile [pic]se contin in solutiile [pic]- a se desena cercul trigonometric si a se depune pe el solutiile obtinute).

b) cosx + cos3x = 0   �   2cos2xcos(-x) = 0. Cum functia cosinus este o functie para, se obtine totalitatea

|[|cos2x = 0, |

|p| |

|i| |

|c| |

|]| |

| |cosx = 0, |

de unde [pic]  [pic]

c) Cum [pic](formulele de reducere) se obtine ecuatia

[pic]

sau

[pic]

de unde, tinand seama ca functia sinus este impara, iar functia cosinus este para, se obtine totalitatea

[pic]

sau

[pic]

d) Se grupeaza convenabil: (sinx + sin3x) + (cos2x + cos4x) = 0, se aplica formulele (24) si (25) si se obtine ecuatia

2sin2xcosx + 2cos3xcosx = 0

sau

2cosx(sin2x + cos3x) = 0,

de unde rezulta totalitatea de ecuatii

|[|cosx = 0, |

|p| |

|i| |

|c| |

|]| |

| |sin2x + cos3x = 0. |

Din prima ecuatie se obtine [pic]Ecuatia secunda a totalitatii se rezolva similar exemplului c) si se obtine [pic](se contine in solutia deja obtinuta) si [pic]Asadar solutiile ecuatiei initiale sunt [pic]  [pic]

Metoda transformarii produsului in suma

(utilizarea formulelor sin(α � β),  cos(α � β)).

Exemplul 11. Sa se rezolve ecuatiile

a) cosxcos2x - sinxsin2x = 1;         b) cosxcos3x = cos4x.

Rezolvare. a) cosxcos2x - sinxsin2x = 1   �   cos(x + 2x) = 1   �   cos3x = 1   �   3x = 2πk,   k � Z   �   [pic]

b) Cum [pic]se obtine

[pic]

sau cos2x - cos4x = 0, de unde rezulta

2sin(-x)sin3x = 0.

Ultima ecuatie este echivalenta cu totalitatea

|[|sinx = 0, |

|p| |

|i| |

|c| |

|]| |

| |sin3x = 0, |

de unde [pic](solutiile primei ecuatii se contin in solutiile ecuatiei secunde).

Metoda micsorarii puterii

Aceasta metoda utilizeaza formulele

|[pic] |(27) |

|[pic] |(28) |

|[pic] |(29) |

|[pic] |(30) |

|[pic] |(31) |

in scopul micsorarii gradului ecuatiei ce urmeaza a fi rezolvate. Formulele (27) si (28) se utilizeaza si la rezolvarea ecuatiilor

|sin2ax + sin2bx = sin2cx + sin2dx, |(32) |

|cos2ax + cos2bx = cos2cx + cos2dx, |(33) |

daca numerele a, b, c si d verifica una din conditiile a + b = c + d sau a - b = c - d.

Exemplul 12. Sa se rezolve ecuatiile

|a) cos2x + cos22x + cos23x = 3/2; |

|b) sin42x + cos42x = sin2xcos2x; |

|c) cos6x + sin6x = cos2x. |

Rezolvare. a) Se utilizeaza formula (27) si se obtine ecuatia echivalenta

[pic]

sau

cos2x + cos4x + cos6x = 0.

Se grupeaza convenabil si se obtine

(cos2x + cos6x) + cos4x = 0   �   2cos4xcos2x + cos4x = 0   �  

|�   cos4x(2cos2x + 1) = 0   �   |[pic] |  �  |[pic] |

| |cos4x = 0, | | |

| | | | |

| | | | |

| |cos2x = -1/2, | | |

| | | | |

b) Cum (a se vedea (29)) [pic]iar [pic]ecuatia devine

[pic]

sau sin42x + sin4x - 2 = 0, de unde rezulta sin4x = 1 si [pic]

c) Cum [pic]ecuatia devine

[pic]

de unde rezulta totalitatea

|[|cos2x = 1, |  �  |[|x = πn,   n � Z, |

|p| | |p| |

|i| | |i| |

|c| | |c| |

|]| | |]| |

| |cos2x = 1/3, | | |[pic] |

Ecuatii de tipul

|asinx + bcosx = c,     a·b·c � 0. |(34) |

Se propun urmatoarele metode de rezolvare a ecuatiilor de forma (34):

a) Reducerea la o ecuatie omogena de gradul al doilea in raport cu [pic]si [pic]

Se scrie

[pic]

si ecuatia (34) devine

[pic]

- omogena de gradul 2 daca (c - b)(b + c) � 0, sau, in caz contrar, se reduce la rezolvarea unei ecuatii omogene de gradul 1 si a unei ecuatii de tipul (2) sau (5).

Exemplul 13. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin2x + cos2x = 1;       b) [pic]

Rezolvare. a)

|sin2x + cos2x = 1   �   2sinxcosx + cos2x - sin2x = sin2x + cos2x   � |

|�   2sinxcosx - 2sin2x = 0   �   2sinx(cosx - sinx) = 0   �   |

| |

|�   |

|[pic] |

|sinx = 0, |

| |

| |

|cosx - sinx = 0, |

| |

| |

|�   |

|[pic] |

|sinx = 0, |

| |

| |

|tgx = 1, |

| |

| |

|  �   |

|[pic] |

|x = πk,   k � Z, |

| |

| |

|[pic] |

| |

| |

| |

| |

| |

| |

| |

| |

| |

| |

b) [pic]  [pic]  [pic]  [pic]

[pic]  [pic]  [pic]

[pic]  [pic]  [pic]  [pic]

[pic]  [pic]

b) Utilizarea formulelor

|[pic] |(35) |

Cu ajutorul formulelor indicate, ecuatia (34) se reduce al o ecuatie patrata in raport cu [pic]Se tine seama ca aplicarea acestor formule aduce la pierderea solutiilor α = π + 2πk,   k � Z, din ce cauza se verifica (prin substituirea directa in ecuatia initiala), daca ele sunt sau ba solutii ale ecuatiei (34).

Exemplul 14. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin2x + cos2x = 1;       b) [pic]

Rezolvare. a) Cum [pic]si cum [pic]nu verifica ecuatia data, ecuatia este echivalenta cu ecuatia

[pic]  sau   1 + tg2x = 2tgx + 1 - tg2x,

de unde rezulta

|[pic] |  �  |[pic] |

|tgx = 0, | |x = πk,   k � Z, |

| | | |

| | | |

|tgx = 1, | |[pic] |

| | | |

b) Se aplica formulele (35 ) si se obtine

|[p|[pic] |

|ic| |

|] | |

| |x � π + 2πk,   k � Z, |

sau

|[p|[pic] |

|ic| |

|] | |

| |x � π + 2πk,   k � Z, |

de unde

|[p|[pic] |

|ic| |

|] | |

| |x � π + 2πk, |

  si   [pic]Verificarea directa arata ca si x = π + 2πk,   k � Z sunt solutii ale ecuatiei date. Asadar solutiile ecuatiei date sunt [pic]

c) Metoda unghiului auxiliar.

Cum a·b·c � 0 ecuatia (34) se scrie

|[pic] |(36) |

si cum [pic]  [pic]si [pic]rezulta ca exista un unghi α, astfel incat

|[pic]  si   [pic] |(37) |

sau un unghi β, astfel incat

|[pic]  si   [pic] |(38) |

Atunci ecuatia (36) se scrie

[pic]

sau

[pic]

Ultimile ecuatii nu prezinta greutati in rezolvare.

Nota. Se observa ca ecuatia (34) are solutii daca si numai daca [pic]iar valoarea maxima a functiei f(x) = asinx + bcosx este [pic]si valoarea minima este -[pic].

Exemplul 15. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin2x + cos2x = 1;       b) 3sinx + 4cosx = 5;       c) [pic]

Rezolvare. a)

|sin2x + cos2x = 1   �   [pic]  � |

|�   [pic]  �   [pic]  � |

|�   [pic]  �   [pic]  � |

|�   |

|[pic] |

|x = πn,   n � Z, |

| |

| |

| |

|[pic] |

| |

b)

|3sinx + 4cosx = 5   �   |  � |

|[pic] | |

|  �   | |

|[pic] | |

|sinxcosα + cosxsinα = 1, | |

| | |

| | |

|sinα = 4/5;   cosα = 3/5, | |

| | |

| | |

| | |

|�   | |

|[pic] | |

|sin(x + α) = 1, | |

| | |

| | |

|tgα = 4/3, | |

| | |

| | |

| | |

|  �   | |

|[pic] | |

| | |

c) Cum valoarea maxima a membrului din stanga ecuatiei este [pic]si [pic]rezulta ca ecuatia nu are solutii.

Ecuatii de tipul F(sinx � cosx, sinxcosx) = 0.

Ecuatiile de asa tip se rezolva cu ajutorul substitutiei [pic]

Exemplul 16. Sa se rezolve ecuatiile:

|a) 2(sinx + cosx) + sin2x + 1 = 0; |

|b) 1 - sin2x = cosx - sinx; |

|c) [pic] |

Rezolvare. a) Se noteaza t = sinx + cosx, atunci t2 = (sinx + cosx)2 = 1 + sin2x, si ecuatia devine 2t + t2 = 0, de unde t = 0 sau t = -2. Cum ecuatia sinx + cosx = -2 nu are solutii, ramane sinx + cosx = 0 - ecuatie omogena de gradul intai cu solutiile [pic]

b) Se noteaza cosx - sinx = t, atunci sin2x = 1 - t2 si ecuatia devine t2 = t cu solutiile t = 0,   t = 1. Asadar

|[|cosx - sinx = 0, |  �  |[|1 - tgx = 0, |  �  |

|p| | |p| | |

|i| | |i| | |

|c| | |c| | |

|]| | |]| | |

| |cosx - sinx = 1, | | |[pic] | |

[pic]

c) DVA al ecuatiei este [pic]In DVA ecuatia se scrie

sinx + cosx - 5sinxcosx + 1 = 0.

Se noteaza t = sinx + cosx si se obtine ecuatia patrata

5t2 - 2t - 7 = 0,

cu solutiile t = -1 si t = 7/5. Prin urmare sinx + cosx = -1, de unde [pic](nu verifica DVA al ecuatiei) sinx + cosx = 7/5, de unde [pic]

Metoda descompunerii in factori

Aceasta metoda este una din cele mai frecvente si presupune o cunoastere satisfacatoare a formulelor trigonometrice.

Exemplul 17. Sa se rezolve ecuatiile

|a) sin3x - cos3x = cos2x; |

|b) sin3x - sin2x + 2cosx = 2cos2x - sinx; |

|c) 4sinx + 2cosx = 2 + 3tgx. |

Rezolvare. a) sin3x - cos3x = cos2x   �   (sinx - cosx)(sin2x + sinxcosx + cos2x) = cos2x - sin2x   �   (sinx - cosx)(1 + sinxcosx + (cosx + sinx)) = 0   �

|�   |[pic] |  �  |[pic] |  � |

| |sinx - cosx = 0, | |tgx = 1, | |

| | | | | |

| | | | | |

| |1 + sinxcosx + (cosx + sinx) = 0, | |[pic] | |

| | | |[pic] | |

| | | | | |

| | | | | |

| | | |t = sinx + cosx, | |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

|�   |[pic] |  �  |[pic] |  � |

| |[pic] | |[pic] | |

| | | | | |

| | | | | |

| |[pic] | |sinx + cosx = -1, | |

| |t2 + 2t + 1 = 0, | | | |

| | | | | |

| | | | | |

| |t = sinx + cosx, | | | |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

|�   |[pic] |

| |[pic] |

| | |

| | |

| |[pic] |

| | |

| | |

| |x = π + 2πm,   m � Z. |

| | |

b) Se trec toti termenii in stanga ecuatiei si se grupeaza convenabil:

(sin3x + sinx) + 2cosx - (sin2x + 2cos2x) = 0.

Se utilizeaza formulele sumei sinusurilor si sinusului unghiului dublu si se obtine

(2sin2xcosx + 2cosx) - (2sinxcosx + 2cos2x) = 0

sau

2cosx·[(sin2x + 1) - (sinx + cosx)] = 0.

Se tine seama ca sin2x + 1 = 2sinxcosx + sin2x + cos2x = (sinx + cosx)2 si ecuatia devine

2cosx[(sinx + cosx)2 - (sinx + cosx)] = 0

sau

2cosx(sinx + cosx)(sinx + cosx - 1) = 0,

de unde se obtine totalitatea

|[|cosx = 0, |

|p| |

|i| |

|c| |

|]| |

| |sinx + cosx = 0, |

| |sinx + cosx - 1 = 0. |

Din prima ecuatie a totalitatii se obtine [pic]Cea secunda reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul intai cu solutiile [pic]Ecuatia a treia se rezolva, de exemplu, prin metoda introducerii unghiului auxiliar si are solutiile x = 2πn,   n � Z si [pic]Ultimul set de solutii se contine in multimea solutiilor primei ecuatii si prin urmare multimea solutiilor ecuatiei initiale este

[pic]

c) DVA al ecuatiei este [pic]Ecuatia se scrie

[pic]

sau

4sinxcosx + 2cos2x - 2cosx - 3sinx = 0.

Se grupeaza convenabil:

2cosx(2sinx - 1) + (2cos2x - 3sinx) = 0,

sau, cum 2cos2x = 2(1 - sin2x) = 2 - 2sin2x,

2cosx(2sinx - 1) + (2 - 3sinx - 2sin2x) = 0.

Cum 2 - 3sinx - 2sin2x = 2 - 4sinx + sinx - 2sin2x = 2(1 - 2sinx) + sinx(1 - 2sinx) = (1 - 2sinx)(2 + sinx), ecuatia devine

2cosx(2sinx - 1) + (1 - 2sinx)(2 + sinx) = 0,

sau

(2sinx - 1)(2cosx - sinx - 2) = 0.

Cum [pic]  [pic]  [pic]  [pic]  [pic]ecuatia se scrie

[pic]

de unde rezulta

|sinx = 1/2,   cu solutiile   [pic] |

| |

|[pic]  cu solutiile   x = 2πm,   m � Z, |

|[pic]  cu solutiile   [pic] |

Toate solutiile obtinute verifica DVA al ecuatiei.

In incheiere vom prezenta unele metode utile de rezolvare a ecuatiilor trigonometrice.

Exemplul 18. Sa se rezolve ecuatiile:

|a) cosx + cos2x + cos3x + ... + cosnx = n,     n � N,   n � 1; |

|b) sinx + sin2x + sin3x + ... + sinnx = n,     n � N,  n � 2; |

|c) sin11x + cos11x = 1; |

|d) sin10x - cos7x = 1; |

|e) [pic] |

|f) 3sin2x + 4cos6xcos2x + 2sin10x = 7; |

|g) [pic] |

|h) 4sin2x - 4sin23xsinx + sin23x = 0; |

|i) [pic] |

|j) cosxcos2xcos4xcos8x = 1/16. |

Rezolvare. a) Cum pentru orice m natural |cosmx| � 1, membrul din stanga ecuatiei va fi egal cu n daca si numai daca fiecare termen va fi egal cu unu. Asadar rezulta sistemul

|[p|cosx = 1, |

|ic| |

|] | |

| |cos2x = 1, |

| |... |

| |cosnx = 1 |

cu solutiile x = 2πk,   k � Z.

b) Se rezolva similar exemplului a) si se obtine sistemul

|[p|sinx = 1, |

|ic| |

|] | |

| |sin2x = 1, |

| |... |

| |sinnx = 1, |

care este incompatibil. Intr-adevar, solutiile primei ecuatii: [pic]nu verifica a doua ecuatie a sistemului: [pic]Prin urmare ecuatia nu are solutii.

c) Cum sin11x � sin2x, cos11x � cos2x implica sin11x + cos11x � sin2x + cos2x, sau sin11x + cos11x � 1, iar in ultima inegalitate semnul egalitatii se atinge daca si numai daca

|[|[p|sinx = 0, |

|p|ic| |

|i|] | |

|c| | |

|]| | |

| | |cosx = 1, |

| |[p|sinx = 1, |

| |ic| |

| |] | |

| | |cosx = 0. |

rezulta ca ecuatia are solutiile x = 2πm,   m � Z (din primul sistem al totalitatii) si [pic](din sistemul secund).

d) Se utilizeaza acelasi procedeu ca si in exemplul precedent: sin10x � sin2x,   -cos7x � cos2x, de unde sin10x - cos7x � 1 si, prin urmare, semnul egalitatii se atinge cand

|[p|sin10x = sin2x, |

|ic| |

|] | |

| |-cos7x = cos2x, |

adica sinx � {0;-1;1}, iar cosx � {0;-1}. Asadar se obtine [pic]

e) Cum [pic]|cos2x| � 1, membrul din stanga ecuatiei va fi egal cu minus unu, daca si numai daca

[pic]

Din [pic]rezulta x = π + 4πn si atunci cos2x = cos(2π + 8πn) = 1 � -1, adica primul sistem al totalitatii este incompatibil. Din [pic]rezulta x = -π + 4πk si atunci cos2(-π + 4πk) = cos2π = 1, deci x = -π + 4πk,   k � Z sunt solutiile sistemului (si ecuatiei enuntate).

f) Cum 3sin2x + 4cos6xcos2x � 3sin2x + 4cos2x � 5 (a se vedea nota la Metoda unghiului auxiliar), 2sin10x � 2 se obtine 3sin2x + 4cos6xcos2x + 2sin10x � 7, si semnul egalitatii se atinge doar pentru

|[pic] |  sau   |[pic] |

||cos6x| = 1, | |sin6x = 0, |

| | | |

| | | |

|sin10x = 1, | |sin10x = 1, |

| | | |

de unde

[pic]

Ultimul sistem este incompatibil. In adevar

[pic]

conduce la ecuatia in numere intregi

10n = 3 + 6m   sau   10n - 6m = 3

care nu are solutii: diferenta a doua numere pare nu este un numar impar. Prin urmare ecuatia enuntata nu are solutii.

g) Ecuatia se scrie

[pic]

sau

[pic]

Membrul din stanga nu intrece doi ([pic]   cos2x � 1), prin urmare ecuatia are solutii daca si numai daca

|[pic] |  sau   |[pic] |

|[pic] | |[pic] |

| | | |

| | | |

|cos2x = 1, | |x = πn,   n � Z. |

| | | |

Sistemul obtinut (si deci si ecuatia initiala) are solutii daca vor exista asa n, k � Z astfel incat

[pic]

sau

1 + 4k = 5n

de unde 4k = 5n - 1 sau 4k = 4n + (n - 1). Asadar, n - 1 urmeaza a fi divizibil prin 4, adica

n - 1 = 4s,   s � Z

de unde n = 4s + 1 si cum 1 + 4k = 5n, adica 4k = 5(4s + 1) - 1 se obtine k = 5s + 1, si

x = π + 4πs,   s � Z.

h) Membrul din stanga ecuatiei se considera trinom patrat in raport cu sinx. Discriminantul acestui trinom este

D = 16sin43x - 16sin23x,

de unde rezulta ca ecuatia enuntata va avea solutii doar pentru sin23x � 0 sau sin23x � 1. Prin urmare (cum sin2α � 0 si sin2β � 1) ecuatia poate avea solutii doar daca sin23x = 0 sau sin23x = 1 adica [pic]respectiv [pic]

Se substituie in ecuatie si se obtine

1. [pic]Cum sin2πn = 0, ramane [pic]de unde n = 3m,   m � Z, adica din primul set se obtine solutiile x = πm,   m � Z.

2. [pic]Cum [pic]se obtine

[pic]

adica

[pic]

de unde rezulta [pic]sau [pic]adica [pic]

Asadar solutiile ecuatiei date sunt

x = πn,   n � Z,     [pic]

i) Se noteaza cos2 x = t si ecuatia devine

[pic]

sau

[pic]

de unde

|4t - 1| + |4t - 3| = 2.

Se tine seama ca |4t - 3| = |3 - 4t| si 2 = |2| = |4t - 1 + 3 - 4t| si utilizand proprietatile modulului se obtine inecuatia

(4t - 1)(3 - 4t) � 0,

de unde

[pic]

adica [pic]sau [pic]Din ultima inecuatie se obtine (a se vedea tema Inecuatii trigonometrice) solutiile ecuatiei enuntate

[pic]

j) Cum x = πk,   k � Z nu sunt solutii ale ecuatiei date (cosπk = � 1,   cos2πk = cos4πk = cos8πk = 1) se multiplica ambii membri ai ecuatiei cu 16sinx si se utilizeaza formula sinusului unghiului dublu

16sinxcosxcos2xcos4xcos8x = sinx,

8sin2xcos2xcos4xcos8x = sinx,

4sin4xcos4xcos8x = sinx,

2sin8xcos8x = sinx,

sin16x = sinx,

sau   sin16x - sinx = 0,   [pic]  de unde   [pic]    [pic]  k � 15s,   s � Z (deoarece x � πm) si [pic]  [pic]  m � Z,   m � 17s + 8,   s � Z.

Exercitii pentru autoevaluare

Sa se rezolve ecuatiile

1. 2sin2x - 1 = cosx;

2. 7tgx - 4ctgx = 12;

3. tg2x - 3tgx + 2 = 0;

4. 6cos2x + 5cosx + 1 = 0;

5. sin2x - cos2x = cosx;

6. 3cos2x + 4sinxcosx + 5sin2x = 2;

7. 3cos2x - sin2x - 2sinxcosx = 0;

8. [pic]

9. cos3xcos6x = cos5xcos8x;

10. sin2x + sin22x = sin23x + sin24x;

11. 1/2(sin4x + cos4x) = sin2xcos2x + sinxcosx - 1/2;

12. cos3x = cosx;

13. sin2x = sinx;

14. sin5x = cos13x;

15. cos2x + 3|cosx| - 4 = 0;

16. 8sin2xcos2x + 4sin2x - 1 = (sinx + cosx)2;

17. [pic]

18. 8cos4x = 3 + 5cos4x;

19. [pic]

20. 2sin4x - 3sin22x = 1;

21. [pic]

22. 6cos2x + cos3x = cosx;

23. sin2x + cos2x + sinx + cosx + 1 = 0;

24. tg2x = 4cos2x - ctgx;

................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download