Fourier-Reihen Beispiele Periodenintervall T

1. Fourier-Reihen 2. Beispiele 3. Periodenintervall T 4. Quadratische Abweichung 5. Amplitudenspektrum 6. Amplitudenspektrum, Grafik 7. Weg zum Nichtperiodischen 8. Komplexe Schreibweise 9. Komplexe Schreibweise, Periodenintervall T 10. Koeffizienten der komplexen Fourierreihe 11. Fourier-Transformation 12. Fourier-Tranformierte anschaulich 13. Amplituden-Phasen-Notation 14. Konvergenz einer Fourier-Reihe 15. Dirichlet-Kerne 16. Lemma von Riemann 17. Satz von Dirichlet 18. Fej?er-Kerne 19. Fourier-Reihe, Herleitung im Komplexen 20. Einige Eigenschaften der Fourier-Transformation 21. Faltung

 Fourier-Reihen y

2 1

f (x) =

2 -2

0x < x < 2

f (x)

8

(sin

x

+

1 3

sin 3x +

1 5

sin 5x +

1 7

sin 7x +

1 9

sin 9x)

1

2

3

4

5

6x

Fourier (1768 - 1830) bewies, dass periodische Funktionen (unter bestimmten Voraussetzungen) durch eine Summe einfacher trigonometrischer Funktionen approximiert werden k?onnen. Die Gu?te der N?aherung steigt mit der Anzahl der Summanden, siehe GeoGebra

Fu?r eine ungerade Funktion (Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung) sei der Ansatz:

f (x) = b1 sin x + b2 sin 2x + b3 sin 3x + b4 sin 4x + . . .

| ? sin x | ? sin 2x | ? sin 3x | . . .

Um b1 zu ermitteln, werden beide Seiten mit sin x multipliziert und integriert, fu?r b2 mit sin 2x, usw.:

2

2

2

2

2

f (x) sin xdx = b1 (sin x)2 + b2 sin 2x sin x + b3 sin 3x sin x + b4 sin 4x sin x + . . .

0

0

0

0

0

=0

Die Sinusfunktionen haben eine erstaunliche Eigenschaft:

2

sin mx sin nx =

0

0

m=n m=n

(kann vermutet werden, siehe Graphen)

y 1

y

f (x) = (sin x)2

1

f (x) = (sin 2x)2

2

y 1

3 2

2 x

2

y

f (x) = sin 2x

1

3 2

2 x

f (x) = sin x sin 2x

2

3 2

2 x

2

3 2

2 x

-1

-1

y 1

2

-1

y

f (x) = sin 3x

1

3 2

2 x

2

-1

c Roolfs

1

f (x) = sin 2x sin 3x

3 2

2 x

 Fourier-Reihen

Die Koeffizienten der Sinus-Reihe werden daher mit

bn

=

1

2

f (x) sin nx dx

0

berechnet.

Fu?r die Rechteckfunktion ist z. B.

b1

=

1

2

0

?

sin

x

dx

+

1

2

(-2) sin

x

dx

=

.

.

.

=

8

b2

=

1

2

0

?

sin

2x

dx

+

1

2

(-2) sin 2x dx = . . . = 0

b3

=

1

2

0

?

sin

3x

dx

+

1

2

(-2) sin 3x dx

=

...

=

8 3

Das Vorgehen kann verallgemeinert werden. Fu?r eine beliebige 2-periodische Funktion erhalten wir:

f (x)

=

a0 2

+

[ an cos nx + bn sin nx]

n=1

a0

=

1

2

f (x) dx

0

an

=

1

2

f (x) cos nx dx

0

fu?r n 1

bn

=

1

2

f (x) sin nx dx

0

Fu?r eine gerade Funktion (Graph zur y-Achse achsensymmetrisch) entfallen die Sinus-Terme.

f (x) =

2 -2

0x < x < 2

WolframAlpha erzeugt mit der Anweisung (das Periodenintervall muss hier [-, ] sein) FourierTrigSeries[Piecewise[{{-2, -Pi ................
................

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