Ecuaciones trigonométricas resueltas

Ecuaciones trigonom?tricas resueltas

1. Resuelve:

sen

2

x

-cos

2

x=

1 2

Despejando el coseno de x de la primera relaci?n fundamental, se tiene: cos2 x=1-sen2 x

Sustituyendo en la ecuaci?n original:

sen

2

x

-1

sen

2

x

=

1 2

; operando:

2sen

2

x-1=

1 2

;

2sen

2

x=

1 2

1

;

sen

2

x

=

3 4

;

sen x=?23

{ x =arc

sen

3

2

=

60?360?k 120?360?k

{ x =arc

sen

-

2

3

=

240? 360?k 300?360?k

es decir,

{x=

60? 180?k 120?180?k

k

Otra manera de hacerlo m?s corta:

La ecuaci?n original es el desarrollo del coseno del ?ngulo doble salvo un signo, por lo que multiplicamos por (-1) en ambos lados de la ecuaci?n:

sen

2

x

-cos

2

x

=

1 2

;

cos2

x

-

sen

2

x=

-1 2

;

cos 2x=-21

{ { 2x=arc

cos

-1 2

=

120?360?k 240?360?k

; por tanto

x=

60? 180?k 120?180?k

k

2. Calcular sen 3x en funci?n de sen x

Utilizamos la f?rmula de la suma de dos ?ngulos:

sen 2x=sen xx = sen xcos xcos xsen x=2sen xcos x y

sen 3x =sen 2x x=sen 2xcos xcos2x sen x por lo que tambi?n necesitaremos la f?rmula del coseno del ?ngulo doble:

cos 2x=cos xcos x- sen xsen x=cos2 x-sen2 x =1-sen2 x-sen2 x =1-2sen2 x

Sustituyendo estas igualdades:

sen 3x =sen 2x x=sen 2xcos xcos2x sen x=2 sen xcos xcos x 1-2sen2 xsen x=

sen 2x

cos 2x

2sen xcos2 xsen x-2sen3 x =2sen x1-sen2 x sen x-2sen3 x =

=2sen x -2sen3 xsen x -2sen 3 x=3 sen x -4 sen3 x

3. Resuelve: cos 8xcos 6x=2 cos 210 ?cos x

Ya que en el primer miembro hay una suma de dos cosenos, utilizaremos su f?rmula para

convertirla en productos:

cos

Acos

B = 2 cos

A2 Bcos

A- B 2

. Sea A=8x y B=6x:

2 cos 7xcos x=2cos 210 ?cos x ; simplificando: cos 7xcos x=cos 210 ?cos x

Nota: S?lo simplificamos el 2 y no el cos x para no perder una posible soluci?n, en lugar de eso, llevamos todo a un miembro y factorizamos:

cos x cos 7x-cos 210 ?=0 ;

{ Primera soluci?n:

cos x=0 ;

x=arc cos 0=

90? 360?k 270?360?k

, es

decir

x =90? 180?k

,

k

Segunda soluci?n: cos 7x-cos 210?=0 ; 7x=210? ; x=30?

4. Simplifica:

sen 2x 1cos 2x

Sustituimos las f?rmulas de sen y del coseno del ?ngulo doble en la ecuaci?n:

sen 2x

1cos 2x

=

1

2sen cos 2

xcos x x- sen2

x

=

2sen xcos x 1-sen2 xcos2

x

=

2sen cos2 x

xcos x cos2 x

=

2sen xcos 2cos2 x

x

=

sen cos

x x

=

tg

x

cos2 x

5. Resuelve: sen 2x=cos 3x Escribimos cos 3x de forma que aparezcan ?nicamente senos y cosenos de x:

cos3x =cos 2x x= ; =cos2x cos x-sen 2x sen x= =cos2 x-sen2 x cos x- 2sen xcos x sen x= =1- sen2 x -sen2 x cos x-2sen2 xcos x= =1-2sen 2 xcos x-2sen2 xcos x= =cos x-2sen2 xcos x-2sen2 xcos x= =cos x-4sen2 xcos x 1 En la primera parte de la ecuaci?n tenemos que sen 2x=2sen xcos x 2 Igualando las expresiones (1) y (2):

2sen xcos x=cos x-4sen2 xcos x De esta expresi?n se puede sacar factor com?n cos x y simplificar:

2sen x=1-4sen2 x ; ecuaci?n ya sencilla de resolver ya que es de orden 2: 4sen2 x2sen x-1=0 ; hacemos un cambio de variable sen x=t :

4t22t-1=0 ; Soluciones:

t

=sen

x=

-1?5

4

{ x =arc

sen

-1

4

5

=

18?360?k 162?360?k

{ x =arc

sen

-1-

4

5

=

306?360?k 234?360?k

Pero, a la hora de comprobar las soluciones, y mirando la ecuaci?n original, ambas razones deben tener el mismo signo, cosa que ocurre ?nicamente en los cuadrantes I y III, por tanto, las soluciones de la ecuaci?n son:

{x=

18? 360?k 234?360?k

6. Resuelve: 2sen 3x-1=0

S?lo hay un ?ngulo y s?lo una raz?n trigonom?trica, por lo que, en lugar de sustituir, despejamos:

{ sen

3x

=

1 2

; por tanto,

3x =arc

sen

1 2

=

3x 3x

=30? x=10?360?k =150? x=50?360?k

7. Resuelve:

sen 3x sen x

-

cos3x cos x

=2

Expresamos sen 3x como sen 2xx y cos3x como cos 2xx y utilizamos las f?rmulas del seno y coseno de la suma de dos ?ngulos:

sen 2x sen x

x

-

cos 2x cos x

x

=2

;

sen

2x cos

x cos sen x

2x

sen

x

-

cos

2x

cos

x - sen cos x

2x

sen

x

=2

;

Desarrollamos ahora el seno y el coseno del ?ngulo doble:

2sen

xcos

x

cos

x cos2 sen x

x

-

sen

2

x

sen

x

-

cos

2

x-

sen

2

x

cos x-2sen cos x

xcos

x

sen

x

=

2

;

Simplificamos: 2cos2 xcos2 x-sen2 x-cos2 xsen2 x 2sen2 x=2 ;

Agrupando: 2cos2 x 2sen2 x=2 ; es decir, sen2 xcos2 x=1 Esta expresi?n es la relaci?n fundamental I, por lo que se cumple para cualquier ?ngulo.

8. Resuelve: 2sen2 x2sen xcos x-1=0

En esta ecuaci?n es mejor operar al rev?s, es decir, el segundo t?rmino lo reconocemos como el sen del ?ngulo doble, ya que sen 2x=2sen xcos x , y el primer y tercer t?rmino es el desarrollo del coseno del ?ngulo doble, ya que cos 2x=cos2 x -sen2 x=1-sen2 x-sen2 x=1-2 sen2 x

Por tanto, la ecuaci?n original puede ponerse como: sen 2x-cos2x =0 ; es decir:

sen 2x=cos2x ; dividiendo entre cos 2x tenemos: tg 2x=1 ;

{ 2x=arc tg 1=

2x=45? x=22' 5?360?k 2x=225? x=112 ' 5?360?k

9. Sabiendo que

sen

=

4 5

y que

es un ?ngulo del primer cuadrante, calcula sen 4 (usa

la calculadora s?lo para la comprobaci?n final)

Atendiendo a la definici?n del seno de un ?ngulo, 4 ser? el cateto opuesto al ?ngulo, y 5 la

hipotenusa. Por el Teorema de Pit?goras, (y porque se trata de una terna pitag?rica) el cateto adjunto

es 3, por tanto

cos

=

3 5

. Ahora usamos la f?rmula del seno del ?ngulo doble:

sen

2

=2sen

cos

=24535 =

24 25

De nuevo, por el Teorema de Pit?goras calculamos el cateto contiguo de un tri?ngulo que tiene como cateto opuesto 24 y como hipotenusa 25:

cateto contiguo= 252-242= 49=7

Por tanto,

cos

2

=

7 25

. Y volvemos a usar la f?rmula del ?ngulo doble:

sen

4

=

sen

2

2

=2

sen

2

cos

2

=

22245275

=

336 625

Comprobaci?n: Del enunciado averiguamos que =53 ' 13?=53? 7' 48,37 ' ' Multiplic?ndolo

por 4, obtenemos el ?ngulo: 4 =212 ' 52?=212? 31 ' 13,47' ' , que es un ?ngulo del III

cuadrante. Haciendo la reducci?n al I cuadrante (porque ser? el resultado que obtenga con la

calculadora), obtenemos un nuevo ?ngulo =32 ' 52?=32? 31 ' 13,47' ' .

Por otro lado, con la soluci?n del problema,

4

=arc

sen

336 625

. Se comprueba que

4 =

10. Resuelve: sen xsen 3x=sen 2x sen 4x

Utilizando las f?rmulas del angulo doble y de suma de dos ?ngulos, transformamos los t?rminos de la ecuaci?n de manera que s?lo aparezcan senos y cosenos de ?ngulos simples:

sen 2x=2 sen xcos x

sen 3x =sen 2x x=sen 2xcos xcos2x sen x=2sen xcos2 xcos 2xsen x

sen 4x=sen 2x2x =2 sen 2xcos 2x=4 sen xcos xcos 2x

Nota: Para no hacer la ecuaci?n demasiado larga y compleja, optamos por dejar, de momento, los cosenos de 2x sin sustituir. Lo haremos m?s adelante.

El objetivo, en este tipo de ecuaciones, es poder factorizar.

En la ecuaci?n original, sustituimos estos valores, pasamos todo a un miembro y sacamos factor com?n sen x

sen x 2 sen xcos2 xcos 2x sen x- 2 sen xcos x- 4 sen xcos xcos 2x =0

sen 3x

sen 2x

sen 4x

Observamos que podemos extraer sen x factor com?n.

sen x[12cos2 xcos 2x-2cos x-4 cos xcos 2x]=0

Lo que nos da ya una soluci?n:

{ x=arc sen 0=

x=0? 360?k x=180?360?k

es

decir

x =0?

180?k

,

k

Continuamos con el resto de la ecuaci?n. En casi todos los t?rminos aparece el cos x, como nuestro objetivo sigue siendo factorizar, intentamos buscarlo en el resto de t?rminos.

12 cos2 xcos 2x-2 cos x-4cos xcos 2x =0

En casi todos los t?rminos aparece el cos x, intentamos buscarlo en el resto de t?rminos. Sustituimos el tercer t?rmino por la f?rmula del coseno del ?ngulo doble:

cos 2x=cos2 x -sen2 x=1-sen2 x-sen2 x=1-2 sen2 x [Ec 1]

En la ecuaci?n:

12 cos2 x1-2 sen2 x-2cos x-4 cos xcos 2x=0 Sumamos los 1 y podremos sacar factor com?n el 2:

2 cos2 x2-2 sen2 x-2cos x-4 cos xcos 2x =0

2[cos2 x1-sen2 x-cos x -2cos xcos 2x ]=0

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