1 Compléments de trigonométrie

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1 Compl?ments de trigonom?trie

exercices

FORMULES D'ADDITION

cosa b cosa cos b sin a sin b cosa b cosa cos b sin a sin b sin a b sin a cos b cosa sin b sin a b sin a cos b cosa sin b

cos2a cos2 a sin2 a 2 cos2 a 1 1 2sin2 a sin 2a 2sin a cosa

FORMULES DE LIN?ARISATION

cos2 a sin2 a

1 1 cos2a

2

1 1 cos2a

2

contr?les

corrig?s

 Exercice 1

PLQ

Donner les expressions suivantes en fonction de sin x, sin y, cos x et cos y.

A sin x y sin x y

B cosx y cosx y

C sinx y u sin x y

D cosx y u cosx y

Exercice 2

PLQ

1. Calculer cos 3x en fonction de cos x, en d?duire la r?solution dans >0 ; 2 @

de l'?quation 8cos3 x ? 6 cos x ? 1 0 .

2. R?soudre dans >0 ; 2 @ les ?quations et in?quations suivantes :

a) 4sin x cos x 1 0 .

b) 2 cos2 x 1 sin 3x .

c) sin 2x cos x ? sin x cos2x 3 . 2

d) cos3x cos x sin 3x sin x t 2 . 2

Exercice 3

PLQ

Sachant que

, d?terminer les valeurs exactes de sin et cos .

3 4 12

12

12

Exercice 4

x est un r?el v?rifiant x >0 ; 2 @ .

PLQ

1. On donne cos x 2 3 , calculer cos2x , en d?duire x. 2

2. On donne cos x 5 1 , en d?duire la valeur de cos2x puis celle de 4

cos 4x . Comparer les r?sultats obtenus. Peut-on alors d?terminer x ?

6

1. Compl?ments de trigonom?trie

r?sum?s de cours

Exercice 5

Dans chacun des cas suivants, lin?ariser fi (x) :

1. f1(x) 3sin2 2x .

2. f2 (x) 2 cos4x .

3. f3(x)

sin2

? ??

x

3

? ??

.

4. f4 (x) sin2x cos2x .

PLQ

Exercice 6

PLQ

On consid?re la fonction f d?finie sur >0 ; 2 @ par : f(x) cos x 3 sin x .

1. Montrer que pour tout x >0 ; 2 @ , f(x)

2

cos ???

x

3

? ??

.

2. Calculer fc(x) . D?terminer le signe de la d?riv?e, en d?duire les variations

de la fonction f.

3. Dresser le tableau de variation de f.

4. D?terminer une ?quation de la tangente T ? la courbe au point d'abscisse S.

5. Tracer la courbe C repr?sentative de f et la tangente T dans un rep?re orthogonal.

Exercice 7 A

PLQ

exercices

contr?les

corrig?s

O a

C

B

H

Un triangle ABC isoc?le, de sommet principal A est inscrit dans un cercle de

centre O et de rayon 1. H est le pied de la hauteur issue de A. Soit a la mesure en radians de l'angle Hn OB ; on suppose 0 d a d .

2

1. Compl?ments de trigonom?trie

7

1. a) Exprimer BC et AH en fonction de a.

b) En d?duire, en fonction de a, l'aire $du triangle ABC.

2.

On consid?re la fonction f d?finie sur

???0 ;

? 2 ??

par :

f (a )

sin a 1 cosa .

Calculer la d?riv?e fc de la fonction f.

3. a) V?rifier que fc(a) 2 cos2 a cosa 1 cos2a cosa .

b)

En d?duire le signe de

f c(a )

sur l'intervalle

???0 ;

? 3 ??

puis sur

? ?? 3

;

2

? ??

.

c) ?tablir le tableau de variation de la fonction f.

4. Montrer qu'il existe une valeur de a, que l'on d?terminera, pour laquelle l'aire du triangle ABC est maximale. Pr?ciser ce maximum. Quelle est alors la nature du triangle ABC ?

8

1. Compl?ments de trigonom?trie

r?sum?s de cours

exercices

PLQSRLQWV

Exercice 1

SRLQWV

D?terminer les valeurs exactes de cos 7 et sin 7 en utilisant l'?galit?

12

12

7 . 12 4 3

Exercice 2

Simplifier les expressions suivantes : A(x) cos3x cos x sin 3x sin x .

B(x) sin 4x cos2x sin 2x cos 4x .

C(x)

sin 3x cos3x pour x sin 2x cos2x

? ?

0

;

4

? ??

.

SRLQWV

Exercice 3 Lin?ariser : f(x) 2 cos2 x ? 3sin2 x ? 4 . g(x) sin x cos x ? 5cos2 x .

SRLQWV

Exercice 4

R?soudre dans >0 ; 2 @ :

1.

2

cos2

? ??

x

? 4 ??

1 sin x .

2.

sin

? ??

x

3

? ??

cos ???

x

3

? ??

t

1 4

.

SRLQWV

Exercice 5

Soit la fonction h d?finie sur >0 ; @ par h(x) 2sin2 x 3 .

SRLQWV

1. Montrer que hc(x) 2sin 2x .

2. D?terminer sur >0 ; @ le signe de hc(x) , en d?duire les variations de h.

3. Tracer, dans un rep?re orthogonal, la courbe repr?sentative de la fonction h.

4. D?terminer une ?quation de la tangente T ? la courbe repr?sentative de h au

point A d'abscisse x . 6

contr?les

corrig?s

1. Compl?ments de trigonom?trie

9

Corrig? des exercices

Corrig? 1

On utilise les formules d'addition :

y A sin x cos y cos x sin y sin x cos y cos x sin y

A = 2 cos x sin y y B cos x cos y sin x sin y cos x cos y sin x sin y

B = 2 cos x cos y

y C sin x cos y cos x sin y sin x cos y cos x sin y On reconna?t la formule a ba b a2 b2 :

C = sin2x cos2y cos2x sin2y

y D cos x cos y sin x sin y cos x cos y sin x sin y

La m?me formule donne : D = cos2 x cos2 y sin2x sin2 y

Corrig? 2

1. On peut ?crire cos3x cos2x x cos2x cos x sin 2x sin x

On applique une seconde fois les formules du cours :

 cos3x 2 cos2 x ? 1 cos x ? 2sin x cos xsin x

cos3x 2 cos3 x ? cos x ? 2sin2 x cos x On remplace sin2x par 1 cos2x :

 cos3x 2 cos3 x ? cos x ? 2 1 ? cos2x cos x

cos3x 2 cos3 x ? cos x ? 2 cos x 2 cos3x

cos3x 4 cos3x 3cos x

En utilisant l'?galit? trouv?e ? la question pr?c?dente, l'?quation devient :

2 cos3x 1

0 soit cos3x

1 d'o? cos3x

cos .

2

3

Le cours de premi?re sur la r?solution d'?quations trigonom?triques se

traduit ici par :

3x 2k ou 3x 3

2k , k ] . 3

soit : x 2k ou x 2k , k ] .

93

93

10

1. Compl?ments de trigonom?trie

r?sum?s de cours

exercices

Les valeurs n?gatives de k ne conviennent pas car alors, les solutions

n'appartiennent pas ? l'intervalle >0 ; 2 @ .

si k = 0, x ou x ,

9

9

cette derni?re valeur n'est pas dans l'intervalle >0 ; 2 @ .

si k = 1, x = 2 7 ou x = ? 2 5 ;

93 9

93 9

si k = 2, x = 4 13 ou x = ? 4 11 ;

93 9

93 9

si k = 3, x =

2

ou x = ?

2

17 , la premi?re valeur ne convient pas.

9

9

9

Avec des valeurs plus grandes de k, les solutions ne sont plus dans >0 ; 2 @ .

S

? ?

9

,

5 9

,

7 9

,

11 9

,

13 9

,

17 9

? ? ?

2. a) On utilise la formule 2sinx cosx = sin 2x, l'?quation devient :

2sin

2x

+

1

=

0

soit

sin

2x

=

?

1 2

,

c'est-?-dire

sin

2x

=

sin

? ??

6

? ??

.

Le cours sur les ?quations trigonom?triques se traduit par :

2x

6

2k ou 2x

? ??

? 6 ??

2k , k ]

soit : x = ? k ou x = 7 + k, k ] .

12

12

Dans l'intervalle >0 ; 2 @ , l'?quation admet 4 solutions que l'on peut

d?terminer ? l'aide des quatre points images de ces solutions sur un cercle trigonom?trique :

M0

N1

N0

M1

contr?les

corrig?s

S

7 ?? 12

,

11 12

,

19 12

,

23 12

? ? ?

1. Compl?ments de trigonom?trie

11

b) L'?quation peut s'?crire :

2cos2x ? 1 = sin 3x soit cos 2x = sin 3x.

On utilise une formule sur les arcs associ?s de premi?re pour transformer

le sinus du second membre en cosinus :

cos 2x

cos

? ??

2

3x

? ??

2x

? ?? 2

3x

? ??

2k ou 2x

? ?? 2

3x

? ??

2k , k ]

5x 2k ou x 2k , k ]

2

2

x 2k ou x 2k , k ] .

10 5

2

x

; x

2 ; x

4 ; x

10

10 5

10 5

et 5 sont deux solutions confondues. 2 10

6 ; x 10 5

8 10 5

S

??10

;

2

;

9 10

;

13 10

;

17 10

? ? ?

Dans une seconde m?thode, on aurait pu transformer le cosinus du

premier membre en sinus soit :

sin

? ??

2

2x

? ??

sin 3x ce qui se traduit par :

2x 3x 2k ou 2x ? 3x

2

2

5x ? 2k ou x 2k , k ] .

2

2

2k , k ]

On retrouve les ?quations de la premi?re m?thode.

c) On reconna?t dans le premier membre le d?veloppement de sin (a ? b)

avec a = 2x et b = x.

L'in?quation devient :

sin

 3 soit sin x 3 .

2

2

12

1. Compl?ments de trigonom?trie

 ................
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