Řešení 3. série Goniometrie

[Pages:5]XVII. rocn?k

BRKOS

2010/20011

esen? 3. s?rie

Goniometrie

?loha 3.1.

To se jednou Libnka probudila a venku kr?sn padal sn?h. Vlocky j? pipomnly jej? nej-

kr?snjs? den v zivot. Stejn jako nyn? i tehdy se d?vala z okna na padaj?c? sn?h, kdyz v tom

zazvonil zvonek. Otevela a strnula. Ve dve?ch st?l ten, na kter?ho velmi casto mysl?v?. V lev?

ruce drzel kvtinu a v prav? l?stek, na kter?m byl v TEXu vys?zen matematick? p?klad. ,,Kvtina,

TEX a matematika, ide?ln? kombinace," pomyslela si a necekanou n?vstvu pozvala d?l. Kvtinu

dala do v?zy, l?stek polozila na stl. Zvdavost j? vsak nedala, a tak si p?klad rychle pecetla.

Pro

troj?heln?k

ABC

plat?

vztah

a b

=

2+

3 a ?hel pi vrcholu C je roven 60. Najdi hodnoty

zb?vaj?c?ch dvou ?hl.

Ale to uz Libnka spchala za sv?m ctitelem. Odpoledne p?jemn plynulo. Az najednou jako by nebylo o cem pov?dat. Oba tise sed? a navz?jem se d?vaj? do oc?. Po chv?li jim vsak sklouzne pohled na rty. Libnka piv?r? oci, on tak? a pak. . . Pak pomaloucku, jako by se b?li, ze nco pokaz?, se piblizuj?. Uz jen kousek. Uz jen p?r milimetr. Kdyz v tom se Libnka trochu odklon? a zasept?: ,,Ty ?hly jsou. . . ".

A mla pravdu. Zkuste je naj?t tak?.

esen?.

Nejprve

si

uk?zeme,

cemu

se

rovn?

a-b a+b

:

a a

- +

b b

=

sin() sin()

- +

sin() sin()

==

sin(

- 2

)

cos(

+ 2

)

cos(

- 2

)

sin(

+ 2

)

=

tg

- 2

tg

.

2

Z toho plyne, ze

a b a b

- +

1 1

=

tg

- 2

tg

.

2

Do

t?to

rovnosti

dosad?me

zadan?

hodnoty

a b

=

2

+

3 a = 60:

1+ 3 = tg - ? 1 .

3+3

2

3

Po vyn?soben? obou stran rovnice zjist?me, ze

-

tg

=1

2

a tedy - = 90. Jelikoz + = 180 - , je zejm?, ze = 105 a = 15.

?loha 3.2. Matj se mezit?m nudil ve vedlejs?m pokoji, usrk?val caj a se z?jmem sledoval vlocky, kter?

padaly jedna za druhou a kazd? mla jin? tvar a jinou velikost. Jedna byla obzvl?s velk? a Matj

BRKOS Team 2011

XVII. rocn?k

BRKOS

2010/20011

si vsiml, ze nen? cist b?l?, ale ze je na n? cosi napsan?ho. A jelikoz je nesm?rn zvdav?, hbit

otevel

okno

a

uz

ji

drzel

v

ruce.

Na

vlocce

st?lo:

,,Je

d?na

funkcn?

hodnota

tg x

=

, a2 -b2

a2 +b2

kde

a = ?b. Urcete funkcn? hodnotu | sin x|." Ani ho nenapadlo zkoumat, odkud se bere a proc mu

na ruce netaje, a rychle se jal esit ?lohu. Stihnete to vyesit d?v nez Matj?

esen?. esen? se ub?r? n?sleduj?c?mi kroky:

a2 + b2 cotg x = a2 - b2

1

+

cotg2

x

=

1 sin2

x

(a2 - b2)2

1

1 + (a2 + b2)2 = sin2 x

(a2 + b2)2 + (a2 - b2)2

1

(a2 + b2)2

= sin2 x

sin2 x

=

(a2

+

(a2 + b2)2 b2)2 + (a2 -

b2)2

sin2 x

=

a4

+ 2a2b2

(a2 + b2)2 + b4 + a4 - 2a2b2

+ b4

sin2

x

=

(a2 + b2)2 2(a4 + b4)

a2 + b2 | sin x| =

2(a4 + b4)

?loha 3.3. Nahoe nad Matjem sedl v okn Henry a pem?slel, zda m? poslat jest jednu vlocku s

dals?m p?kladem, aby se Matj nenudil. Kdyz ale vidl, jak ho ?loha zaujala, dals? uz nepos?lal, nebo by si j? te Matj stejn nevsiml. A tak se tedy rozhodl, ze ji vyes? s?m. Vzal si pap?r a tuzku a uz si sepisoval rovnici

(1 + tg 1)(1 + tg 2) ? ? ? (1 + tg 45) = 2n.

A co s n?? No peci urcit, pro jak? n plat?. Zvl?dnete to?

esen?.

Oznacme

1 + tg k

=

1+

sin k cos k

=

cos k + sin k cos k

=

2 sin(45 + k)

cos k

=

2 cos(45 - k)

cos k

.

D?le plat?

(1 + tg k)(1 + tg(45 - k)) =

2 cos(45 - k)

2 cos k

cos k

? cos(45 - k) = 2.

Odtud plyne (1 + tg 1)(1 + tg 2) ? ? ? (1 + tg 45) = (1 + tg 1)(1 + tg 44)(1 + tg 2)(1 + tg 43) ? ? ? (1 + tg 22)(1 + tg 23)(1 + tg 45) = 223.

Zad?n? je tedy splnno pro n = 23.

BRKOS Team 2011

XVII. rocn?k

BRKOS

2010/20011

?loha 3.4. Kdyz pestala Libnka vzpom?nat na to n?dhern? odpoledne, sla si udlat tepl? caj na za-

h?t?. Cestou si vsimla Matje, kter? byl vedle v pokoji zrovna zahloub?n do njak?ho p?kladu a ped sebou ml polozenou jakousi vlocku. Ta Libnku velmi zaujala, a tak si ji chtla prohl?dnout. Vzala ji do ruky a otocila ji. No pod?vejme, i na druh? stran je p?klad: este v R goniometrickou rovnici

sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x.

Hned se j? zatetelilo srd?cko. Rychle, a to m?m vyesen? d?v nez Matj.

esen?. Pro v?pocet pouzijeme vztah

x+y x-y

sin x + sin y = 2 sin

cos

.

2

2

Postupn prov?d?me n?sleduj?c? ?pravy:

x + 3x x - 3x

2 sin

cos

+ sin 2x = 1 + cos x + cos 2x

2

2

2 sin 2x cos(-x) + sin 2x = 1 + cos x + cos2 x - sin2 x

2 ? 2 sin x cos2 x + 2 sin x cos x - 2 cos2 x - cos x = 0

cos x(4 sin x cos x + 2 sin x - 2 cos x - 1) = 0

cos x[2 sin x(2 cos x + 1) - (2 cos x + 1)] = 0

cos x[(2 cos x + 1)(2 sin x - 1)] = 0

Proto mus? nastat jedna z n?sleduj?c?ch moznost?:

cos x = 0 x1 = 2 + k

1

2

4

cos

x

=

- 2

x2,3

=

+ 2k, + 2k

3

3

1

1

5

sin x = 2 x4,5 =

+ 2k, + 2k

6

6

Mnozinou esen? tak je

1

2

5

4

K=

+ 2k, + k, + 2k, + 2k, + 2k .

6

2

3

6

3

kZ

BRKOS Team 2011

XVII. rocn?k

BRKOS

2010/20011

?loha 3.5. Protoze bylo kr?sn b?lo, rozhodli se Kouma s oumou, ze pjdou na velkou koulovacku.

Nejd?v ze vseho si museli vyrobit spoustu koul?, aby mohla bitva zac?t. Na Koumov hrom?dce lezelo x koul?, na oumov p koul?. Kdyz vtom Kouma navrhl: ,,oumo, pojme si zahr?t imagin?rn? koulovacku. D?m ti p?klad, kdyz ho zvl?dnes, vyhrajes. Kdyz se ti to vsak nepoda?, vyhraju j?." ,,Dobe, souhlas," l?b? se n?pad oumovi. ,,Tak dokaz, ze rovnice, kde na lev? stran je cifern? soucet c?sla, kter? vznikne secten?m poctu tv?ch a m?ch koul?, a na prav? stran je cifern? soucet poctu m?ch koul?, m? alespo jedno esen?, pr?v kdyz pocet tv?ch koul? je dliteln? dev?ti." Pomozte oumovi dok?zat p?klad.

esen?. Nejprve pedpokl?dejme, ze pro pirozen? c?slo p existuje pirozen? c?slo x tak, ze

S(x + p) = S(x), kde S(x) znac? cifern? soucet c?sla x. Jelikoz c?sla n a S(n) d?vaj? stejn? zbytek pi dlen? dev?ti (plat? pro kazd? pirozen? c?slo n), d?vaj? stejn? zbytek pi dlen? dev?ti i c?sla x+p a x, jejich rozd?l p je tedy dliteln? dev?ti. Nech je obr?cen c?slo p dliteln? dev?ti, tj. p = 9k (k je pirozen? c?slo). Pak je c?slo k esen?m rovnice S(x + p) = S(x), nebo c?sla k a k + p = 10k maj? stejn? cifern? soucet.

?loha 3.6. Po tak n?dhern? a vysiluj?c? koulovacce se Kouma s oumou spokojen vraceli zpt dom.

Ale ouma byl st?le nesvj, chtl se njak Koumovi odvdcit za tak pkn? n?pad v koulovacce, a tak st?le pem?slel, co by na nj vymyslel. Pak ho to napadlo. ,,Koumo, taky pro tebe m?m ?lohu! Sice nebude tak pkn s koulema, ale uvid?s, ze se ti bude l?bit." ,,Tak sem s n?," zaradoval se Kouma, ze si tak? trosku procvic? mozek. ,,Tady m?s soustavu rovnic:

9x + y + z = 83 x + 9y + z = 99 x + y + 9z = 69,

kter? m? pi zmn jednoho c?sla na prav? stran na jin? dvojcifern? c?slo celoc?seln? esen?. Najdi toto c?slo a p?slusn? esen? soustavy." Tentokr?te zase potebuje Kouma vasi pomoc. . .

esen?. Jsou-li c?sla x, y, z esen?m dan? soustavy, je 8(y -x) = 16, 8(y -z) = 30 a 8(x-z) =

14. Posledn? dv rovnice, kter? jsme dostali odecten?m tet? rovnice od prvn?ch dvou rovnic soustavy, ukazuj?, ze x, y, z nemohou b?t cel? c?sla. Jelikoz m?me zmnit pravou stranu jen jedn? z dan?ch rovnic, mus? to b?t rovnice tet?. C?slo 69 nahrad?me zat?m nezn?m?m c?slem a. Z prvn?ch dvou rovnic plyne y = x + 2, dosazen?m do prvn? a tet? rovnice dostaneme 10x + z = 81, 2x + 9z = a - 2, odkud 88x = 731 - a = 88 ? 7 + 115 - a. M?-li b?t x cel? c?slo, mus? b?t c?slo 115 - a dliteln? c?slem 88. Jelikoz m? b?t c?slo a dvojcifern?, mus? b?t a = 27. esen?m p?slusn? soustavy je tedy x = 8, y = 10 a z je rovnz celoc?seln?, z = 1.

?loha 3.7. Vdli jste, ze lenos?nsk? n?mst? je konvexn? cty?heln?k (PUSO), kde v kazd?m rohu je

jedna dlezit? budova? A dokonce zde plat? spousta rzn?ch vlastnost?. Vzd?lenost posty(P) od ?adu(U) je stejn? jako soucet vzd?lenost? od posty k obchodu(O) a od ?adu ke skole(S). Nkde na n?mst? maj? Lenos?nst? kasnu a pro tu zase plat?, ze vzd?lenost kasny od posty je stejn?

BRKOS Team 2011

XVII. rocn?k

BRKOS

2010/20011

jako soucet vzd?lenost? od posty k obchodu a od kasny k p?mce, kterou tvo? skola spolecn s obchodem (vzd?lenost od kasny k dan? p?mce si oznacme h). D?le jest plat?, ze vzd?lenost od kasny k ?adu je stejn? jako soucet vzd?lenost? od ?adu ke skole a vzd?lenosti h. Dokazte, ze

1

1

+

1 .

h |P O| |U S|

esen?. Uvazujme cty?heln?k P U SO s pozadovan?mi vlastnostmi pro rzn? hodnoty h.

Oznacme |P O| = R, |U S| = r. Nyn? zkonstruujme troj?heln?k P U K se stranami R + r, R + h, r + h, kde K oznacuje kasnu lenos?nsk?ho n?mst?. D?le zkonstruujme kruznice k1 = (P, R), k2 = (U, r) a k3 = (K, h). Body O a S lez? po ad na kruznic?ch k1,k2 a SO je tecnou kruznice k3. Z toho plyne, ze h nab?v? maxim?ln? hodnoty tehdy, kdyz SO je spolecnou tecnou kruznic k1, k2. Ukazme tedy, ze v tomto p?pad plat?

1

1

1

=

+

,

h |P O| |U S|

z cehoz okamzit plyne dokazovan? nerovnost, nebo pi zmensov?n? vzd?lenosti h se hodnota 1 zvtsuje a velikosti stran |P O|, |U S| zst?vaj? nemnn? (tedy i hodnota

h

cel? prav? strany nerovnice). Tento fakt plat? nez?visle na tom, jak dlouh? strany cty?heln?ku P U SO zvol?me.

Oznacme M patu kolmice spustn? z bodu K na p?mku SO a N patu kolmice spustn? z bodu U na p?mku P O. Z pravo?hl?ho troj?heln?ka P U N dostaneme:

|SO| = (R + r)2 - (R - r)2 = 2 Rr.

Velikost SO d?le mzeme vyj?dit jako velikost ?secky proch?zej?c? bodem K, jez je

s SO rovnobzn?. Plat? tedy

|SO| = |SM |+|M O| = (r + h)2 - (r - h)2+ (R + h)2 - (R - h)2 = 2 rh+2 Rh.

Odtud dost?v?me Rr = Rh + rh a po vydlen? odmocninou Rrh z?sk?me poza-

dovan? vztah

1 = 1 + 1 . h rR

BRKOS Team 2011

 ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download