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Resolução do capítulo 7 - Progressão Aritmética

1

Formam-se n triângulos com palitos conforme mostram as figuras. Qual o número de palitos usados para construir n triângulos?

Resolução:

Sendo n o número de triângulos formados, podemos perceber que:

Para n = 1 temos 3 palitos.

Para n = 2 temos 5 = 3+2 palitos.

Para n = 3 temos 7 = 5+2palitos.

Daí, podemos [juntamente com o aluno] inferir que:

Para n = 4 teremos 9 = 7+2 palitos.

Para n = 5 teremos 11 = 9+2 palitos.

Ou seja, a quando aumentamos em uma unidade o número de triângulos, temos que somar dois palitos. Portanto, podemos imaginar neste exemplo como sendo uma P.A. de primeiro termo sendo 3 e de razão sendo 2. Agora basta expressarmos a fórmula do n-ésimo termo, que será justamente a quantidade de palitos usados para formar n triângulos.

an = a1+(n-1)r

an = 3+(n-1)2 = 3+2n-2 = 2n+1

Resposta: 2n+1

OBS: Indico para o tutor do 0800 que após encontrar a expressão, verifique com o aluno que ela é válida para n = 1, n = 2. Assim temos mais garantias de que houve o entendimento da utilidade da fórmula além de esclarecer quem representa o que dentro da expressão.

2

Os ângulos internos de um pentágono convexo estão em progressão aritmética. Determine o ângulo mediano.

Resolução:

Temos uma progressão aritmética de 5 termos, em que se soubermos os seus respectivos valores, resolvemos o problema. Mas, através da geometria, sabemos calcular a soma dos ângulos internos de um pentágono:

S = (n-2)180º

S = (5-2)180º = 3x180º = 540º

A partir de agora, temos uma P.A. cuja soma dos termos é 540º e que possui 5 termos. Utilizando a fórmula da Soma de n termos de uma P.A. temos:

Sn = [(a1+an)n]/2 (Substituindo os respectivos valores)

540º = [(a1+a5)5]/2 (Passando o 5 para o primeiro membro dividindo)

108º = (a1+a5)/2

Como o termo mediano é a média dos termos equidistantes dos extremos, já temos o que queríamos.

Resposta: O termo mediano é 108º.

3

(Onde estiver escrito r(a) leia "raíz quadrada de a".) Se 3-x,-x,r(9-x),... é uma progressão aritmética, determine x e calcule o quinto termo.

Resolução:

Vamos representar a razão desta progressão aritmética pela letra R.

Se (3-x,-x,r(9-x),...) é uma PA então sabemos que:

-x-(3-x) = R e [r(9-x)]-(-x) = R, daí...

[r(9-x)]-(-x) = -x-(3-x)

[r(9-x)]+x = -x-3+x

r(9-x) = -x-3 (Elevando ambos membros ao quadrado)

9-x = x²+6x+9

x²+7x = 0

x(x+7) = 0

x = 0 ou x = -7

Mas, substituindo 0 (zero) na PA, ela fica descaracterizada, portanto é válida a outra solução, daí...

x = -7

Então a PA fica: (10,7,4,...). Onde podemos facilmente perceber que a razão é -3 e que o quinto termo é -2.

Resposta: O valor de x é -7 e o quinto termo é -2.

4

Calcule a soma dos termos da progressão aritmética 2,5,8,11,... desde o 25º até o 41º termo, inclusive.

Resolução;

Primeiramente percebemos que é uma PA de primeiro termo a1 = 2 e de razão r = 3.

Para calcular a soma, precisamos do 25º termo e do 41º termo, vamos então calculá-los primeiramente.

a25 = a1+24r

a25 = 2+24x3

a25 = 2+72 = 74

a41 = a1+40r

a41 = 2+40x3

a41 = 2+120 = 122

Agora estamos aptos para calcular a soma, lembrando que será a soma de (41-25)+1 = 17 termos.

S = [(a25+a41)x17]/2

S = [(74+122)x17]/2

S = [(196)x17]/2

S = [3332]/2

S = 1666

Resposta: A soma vale 1666.

OBS: É comum que o aluno tenha dificuldade em compreender o porquê de estarmos utilizando o n = 17, mas normalmente esta dificuldade é superada quando prestamos atenção em explicar que o n da fórmula da soma é a quantidade de termos que estamos somando, que neste caso específico não é equivalente à quantidade de termos da PA. E, se houver falta de compreensão do porquê desta quantidade ser 17 (ou seja, o aluno não entender a expressão (41-25)+1, dê exemplos menores, por exemplo se fossem 5 termos e quiséssemos somar do terceiro até o 5. Se fizermos a diferença 5-3 = 2, temos supostamente 2 termos para somar, mas na realidade temos um a mais, por isso somamos o 1.

5

Calcule a soma de todos os inteiros que divididos por 11 dão resto 7 e estão compreendidos entre 200 e 400.

Resolução:

O menor inteiro maior que 200 que deixa resto 7 na divisão por 11 é 205 (podemos descobrir isso por tentativa e erro mesmo, não tem problema). O maior inteiro menor que 400 que deixa resto 7 na divisão por 11 é o 392.

Como, necessariamente depois de 205, o próximo inteiro que deixa resto 7 na divisão por 11 é justamente 205+11 = 216, e assim por diante (os inteiros vão de 11 em 11), podemos imaginar a seguinte PA:

(205,216,...,392)

Onde seu primeiro termo a1 = 205 e sua razão r = 11. Para calcularmos a soma dos termos de 205 até 392, precisamos saber quantos termos temos, ou seja, encontrar o índice do termo an = 392. Para tanto podemos utilizar a fórmula do termo geral da PA.

an = a1+(n-1)r

392 = 205+(n-1)11

392 = 205+11n-11

392+11-205 = 11n

198 = 11n

18 = n (ou seja, do 205 até o 392 temos 18 termos)

Agora estamos aptos para calcular a soma dos termos.

Sn = [(a1+an)xn]/2

S18 = [(205+392)x18]/2

S18 = [597x18]/2

S18 = [10746]/2

S18 = 5373

Resposta: A soma de todos os inteiros, nestas condições, é: 5373

6

Um bem, cujo valor hoje é de R$ 8 000,00, desvalorizou-se de tal forma que seu valor daqui a 4 anos será de R$ 2 000,00. Supondo constante a desvalorização anual, qual será o valor do bem daqui a 3 anos?

Resolução:

Podemos pensar neste problema como uma PA, onde cada termo representa o valor do bem em um respectivo ano. Por exemplo o valor do bem no ano inicial é representado pelo primeiro termo, o valor do bem após passar o primeiro ano é representado pelo segundo termo, o valor do bem após passar o segundo ano é o terceiro termo, o valor do bem após passar o terceiro ano é o QUARTO TERMO, e assim por diante. Então podemos dizer que;

a1 = 8000 e a5 = 2000

Queremos descobrir quanto vale a3. Porém, para descobrirmos isso, precisamos saber quanto vale a razão. Vamos encontrar a razão através da fórmula do termo geral da PA.

a5 = a1+4r (onde r é a razão)

2000 = 8000 + 4r

2000 - 8000 = 4r

-6000 = 4r

r = -1500

Ou seja, anualmente o valor do bem vai decrescendo (ênfase na razão negativa) exatamente 1500 reais. Portanto, podemos montar a PA: (8000,6500,5000,3500,2000), em que o QUARTO TERMO é 3500. Como havíamos combinado no início, o quarto termo corresponde ao valor que o bem terá daqui a três anos.

Resposta: Daqui a 3 anos o valor do bem será R$ 3 500,00.

OBS: Se for possível, é bom que aproveitemos para observar bem que o fato da razão ser negativa faz com que o valor dos termos vá caindo conforme "andamos" na PA no sentido da esquerda para a direita.

7

Determine o primeiro termo e a razão da progressão aritmética na qual a soma dos n primeiros termos é, para todo n:

a)Sn = 2n²+n

Resolução:

Para n = 1 temos que o primeiro termo vale:

S1 = (2x1²)+1 = 2+1 = 3

Para n = 2 temos que a soma do primeiro com o segundo termo vale:

S2 = (2x2²)+2 = (2x4)+2 = 8+2 = 10

Então, supondo que isto seja uma P.A. necessariamente o primeiro termo é 3 e o segundo termo é 10-3 = 7. Portanto a razão vale 4. Daí, a soma dos termos é:

Sn = [(a1+an)xn]/2

Sn = [(3+an)xn]/2 [como an = 3 + (n-1)x4]

Sn = [(3+3+(n-1)4)xn]/2

Sn = [(4n+2)xn]/2

Sn = 2n²+n

Como tudo confere...

Resposta: O primeiro termo é 3 e a razão é 4.

b)Sn = n²+n+1

Resolução:

Para n = 1 temos que o primeiro termo vale:

S1= 1²+1+1 = 3

Para n = 2, a soma do primeiro termo com o segundo termo vale:

S2 = 2²+2+1 = 4+3 = 7

Então, supondo que isto seja uma P.A. necessariamente o primeiro termo é 3 e o segundo termo é 4 = 7-3. Portanto a sua razão vale 1. Daí a soma dos termos é:

Sn = [(a1+an)xn]/2

Sn = [(3+an)xn]/2

Sn = [(3+3+(n-1))xn]/2

Sn = [(5+n)xn]/2

Sn = (n²+5n)/2

Porém, por exemplo, para n = 4 a fórmula cedida no enunciado dá Sn = 21 e a fórmula encontrada na resolução dá Sn = 12. Portanto, necessariamente as fórmulas não são equivalentes.

Resposta: Não existe tal P.A.

8

No turno do campeonato brasileiro de futebol que é disputado por 22 clubes, quaisquer dois times jogam entre si uma única vez. Quantos jogos há?

Resolução:

Primeira maneira: Usando P.A.

Se tivermos 1 time, não é possível haver partidas.

Se tivermos 2 times, 1 partida é possível.

Se tivermos 3 times, 3 partidas são possíveis.

Se tivermos 4 times, 6 partidas são possíveis.

Se tivermos 5 times, 10 partidas serão possíveis...

Ou seja, ao adicionarmos um time ele adiciona o número de times anterior ao número de partidas. Fica melhor explicado no esquema abaixo:

times & partida

1 & 0

2 & 1 = 0+1

3 & 3 = (0+1)+2

4 & 6 = ((0+1)+2)+3

5 & 10 = 6+4 = (((0+1)+2)+3)+4

6 & 15 = ((((0+1)+2)+3)+4)+5

7 & 21 = 15+6 = (((((0+1)+2)+3)+4)+5)+6

Notemos que a quantidade de partidas é quase uma PA, só não é pois a razão desta sequência aumenta de 1 em 1. Mas, como podemos ver, esta sequência é justamente o valor da soma dos termos de uma PA em cada quantidade de termos. Notemos também que a soma pára sempre no termo anterior da quantidade de times que queremos calcular. Portanto, para calcular a soma no caso de 22 times paramos no 21.

1+2+3+...+21 = Sn = [(1+21)x21]/2 = 231

Segunda maneira: Usando geometria.

Podemos pensar em cada time como um ponto e cada partida como um segmento que liga estes dois pontos. É claro que com dois times temos apenas um segmento possível, ou seja, uma partida possível. Com 22 times, podemos pensar em 22 pontos, onde cada segmento possível de se formar é uma partida.

Oras, temos então um polígono de 22 lados onde todos os seus lados e suas diagonais vão representar uma partida. Quantas diagonais tem um polígono de 22 lados?

D = [(n-3)xn]/2 = [(22-3)x22]/2 = 19x11 = 209

Mas, 209 são somente as diagonais, temos que somar os lados que são 22. Daí temos 209+22 = 231, que será a quantidade de segmentos possíveis ou no caso, a quantidade de partidas.

Terceira maneira: Usando combinatória.

Podemos pensar que para que ocorra uma partida devemos escolher 2 times dentre 22, caso em que a ordem da escolha não importa. Temos então uma combinação simples de 22 elementos tomados de 2 em 2.

C(22,2) = (22!)/[(22-2)!x2!] = (22!)/[20!x2!] = (22x21)/2 = 462/2 = 231

Resposta: Há 231 jogos.

9

Uma bobina de papel tem raio interno 5cm, raio externo 10cm e a espessura do papel é 0,01cm. Qual é o comprimento da bobina desenrolada?

OBS: Esta questão não é tão simples para o aluno compreender, principalmente à distância. Daí, temos que dar bastante ênfase ao desenvolvimento da questão.

Resolução:

Vamos analisar a situação. Temos uma bobina em que o papel está enrolado, começando com o raio de 5cm. Na medida que enrolamos o papel o raio vai aumentando de 0,01cm em 0,01cm até chegar em 10cm de raio. Ou seja, podemos pensar em uma PA onde o primeiro termo é a1 = 5, o último termo é an = 10 e a razão é r = 0,01 [tudo na unidade de centímetros].

O enunciado nos pergunta qual é o comprimento da bobina desenrolada. Temos que concordar que este comprimento é aproximadamente o comprimento de cada volta que a bobina possui somado, ou seja, é cada comprimento de circunferência cujo raio é um dos termos da PA, somado. Podemos então escrever:

Ct = C1+C2+C3+...+Cn

Onde Ct é o comprimento total que queremos calcular.

C1 é o comprimento da circunferência cujo raio é o primeiro termo da PA.

C2 é o comprimento da circunferência cujo raio é o segundo termo da PA.

Cn é o comprimento da circunferência cujo raio é o último termo da PA.

Ct = 2x(pi)x5 + 2x(pi)xC2 + ... + 2x(pi)10

Ct = 2x(pi)x[5 + C2 + C3 + ... + 10]

Mas, dentro dos colchetes temos a soma dos termos da nossa PA. Portanto basta calculá-la, só que para isso precisamos primeiramente saber o número n de termos, para resolver este problema vamos utilizar a fórmula do termo geral da PA, aplicada no último termo.

an = a1+(n-1)xr

10 = 5+(n-1)x(0,01)

10 = 5+(0,01)n-(0,01)

10 = (0,01)n+(4,99)

10-4,99 = (0,01)n

5,01 = (0,01)n

n = 501

Sn = [(a1+an)xn]/2

S501 = [(5+10)x501]/2

S501 = [15x501]/2

S501 = 7515/2 = 3757,5

Ct = 2x(pi)x(3757,5) [Fazendo pi = 3,14(lembre-se que é uma aproximação!)]

Ct = 2x(3,14)x(3757,5) = 23597,1cm = 235,971m

Resposta: Aproximadamente 236m.

10

Qual é o número máximo de regiões em que n retas podem dividir o plano?

OBS: Nessa questão é importante darmos ênfase à busca por alguma regularidade na sequência encontrada.

Resolução:

Seja n o número de retas.

Se n = 0 temos apenas 1 região no plano.

Se n = 1 o plano necessariamente fica dividido em duas partes.

Se n = 2, no máximo o plano fica dividido em 4 partes

Se n = 3, no máximo o plano fica dividido em 7 partes.

Se n = 4, no máximo o plano fica dividido em 11 partes.

Com isso, podemos notar algumas regularidades na sequência: 2,4,7,11,..

1 = 0+1

2 = 1+1

4 = 2+2 = (1+1)+2

7 = 3+4 = [(1+1)+2]+3

11 = 4+7 = {[(1+1)+2]+3}+4

.

.

.

1+1+2+3+4+5+...+n = 1 + Sn [onde Sn é a soma dos termos da PA: (1,2,3,4,5,...,n).]

1+Sn = 1+[(1+n)xn]/2 = 1+[n²+n]/2 = (n²+n+2)/2

Daí, quando o número de retas for n, no máximo poderemos dividir o plano em (n²+n+2)/2

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