Ejercicios resueltos - Capítulo 2 - INAOE

[Pages:2]Geometr?a Plana y Trigonometr?a (Baldor) Septiembre ? Diciembre 2008

Dr. G. Urcid INAOE 2/1

?ngulos

Cap?tulo 2. Ejercicios Resueltos (pp. 29 ? 31)

(1) Expresar los siguientes ?ngulos en el sistema sexagesimal: a) 3.14 rad y b) 9.42 rad. Recu?rdese que la relaci?n entre medidas angulares expresadas en grados sexagesimales S y radianes R est? dada por (No. 28, p?g. 24)

S : 360? = R : 2

de donde

S

=

R

180?

.

Considerando que 3.14 es una aproximaci?n a

y empleando la ecuaci?n anterior, se obtiene

a)

S

=

3.14

180?

=

180?

;

b)

S

=

9.42

180?

=

540?

(3) Los ?ngulos AOC y COB est?n en la relaci?n 2 : 3. Hallarlos.

C

Por hip?tesis, 3AOC = 2COB y por ser

?ngulos adyacentes COB = 2R - AOC

3AOC = 2(2R - AOC) 5AOC = 4R

Consecuentemente,

A

B

AOC

=

4R 5

=

360? 5

=

72?

O

COB = 180? - 72? = 108?

(5) Hallar los complementos de los siguientes ?ngulos: a) 18?, b) 36? 52' y c) 48? 39' 15". T?mese en cuenta que en el sistema sexagesimal 1? (grado) tiene 60' (minutos) y un minuto tiene 60" (segundos). El complemento de un ?ngulo AOB est? dado por R - AOB de donde

a) 90? -18? = 72?

b) 89?60 '- 36?52 ' = 53?8'

c) 89?59 '60 ''- 48?39 '15'' = 41?20 ' 45 ''

B

(7) Si el ?ngulo AOB es recto y los ?ngulos AOC y BOC est?n en la relaci?n 4:5, ?cu?nto vale cada ?ngulo? Por hip?tesis, AOB = R y 5AOC = 4BOC consecuentemente AOC y BOC son complementarios. As?, BOC = R - AOC de donde

5AOC = 4(R - AOC) 9AOC = 4R y

O

AOC

=

4R 9

=

360? 9

=

40?

;

BOC = 90? - 40? = 50?

C A

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?ngulos

Cap?tulo 2. Ejercicios Resueltos (pp. 29 ? 31)

(9) Si el ?ngulo BOC es del doble del ?ngulo AOB, hallar los ?ngulos AOB, COD, BOC y AOD.

D

A

Los ?ngulos dados son adyacentes al segmento AC

de modo que

Ox

BOC + AOB = 2x + x = 3x = 2R

x

=

2R 3

=

60?

2x

BOC = 2x = 120?, COD = 60?, AOD = 120?

C

B

Los ?ltimos dos valores son consecuencia de que

los ?ngulos COD y AOD son opuestos por el v?rtice

a los ?ngulos AOB y BOC respectivamente.

(11) Hallar el ?ngulo que es igual a su complemento. Sea x el ?ngulo dado, entonces x debe

cumplir la condici?n (n?tese que este tipo de problema da lugar a una ecuaci?n algebraica de primer grado donde x es la inc?gnita)

x = R-x

2x = R

x

=

R 2

=

45?

(13) Hallar el ?ngulo que es igual a la mitad de su complemento. Sea x el ?ngulo dado, entonces

x debe satisfacer la ecuaci?n

x

=

1 2

(R

-

x)

3x = R

x

=

R 3

=

30?

(15) Hallar el ?ngulo que es igual a su suplemento. En este caso, el ?ngulo dado x, debe cumplir

con la siguiente expresi?n (empleando la definici?n del suplementario de x)

x = 2R - x 2x = 2R x = R = 90?

(17) Hallar el ?ngulo que es igual al doble de su sumplemento. Si x es el ?ngulo dado, entonces x

debe cumplir la relaci?n

x = 2(2R - x)

3x = 4R

x

=

4R 3

=

120?

(19) Dos ?ngulos est?n en la relaci?n 3:4 y su suma vale 70?. Hallarlos. Sean x e y los ?ngulos dados. Por hip?tesis, x : y = 3 : 4 4x = 3y adem?s, x + y = 70? y = 70? - x

substituyendo esta ?ltima expresi?n en la relaci?n dada, se obtiene

4x = 3y = 3(70? - x)

4x + 3x = 210?

x

=

210? 7

=

30?

y = 70? - 30? = 40?

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