CÆlculo de VÆrias VariÆveis

C?lculo de V?rias Vari?veis

Ant?nio de A. e Silva & Marivaldo P. Matos

Pref?cio

Este texto ? produto da experi?ncia dos autores quando ministraram, por diversas vezes, disciplinas envolvendo c?lculo diferencial e integral para os cursos de Ci?ncias Exatas e Engenharias da UFPB e de Licenciatura em Matem?tica a Dist?ncia da UFPBVirtual.

O principal objetivo deste texto ? fazer com que os alunos compreendam com clareza os conceitos envolvendo fun??es de v?rias vari?veis, de um ponto de vista geom?trico e alg?brico, e desenvolvam a capacidade de modelar problemas matem?ticos e provas envolvendo conceitos topol?gicos, bem como as no??es intuitivas de limites, continuidade, derivadas parciais, diferenciabilidade, comportamento de fun??es, integrais de linha e de superf?cie.

O p?blico a que o livro se destina s?o os estudantes com conhecimento pr?vio de c?lculo diferencial e integral, equivalente a um per?odo letivo, familiarizados com as ideias de derivada e integral, em seus aspectos fundamentais, e com uma no??o razo?vel sobre simbologia e l?gica matem?tica, de modo a compreender etapas que v?o da formula??o ? demonstra??o de resultados matem?ticos pouco so...sticados. Conhecimentos b?sicos sobre c?lculo vetorial, retas, planos, c?nicas e qu?dricas s?o recomendados, mas n?o indispens?veis.

? nossa expectativa que este texto assuma o carater de espinha dorsal de uma experi?ncia permanentemente renov?vel, sendo, portanto, bem vindas as cr?ticas e/ou sugest?es apresentadas por todos - professores ou alunos que dele ...zerem uso.

Os termos ou express?es que consideramos pouco comuns foram grafados em it?lico e indicam que est?o sendo de...nidos naquele ponto do texto, ou que ser?o formalizados nas se??es ou cap?tulos posteriores. Como parte do processo de treinamento e para desenvolver a capacidade do estudante de pensar por si mesmo em termos das novas de...ni??es, inclu?mos no ...nal de cada se??o uma extensa lista de exerc?cios.

O livro ? composto de uma parte sobre c?lculo diferencial e outra sobre c?lculo integral, onde apresentamos os conceitos e m?todos fundamentais, com vistas ?s aplica??es. Por se tratar de um texto de c?lculo, julgamos conveniente omitir a demonstra??o de alguns resultados, principalmente na parte de c?lculo integral, mas levando em considera??o dois aspectos: primeiro, a formula??o matem?tica adequada e, depois, a exempli...ca??o de como utiliz?-los.

No cap?tulo 1 apresentaremos algumas de...ni??es e resultados sobre conceitos topol?gicos, fun??es reais de duas ou mais vari?veis reais, limites e continuidade, que ser?o necess?rias para o entendimento dos pr?ximas cap?tulos.

No cap?tulo 2 apresentaremos as de...ni??es de derivadas parciais, diferenciabilidade, Regra da Cadeia, derivada direcional e gradiente que ser?o necess?rias para as aplica??es.

No cap?tulo 3 apresentaremos os problemas de maximaza??o e minimiza??o, o M?todo dos Multiplicadores de Lagrange, deriva??o impl?cita e transforma??es.

No cap?tulo 4 apresentaremos algumas de...ni??es e resultados sobre integrais m?ltiplas e mudan?a de coordenadas.

No cap?tulo 5 apresentaremos algumas de...ni??es e resultados sobre campos de vetores, fun??es vetoriais, integrais de linha e independ?ncia do caminho.

Finalmente, no cap?tulo 6 apresentaremos os conceitos de superf?cies parametrizadas e integrais de superf?cie, al?m dos teoremas cl?ssicos do c?lculo integral: Teorema de Green, Teorema da Diverg?ncia de Gauss e o Teorema de Stokes.

Agradecimentos

Os autores reconhecem e agradecem a gentileza dos colegas Ailton Ribeiro de Assis, Inaldo Barbosa de Albuquerque, Jo?o Bosco Batista Lacerda, Jo?o Bosco Nogueira, Jorge Costa Duarte Filho, Jos? Gomes de Assis e Shirley Santos e Souza, todos do Departamento de Matem?tica do CCEN UFPB, pelas sugest?es incorporadas ao texto e, sobretudo, pelo encorajamento para realizar esta obra. Agradecemos especialmente a Luizalba Santos e Souza pela leitura cuidadosa e revis?o lingu?stica da primeira vers?o. Aos nossos in?meros ex-alunos, que de alguma forma contribu?ram para o sucesso deste trabalho, registramos nossos sinceros agradecimentos.

Ant?nio de A. e Silva Marivaldo P. Matos

Sum?rio

1. Campos Escalares

1

1.1 Conceitos Topol?gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Posi??o Relativa Ponto Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Exerc?cios e Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Fun??es Reais de V?rias Vari?veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Curvas e Superf?cies de N?vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Exerc?cios e Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Motiva??o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2 Conceito e Regras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.3 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Exerc?cios e Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Respostas & Sugest?es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Se??o 1.1 - conceitos topol?gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Se??o 1.2 - fun??es de v?rias vari?veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Se??o 1.3 - limite e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2. Diferenciabilidade

33

2.1 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.1 Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.2 Exemplos Cl?ssicos I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Exerc?cios e Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Campos Diferenci?veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.1 A Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2.2 A Derivada como Aplica??o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.3 Exemplos Cl?ssicos II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Exerc?cios e Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Exerc?cios e Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4 Derivada Direcional e Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.4.1 Varia??o Estimada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.4.2 Reta Tangente e Reta Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Exerc?cios e Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Respostas & Sugest?es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Se??o 2.1 - derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Se??o 2.2 - campos diferenci?veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

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