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Universidad de Sonora Departamento de Matem?ticas

Tesis

3-Variedades, un aspecto en su clasificaci?n: Los Espacios Lente L(p,q)

Que para obtener el t?tulo de

Licenciado en Matem?ticas

Presenta

Rafael Roberto Ramos Figueroa

EL SABER DE MIS HIJOS HALA Mi GRANDEZA BIBLIOTECA DEPARTAMENTO Dr

MATF.MATT.Ae

Hermosillo, Sonora, 17 de Mayo de 1995

ontenido

Introducci?n

CAPITULO I Aspectos Topol?gicos y Algebraicos.

Espacios Topol?gicos

5

Aplicaciones Continuas

13

Topolog?a Inducida

19

Topolog?a Producto

25.

Topolog?a Cociente

28

Preliminares Algebraicos

41

Espacios Compactos (M?s sobre Topolog?a)

47

Espacios de Hausdorff

51

Espacios Conexos

56

Caminos y Espacios arco-conexos

60

CAPITULO II n-variedades y la clasificaci?n de las 2-variedades.

2.1. n-variedades

67

2.2. Variedades orientables, no orientables

y compactas

68

2.3. Enunciado del Teorema de Clasificaci?n para

Superficies Compactas

77

2.4. Clasificaci?n de 2-variedades con b?rde conexas y

compactas

79

CAPITULO III Homotop?a y el Grupo Fundamental Espacios Cubriente.

1

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3.1. Homotop?as de Aplicaciones Continuas

81

3.2. Multiplicaci?n de Caminos

87

3.3. Construcci?n del Grupo Fundamental

93

3.4. Espacios Cubriente

96

CAPITULO IV Una definici?n por construcci?n de los espacios L(p,q).

4.1. S 3 como espacio lente

105

4.2. Una definici?n por construcci?n de L(p,q)

106

CAPITULO V Los Espacios Lente L(p,q).

5.1. Definici?n y construcci?n de L(p,q)

112

5.2. Representaci?n Toroidal de 83

115

5.3. Representaci?n Toroidal inducida de L(p,q)

119

6.1. El Espacio Fibra de Seifert

125

Conclusiones

127

Bibliograf?a

128

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2

7r

INTRODUCCION

Quiz? el motivo m?s importante para el estudio de los espacios lente L(p,q) ha sido el problema de clasificaci?n para las 3-varied ades compactas. Aunque los espacios lente fueron introduci dos primeramente por H. Tietze (1908) en su trabajo sobre los invariantes topol?gicos de variedades de dimensi?n m?s alta, un estudio detallado de tales espacios no apareci? hasta los trabajos de Threlfall y Seifert (1930, 1932). Aqu? los autores definieron los grupos esf?ricos de rotaci?n G(p,q) sobre la 3-esfera S 3 . El problema de homeomorfismo para los espacios lente, el cual fue originalmente sugerido por Tietze (1908), fue entonces parcialmente contestado por Threlfall y Seifert (1932) cuando ellos obtuvieron una condici?n suficiente para que los espacios L(p,q) y L(p,q') fueran homeomorfos junto con una condici?n d?bil necesaria. Fue demostrado despu?s que la condici?n suficiente es tambi?n necesaria (Reidemeister 1935).

El objetivo de este trabajo es dar dos caracterizaciones para los espacios lente y probar la equivalencia entre estas. Hemos hecho un esfuerzo para que este trabajo sea autosuficiente en el sentido de incluir las herramientas necesarias de topolog?a que utilizamos para nuestro prop?sito. As?, el Cap?tulo I comienza con la definici?n y las propiedades de los espacios topol?gicos, aplicaciones continuas, topolog?a inducida, topolog?a producto y topolog?a cociente. Tambi?n en el Cap?tulo I se incluyen conceptos algebraicos, como los conceptos de acci?n de un grupo sobre un conjunto, resultados elementales de Teor?a de Grupos, los conceptos de G-conjunto y G-espacio. Otros conceptos topol?gicos tales como espacios de Hausdorff,-espacios conexos y arco-conexos tambi?n se incluyen en este cap?tulo. En el Cap?tulo II definimos el concepto de n-variedad poniendo particular atenci?n a las 2-variedades y al Teorema de Clasificaci?n de Superficies. El. Cap?tulo III trata los conceptos de homotop?as de aplicaciones continuas hasta llegar a definir el cooncepto de Grupo fundamental

3

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