02- Circuitos Lógicos - Algebra de Boole - Síntesis de ...

UTN FRSF ? TECNICATURA SUPERIOR EN MECATRONICA ? SISTEMAS DIGITALES CAPITULO II ? CIRCUITOS LOGICOS ? ALGEBRA DE BOOLE ? SINTESIS DE FUNCIONES LOGICAS

1. FUNCIONES LOGICAS

1.1. Funci?n L?gica:

Dadas n variables l?gicas (X1, X2, ...., Xn) cuyos valores pueden tomar 0 o 1, es posible definir una funci?n l?gica f(X1, X2, ...., Xn) que tomar? un valor 0 o 1 seg?n los valores que tomen cada una de las variables y las operaciones que se realicen.

1.2. Tablas de la Verdad: Dado que una variable l?gica solo puede tomar dos valores (0 y 1), las funciones l?gicas tambi?n est?n acotadas a estos valores. Es posible representar a una funci?n l?gica por medio de lo que se denomina tabla de verdad. Una tabla de verdad contiene todas las combinaciones posibles de las variables l?gicas, y el valor que la funci?n toma para cada caso. Por lo tanto la tabla contiene toda la informaci?n relativa a la funci?n l?gica. Por ejemplo, la tabla de verdad de una funci?n l?gica de dos variables Y=f(A,B) se representa de la siguiente manera:

ENTRADAS

A

B

0

0

0

1

1

0

1

1

SALIDA Y 0 1 1 0

2. COMPUERTAS LOGICAS Las compuertas l?gicas son circuitos electr?nicos que operan con niveles definidos de tensi?n, materializando las funciones l?gicas. Estos circuitos se construyen en diferentes tecnolog?as, utilizando resistencias el?ctricas, diodos y transistores. Tambi?n es posible materializar a las funciones l?gicas mediante contactos de rel?s (l?gica de contactos).

2.1. Compuerta l?gica OR: La compuerta OR define la operaci?n suma l?gica, la que se representa por el signo +. Por ejemplo, la funci?n suma l?gica de dos variables se escribe:

Y = A + B

En esta compuerta, la salida siempre ser? un 1 si cualquier variable de entrada tiene el valor 1. La tabla de verdad de la compuerta OR es entonces:

A

B

Y

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

El s?mbolo para representar a una compuerta OR de dos entradas es:

Y el s?mil de una compuerta OR represent?ndola por l?gica de contactos es;

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La l?mpara se encender? si al menos un interruptor (o ambos a la vez) se encuentra cerrado (es decir, en 1).

2.2. Compuerta AND: Esta compuerta define la operaci?n producto l?gico, y se representa por un punto (a veces directamente se omite el punto). Por ejemplo, la funci?n producto l?gico entre dos variables se puede representar con cualquiera de las siguientes formas:

Y = A . B

Y = A B

En la compuerta AND, la salida ser? 1 s?lo si todas sus entradas se encuentran en 1. La tabla de verdad de esta compuerta es:

A

B

Y

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

El s?mbolo para representar a una compuerta AND de dos entradas es:

Y el s?mil de una compuerta AND represent?ndola por l?gica de contactos es:

La l?mpara se encender? s?lo si los dos interruptores (ambos a la vez) se encuentren cerrados (es decir, en 1).

2.3. Compuerta l?gica NOT: La compuerta NOT define la negaci?n o inversi?n. A diferencia de las compuertas anteriores que pueden tener dos o m?s entradas, la compuerta NOT s?lo posee una entrada. Si la entrada se encuentra en 1 entonces la salida ser? 0, y viceversa. La operaci?n NOT se representa mediante una raya horizontal sobre la variable, aunque tambi?n se puede representar mediante una comilla simple (este ?ltimo muy poco utilizado). Es decir:

Y=A Y = A'

La tabla de verdad de esta compuerta es:

A

Y

0

1

1

0

El s?mbolo que representa a una compuerta NOT es:

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2.4. Compuerta l?gica NOR: La compuerta NOR es una combinaci?n de una compuerta OR seguida por una NOT. Define la funci?n:

Y = A+B

Su tabla de verdad correspondiente es:

A

B

Y

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

El s?mbolo que representa a una compuerta NOR es:

2.5. Compuerta l?gica NAND: Esta compuerta es una combinaci?n de una compuerta AND seguida de una NOT. La funci?n que define es:

Y = A.B La tabla de verdad de esta funci?n es:

A

B

Y

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

El s?mbolo que representa a una compuerta NAND es:

2.6. Compuerta l?gica OR Exclusiva: Esta compuerta define la siguiente funci?n l?gica:

Y = A.B + A.B Su tabla de verdad es:

A

B

Y

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

Es decir, para el caso de una OR Exclusiva de dos variables de entrada, la salida ser? 1 s?lo si una sola de sus entradas est? en 1. En forma m?s general, si la compuerta tiene m?s de dos variables de entrada, la salida ser? 1 s?lo si un n?mero impar de sus entradas est?n en 1. El s?mbolo correspondiente a la compuerta OR Exclusiva es:

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2.7. Compuerta l?gica NOR Exclusiva: Es una OR Exclusiva seguida de una NOT. La funci?n l?gica que define es la siguiente:

Y = A.B + A.B

Y la tabla de verdad es:

A

B

Y

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Es decir, la salida ser? 1 s?lo si un n?mero par de sus entradas est?n en 1. El s?mbolo de la NOR Exclusiva es:

3. ALGEBRA DE BOOLE El Algebra de Boole es una herramienta matem?tica compuesta por una serie de teoremas que son ?tiles para simplificar expresiones de variables l?gicas. Para el caso de variables l?gicas binarias, el Algebra de Boole hace uso de tres operaciones fundamentales:

? La suma l?gica (OR) ? El producto l?gico (AND) ? La negaci?n (NOT)

Y = A+B Y = A.B

Y=A

3.1. Postulados y propiedades del Algebra de Boole:

A+0 = A

A.1 = A

A +1= 1

A.0 = 0

A+A = A

A.A = A

A+A =1

A.A = 0

A=A

Estos nueve teoremas se refieren a una sola variable. Observar que, salvo en el ?ltimo caso, hay una relaci?n entre los teoremas de la columna de la izquierda con los de la columna de la derecha. Dada una ecuaci?n en una columna, la ecuaci?n correspondiente en la otra columna se puede escribir intercambiando 0 por 1, e intercambiando (+) por (.). Los teoremas relacionados entre s? por este doble intercambio se denominan duales.

? Leyes de conmutaci?n A+B =B+A A.B = B.A

? Leyes de asociaci?n A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C A.(B.C) = (A.B).C = A.B.C

? Leyes de distribuci?n A.(B + C) = A.B + A.C

A + (B.C) = (A + B).(A + C)

? Leyes de Morgan A + B = A.B A.B = A + B

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? Otras leyes A + (A.B) = A A.(A + B) = A

Ejemplo: reducir la siguiente funci?n Y = A.C + B.C + A.C + A.B Primero saco factor com?n C en el primer y tercer t?rmino: Y = C.(A + A) + B.C + A.B = C.1+ B.C + A.B = C + B.C + A.B Haciendo lo mismo con el primer y segundo t?rmino: Y = C(1+ B) + A.B = C.1+ A.B = C + A.B Negando dos veces el ?ltimo t?rmino y distribuyendo la primer negaci?n (ley de Morgan): Y = C + A.B = C + A + B Entonces mientras que para sintetizar (construir) la funci?n original se requer?an cuatro compuertas AND de dos entradas y una OR de cuatro entradas, la implementaci?n de la funci?n una vez reducida requiere s?lo de dos compuertas: una NOR de dos entradas y una OR de dos entradas (suponiendo en ambos casos que se dispone de las variables y sus complementos, ya que de lo contrario se deber?an agregar dos compuertas NOT en cada caso).

4. Universalidad de las compuertas NOR y NAND Las funciones l?gicas en general se expresan combinando las operaciones b?sicas OR, AND, y NOT, aplicadas a las variables l?gicas. Sin embargo es posible prescindir de la operaci?n OR o de la operaci?n AND y expresar una funci?n l?gica en t?rminos de:

? La negaci?n y la suma l?gica (NOT y OR). ? La negaci?n y el producto l?gico (NOT y AND). Esto es posible aprovechando las transformaciones producidas por la aplicaci?n de las Leyes de Morgan que, recordando, para el caso de dos variables toman la forma: A + B = A.B A.B = A + B

De esta manera es posible reemplazar las sumas l?gicas por productos l?gicos, y an?logamente productos l?gicos por sumas l?gicas.

Ejemplo: realizar la suma l?gica de dos variables utilizando las operaciones de producto l?gico y de negaci?n. Y = A+B Realizo una doble negaci?n, con lo cual la funci?n no cambia Y = A + B Ahora distribuyo la primer negaci?n (Ley de Morgan) Y = A.B

Ejemplo: realizar el producto l?gico de dos variables utilizando las operaciones de suma l?gica y negaci?n. Y = A.B Realizo una doble negaci?n, la funci?n no se altera Y = A.B Por ?ltimo distribuyo la primer negaci?n (Ley de Morgan) Y = A + B

Dado que las compuertas NOR y NAND ya involucran los operadores OR y NOT (para la NOR) y AND y NOT (para la NAND), es posible entonces realizar las operaciones b?sicas OR, AND y NOT utilizando solamente compuertas NAND o compuertas NOR. M?s a?n, cualquier circuito combinacional se puede implementar utilizando solamente compuertas NAND o NOR.

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