Cap 9 - Amostragem - MAGRINI



ÍNDICE

1. Revisão em Conceitos 2

1.1. População 2

1.2. Amostra 2

1.3. Amostragem 2

1.4. Amostragem Aleatória 2

1.5. Amostragem Não Aleatória 2

1.6. Inferência Estatística ou Indução Estatística 2

1.7. Parâmetro 2

1.8. Estatística ou Estimador 2

1.9. Estimativa 2

1.10. Dimensões da Teoria da Amostragem 2

2. COMPOSIÇÃO DA AMOSTRA 2

2.1. Métodos Não Probabilísticos (ou Não Aleatórios) 2

2.1.1. Amostragem Acidental 2

2.1.2. Amostragem Intencional (ou por Julgamento) 3

2.1.3. Amostragem por Quotas 3

2.1.4. Amostragem Voluntária 3

2.2. Métodos Probabilísticos (ou Aleatórios) 3

2.2.1. Amostragem Aleatória Simples 3

2.2.2. Amostragem Sistemática 4

2.2.3. Amostragem Estratificada 4

2.2.4. Amostragem por Conglomerado 4

3. DIMENSIONAMENTO DA AMOSTRA 5

4.1. Tamanho da Amostra para Estimativa da Média 5

4.1.1. Variância da População Conhecida 5

4.1.2. Variância da População Desconhecida 6

4.2. Tamanho da Amostra para Estimativa de Proporção 6

5. EXERCÍCIOS 7

5.1. Estimativa de Média 7

5.2. Estimativa de Proporção 8

5.3. Complementares e Contextualizados 9

Apêndice 1 – Números Aleatórios 11

1. Revisão em Conceitos

REPETIMOS AQUI ALGUNS CONCEITOS E DEFINIÇÕES INTRODUZIDOS NO CAPÍTULO ANTERIOR.

1.1. População

CONJUNTO DE ENTES PORTADORES DE PELO MENOS UMA CARACTERÍSTICA EM COMUM E QUE SÃO PASSÍVEIS DE SER OBSERVADOS, SOB AS MESMAS CONDIÇÕES, FORMANDO O UNIVERSO DE ESTUDO. É O CONJUNTO TOTAL DE UNIDADES ELEMENTARES DE PESSOAS, OBJETOS OU COISAS, SOBRE AS QUAIS SE DESEJA OBTER INFORMAÇÕES.

1.2. Amostra

UM SUBCONJUNTO FINITO DE ELEMENTOS EXTRAÍDO DE UMA POPULAÇÃO. PARA SER REPRESENTATIVA, A AMOSTRA TEM QUE APRESENTAR A CAPACIDADE DE REPRODUZIR AS MESMAS CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES DA POPULAÇÃO DE ORIGEM. A REPRESENTATIVIDADE DA AMOSTRA ESTÁ INTIMAMENTE LIGADA AO SEU TAMANHO (NÚMERO DE ELEMENTOS).

1.3. Amostragem

O CONJUNTO DE TÉCNICAS UTILIZADAS PARA A SELEÇÃO DE UMA AMOSTRA DA POPULAÇÃO. AS TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM SE DIVIDEM EM DOIS GRUPOS: AMOSTRAGEM ALEATÓRIA E AMOSTRAGEM NÃO ALEATÓRIA.

1.4. Amostragem Aleatória

O PROCESSO DE SELEÇÃO DE UMA AMOSTRA (NORMALMENTE POR SORTEIO) QUE PERMITE QUE TODOS OS ELEMENTOS DA POPULAÇÃO TENHAM A MESMA CHANCE DE SEREM ESCOLHIDOS, E QUE TAMBÉM TODO SUBCONJUNTO DE N ELEMENTOS TENHA A MESMA CHANCE DE FAZER PARTE DA AMOSTRA. CONSTITUI O MÉTODO PROBABILÍSTICO DE AMOSTRAGEM, QUE PERMITE A GENERALIZAÇÃO, OU SEJA, GARANTE CIENTIFICAMENTE A APLICAÇÃO DE TÉCNICAS ESTATÍSTICAS DE INFERÊNCIA OU INDUÇÃO.

1.5. Amostragem Não Aleatória

PROCESSO DE SELEÇÃO DE AMOSTRA NÃO BASEADO EM MÉTODOS PROBABILÍSTICOS, OU SEJA, SELEÇÃO NÃO CASUAL DE ELEMENTOS DA AMOSTRA. ESTAS AMOSTRAS NÃO PERMITEM O CONTROLE DA VARIABILIDADE AMOSTRAL, O QUE INVIABILIZA O CONTROLE DA QUALIDADE DA ESTIMAÇÃO.

1.6. Inferência Estatística ou Indução Estatística

PROCESSO DE OBTENÇÃO DE INFORMAÇÕES SOBRE A POPULAÇÃO, A PARTIR DE RESULTADOS OBSERVADOS NUMA AMOSTRA.

1.7. Parâmetro

UMA MEDIDA DESCRITIVA (MÉDIA, VARIÂNCIA, PROPORÇÃO, ETC.) ASSOCIADA À POPULAÇÃO.

1.8. Estatística ou Estimador

UMA MEDIDA DESCRITIVA (MÉDIA, VARIÂNCIA, PROPORÇÃO, ETC.) ASSOCIADA À AMOSTRA.

1.9. Estimativa

O VALOR NUMÉRICO DE UMA ESTATÍSTICA OU ESTIMADOR.

1.10. Dimensões da Teoria da Amostragem

A TEORIA DA AMOSTRAGEM CONSIDERA DUAS DIMENSÕES: A COMPOSIÇÃO DA AMOSTRA (QUANTO AO MÉTODO DE OBTENÇÃO) E O DIMENSIONAMENTO DA AMOSTRA (QUANTO AO SEU TAMANHO OU NÚMERO DE ELEMENTOS).

2. COMPOSIÇÃO DA AMOSTRA

TRATA DO PROCESSO DE SELEÇÃO DOS ELEMENTOS DA POPULAÇÃO QUE IRÃO COMPOR A AMOSTRA. EXISTEM BASICAMENTE DOIS MÉTODOS PARA OBTENÇÃO DE AMOSTRAS: MÉTODOS PROBABILÍSTICOS E MÉTODOS NÃO PROBABILÍSTICOS.

2.1. Métodos Não Probabilísticos (ou Não Aleatórios)

SÃO AMOSTRAGENS EM QUE HÁ UMA ESCOLHA DELIBERADA DOS ELEMENTOS QUE IRÃO COMPOR A AMOSTRA. COM ESTAS AMOSTRAS NÃO É POSSÍVEL GENERALIZAR OS RESULTADOS DA PESQUISA, DE VEZ QUE ELAS NÃO GARANTEM A REPRESENTATIVIDADE DA POPULAÇÃO.

2.1.1. Amostragem Acidental

A AMOSTRA É FORMADA POR ELEMENTOS QUE SE ENCONTRAM CIRCUNSTANCIALMENTE NO LOCAL DA PESQUISA, E SÃO ARROLADOS SEM ORDEM ESPECÍFICA, ATÉ COMPLETAR O NÚMERO DE ELEMENTOS PREVISTOS PARA A AMOSTRA. ESTA TÉCNICA É MUITO EMPREGADA EM PESQUISAS DE OPINIÃO, TAIS COMO TRANSEUNTES POR UMA ESQUINA OU CLIENTES NA ENTRADA DE UM SHOPPING, ETC.

2.1.2. Amostragem Intencional (ou por Julgamento)

OS ELEMENTOS QUE FARÃO PARTE DA AMOSTRA SÃO ESCOLHIDOS INTENCIONALMENTE PELO PESQUISADOR, DENTRO DE DETERMINADOS CRITÉRIOS, COMO POR EXEMPLO, POR PERTENCER A UM DETERMINADO GRUPO JULGADO COMO DE INTERESSE PELO PESQUISADOR. É O CASO, POR EXEMPLO, DE SE OUVIR A OPINIÃO DOS ASSOCIADOS DE UMA COOPERATIVA DE PRODUTORES DE LEITE, SOBRE NORMAS GOVERNAMENTAIS RESTRITIVAS SOBRE A PRODUÇÃO DE LEITE.

2.1.3. Amostragem por Quotas

MÉTODO COMUMENTE USADO EM PESQUISAS DE MERCADO E EM PESQUISAS ELEITORAIS. ENVOLVE TRÊS FASES:

a) classificação da população por atributos que se presumam relevantes para a variável em estudo. Por exemplo: bairro, sexo, idade, estado civil, etc.

b) determinação da proporção na população para cada atributo escolhido.

c) fixação de quotas para cada entrevistador, a quem caberá selecionar os entrevistados de forma que a amostra total contemple as mesmas proporções dos atributos que a população, conforme estabelecido no item b.

2.1.4. Amostragem Voluntária

OCORRE QUANDO O COMPONENTE DA POPULAÇÃO SE OFERECE VOLUNTARIAMENTE PARA PARTICIPAR DA PESQUISA, INDEPENDENTEMENTE DO JULGAMENTO DO PESQUISADOR.

2.2. Métodos Probabilísticos (ou Aleatórios)

SÃO AMOSTRAGENS EM QUE CADA ELEMENTO DA POPULAÇÃO POSSUI A MESMA PROBABILIDADE DE SER ESCOLHIDO PARA COMPOR A AMOSTRA. DESTA FORMA, SE CONHECE A DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE TODAS AS COMBINAÇÕES AMOSTRAIS, VIABILIZANDO A DETERMINAÇÃO DA VARIABILIDADE AMOSTRAL, O QUE POR SUA VEZ PERMITE ESTIMAR O ERRO AMOSTRAL, GARANTINDO ASSIM A CIENTIFICIDADE DO MÉTODO.

2.2.1. Amostragem Aleatória Simples

CONSTITUI O PROCESSO MAIS ELEMENTAR, EM QUE SE ROTULA COM UM NÚMERO DISTINTO CADA ELEMENTO DA POPULAÇÃO, UTILIZANDO-SE POSTERIORMENTE O SORTEIO DOS ELEMENTOS DA POPULAÇÃO, COM BASE NOS RÓTULOS ESTABELECIDOS.

Na realização dos “n” sorteios correspondentes ao tamanho da amostra, utilizam-se tabelas de números aleatórios, que podem ser encontradas na maioria dos livros de Estatística, ou pode ser construída no Excel, a exemplo da tabela apresentada no Apêndice 1.

Exemplo

Suponha a extração de uma amostra de tamanho 50 de uma população de 800 indivíduos.

A tabela apresentada no Apêndice 1 possui 50 linhas e 12 colunas de números aleatórios agrupados em conjuntos de 5 dígitos, totalizando portanto 600 células.

a) Primeiramente, seleciona-se ao acaso um ponto de início, digamos Linha 11, Coluna 5. Evidentemente, o ideal seria sortearmos uma linha de 1 a 50 e depois uma coluna de 1 a 12.

b) A partir do ponto de início, podemos percorrer a tabela no sentido da linha ou da coluna. Vamos percorrê-la no sentido da linha. A célula de início contém o valor 09797.

c) Como a população deste nosso exemplo contém 800 indivíduos (que se supõe portanto numerados de 1 a 800), vamos utilizar apenas os 3 primeiros dígitos do valor contido em cada célula. Poderíamos também utilizar os 3 últimos dígitos, ou outro arranjo como 2º, 3º e 4º. No nosso caso, do valor da célula inicial, selecionamos então o rótulo 097, como o primeiro elemento da população a fazer parte da amostra.

d) Percorrendo a tabela no sentido da linha, a próxima célula contém o grupo 42810, que nos indica o rótulo 428 como segundo elemento da amostra.

e) Prosseguindo com o desenvolvimento por linha, devemos selecionar a seguir os elementos de rótulos 171, 221, 073, 735, 555, 032, 328, chegando ate à célula da linha 12, coluna 1. A próxima célula contém o valor 91488, que nos indicaria o elemento 914 da população como próximo elemento a fazer parte da amostra. Como isto é impossível, despreza-se esta célula e seguimos adiante, selecionando como próximo o elemento de rótulo 454.

f) Já estamos com 10 elementos selecionados para fazer parte da amostra. Devemos prosseguir com o procedimento acima até completarmos os 50 elementos da amostra, lembrando que para cada elemento selecionado, devemos cuidar de rejeitar repetição de elemento já selecionado.

g) Caso se atinja o final da tabela antes de completarmos o total da amostra, retornamos à primeira linha e prosseguimos com o desenvolvimento por linha.

2.2.2. Amostragem Sistemática

ESTE TIPO DE AMOSTRAGEM É RECOMENDADO QUANDO A POPULAÇÃO ESTEJA ORDENADA SEGUNDO ALGUM CRITÉRIO, TAL COMO NOTAS FISCAIS EM TALONÁRIOS, LISTAS TELEFÔNICAS, MENSAGENS ORDENADAS POR HORÁRIO DE CHEGADA, PEÇAS PRODUZIDAS EM SÉRIE POR UMA MÁQUINA, ETC.

O primeiro passo é determinar o intervalo de periodicidade da amostragem. Seleciona-se a ordem do primeiro elemento da amostra por sorteio dentro do intervalo de periodicidade. A seguir, repete-se a ordem de seleção dentro de cada intervalo de periodicidade.

Exemplo

Suponha, como no exemplo anterior, a extração de uma amostra de tamanho 50 de uma população de 800.

A amplitude do intervalo de periodicidade “h” é calculada como a razão N/n, que no caso vale 16. Ou seja, se queremos extrair 50 elementos de um grupo de 800, podemos equivalentemente selecionar um elemento de cada grupo de 16 (800 contém 50 grupos de 16).

Sorteia-se um número de 1 a 16, digamos 7. Nossa amostra será composta assim pelos elementos da população formados pela série 7, 7+1h, 7+2h, 7+3h,... 7+49h, sendo h=16.

No nosso caso teremos os elementos: 7, 23 (7+1x16), 39 (7+2x16), 55 (7+3x16), e assim sucessivamente até 791 (7+49x16).

Observe que os elementos estão distantes entre si de uma quantidade igual a h=16, o que equivale também a formar a série como: 7, 23 (7+16), 39 (23+16), e assim sucessivamente até completar 50 elementos.

2.2.3. Amostragem Estratificada

NO CASO DA POPULAÇÃO HETEROGÊNEA SER FORMADA POR GRUPOS HOMOGÊNEOS, AOS QUAIS DENOMINAMOS DE ESTRATOS, É RECOMENDADO QUE SE UTILIZE ESTE TIPO DE AMOSTRAGEM. ATRIBUTOS DE ESTRATIFICAÇÃO COMUNS SÃO: SEXO, IDADE, CLASSE SOCIAL, PROFISSÃO, ETC.

Uma vez determinados os estratos, retira-se uma amostra aleatória de cada estrato, de tamanho proporcional à participação de cada estrato na população.

Exemplo

Suponha mais uma vez a extração de uma amostra de tamanho 50 de uma população de 800 indivíduos, sabendo-se agora que nesta população 480 elementos são homens e 320 são mulheres.

Participação do estrato masculino na população: 480/800 = 0,6 (60%). Devemos retirar uma amostra de tamanho 0,6x50 = 30 homens.

Participação do estrato feminino na população: 320/800 = 0,4 (40%). Devemos retirar uma amostra de tamanho 0,4x50 = 20 mulheres.

Observe que a amostra de 50 elementos deve ser composta então por 30 homens (60% da população, 60% da amostra) e 20 mulheres (40% da população, 40% da amostra), de forma que a amostra reflita proporcionalmente a heterogeneidade da população quanto ao sexo.

2.2.4. Amostragem por Conglomerado

UTILIZADA QUANDO É EXTREMAMENTE DIFÍCIL OU ATÉ IMPOSSÍVEL IDENTIFICAR TODOS OS ELEMENTOS DA POPULAÇÃO, MAS É POSSÍVEL IDENTIFICAR FACILMENTE GRUPOS QUE APRESENTEM AS MESMAS CARACTERÍSTICAS DA POPULAÇÃO. NESTE CASO, EXTRAI-SE UMA AMOSTRA ALEATÓRIA DESTES GRUPOS, DENOMINADOS CONGLOMERADOS, E AMOSTRA-SE OS ELEMENTOS DO CONGLOMERADO.

É o caso de pesquisa de população de uma cidade, quando se pode sortear quarteirões e contar todos os moradores de cada quarteirão.

Exemplo

Suponha a amostragem de 10 peças de um lote de fabricação de 20.000 peças, estocadas num almoxarifado em caixas de 50 peças, sendo as caixas empilhadas em pilhas com 10 caixas.

Cada Caixa tem 50 peças

Cada Pilha tem 10 Caixas e portanto 10x50=500 peças.

Logo, temos 20.000/500 = 40 Pilhas.

Sorteamos uma Pilha dentre 40 Pilhas. Sorteamos uma Caixa nesta Pilha dentre 10 Caixas. Sorteamos 10 peças dentre 50 desta Caixa.

Este é um exemplo de amostragem por conglomerado seqüencial. Observe que as 10 peças amostradas sairão de uma única caixa, na hipótese de que cada caixa possui proporcionalmente as mesmas características de todo o lote de 20.000 peças.

3. DIMENSIONAMENTO DA AMOSTRA

GERALMENTE, PESQUISAS SÃO CONDUZIDAS PELA ANÁLISE DOS ELEMENTOS DE UMA AMOSTRA EXTRAÍDA DE UMA POPULAÇÃO QUE SE DESEJA ESTUDAR.

Considerando limitações de tempo, custo, e eventualmente até a impossibilidade de examinarmos toda a população, como é o caso de testes destrutivos de resistência, e aliadas estas considerações às vantagens da estatística inferencial, torna-se compreensível a pesquisa em amostras representativas ao invés da pesquisa exaustiva de toda uma população.

É intuitivo que a representatividade de uma amostra depende fundamentalmente do seu tamanho, além dos aspectos metodológicos que devem nortear a extração dos elementos da população.

Nesta seção, trataremos do processo de determinação do número de elementos que a amostra deve ter, considerando um determinado nível de confiança e uma determinada margem de erro que se pretenda para os resultados a serem obtidos. O binômio nível de confiança e erro padrão da estimativa, é que constitui a precisão de uma estimativa.

Para determinação do tamanho da amostra, algumas considerações iniciais devem ser feitas:

a) Identificação da variável mais importante para o estudo a ser feito.

b) Identificação da escala de mensuração da variável: nominal, ordinal ou intervalar. Isto direciona o tipo de estimativa que se vai fazer: variáveis categóricas admitirão estudo apenas de Proporções, enquanto que para variáveis intervalares normalmente estaremos interessados na determinação da Média.

c) Identificação do tamanho da população: infinita ou finita. Vimos no cálculo do intervalo de confiança, a introdução do Fator de Correção para População Finita.

d) Estabelecimento da variância da população: conhecida ou desconhecida. Também foi visto que a substituição da Variância Populacional por sua estimativa, a Variância Amostral, acarreta a mudança na determinação do valor crítico através da Distribuição Normal para a determinação do valor critico via Distribuição de Student.

O cálculo do tamanho da amostra para cada caso, é feito sempre em função das fórmulas já estabelecidas para os Intervalos de Confiança correspondentes.

4.1. Tamanho da Amostra para Estimativa da Média

4.1.1. VARIÂNCIA DA POPULAÇÃO CONHECIDA

A FÓRMULA PARA O INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA, CONSIDERANDO POPULAÇÃO INFINITA É DADA POR:

Nota-se aqui que o erro padrão da estimativa, ou seja, em quanto a média populacional pode diferir da média amostral, é dado por:

Elevando-se a equação do erro ao quadrado e explicitando n temos:

(população infinita)

No caso de população finita, o Fator de Correção deve ser incorporado à formula do erro padrão, o que resulta em:

Repetindo o procedimento para explicitar n, obtém-se:

(população finita)

Que pode ser escrito como:

4.1.2. Variância da População Desconhecida

DEVEMOS NESTE CASO, SUBSTITUIR O DESVIO PADRÃO POPULACIONAL ((X) POR UMA ESTIMATIVA (DESVIO PADRÃO AMOSTRAL SX), CALCULADA NUMA AMOSTRA PILOTO DE N1 ELEMENTOS, SUBSTITUINDO TAMBÉM A DISTRIBUIÇÃO Z (NORMAL) PELA DISTRIBUIÇÃO T (STUDENT) COM N1 -1 GRAUS DE LIBERDADE.

As fórmulas anteriores se transformam então em: (população infinita)

e: (população finita)

4.2. Tamanho da Amostra para Estimativa de Proporção

O MESMO RACIOCÍNIO DESENVOLVIDO NO CASO DA MÉDIA É APLICADO NO CASO DE PROPORÇÕES.

O Intervalo de Confiança para uma Proporção é dado pela fórmula ao lado, onde p e q são parâmetros populacionais e f é o estimador (valor obtido na amostra) de p. (população infinita)

Neste caso, o erro padrão da estimativa de proporção é representado pela fórmula ao lado. Lembrar que o erro é expresso na unidade da variável (pontos percentuais na forma decimal).

Elevando-se a equação do erro ao quadrado e explicitando para n, temos para população infinita:

No caso de população finita, há que se considerar o Fator de Correção, resultando em:

Ou, de forma equivalente,

O valor de p pode ser estimado numa amostra piloto de np elementos, como no caso anterior, bastando então nas fórmulas, substituir p por f e q por (1 - f).

Se não for possível executar a amostra piloto, calculamos n estimando p = 0,5 (50% na forma decimal), mas lembrando que isto levará a uma superavaliação de n.

5. EXERCÍCIOS

5.1. ESTIMATIVA DE MÉDIA

1. DE UMA POPULAÇÃO NORMAL DEVE SER RETIRADA UMA AMOSTRA ALEATÓRIA QUE AVALIE A MÉDIA POPULACIONAL COM ERRO-PADRÃO DE ESTIMATIVA DE DUAS UNIDADES. SE O DESVIO PADRÃO POPULACIONAL É CONHECIDO E VALE ((X) = 10, QUAL DEVE SER O TAMANHO DA AMOSTRA, A UM NÍVEL DE CONFIANÇA DE 90%? (N=68)

2. Uma amostra de 10 elementos foi retirada de uma população normal, fornecendo uma variância (2(x) = 25. Calcular o tamanho da amostra que avalie a média populacional com erro-padrão de estimativa de 2,5 unidades ao nível de confiança de 95%. (n=21)

3. Uma amostra foi retirada sem reposição de uma população normal de 100 elementos, para avaliar a média populacional. Se o erro-padrão de estimativa deve ser de no máximo 2 unidades, a um nível de confiança de 98%, qual deve ser o tamanho da amostra, sabendo-se que o desvio padrão da população é de 4 unidades? (n=18)

4. Uma amostra de 6 elementos foi retirada sem reposição de uma população de 150 elementos com distribuição aproximadamente normal, fornecendo s2(x) = 10. Qual deve ser o tamanho de uma amostra para que a estimativa da média populacional, forneça um erro-padrão de estimativa de 2 unidades, ao nível de confiança de 90%? (n=10)

5. Uma amostra de 10 elementos foi retirada de uma população de 106 elementos, com distribuição aproximadamente normal, fornecendo s(x) = 2,4. Qual deve ser o tamanho de uma amostra para que a estimativa da média populacional forneça um erro-padrão de estimativa de 1,2 unidades ao nível de confiança de 98%? (n=25)

6. Uma amostra de 40 elementos foi retirada de uma população de 400 elementos para a avaliação da média populacional, fornecendo s2(x) = 8. Qual deverá ser o tamanho de uma amostra que avalie a média com erro máximo de 0,1, ao nível de 99%? (n=375)

7. Uma amostra de 50 elementos foi retirada de uma população de 500 elementos, para a avaliação da média populacional, fornecendo s(x) = 4. Qual deverá ser o tamanho de uma amostra que avalie a média com erro máximo de 2 unidades, ao nível de confiança de 90%? (n=50)

8. Para avaliar o preço médio de um produto foram amostrados aleatoriamente 5 pontos de venda, fornecendo média de 42 u.m., com um desvio padrão de 2 u.m.. Se a distribuição dos preços é aproximadamente normal e existem 120 pontos de venda praticando cada um deles seu preço, qual deve ser o tamanho da amostra para que o preço médio possa ser estimado com erro-padrão de estimativa de 2 u.m., ao nível de 98% de confiança? (n=13)

9. Uma pré-amostra de 20 elementos retirados ao acaso de uma população aproximadamente normal apresentou a seguinte distribuição:

|classe |Int classe |fi |

|1 |0 |---2 |1 |

|2 |2 |---4 |5 |

|3 |4 |---6 |10 |

|4 |6 |---8 |3 |

|5 |8 |--10 |1 |

Qual deve ser o tamanho da amostra que avalie a média populacional com um erro-padrão de 0,5 unidades com 90% de confiança? (n=40)

10. Uma revista especializada em economia amostrou ao acaso 10 empresas de uma indústria, para avaliar a rentabilidade média do setor no último trimestre. A amostra forneceu rendimento médio de 5% sobre o patrimônio liquido, com desvio padrão 1,6%. Supondo que a distribuição da rentabilidade seja aproximadamente normal, qual deverá ser o tamanho da amostra que forneça uma estimativa com erro máximo de 1% ao nível de 95% de confiança? (n=14)

5.2. Estimativa de Proporção

11. UMA AMOSTRA ALEATÓRIA DE 50 PESSOAS SELECIONADAS AO ACASO EM UM ESPETÁCULO DE MÚSICA POPULAR, REVELOU QUE 70% ERAM MENORES DE IDADE. DETERMINE O TAMANHO DA AMOSTRA QUE ESTIME A PROPORÇÃO DOS MENORES DE IDADE COM 90% DE CONFIANÇA, COM ERRO MÁXIMO DE 4%. (N=354)

12. Em um escritório trabalham 80 secretárias. Para determinar o nível de satisfação com as exigências de suas chefias, uma pré-amostra de 30 secretárias revelou que 12 não estavam satisfeitas com estas exigências. Determine o tamanho da amostra necessário para estimar com 95% de confiança e com erro máximo de. 5%, a proporção de secretárias satisfeitas com estas exigências. (n=66)

13. Uma firma de assessoria e marketing entrevistou, em um supermercado, 100 clientes, perguntando sobre a preferência entre duas embalagens E1 e E2 para o lançamento de um novo produto. Obteve 42% de preferência para a embalagem E2. Supondo que a amostra é representativa da população, qual deve ser o tamanho de uma amostra que estime a proporção da preferência pela embalagem E2 ao nível de confiança de 96%, com erro máximo de 6%? (n=285)

14. Qual deve ser o tamanho da amostra do problema anterior, se o interessado nesta pesquisa não confia absolutamente na pré-amostragem feita pela firma? (n=292)

15. Para planejar um programa de recuperação para detentos, uma secretaria de Estado deseja estimar a proporção de presos que possuem o primeiro grau completo. Para isto, levantou uma pré-amostra com 180 deles e obteve a proporção de 10% com 1º grau completo. Qual deve ser o tamanho da amostra para estimar a proporção de detentos com 1º grau completo com 90% de confiança de que o erro máximo não exceda 5%? (n=180)

16. Qual deve ser o tamanho de uma amostra que avalie a proporção de mulheres que trabalham como Psicólogas em um grande hospital, com 95% de confiança e erro máximo de 10%? (n=97)

17. O Banco de sangue de um hospital deseja estimar a proporção de internos que possuem sangue do tipo 0+, para programar o estoque deste produto. Para isto, testa uma amostra de 50 pacientes escolhidos ao acaso, obtendo 32% de resultados positivos. Se o hospital tem 600 internos, qual deve ser o tamanho da amostra que estime esta proporção, com erro máximo de 3% ao nível de confiança de 96%? (n=378)

18. Quantos lançamentos de um dado um indivíduo deve fazer para estimar a proporção de faces 5 com 90% de confiança e com erro máximo de 2%, se em 10 lançamentos do dado foram registradas duas faces 5? (n=1.076)

19. Um granjeiro, preocupado com o número de ovos que deve utilizar para obter determinada quantidade de pintinhos, selecionou uma amostra contendo 500 ovos e verificou que 92% produziram pintinhos saudáveis. Determine a quantidade de ovos a serem selecionados pelo granjeiro, que estime com 98% a proporção de pintinhos saudáveis que nascerão, com erro máximo de 2%? (n=999)

20. Um fiscal do imposto de renda pretende estimar a proporção de declarações com devolução de um grupo de 500 declarações de uma certa categoria profissional. Para isto, selecionou ao acaso 50 declarações e verificou que 20 delas solicitavam devolução. Determine o tamanho da amostra necessário para estimar a proporção de declarações com devolução neste grupo com 90% de confiança e erro máximo de 5%. (n=171)

21. Sendo 50% a estimativa de uma proporção numa população infinita, determine o tamanho da amostra para uma margem de erro de 5% e uma confiabilidade de 95,5%. (n=400)

22. Sendo 50% a estimativa de uma proporção numa população de 200.000, determine o tamanho da amostra para uma margem de erro de 5% e uma confiabilidade de 95,5%. Compare com o resultado do exercício anterior. (n=399)

5.3. Complementares e Contextualizados

23. DADA A SEGUINTE POPULAÇÃO DE RENDA (EM $ 1.000)

1234567891012963412153134208302815242235312526201033041621142116182012431201218122526131055131930172529252832156102118716141122213673217151381223251321851232211030301014179342230481912871520102625223033141713109

a) Calcule o tamanho da amostra para se estimar a renda média, considerando o erro amostral de $2.000, (=$7.000 e nível de confiança de 95,5%. (n=33)

b) Retire uma amostra aleatória simples considerando o tamanho amostral obtido no item acima.

c) Calcule a Média Amostral.

d) Calcule o Desvio Padrão Amostral

e) Calcule a Média da População e verifique se a margem de erro foi obedecida.

24. Um pesquisador precisa determinar o tempo médio gasto para perfurar três orifícios em uma peça de metal. Qual deve ser o tamanho da amostra para que a média amostral esteja a menos de 15 seg da média populacional? Por experiência prévia, pode-se supor o desvio padrão em torno de 40 seg. Considere também, que a estimação será realizada com nível de confiança de 95%. (n=28)

25. Seja a construção de um plano para garantir a qualidade dos parafusos vendidos em caixas com 100 unidades. Um dos requisitos é controlar o comprimento médio dos parafusos. Quer-se saber quantos parafusos deve-se examinar em cada caixa, para garantir que a média amostral ([pic]) não difira do comprimento médio dos parafusos da caixa (μ) em mais que 0,8 mm. Considere que a estimação seja realizada com nível de confiança de 95%. Análises feitas na linha de produção indicam variância em tomo de 2 mm2. (n=11)

26. Considerando o Exercício anterior, mas supondo a caixa com 1.000 parafusos, qual é o tamanho da amostra necessário? (n=12)

27. Com o objetivo de avaliar a confiabilidade de um novo sistema de transmissão de dados, toma-se necessário verificar a proporção de bits transmitidos com erro em cada lote de 100 Mb. Considere que seja tolerável um erro amostral máximo de 2% e que em sistemas similares a taxa de erro na transmissão é de 10%. Qual deve ser o tamanho da amostra?

a) Use confiabilidade de 95% (n=865)

b) Use confiabilidade de 99% (n=1.494)

28. Sob condições normais, realizaram-se dez observações sobre o tempo de resposta de uma consulta a certo banco de dados. Os resultados, em segundos, foram:

28 35 43 23 62 38 34 27 32 37

Construa um intervalo de confiança para o tempo médio de uma con sulta, sob condições normais, ao nível de 99%. (35,9 ( 11,2)

29. Fixados certos parâmetros de entrada, o tempo de execução de um algoritmo foi medido 12 vezes, obtendo-se os seguintes resultados, em minutos:

15 12 14 15 16 14 16 13 14 11 15 13

a) Apresente um intervalo de 95% de confiança para o tempo médio de execução do algoritmo. (14,0 ( 0,98)

b) Considerando as 12 mensurações como uma amostra piloto, avalie o número de mensurações (tamanho da amostra) necessário para garan tir um erro máximo de 15 segundos (0,25 minutos), ao nível de 95%. (n=146)

30. Uma empresa tem 2.400 empregados. Deseja-se extrair uma amostra de empregados para verificar o grau de satisfação em relação à qualidade da comida no refeitório. Em uma amostra piloto, numa escala de 0 a 10, o grau de satisfação recebeu nota média 6,5 e desvio padrão 2,0.

a) Determine o tamanho mínimo da amostra, supondo amostragem aleatória simples, com erro máximo de 0,5 unidades e nível de confiança de 99%. (n=102)

b) Considere que a amostra planejada no item anterior tenha sido realizada e obteve-se média 5,3 e desvio padrão 1,8 pontos. Construa um intervalo de 99% de confiança para o parâmetro média da população. (5,3 ( 0,45)

c) Considerando o resultado do item anterior, você diria, com nível de confiança de 99%, que a nota média seria superior a cinco, se a pesquisa fosse aplicada a todos os 2.400 funcionários? Justifique.

d) Realizada a amostra planejada no item (a), suponha que 70 funcionários atribuíram notas iguais ou superiores a cinco. Apresente um intervalo de 90% de confiança para a porcentagem de indivíduos da população que atribuiriam notas iguais ou superiores a cinco. (68,6% ( 7,4%)

31. Com os dados históricos sobre a temperatura do pasteurizador de um laticínio, sabe-se que a variância é aproximadamente 1,8 (oC)2. Planeja-se fazer uma amostragem para avaliar o valor médio da temperatura do pasteurizador. Suponha que as observações sejam feitas sob as mesmas condições e de forma independente. Qual deve ser o tamanho da amostra, para garantir um erro máximo de 0,3oC, com nível de confiança de 95%? (n=77)

32. Planeja-se extrair uma amostra aleatória simples dos 2.000 funcionários de uma empresa, para avaliar a satisfação com o trabalho. A satisfação será avaliada através de um questionário com vários itens numa escala de 1 a 5. Pretende-se avaliar o valor médio de cada item. Qual deve ser o tamanho da amostra para garantir um erro máximo de 0,2 unidades, com nível de confiança de 95%? (n=176)

Nota: Use como variância o valor teórico que se obtém ao supor probabilidade igual para cada um dos cinco níveis da escala. Observe que dificilmente algum item terá variância maior do que esta que você está calculando, pois, na prática, a tendência é que as respostas se concentrem em tomo de algum nível.

33. Numa pesquisa para estudar a preferência do eleitorado a uma semana da eleição presidencial, qual deve ser o tamanho de uma amostra aleatória simples para garantir, com nível de confiança de 95%, um erro amostral não superior a 2%? (n ≈ 2.500)

34. Um analista de sistemas está avaliando o desempenho de um novo programa de análise numérica. Forneceu como entrada do programa 14 operações similares e obteve os seguintes tempos de processamento (em milissegundos):

12,0 13,5 16,0 15,7 15,8 16,5 15,0

13,1 15,2 18,1 18,5 12,3 17,5 17,0

a) Calcule a média e o desvio padrão da amostra do tempo de processamento. (15,44 ; 2,07)

b) Construir um intervalo de confiança para o tempo médio de processamento, com nível de confiança de 95%. (15,44 ( 1,09)

c) Qual deve ser o tamanho da amostra para garantir um erro amostral máximo de 0,5 milissegundos, na estimação do tempo médio de processamento, com nível de confiança de 99%? (n=144)

35. Uma unidade fabril da Intel produziu 500.000 chips Pentium IV em certo período. São selecionados, aleatoriamente, 400 chips para testes.

a) Supondo que 20 chips não tenham a velocidade de processamento adequada, construir o intervalo de confiança para a proporção de chips adequados. Use nível de confiança de 95%. (95% ( 2,1%)

b) Verificar se essa amostra é suficiente para obter um intervalo de 99% de confiança, com erro amostral máximo de 0,5%, para a proporção de chips adequados. Caso contrário, qual deveria ser o tamanho da amostra? (n=12.298)

Apêndice 1 – Números Aleatórios

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Se o valor de n calculado (n0 ou n1) com estas fórmulas for menor que np, então a amostra piloto com np elementos já satisfaz a precisão desejada.

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½>valor de n calculado for maior que np, então se deve complementar a amostra piloto com mais (n – np) elementos.

Se o valor de n calculado com estas fórmulas for menor que n1, então a amostra piloto com n1 elementos já satisfaz a precisão desejada.

Se o valor de n calculado for maior que n1, então se deve complementar a amostra piloto com mais (n – n1) elementos.

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