þVyhýbÆm se s hr uzou nejjednodu„„ímu sŁítÆní; ale podnes ...

P?klady ke cvicen?m z Matematiky I ? LS 2016/2017 ? Integr?ly

,,Vyh?b?m se s hr?uzou nejjednoduss?mu sc?t?n?; ale podnes lituji, ze jsem nebyl ani trochu zasvcen do tajemstv? integr?l?u a diferenci?l?u. Nebot' nen?, mysl?m, ?celem stedn? skoly, aby absolvent podrzel slov?cka a vzorce, jimz se ucil, n?brz myslenkov? metody, na kter?ch to vse vis?. Umt, to je docasn?, ale porozumt, to je trval? obohacen? ducha.

K. Capek

1. Dokazte, ze dan? dv funkce F1(x) a F2(x) jsou primitivn? k t?ze funkci a urcete

konstantu, o kterou se lis?:

a) F1(x) = ln x - 2 + 3 , F2(x) = ln 2x - 4

b) F1(x) = cos 2x , F2(x) = 6 cos2 x + 4 sin2 x

2. Dokazte, ze funkce F (x) je primitivn? funkce k f (x):

a)

F

(x)

=

x(arctg

x

+

arctg

1 x

)

+

,

f (x) =

2

,

x>0

1

b) F (x) = ln(x + x2 + 13), f (x) =

.

x2 + 13

3. Najdte p?slusn? primitivn? funkce (a proved'te zkousku):

a) (x3 + x2 - 2x) dx b) (3x - 7) dx

c)

d) (1 + 2x)3 dx

e) ( x - 1)( x + 1) dx f)

x2 + 2x

x3 + 1

g)

dx

h)

dx

i)

x-1

x+1

x2 dx

x 4 dx 2 3x x3

dx x+2

j) (sin x - 2 cos x) dx k) (cos 3x + 3x + 1) dx l) sin 2x dx

4. Najdte primitivn? funkce:

a) x x x dx

b) sin x ? cos x dx

c) ex ? 5x-1 dx

x

d)

dx, x < 0

|x|

e) x5 dy .

8 15 x8 +C

15 1 - cos 2x + C 4 1 (5e)x + C 5 ln 5e

[-x + C]

[x5y + C]

5. Najdte primitivn? funkce (metodou substituce):

a) 53x dx

b) 2x + 3 dx

c) 1 dx 1 - 4x2

1

d)

dx

x2 + 4

1

e)

dx

4x2 + 1

1 f) 4x2 + 3 dx .

6. Najdte primitivn? funkce (metodou substituce):

a) x x2 + 3 dx

ex b) 1 + ex dx

1

c)

dx

1 + e-x

3x d) 1 + 9x dx

1

e)

dx .

x2 + 4x + 5

7. Najdte primitivn? funkce (metodou per-partes):

a) xe-x dx

b) x2 ln x dx

c) ln(x + 1) dx

53x +C

3 ln 5

1

3

(2x + 3) 2 + C

3

1 arcsin 2x + C

2

1x arctg + C

22

1 arctg 2x + C

2

3 arctg

2x

+

C

6

3

1 (x2

+

3

3) 2

+

C

3

[ln(1 + ex) + C]

[ln(1 + ex) + C] 1 arctg 3x + C ln 3 [arctg (x + 2) + C]

[-e-x(x + 1) + C] x3

(3 ln x - 1) + C 9 [(x + 1) ln(x + 1) - x + C]

d) x cos 2x dx

x 2

sin

2x

+

1 4

cos

2x

+

C

e) arctg x dx .

[x

arctg

x

-

1 2

ln(1

+

x2)

+

C]

8. Zvolte vhodnou metodu a najdte p?slusnou primitivn? funkci:

a) tg 2x dx

[tg x - x + C]

sin 2x

b)

dx

5 cos x

c) sin2 x dx 2

cos 2x d) sin2 x cos2 x dx

e) ln x dx

f) cotg x dx

g) sin3 x dx

h) 1 - x2 dx

1

i)

x + dx

x

j) x2 x3 + 5 dx

k) x2 sin x dx

l) cos3 x sin x dx

ln x

m)

dx

x

n) arcsin x dx

o) sin x ? ln tg x dx

p) ln(x + 1 + x2) dx ln sin x

q) sin2 x dx r) sin x ? sin 2x ? sin 3x dx

s) sin ln x dx .

9. Najdte primitivn? funkce:

5

2

?

+

dx

3x - 2 1 - 4x

7

1

?

+

dx

(3x + 5)2 (3 - 2x)3

-

2 5

cos

x

+

C

1 2

x

-

1 2

sin

x

+

C

[-cotg x - tg x + C]

[x ln x - x + C]

[ln | sin x| + C]

[-

cos

x

+

1 3

cos3

x

+

C]

[

1 2

x

1 - x2 + arcsin x

+ C]

[

2 3

x3

+

2x

+

C]

[

2 3

(x3 + 5)3 + C]

[-x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C]

[-

1 4

cos4

x

+

C]

[

1 2

ln2

x

+

C]

[x arcsin x + 1 - x2 + C]

x [- cos x ? ln tg x + ln |tg ( )| + C]

2

[x ln(x + 1 + x2) - 1 + x2 + C]

[-cotg x(1 + ln sin x) - x + C]

[

1 24

cos

6x

-

1 16

cos

4x

-

1 8

cos

2x

+

C]

[

x 2

(sin

ln

x

-

cos

ln

x)

+

C

]

5

1

ln |3x - 2| - ln |1 - 4x| + C

3

2

71 1 1

-

+

+C

3 3x + 5 4 (3 - 2x)2

2x - 3

?

dx

x2 - 3x + 4

1 ? x2 - 2x + 5 dx

1

?

dx

x2 + 2x

1 ? x4 + 3x2 dx

x4 ? x4 + 5x2 + 4 dx

1

?

dx

(x + 1)(x2 + 1)

7 - 5x

?

dx.

x2 + 4x + 5

ln |x2 - 3x + 4| + C

1

x-1

arctg

+C

2

2

1

1

ln |x| - ln |x + 2| + C

2

2

1 --

3 arctg x + C

3x 9

3

1

8x

x + arctg x - arctg + C

3

32

1

ln

|x

+

1|

-

1

ln(1

+

x2)

+

1 arctg

x

+

C

2

4

2

- 5 ln |x2 + 4x + 5| + 17arctg (x + 2) + C 2

10. Vypoctte:

? x3 sin x dx

0

2

31 ? 9x2 + 4 dx

0

0

? (x - |x + 2|) dx

-4

6

x2,

x

0; 2

? f (x) dx , f (x) =

0

8 x

,

x 2; 6

4

x3,

x 1; 3

? f (x) dx , f (x) =

-2x + 10, x 3; 4

1

[3 - 6]

24

[-12]

8 3

+

8

ln

3

[23]

11. Vypoctte nevlastn? integr?ly:

? xe-x dx

0

1

?

dx

1 + x2

0

1

?

dx

2-x

3

1

?

dx

x ln x

0

[1]

2

[-, integr?l diverguje]

[ integr?l diverguje ]

1 ? x2 ln x dx

1 1

1 ? ln x dx

x

0

12. Urcete obsah rovinn?ho obrazce omezen?ho grafem funkce f : y = x2 - x - 2 a osou x .

13. Urcete obsah obrazce omezen?ho kivkami o rovnic?ch y = x2 a y = 2 - x2.

14. Urcete obsah obrazce omezen?ho kivkami o rovnic?ch y = x3 a y = 4x.

15. Urcete obsah rovinn?ho obrazce ohranicen?ho grafy funkc?

f (x)

=

1 2

cos3

x,

g(x) = cos x , x

-

2

;

2

.

16. Urcete obsah obrazce omezen?ho kivkami o rovnic?ch

x = 1 , y = x2 - 1 a y = 2 - |x - 1| , x (-; 1 .

[1] [-4]

[

9 2

j2]

[

8 3

j2]

[8j2]

[

4 3

j2]

[

10 3

j2]

 ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download