CHUYÊN ĐỀ 1: LƯỢNG GIÁC



CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Phương trình lượng giác là một dạng thường gặp trong các đề thi đại học. Đó là một dạng toán mà không phải học sinh nào khi gặp phải cũng làm tốt được, đặc biệt những học sinh trung bình, yếu kém thì rất lúng túng và gặp khó khăn khi gặp dạng toán này. Trong quá trình giảng dạy, công tác tại trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm chúng tôi thấy cần thiết phải biên soạn chuyên đề “PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” nhằm hệ thống các kiến thức cơ bản, các dạng bài tập thường gặp và nâng cao về phương trình lượng giác để làm tài liệu cho giáo viên giảng dạy và cung cấp một lượng lớn bài tập cho học sinh tự học.

Trong chuyên đề này chúng tôi sẽ biên soạn theo từng phương pháp giải. Mỗi phương pháp chúng tôi trình bày hệ thống bài tập để học sinh rèn luyện kĩ năng giải. Sau đó chúng tôi sẽ tổng hợp các dạng bài, học sinh phải tìm phương pháp thích hợp. Chúng tôi trong Ban biên tập rất mong chuyên đề sẽ góp một phần nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn Toán ở trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm.

Do thời gian chuẩn bị có hạn, chuyên đề không tránh khỏi thiếu sót. Chúng tôi, những thành viên trong Ban biên tập rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của các thầy cô.

Nhóm toán khối 11-Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1. Công thức lượng giác cơ bản

[pic]

2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a. Cung đối: [pic]

[pic]

b. Cung bù: [pic]

[pic]

c. Cung phụ: [pic]

[pic]

d. Cung hơn kém [pic]

[pic]

3. Công thức cộng

[pic]

4. Công thức nhân đôi

[pic]

5. Công thức hạ bậc

[pic]

6. Công thức tính theo [pic]

[pic]

7. Công thức nhân ba

[pic]

8. Công thức biến đổi tổng thành tích

[pic]

9. Công thức biến đổi tích thành tổng

[pic]

10. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | ║ |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |║ |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |║ | |

Chú ý:

[pic] với [pic] ứng với [pic].

Công thức đổi từ độ sang radian và ngược lại: [pic]

B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1. Phương trình [pic]

[pic]: Phương trình vô nghiệm

[pic]

• [pic]

• [pic]

• [pic]

Tổng quát: [pic]

* Các trường hợp đặc biệt

[pic]

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

[pic] [pic] [pic] [pic]

Giải

[pic] [pic]

[pic]

[pic]

2. Phương trình [pic]

[pic]: Phương trình vô nghiệm

[pic]

• [pic]

• [pic]

• [pic]

Tổng quát: [pic]

* Các trường hợp đặc biệt

[pic]

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

[pic] [pic] [pic]; [pic]

Giải

[pic]

[pic] [pic]

[pic]

3. Phương trình [pic]

[pic]

Tổng quát: [pic]

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

[pic] [pic] [pic]

Giải

[pic]

[pic]

[pic]

4. Phương trình [pic]

[pic]

Tổng quát: [pic]

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:

[pic] [pic]

Giải

[pic]

[pic]

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) [pic] 2) [pic]

3) [pic] 4) [pic]

5) [pic] 6) [pic]

7) [pic] 8) [pic]

9) [pic] 10) [pic]

11) [pic] 12) [pic]

13)[pic] 14) [pic]

15) [pic] 16) [pic]

17) [pic] 18) [pic]

19) [pic] 20) [pic]

21) [pic] 22) [pic]

23) [pic] 24) [pic]

25) [pic] 26) [pic]

27) [pic] 28) [pic]

Bài 2: Tìm [pic] sao cho: [pic].

Bài 3: Tìm [pic] sao cho:[pic].

C. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:

1.1. Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng [pic] trong đó a, b là các hằng số [pic]và t là một trong các hàm số lượng giác.

1.2. Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ 5: Giải các phương trình

Giải

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

1.3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:

Ví dụ 6: Giải phương trình sau:[pic]

Giải

[pic]

Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:

29) [pic] 30) [pic]

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

2.1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng [pic], trong đó a, b, c là các hằng số [pic] và t là một trong các hàm số lượng giác.

2.2. Phương pháp: Đặt ẩn phụ t là một trong các hàm số lượng giác đưa về phương trình bậc hai theo t, giải tìm t, đưa về phương trình lượng giác cơ bản (chú ý điều kiện [pic] nếu đặt t bằng sin hoặc cos).

Ví dụ 7:

a) [pic] b) [pic]

Giải

[pic]

Đặt [pic], điều kiện [pic]. Phương trình (1) trở thành:

[pic]

Với t=1, ta được [pic]

[pic]

Đặt [pic], điều kiện [pic]. Phương trình (2) trở thành:

[pic]

Với [pic] ta được [pic]

2.3. Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

Ví dụ 8: Giải các phương trình sau:

[pic] [pic]

Giải

[pic]

*) Giải phương trình:[pic]

*) Giải phương trình: [pic]

Vì [pic] nên phương trình [pic] vô nghiệm.

Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là [pic]

[pic]

Điều kiện: [pic]và [pic]

Khi đó: [pic]

Đặt [pic] ta giải phương trình bậc hai theo t: [pic] …..

Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:

31) [pic] 32) [pic]

33) [pic] 34) [pic]

35) [pic] 36) [pic]

37) [pic] 38) [pic]

39) [pic] 40) [pic]

41)[pic]; 42) [pic]

43) [pic] 44) [pic]

45)[pic]; 46) [pic]

Bài 47. Chứng minh rằng phương trình: [pic] luôn có nghiệm với mọi m.

Bài 48. Cho phương trình: [pic]

a)Giải pt khi [pic].

b)Tìm m để phương trình có nghiệm trên [pic].

Bài 49 : Cho phương trình [pic]

a)Giải phương trình khi m = 2.

b)Xác định m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng [pic]

3. Phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx

3.1. Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng [pic]

3.2. Phương pháp:

Cách 1:

[pic] Kiểm tra [pic]có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này.

[pic] [pic]chia cả hai vế cho [pic]đưa về phương trình bậc hai theo [pic]:

[pic]

Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi đưa về phương trình bậc nhất đối với cos 2x và sin 2x

*Một số trường hợp đặc biệt là khi a = 0 hoặc c = 0 đưa phương trình về dạng tích

Ví dụ 9: Giải phương trình sau

a) 3sin2x- [pic]sinxcosx+2cos2x cosx=2

b) 4 sin2x+3[pic]sinxcosx-2cos2x=4

c) 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0

d) 2 sin2x+6sinxcosx+2(1+ [pic])cos2x-5-[pic]=0

Ví dụ 10: Giải phương trình sau

a) sinx- 4sin3x+cosx=0

b) (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0

c) tanx sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinxcosx)

Ví dụ 11: Giải phương trình sau

a) 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0 b) 4cos3x+2sin3x-3sinx=0

c) 2 cos3x= sin3x d) cos3x- sin3x= cosx+ sinx

e) sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x f) sin3(x-[pic]/4)=[pic]sinx

Bài tập đề nghị:

50) [pic] 51) [pic]

52) [pic] 53) [pic]

54) [pic] 55) [pic].

56) 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 0 57) [pic]

58) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0 59) [pic]

60) [pic]

61) [pic]

62) [pic]

63) [pic]

64) [pic]

4. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

4.1. Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có dạng [pic] trong đó [pic] và [pic]

Ví dụ 12: Giải các phương trình sau: [pic]

4.2. Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho [pic] ta được:

[pic]

Nếu [pic]: Phương trình vô nghiệm.

Nếu [pic] thì đặt [pic]

( hoặc [pic])

Đưa phương trình về dạng: [pic](hoặc [pic] ) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản.

Chú ý: Phương trình [pic] trong đó [pic]và [pic] có nghiệm khi [pic].

Ví dụ 13: Giải các phương trình sau:

a) [pic] b) [pic]

Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:

65) [pic] 66) [pic]

67) [pic] 68) [pic]

69) [pic] 70) [pic]

71) [pic] 72) [pic]

73) [pic] 74) [pic]

75) [pic] 76) [pic]

78) [pic] 79) [pic]

80) [pic] 81)[pic]

82) Tìm m để pt : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có 2 nghiệm.

83) Tìm m để pt : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm.

5. Phương trình đối xứng

5.1 Phương trình đối xứng loại 1

Cách giải: a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c Đặt t = sin x+cosx [pic]

[pic] at + b[pic]=c [pic]bt2+2at-2c-b=0

Ví dụ 14 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1. [pic] 2. [pic]

3. [pic] 4. [pic]

5. [pic] 6. [pic]

7. [pic] 8. [pic]

9. 1+tanx=2sinx + [pic] 10. sin3x+cos3x=2sinxcosx+sin x+cosx

11. (1+sin x)(1+cosx)=2 12. 1+sin3 2x+cos32 x=[pic]sin 4x .

13. sinxcosx+[pic]=1

Bài tập đề nghị

84. [pic][pic]

85. [pic]

86. [pic]

87. [pic]

88. [pic]

89. [pic]

Bài 90 : Cho phương trình [pic]. Xác định m để phương trình có nghiệm.

5.2 Phương trình đối xứng loại 2

Cách giải:

a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c Đặt t= sin x- cosx [pic]

[pic] at + b[pic]=c [pic]bt2 -2at+2c-b=0.

Ví dụ 15 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1. 1- sin3x+cos3x= sin2x 2. 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2

3. [pic] 4. [pic]

5. [pic]

5.3 Phương trình đối xứng với tanx và cotx

Cách giải: đặt t = tanx +cotx điều kiện [pic] [pic]. Đưa về phương trình chỉ có ẩn t.

Bài tập đề nghị

91. [pic]

92. [pic]

93. [pic]

94. [pic]

95. Cho phương trình [pic].

Xác định m để phương trình có nghiệm.

D. PHÂN LOẠI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THEO CÁC DẠNG.

1. Sử dụng công thức hạ bậc

cos2x= [pic] ; sin2x= [pic]

cos3x= [pic] ; sin3x= [pic]

Bài tập

1. cos4x-5sin4x=1

2. 4sin3x-1=3-[pic]cos3x

3.sin22x+ sin24x= sin26x

4. sin2x= cos22x+ cos23x

5. [pic]

6. 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3[pic] cos4x=3

7. 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x

8. cos4xsinx- sin22x=4sin2([pic])-[pic] với [pic] ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download