Formulaire de trigonométrie circulaire - TrigoFACILE
[Pages:1]Formules de trigonom?trie circulaire
Soient a, b, p, q, x, y R (tels que les fonctions soient bien d?finies) et n N. La parfaite connaissance des graphes des fonctions trigonom?triques est n?cessaire.
Relations fondamentales
cos2(x) + sin2(x) = 1
-
d dx
cotan(x)
=
1
+
cotan2(x)
=
1 sin2(x)
Arccos(x)
+ Arcsin(x)
=
2
Arctan(x) + Arctan
1 x
=
signe(x)
?
2
d dx
tan(x)
=
1
+
tan2(x)
=
1 cos2(x)
Arctan(x)
+
Arccotan(x)
=
2
Arccos(-x) = - Arccos(x)
x en radians
0
6 4 3 2
cos(x)
1
3
2 2 2 1 2
0
sin(x)
0
1 2
2 2
3 2
1
tan(x)
0
3 3
1 3
?
Il
faut
savoir
lin?ariser
?
l'aide
des
formules
d'Euler
cos(x) =
eix +e-ix 2
et
sin(x) =
eix -e-ix 2i
;
de
m?me,
d?velopper se r?alise ? partir des formules de Moivre einx = (cos(x) + i sin(x))n = cos(nx) + i sin(nx).
Formules d'addition
cos(a + b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
tan(a + b)
=
tan(a)+tan(b) 1-tan(a) tan(b)
cos(a - b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
sin(a - b) = sin(a) cos(b) - cos(a) sin(b)
tan(a - b)
=
tan(a)-tan(b) 1+tan(a) tan(b)
Pour retenir cos
x
?
n
2
et sin
x
?
n
2
, il suffit de visualiser les axes du cercle trigonom?trique :
+ cos,
+ sin,
- cos
et
- sin
(dans
le
sens
trigonom?trique).
Ajouter
2
correspond ?
avancer
dans le sens
antitrigonom?trique
(ou
?
d?river) ;
retrancher
2
correspond
?
avancer
dans
le
sens
trigonom?trique
(ou
? int?grer). Par exemple : sin
x
+
2
= cos(x) et sin(x + ) = - sin(x).
Formules d'angle double
cos(2x) = cos2(x) - sin2(x) = 2 cos2(x) - 1 = 1 - 2 sin2(x)
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
tan(2x)
=
2 tan(x) 1-tan2(x)
Formules du demi-angle
cos2(x)
=
1+cos(2x) 2
sin2(x)
=
1-cos(2x) 2
tan(x)
=
sin(2x) 1+cos(2x)
=
1-cos(2x) sin(2x)
En posant t = tan
x 2
pour
x
[2],
on
a
:
cos(x) =
, 1-t2
1+t2
sin(x) =
2t 1+t2
et
tan(x) =
2t 1-t2
?
Somme, diff?rence et produit
cos(p) + cos(q) sin(p) + sin(q)
= =
2 cos 2 sin
p+q p+2q
2
cos cos
p-q p-2q
2
tan(p) + tan(q)
=
sin(p+q) cos(p) cos(q)
cos(p) - cos(q) sin(p) - sin(q)
= =
2-c2ossinp+2pq+2 qsinsinp-2pq-2 q
tan(p) - tan(q)
=
sin(p-q) cos(p) cos(q)
Proc?d? mn?motechnique : retenir ? coco-moins-sisi-sico-cosi ? pour l'ordre des fonctions.
Les produits cos(a) cos(b), sin(a) sin(b) et sin(a) cos(b) s'obtiennent ? partir des formules d'addition.
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