Seminar 11

[Pages:4]Seminar 11 Primitive de forma R(sin x, cos x) dx

Func?tiile

R

sunt

func?tii

ra?tionale

de

forma

R(x)

=

P (x) Q(x)

,

unde

P, Q

sunt

polinoame

cu

coeficient, i reali.

Sa se calculeze integralele:

Problema 11.1.

a) (cos 5x - sin 2x) dx

c) sin 3x ? sin 2x dx

b) cos 2x ? sin 3x dx

d) cos x ? cos 3x dx

Problema 11.2. a) cos2 x dx,

c) sin4 x dx

b) sin2 3x dx

d) cos5 x dx

Problema 11.3.

sin3 x

a)

dx

2 + cos x

sin x b) 1 + cos x + cos2 x dx

Problema 11.4.

cos x

a)

dx

sin x

cos3 x b) sin4 x dx

Problema 11.5.

sin2 x

a)

dx

cos6 x

dx b)

(sin x + cos x)2

Problema 11.6. dx

a) 5 + 4 sin x

sin x dx c)

cos 2x dx

d) sin x + sin 2x

dx c)

cos x cos 2x sin 2x dx

d) (2 + sin x)2

dx c) cos4 x + sin4 x

dx d) sin2 x cos4 x

dx b)

5 - 3 cos x 1

2

SEMINAR 11. PRIMITIVE DE FORMA R(SIN X, COS X) DX

Indica?tii ?si raspunsuri

11.1. a) Se folosesc formulele

cos ax

sin ax dx = -

,

a

sin ax

cos ax dx =

, a = 0.

a

Ob?tinem

1

1

I = (cos 5x - sin 2x) dx = cos 5x dx - sin 2x dx = sin 5x + cos 2x + C.

5

2

b) Folosim formula

1 sin a ? cos b = [sin(a + b) + sin(a - b)]

2

pentru

a

=

3x

?si

b

=

2x.

Se

ob?tine

I

=

-

1 10

cos 5x -

1 2

cos x + C.

c) Se folose?ste formula

1 sin a ? sin b = [cos(a - b) - cos(a + b)]

2

?si

se

ob?tine

I

=

1 2

sin x

-

1 10

sin 5x

+

C.

d) Cu ajutorul formulei

1 cos a ? cos b = [cos(a - b) + cos(a + b)]

2

?si

se

ob?tine

I

=

1 4

sin 2x

+

1 8

sin 4x

+

C.

11.2. Cu a = b ^in formulele din exercit, iul anterior, rezulta noile formule

cos2

a

=

1

+

cos 2a ,

2

sin2

a

=

1

-

cos 2a .

2

a) Vom ob?tine

I=

cos2 x dx = 1

1 ? sin 2x ?

(1 + cos 2x) dx = x +

+ C.

2

2

2

b) Rezulta

I=

sin2 3x dx = 1

1 ? sin 6x ?

(1 - cos 6x) dx = x -

+ C.

2

2

6

c) Reducem gradul succesiv.

I=

sin4 x dx =

? 1 - cos 2x ?2 dx =

1 - 2 cos 2x + cos2 2x dx

2

4

1? = x - sin 2x +

cos2

? 2x dx

=

1

? x

-

sin 2x

+

1

? x

+

sin 4x??

+

C.

4

4

2

4

d) Pentru a integra func?tii trigonometrice la puteri impare procedam ^in felul urmator.

I = cos5 x dx = cos4 x ? cos x dx = (1 - sin2 x)2 ? cos x dx.

Cu schimbarea de variabila u = sin x, avem du = cos x dx ?si

I = (1 - u2)2 du = (1 - 2u2 + u4) du = u - 2u3 + u5 = sin x - 2 sin3 x + sin5 x + C.

35

3

5

3

11.3. Pentru integrale de forma R(sin x, cos x) dx, daca se verifica condi?tia

R(- sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)

atunci se face schimbarea de variabila u = cos x. Toate integralele din acest exerci?tiu verifica aceasta condi?tie. a) Avem

sin3 x

(1 - u2)(- du)

u2 - 1

u2 - 4 + 3

I=

dx =

=

du =

du

2 + cos x

2+u

u+2

u+2

?

3?

u2

cos2 x

= u-2+

du = - 2u + 3 ln |u + 2| =

- 2 cos x + 3 ln(2 + cos x) + C.

u+2

2

2

b) Cu schimbarea de variabila u = cos x avem

sin x

du

I=

=-

=-

1 + cos x + cos2 x

u2 + u + 1

du

u

+

1 2

2

+

3 4

2 = -

arctg

u+

1 2

=

2 -

1 + 2 cos x arctg + C.

3

3

3

3

2

c) Aplic^and formula

dx x2-a2

=

1 2a

ln

x-a x+a

sin x

du

1

I=

=-

=-

cos 2x

2u2 - 1 2

du

2 2 cos x - 1

u2 -

1 2

=-

4

ln

2 cos x + 1

+ C.

d) Dupa schimbarea de variabila u = cos x rezulta

dx

dx

du

I=

=

=-

.

sin x + sin 2x

sin x(1 + 2 cos x)

(1 - u2)(1 + 2u)

Acum se descompune ^in frac?tii simple

-1

A

B

C

(1 - u2)(1

+

2u)

=

1-u

+

1+

u

+

1+

, 2u

cu A = -1/6, B = 1/2 ?si C = -4/3. Rezulta

1

1

2

I = ln(1 - cos x) + ln(1 + cos x) - ln(1 + 2 cos x) + C.

6

2

3

11.4. Ca^nd are loc condi?tia R(sin x, - cos x) = -R(sin x, cos x) atunci notam u = sin x. Toate integralele din acest exerci?tiu verifica aceasta condi?tie. a) Avem

cos x

du

I=

dx =

= ln |u| = ln | sin x| + C.

sin x

u

b)

cos3 x

1 - u2

I = sin4 x dx =

u4 du

=

u-4 du -

u-2 du

=

u-3 -3

-

u-1 -1

=

-1 3 sin3 x

+

1 sin x

+ C.

4

SEMINAR 11. PRIMITIVE DE FORMA R(SIN X, COS X) DX

c)

dx

du

I=

= cos x cos 2x

(1 - u2)(1 - 2u2) =

1 1 - sin x 2 2 sin x - 1

= ln

- ln

+ C.

2 1 + sin x 2

2 sin x + 1

du u2 - 1 -

2 du 2u2 - 1

d)

sin 2x dx

2u du

I = (2 + sin x)2 = (2 + u)2 = 2

4

= 2 ln(2 + sin x) +

+ C.

2 + sin x

u + 2 - 2 du (2 + u)2

11.5. Atunci ca^nd este ^indeplinita condi?tia R(- sin x, - cos x) = R(sin x, cos x) se face

substitu?tia

u=

tg x

?si

se

?tine

cont

ca

dx =

du 1+u2

,

sin x =

u 1+u2

?si

cos x =

1 1+u2

.

a)

I=

sin2 x cos6 x dx =

u2 1+u2

1 (1+u2)3

du 1 + u2

=

u2(1+u2) du =

(u2+u4) du

=

tg3

x tg5 +

x +C.

35

b)

dx

du

1

1

I=

(sin x + cos x)2 =

(u + 1)2

=

- u+1

=

- 1 + tg x

+ C.

c)

dx

(1 + u2) du

I = cos4 x + sin4 x =

= 1 + u4

1+ u2

1 u2

+

du

1 u2

.

Cu

schimbarea

de variabila

t

=

u

-

1 u

avem

dt =

1

+

1 u2

du

?si

t2

=

u2 +

1 u2

- 2.

A?sadar

I=

dt

= 1 arctg t

= 1

u- arctg

1 u

=

1

arctg tg x - ctg x + C.

t2 + 2

2

22

2

2

2

d)

dx

(1 + u2)2 du

1

u3

tg3 x

I = sin2 x cos4 x =

= - + 2u + = - ctg x + 2 tg x +

+ C.

u2

u

3

3

11.6. ^In cazul ^in care nici o condi?tie de la exerci?tiile anterioare nu este verificata se face

substitu?tia

u

=

tg

x 2

?si

se ?tine

cont

de

faptul

ca

dx =

2 du 1+u2

,

sin x =

2u 1+u2

?si

cos x =

. 1-u2

1+u2

a) Avem

dx

du

2

I=

=2

=

5 + 4 sin x

5 + 5u2 + 8u 5

u+

du

4 5

2+

9 25

=

2 arctg

3

4 + 5 tg 3

x 2

+ C.

b)

I=

dx =

5 - 3 cos x

2 du 5(1 + u2) - 3(1 - u2) =

du 1 + 4u2

=

arctg 2u 2

=

arctg

2 tg 2

x 2

+C.

 ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download