É impossível para um homem aprender aquilo que ele acha ...
1. Considere o padrão de construção representado pelos desenhos abaixo.
[pic]
Na etapa 1, há um único triângulo equilátero. Na etapa 2, é traçado um segmento a partir dos pontos médios de dois lados do triângulo da etapa 1, formando dois triângulos equiláteros. Na etapa 3, é traçado um segmento a partir dos pontos médios de dois lados do triângulo menor da etapa 2, formando três triângulos equiláteros. Na etapa 4 e nas etapas seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos triângulos menores da etapa anterior.
O número de trapézios na 6ª etapa de construção é
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
2. Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 3, 5, 7, 9 e, escrevem-se os números assim formados em ordem crescente. A soma de todos os números assim formados é igual a
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
3. Seu João é responsável por montar as rotas do caminhão tanque de captação do leite in natura (do produtor até a indústria) em cinco propriedades: [pic] [pic] [pic] [pic] e [pic] Em relação a essas rotas, assinale o que for correto.
01) Existem [pic] rotas diferentes para escolha.
02) Existem [pic] rotas diferentes, se as últimas coletas forem sempre nas propriedades [pic] e [pic]
04) Existem [pic] rotas diferentes, se o caminhão fizer a primeira coleta na propriedade [pic] e a última na propriedade [pic]
08) Existem [pic] rotas diferentes, se considerarmos as propriedades [pic] e [pic] vizinhas, pois o caminhão sempre que passar por uma delas passará em seguida pela outra.
16) Existem [pic] rotas diferentes, se o caminhão tiver que passar pelas propriedades [pic] [pic] e [pic] sempre nessa ordem.
4. Conforme indica a figura, uma caixa contém [pic] letras [pic] azuis e [pic] brancas, a outra contém [pic] letras [pic] azuis e [pic] brancas, e a última caixa contém [pic] letras [pic] azuis e [pic] brancas.
[pic]
Em um jogo, uma pessoa vai retirando letras das caixas, uma a uma, até que forme a sigla FGV com todas as letras da mesma cor. A pessoa pode escolher a caixa da qual fará cada retirada, mas só identifica a cor da letra após a retirada. Usando uma estratégia conveniente, o número mínimo de letras que ela deverá retirar para que possa cumprir a tarefa com toda certeza é
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
5. O número mínimo de pessoas que deve haver em um grupo para que possamos garantir que nele há pelo menos três pessoas nascidas no mesmo dia da semana é igual a
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
6. As urnas [pic] [pic] e [pic] contêm, respectivamente, apenas as letras das palavras OURO, PRATA e BRONZE. Uma a uma são retiradas letras dessas urnas, ordenadamente e de forma cíclica, ou seja, a primeira letra retirada é da urna [pic] a segunda é da urna [pic] a terceira é da urna [pic] a quarta volta a ser da urna [pic] a quinta volta a ser da urna [pic] e assim sucessivamente. O número mínimo de letras retiradas das urnas dessa maneira até que seja possível formar, com elas, a palavra PRAZER é igual a
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
7. Em relação à(s) proposição(ões) abaixo, é CORRETO afirmar que:
01) A probabilidade de as duas seleções sul-americanas, apresentadas nas tabelas abaixo, terem se classificado em primeiro lugar nos seus grupos na Copa do Mundo de 2014 é de [pic]
[pic]
02) “A cartomante”, conto que compõe o livro Várias histórias, de Machado de Assis, retrata um tema clássico das obras do autor: o adultério. Rita, que é casada com Vilela, mantém um caso com Camilo, amigo do marido traído. Curiosamente o nome da traidora, [pic] permite formar o anagrama [pic] Além desses dois anagramas, o nome da personagem permite formar exatamente mais [pic] anagramas.
04) Na Copa de 1970, Pelé quase marcou um gol antológico contra a Tchecoslováquia; do ponto inicial até o gol, a bola cruzou [pic] metros de distância em um chute que chegou a [pic] Pelé estava com a bola em seu campo, ainda dentro do círculo central, quando percebeu o goleiro adiantado e chutou. A bola passou rente à trave esquerda e mesmo sem entrar ficou na história das Copas. Um artilheiro localizado em um ponto diretamente alinhado com o centro do gol, a uma distância de [pic] tenta encobrir um goleiro de [pic] de altura que está adiantado [pic] em relação ao centro da linha do gol. Sabe-se ainda que o artilheiro, o goleiro, o centro do gol e o centro do campo estão posicionados em linha reta. A bola descreve uma trajetória parabólica que está contida num plano perpendicular ao solo e alcança [pic] no ponto máximo, no meio do caminho entre o jogador e a linha do gol. Nessa situação, a bola deverá encobrir o goleiro e será GOL!
08) O Maracanã, que já foi considerado o maior estádio do mundo, com seu campo de jogo medindo [pic] de comprimento por [pic] de largura, teve que se adaptar para a Copa de 2014. O campo de jogo foi reduzido, medida esta determinada pela FIFA, que padroniza as dimensões dos gramados para o Mundial em [pic] por [pic] Portanto, houve uma redução na área do campo de jogo de aproximadamente [pic]
16) Os [pic] países participantes da Copa de 2014 tinham grandes disparidades na economia e no clima. Segundo o Banco Mundial, os Estados Unidos possuem o maior PIB (Produto Interno Bruto), [pic] trilhões, enquanto que a Bósnia-Herzegóvina tem o menor PIB, [pic] bilhões. Com base nestes dados, é possível afirmar que o PIB da Bósnia-Herzegóvina representa aproximadamente [pic] do PIB dos Estados Unidos.
8. Uma associação de moradores arrecadou [pic] camisas, [pic] calças e [pic] pares de sapatos, que serão todos doados. As doações serão dispostas em pacotes. Dentro de cada pacote, um item poderá ter quantidade diferente da dos demais itens (por exemplo, a quantidade de camisas não precisará ser igual à de calças ou à de pares de sapatos); porém, a quantidade de camisas, em todos os pacotes, deverá ser a mesma, assim como a quantidade de calças e a de pares de sapatos.
a) Determine o maior número possível de pacotes que podem ser preparados e qual a quantidade de camisas, de calças e de pares de sapatos que, nesse caso, haverá em cada pacote. Justifique.
b) Pedro recebeu um pacote de doações com [pic] camisas diferentes, [pic] calças diferentes e [pic] pares de sapatos diferentes. Calcule a quantidade de escolhas, que ele pode fazer, de um conjunto contendo apenas [pic] camisa, [pic] calça e [pic] par de sapatos do pacote.
9. Deseja-se formar uma comissão composta por sete membros do Senado Federal brasileiro, atendendo às seguintes condições: (i) nenhuma unidade da Federação terá dois membros na comissão, (ii) cada uma das duas regiões administrativas mais populosas terá dois membros e (iii) cada uma das outras três regiões terá um membro.
a) Quantas unidades da Federação tem cada região?
b) Chame de N o número de comissões diferentes que podem ser formadas (duas comissões são consideradas iguais quando têm os mesmos membros). Encontre uma expressão para N e simplifique-a de modo a obter sua decomposição em fatores primos.
c) Chame de P a probabilidade de se obter uma comissão que satisfaça as condições exigidas, ao se escolher sete senadores ao acaso. Verifique que [pic]
|Segundo a Constituição da República Federativa do Brasil – 1988, cada unidade da Federação |
|é representada por três senadores. |
10. Uma população de 10 camundongos, marcados de 1 a 10, será utilizada para um experimento em que serão sorteados aleatoriamente 4 camundongos. Dos 10 camundongos, apenas 2 têm certa característica C1, 5 têm certa característica C2 e nenhum deles tem as duas características. Pergunta-se:
a) Qual é a probabilidade de que ao menos um dos camundongos com a característica C1 esteja no grupo sorteado?
b) Qual é a probabilidade de que o grupo sorteado tenha apenas 1 camundongo com a característica C1 e ao menos 2 com a característica C2?
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[B]
1ª Solução: (Progressão Aritmética)
Seja [pic] o número de trapézios na etapa [pic]
Vamos determinar uma fórmula para [pic] em função de [pic] É fácil ver que [pic] [pic] [pic] e [pic] Logo, temos
[pic]
Somando, vem
[pic]
Portanto, o número de trapézios obtidos na sexta etapa é
[pic]
2ª Solução: (Combinações Simples)
O número de trapézios formados na etapa [pic] com [pic] corresponde ao número de combinações simples dos [pic] segmentos horizontais (inclusive a base do triângulo inicial) tomados [pic] a [pic] isto é, [pic] Portanto, a resposta é [pic]
Resposta da questão 2:
[E]
Cada um dos algarismos acima aparecerá [pic] vezes em cada ordem decimal.
A soma dos algarismos é 25. Portanto, a soma dos algarismos em cada ordem decimal será [pic]
Concluímos então que a soma S pedida é:
[pic]
Resposta da questão 3:
04 + 08 = 12.
[01] Falsa, pois existe [pic] maneiras distintas de escolha das rotas.
[02] Falsa. Neste caso o número de rotas será dado por: [pic]
[04] Verdadeira. O número de rotas será dado por [pic]
[08] Verdadeira. O número de rotas será dado por [pic]
[16] Falsa. O número de rotas será dado por [pic]
Resposta da questão 4:
[B]
A estratégia conveniente é retirar as letras na ordem FGV ou GFV. De fato, considerando a sequência FGV, para que as letras sejam da mesma cor, pelo Princípio das Gavetas, a pessoa deverá retirar [pic] letras F, [pic] letras G e [pic] letra V, totalizando [pic] letras. O raciocínio para a sequência GFV é análogo.
Resposta da questão 5:
[C]
Como a semana tem [pic] dias, para garantir que há pelo menos três pessoas no mesmo dia da semana, é necessário que haja pelo menos [pic] pessoas no grupo.
Resposta da questão 6:
[A]
Observando que as letras [pic] e [pic] figuram apenas na urna 2, e que as letras [pic] e [pic] figuram apenas na urna 3, podemos concluir que serão necessárias pelo menos 6 extrações a fim de retirar tais letras. Além disso, como a letra [pic] figura uma vez em cada urna, o primeiro [pic] deverá ser retirado da urna [pic] e o segundo da urna 2, totalizando 8 retiradas. Caso contrário, o número de letras retiradas será igual a [pic]
Resposta da questão 7:
02 + 08 = 10.
[01] Incorreta. A probabilidade é [pic]
[02] Correta. O número total de anagramas é [pic] Descontando-se os dois mencionados, tem-se [pic] anagramas.
[04] Incorreta. Adotando, convenientemente, um sistema de eixos cartesianos com origem situada na posição em que se encontra o jogador, temos a função [pic] dada por [pic] com [pic] sendo a altura da bola para um deslocamento horizontal de [pic] metros em relação à origem. Sabendo que [pic] vem
[pic]
Logo, tem-se [pic]
Para que a bola possa encobrir o goleiro, é necessário que [pic] Contudo, segue que
[pic]
[08] Correta. Antes da redução a área do campo de jogo era [pic] Após a redução, passou a ser [pic] Portanto, a variação percentual da área do campo de jogo foi de
[pic]
[16] Incorreta. O PIB da Bósnia-Herzegóvina representa, aproximadamente,
[pic]
do PIB dos Estados Unidos.
Resposta da questão 8:
a) O maior número possível de pacotes corresponde ao máximo divisor comum dos números de camisas, calças e pares de sapatos, isto é, ao [pic] Portanto, em cada pacote haverá [pic] camisas, [pic] calças e [pic] pares de sapatos.
b) Pelo Princípio Multiplicativo, Pedro pode escolher um conjunto contendo [pic] camisa, [pic] calça e [pic] par de sapatos de [pic] maneiras
Resposta da questão 9:
a) A região Norte possui [pic] unidades, a Nordeste [pic] a Centro-Oeste [pic] a Sudeste [pic] e a Sul [pic]
b) Sabendo que as regiões Nordeste e Sudeste são as mais populosas, há [pic] modos de escolher duas unidades da região Nordeste e [pic] modos de escolher duas unidades da região Sudeste. Além disso, existem [pic] maneiras de escolher uma unidade da região Norte, [pic] modos de escolher uma unidade da região Centro-Oeste e [pic] maneiras de escolher uma unidade da região Sul. Portanto, como cada unidade da Federação é representada por três senadores, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos
[pic]
c) Como existem [pic] senadores, podemos escolher [pic] senadores quaisquer de
[pic]
maneiras. Logo,
[pic]
pois [pic] e [pic] são menores do que [pic]
Resposta da questão 10:
a) [pic] (Onde [pic] é a quantidade de sorteados em que nenhum camundongo tenha a característica C1)
b) [pic]
Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração: 13/11/2015 às 10:03
Nome do arquivo: staff matemática
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo
1 137873 Média Matemática Ufrgs/2015 Múltipla escolha
2 134946 Elevada Matemática Espcex (Aman)/2015 Múltipla escolha
3 138797 Média Matemática Uem-pas/2015 Somatória
4 137226 Elevada Matemática Fgv/2015 Múltipla escolha
5 135844 Baixa Matemática Unicamp/2015 Múltipla escolha
6 140397 Média Matemática Unesp/2015 Múltipla escolha
7 136672 Baixa Matemática Ufsc/2015 Somatória
8 138174 Baixa Matemática Ufes/2015 Analítica
9 128977 Elevada Matemática Fuvest/2014 Analítica
10 130927 Média Matemática Unifesp/2014 Analítica
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