เมทริกซ์(Matrix) - TATC
เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์
| | |
|มิติ i ( j |เช่น A = [pic] เมทริกซ์ A มีมิติ 2(3 |
|( ( |a13 คือ สมาชิกของเมทริกซ์ A ตำแหน่งที่ 1 3 |
|แถว หลัก |หมายถึง สมาชิกของเมทริกซ์ A ตัวที่อยู่ในแถวที่ 1 หลักที่ 3 |
| | |
|A = B |เช่น ถ้า [pic] |
|ต้องมี ( มิติที่เท่ากัน |จะได้ x = 1 , y = 2 , a = 3 และ b = 4 |
|( สมาชิกในตำแหน่ง |แต่ [pic] |
|เดียวกันเท่ากัน | |
| | |
|A + B |เช่น [pic] |
|ต้องมี ( มิติที่เท่ากัน | |
|( ดำเนินการกับสมาชิกในตำแหน่งเดียวกัน |[pic] |
| |เช่น [pic] |
|A ( B |ถ้า A ( B แล้ว AB ( BA |
|ใช้ ( แถว ( หลัก |[pic] |
|( นำผลคูณมาบวกกัน |มิติ |
|ต้องมี |( ( ( |
|หลักของตัวตั้งเท่ากับแถวของตัวคูณ |2(3 3(1 2 (1 |
(2)
| | |
|[pic] |เช่น ถ้า A = [pic] เมทริกซ์ A มีมิติ 2(3 |
| | |
|สลับ แถว กับ หลัก |แล้ว At = [pic] เมทริกซ์ At มีมิติ 3(2 |
| | |
|A(A-1 = A-1(A = In |ถ้า A(B = In แล้ว B = A-1 |
| | |
|[pic] |[pic] |
| | |
|[pic] |เมื่อ ad – bc ( 0 ได้ [pic] |
| |และ [pic] |
| | |
|[pic] |[pic]คูณทแยงลงมีค่าเป็นบวก คูณทแยงขึ้นมีค่าเป็นลบ |
| | |
|[pic] |[pic] |
|เมื่อ m > 2 |ผลบวกของผลคูณระหว่างสมาชิกกับค่าโคเฟกเตอร์ |
| |แต่ละตำแหน่งของแถวหรือหลักที่เลือก |
| |และ [pic] |
| |เมื่อ det(A) ( 0 |
| | |
|[pic] |( det(A) = det(At) ( det(kA) = kmdet(A) |
| |( det(AB) = det(A) (det(B) ( det(A-1) = [pic] |
(3)
| | |
|เมทริกซ์เอกฐาน(Sigolar Matrix) |ถ้าเมทริกซ์ A มี det(A) = 0 |
| |แล้ว A จะเป็นเมทริกซ์เอกฐาน (ไม่มี A-1) |
| | |
| |ถ้าเมทริกซ์ A มี det(A) ( 0 |
|เมทริกซ์ไม่เอกฐาน(Non-Sigolar Matrix) |แล้ว A จะเป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน(มี A-1) |
| | |
| |( [pic] |
|[pic]เมื่อ det(A) ( 0 |( [pic] |
| |โดยที่ [pic] |
| |และ [pic] |
| |เมื่อ [pic] เป็นค่าดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ที่เกิดจากการตัดแถวที่ i กับหลักที่ j |
| | |
|[pic] |[pic] |
| |[pic] |
|เลือก แถวที่ 1 |[pic] [pic] |
|det(A) = 1(C11(A) |[pic][pic] |
|+ 2(C12(A) | |
|+ 6(C13(A) | |
|= 1(M11(A) | |
|+ 2((-1)M12(A) | |
|+ 6(M13(A) | |
|= -11 + (2(1) + (6(4) | |
|= -11 + 2 + 24 | |
|= 15 | |
(4)
| | |
|การแก้ระบบสมการ |เช่น x – 3z = -2 |
| |3x + y – 2z = 5 |
|(ใช้ตัวผกผันการคูณ |2x + 2y + z = 4 |
|A เป็นเมทริกซ์สัมประสิทธ์ |จากระบบสมการเขียนเป็นเมทริกซ์ได้ ดังนี้ |
|X เป็นเมทริกซ์ตัวแปร |[pic] |
|B เป็นเมทริกซ์ตัวคงที่ |(ใช้ตัวผกผันการคูณ |
|AX = B |[pic] |
|X = A-1B |ให้ [pic] |
| |[pic] |
| |[pic] [pic] |
| |[pic] |
| |( [pic] |
| |[pic] |
| |ดังนั้น ( x , y , z ) = ( 4 , -3 , 2 ) |
(5)
| | |
|[pic] |ถ้า det(A) ( 0 แล้ว det(adj(A)) = det(A)m-1 |
| | |
|การแก้ระบบสมการ |เช่น x – 3z = -2 |
| |3x + y – 2z = 5 |
|(ใช้กฎของคราเมอร์ |2x + 2y + z = 4 |
|เมื่อ det(A) ( 0 | |
|A เป็นเมทริกซ์สัมประสิทธ์ |จากระบบสมการเขียนเป็นเมทริกซ์ได้ ดังนี้ |
|Ax เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจากการแทนที่หลักที่ 1 |[pic] |
|ของเมทริกซ์ A ด้วยตัวคงที่ | |
|Ay เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจากการแทนที่หลักที่ 2 |(ใช้กฎของคราเมอร์ |
|ของเมทริกซ์ A ด้วยตัวคงที่ | |
|Az เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจากการแทนที่หลักที่ 3 |ให้ [pic] |
|ของเมทริกซ์ A ด้วยตัวคงที่ | |
| |[pic] |
|[pic] | |
|[pic] |[pic] |
|[pic] | |
| |[pic] |
| | |
| |ดังนั้น ( x , y , z ) = ( 4 , -3 , 2 ) |
(6)
| | |
|การแก้ระบบสมการ |เช่น x – 3z = -2 |
| |3x + y – 2z = 5 |
|(ใช้เมทริกซ์แต่งเติม |2x + 2y + z = 4 |
|A เป็นเมทริกซ์สัมประสิทธ์ |จากระบบสมการเขียนเป็นเมทริกซ์ได้ ดังนี้ |
|X เป็นเมทริกซ์คำตอบ |[pic] |
|B เป็นเมทริกซ์ตัวคงที่ |(ใช้เมทริกซ์แต่งเติม |
|In เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ |[pic] |
| | |
|(A [pic] B( ( ( In [pic] X( |( [pic] |
| | |
| |( [pic] |
| | |
| |( [pic] |
| |( [pic] |
| | |
| |จากบรรทัดที่ 1 ได้ x = 4 |
| |จากบรรทัดที่ 2 ได้ y = -3 |
| |จากบรรทัดที่ 3 ได้ z = 2 |
| |ดังนั้น ( x , y , z ) = ( 4 , -3 , 2 ) |
| | |
|(A [pic] In( ( ( In [pic]A-1( |ใช้เมทริกซ์แต่งเติม ดำเนินการตามแถวหา A-1 |
(7)
แนวข้อสอบปลายภาค เรื่องระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์
| | |
|1. ถ้า [pic] |4. เมทริกซ์ในข้อใดเป็นตัวผกผันการคูณ |
|แล้ว ค่าของ 2x – 3y เท่ากับข้อใด |ของเมทริกซ์ [pic] |
|ก. -2 ข. 0 |ก. [pic] |
|ค. 2 ง. 34 |ข. [pic] |
| |ค. [pic] |
|2. กำหนดให้ [pic] |ง. [pic] |
|และ [pic] | |
|แล้ว ค่าของ 2A – Bt เท่ากับข้อใด |5. ถ้า [pic] = [pic] |
|ก. [pic] |แล้ว ค่าของ x เท่ากับข้อใด |
|ข. [pic] |ก. 0 |
|ค. [pic] |ข. -2 |
|ง. [pic] |ค. 2 |
| |ง. 4 |
|3. กำหนดให้ [pic] | |
|และ [pic] |6. กำหนดให้ [pic] |
|แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง |แล้ว [pic] เท่ากับข้อใด |
|ก. [pic] |ก. 6 |
|ข. [pic] |ข. 7 |
|ค. [pic] |ค. 8 |
|ง. [pic] |ง. 14 |
(8)
| | |
|7. กำหนดให้ [pic] |9. ถ้า [pic] |
|และ [pic] |แล้ว [pic] มีค่าเท่ากับข้อใด |
|แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง |ก. -125 |
|ก. [pic] |ข. -29 |
|ข. [pic] |ค. -5 |
|ค. [pic] |ง. 25 |
|ง. [pic] | |
| |10. จากระบบสมการ |
|8. ถ้า [pic] | |
|แล้ว [pic] มีค่าเท่ากับข้อใด |[pic] |
|ก. 0 | |
|ข. 12 |ค่าของ x + y + z เท่ากับข้อใด |
|ค. 24 |ก. 7 |
|ง. -24 |ข. 5 |
| |ค. 4 |
| |ง. 3 |
[pic]
(9)
|เฉลย |
|แนวข้อสอบปลายภาค เรื่องระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ |
1. ถ้า [pic] แล้ว ค่าของ 2x – 3y เท่ากับข้อใด
แนวคิด เมทริกซ์ที่เท่ากันย่อมมีสมาชิกในตำแหน่งเดียวกันเท่ากัน
ดังนั้น x + y = 2 และ 5 = x – 3
x = 5 + 3 = 8
แทนค่า x = 8 ใน x + y = 2
8 + y = 2
y = 2 – 8 = -6
เพราะฉะนั้น 2x – 3y = 2(8) – 3(-6) = 16 + 18 = 34
ตอบ ง. 34
(หรืออาจจะหาค่า x และ y จาก -5 = 2y+7 และ x – y = 14)
2. ให้ [pic] และ [pic] แล้ว 2A – Bt มีค่าเท่าใด
แนวคิด 1) หาค่า 2A จาก [pic] ได้ [pic]
2) หาค่า Bt จาก [pic] ได้ [pic]
3) หาค่า 2A – Bt
2A – Bt = [pic] – [pic]
= [pic]
= [pic]
ตอบ ข. [pic]
(10)
3. ให้ [pic] และ [pic] แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
แนวคิด ก. [pic]
A มีมิติ 2(3
B มีมิติ 3(2
ฉะนั้น AB มีมิติ 2(2
[pic]
ดังนั้น ก. ผิด
ข. [pic]
B มีมิติ 3(2
A มีมิติ 2(3
ฉะนั้น BA มีมิติ 3(3
แต่ ข. มีมิติ 2(2 ดังนั้น ข. ผิด
ค. [pic]
เพราะว่า[pic] ฉะนั้น [pic]
ดังนั้น ค. ถูกต้อง
ง. [pic]
เพราะว่า [pic] ดังนั้น ง. ผิด
ตอบ ค. [pic]
(11)
4. เมทริกซ์ในข้อใดเป็นตัวผกผันการคูณของเมทริกซ์ [pic]
แนวคิด
| | |
|[pic] |เมื่อ ad – bc ( 0 ได้ [pic] |
| |และ [pic] |
ฉะนั้น ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ์ [pic] คือ [pic]
ก. [pic] = [pic]
ข. [pic] = [pic]
ค. [pic] = [pic]
ง. [pic] ตอบ ข. [pic]
5. ถ้า [pic] = [pic] แล้ว ค่าของ x เท่ากับข้อใด
แนวคิด จากโจทย์กำหนดให้ค่าดีเทอร์มินันต์เท่ากัน ฉะนั้นต้องนำแต่ละค่าไปหาค่า
[pic] = [pic] = [pic]
[pic] = [pic] = [pic] = [pic]
แต่ [pic] = [pic] ฉะนั้น [pic] = [pic]
[pic] + 4 = 0
(x – 2)(x – 2) = 0
x = 2 ตอบ ค. 2
(12)
6. กำหนดให้ [pic] แล้ว [pic] เท่ากับข้อใด
แนวคิด [pic]
[pic]
[pic]
= (–1)( –4 – 3)
= (–1)( –7)
= 7
[pic]
[pic]
= 4 – 3
= 1
ดังนั้น [pic] = 7 + 1 = 8
ตอบ ค. 8
[pic]
(13)
7. ให้ [pic] และ [pic] แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
แนวคิด ก. [pic]
[pic]
[pic]
ดังนั้น ก. [pic] ถูกต้อง
ข. [pic]
[pic]
[pic]
เพราะว่า det(AB) = det(A) (det(B)
= –23 (12 = –276
ดังนั้น ข. [pic] ถูกต้อง
ค. [pic]
เพราะว่า det(A) = det(At) ดังนั้น det(A+B) = det(A+B)t
ซึ่ง จาก ก. [pic] ฉะนั้น [pic]
ดังนั้น ค. [pic] ถูกต้อง
ง. [pic]
เพราะว่า det(A-1) = [pic]
ซึ่ง จาก ก. [pic]
ฉะนั้น [pic]
ดังนั้น ง. [pic] ไม่ถูกต้อง
ตอบ ง. [pic]
(14)
8. ถ้า [pic] แล้ว [pic] มีค่าเท่ากับข้อใด
แนวคิด [pic] = [pic]
= [0(0(4]+[(-1)(3(0]+[2((-3)((-2)]–[0(0(2]–[(-2)(3(0]–[4((-3)((-1)]
= 0 + 0 + 12 – 0 – 0 – 12
= 0
หรือ ใช้วิธีเลือก หลักที่ 1 ซึ่งมีสมาชิกเป็น 0 , -3 , 0
[pic] = 0([pic] + (-3) ([pic] + 0([pic]
= 0 + (-3) ([pic] + 0
= [pic]
= [pic]
=[pic]
= (-1)[(-8) + 8]
= (-1) (0
= 0
ตอบ ก. 0
[pic]
(15)
9. ถ้า [pic] แล้ว [pic] มีค่าเท่ากับข้อใด
แนวคิด
| |
|เมื่อ [pic] |
|ถ้า det(A) ( 0 แล้ว det(adj(A)) = det(A)m-1 |
[pic] = [pic]
= [1(1(4]+[(-1)((-3)(0]+[2(3((-2)]–[0(1(2]–[(-2)((-3)(1]–[4(3((-1)]
= 1 + 0 + (-12) – 0 – 6 – (-12)
= -5
[pic] = [pic]3-1
= (-5) 3-1
= (-5)2
= 25
ตอบ ง. 25
[pic]
(16)
10. จากระบบสมการ ค่าของ x + y + z เท่ากับข้อใด
[pic]
แนวคิด จากระบบสมการเขียนเป็นเมทริกซ์ได้ ดังนี้
[pic]
(ใช้กฎของคราเมอร์
ให้ [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
ดังนั้น x + y + z = 4 + (-3) + 2 = 3
ตอบ ง. 3
(17)
ตัวอย่างข้อสอบ Entrant
เรื่องระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์
1) กำหนดให้ [pic]
และ [pic]
แล้ว det [5(A-1 + Bt)] มีค่าเท่ากับเท่าใด
(Ent. 45 คณิต 2)
2) ให้ x เป็นจำนวนจริงบวก
และ A เป็นเมตริกซ์โดยที่ [pic]
ถ้า det [[pic]A2] = 16
แล้ว det [8A-1 + 2At] มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 40 2. 72 3. 80 4. 82
(Ent. 46 คณิต 2)
3) กำหนดเมตริกซ์ [pic]
ถ้า a, b เป็นคำตอบของสมการ det (2A2) + (1 – x2)3 det(A-1) = 45
โดยที่ a > b แล้ว 2a – b มีค่าเท่ากับเท่าใด
(Ent. 47 คณิต 2)
4) ถ้า [pic]
[pic]
และ det (ABt) = -132
แล้ว det (A + B) มีค่าเท่ากับเท่าใด
(Ent. 47 คณิต 2)
(18)
5) กำหนดให้ x เป็นจำนวนเต็ม
และ [pic]
[pic]
ถ้า det (A – B) = 44
แล้ว [pic] เท่ากับเท่าใด
(Ent. 47 คณิต 2)
6) ถ้า x และ y เป็นจำนวนจริง
ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
[pic]
แล้ว y2 – 2x เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 5 2. 6 3. 7 4. 8
(Ent. 48 คณิต 2)
7) ถ้า A เป็น 2(2 เมตริกซ์
ซึ่ง 2det (A) + 3det(3(A-1)t) – 55 = 0
และ det (A) เป็นจำนวนเต็ม แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. det (A) ( 10 2. 10 ( det (A) ( 20 3. 20 ( det (A) ( 30 4. det (A) ( 30
(Ent. 48 คณิต 2)
8) กำหนดให้ [pic]
และ [pic]
ถ้า det (2A) = 28 แล้ว det (AB-1) เท่ากับเท่าใด
(Ent. 48 คณิต 2)
(19)
เฉลย
ตัวอย่างข้อสอบ Entrant
เรื่องระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์
| |
|1) กำหนดให้ [pic] และ [pic] |
|แล้ว det [5(A-1 + Bt)] มีค่าเท่ากับเท่าใด (Ent. 45 คณิต 2) |
แนวคิด
จาก [pic]
ได้ [pic] …….. (
[pic]
[pic]
[pic]
และ [pic]
ได้ [pic] …….. (
(+ ( [pic]
[pic]
ดังนั้น det [5(A-1 + Bt)] = 25(15 – 25(5 = 375 – 125 = 250
ตอบ 250
(20)
| |
|2) ให้ x เป็นจำนวนจริงบวก และ A เป็นเมตริกซ์โดยที่ [pic] |
|ถ้า det [[pic]A2] = 16 แล้ว det [8A-1 + 2At] มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ |
|(Ent. 46 คณิต 2) 1. 40 2. 72 3. 80 4. 82 |
แนวคิด จาก [pic]
det(A) = (1+x) (1+x) – 1(1 = 1 + 2x + x2 – 1 = x2 + 2x
เพราะว่า det[[pic]A2] = ([pic])2det(A2) = [[pic](det(A)]2
= [[pic](x2 + 2x)]2
แต่โจทย์กำหนดให้ det[[pic]A2] = 16 = 42 ฉะนั้น [[pic](x2 + 2x)] = (4
ดังนั้น [pic](x2 + 2x) = 4 หรือ [pic](x2 + 2x) = -4
x2 + 2x = 8 หรือ x2 + 2x = -8
x2 + 2x – 8 = 0 หรือ x2 + 2x + 8 = 0 เป็นไปไม่ได้
(x – 2)(x + 4) = 0 ได้ x = 2 , -4
แต่โจทย์กำหนดให้ x เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น x คือ 2
ดังนั้น [pic] ( [pic]
[pic]
[pic]
[pic] ( [pic]
[pic]
ดังนั้น det (8A-1 + 2At) = (9(9) – [(-3)(-3)] = 81 – 9 = 72
ตอบ 2. 72
(21)
| |
|3) กำหนดเมตริกซ์ [pic] |
|ถ้า a, b เป็นคำตอบของสมการ det (2A2) + (1 – x2)3det(A-1) = 45 |
|โดย a > b แล้ว 2a – b มีค่าเท่ากับเท่าใด (Ent. 47 คณิต 2) |
แนวคิด จาก [pic] ได้ det (A) = x(-x) – 1(-1) = -x2 + 1
[pic]det (A2) = (x2 – 1)(-1 + x2) = -x2 + 1 + x4- x2 = x4– 2x2 + 1
เพราะว่า det (2A2) = 22det (A2) = 4(x4– 2x2 + 1) = 4x4– 8x2 + 4
และ det(A-1) = [pic] = [pic] = [pic]
แทนค่าใน det (2A2) + (1 – x2)3det(A-1) = 45
(4x4– 8x2 + 4) + (1 – x2)3([pic]) = 45
(4x4– 8x2 + 4) + (1 – x2)2 = 45
(4x4– 8x2 + 4) + (1 – 2x2+x4) = 45
5x4– 10x2 + 5 = 45
x4– 2x2 + 1 = 9
x4– 2x2 – 8 = 0
(x2– 4)(x2+ 2) = 0
แต่ (x2+ 2) ( 0 ฉะนั้น (x2– 4) = 0
(x – 2)(x + 2) = 0 ( x = 2 , -2
แต่โจทย์กำหนดให้ a, b เป็นคำตอบของสมการ det (2A2) + (1 – x2)3det(A-1) = 45
โดยที่ a > b ดังนั้น a คือ 2 และ b คือ -2
แล้ว 2a – b = 2(2 – (-2) = 4 + 2 = 6
ตอบ 6
(22)
| |
|4) ถ้า [pic] , [pic] และ det (ABt) = -132 |
|แล้ว det (A + B) มีค่าเท่ากับเท่าใด (Ent. 47 คณิต 2) |
แนวคิด
จาก [pic]
ได้ det (A) = -3(1 – a(a2 = -3 – a3
และ [pic]
ได้ det (B) = 4(3 – 0((-1) = 12
เพราะว่า det (ABt) = det (A) det (Bt)
และ det(Bt) = det (B)
ได้ det (ABt) = (-3 – a3) (12
แต่โจทย์กำหนดให้ det (ABt) = -132
ดังนั้น (-3 – a3) (12 = -132
(-3 – a3) = -11
– a3 = -8
a3 = 8
a = 2
จาก [pic] และ [pic]
ได้ [pic] =[pic]
แต่ a = 2 ดังนั้น det (A + B) = [pic] = [pic]
= 1(4 – 2(3 = 4 – 6 = -2
ตอบ -2
(23)
| |
|5) กำหนดให้ x เป็นจำนวนเต็ม และ [pic], [pic] |
|ถ้า det (A – B) = 44 แล้ว [pic] เท่ากับเท่าใด (Ent. 47 คณิต 2) |
แนวคิด จาก [pic] และ [pic]
ได้ det (A) = (x+1)(2x+3) ได้ det (B) = (2 – x)(5 – 3x)
= x2 + 5x + 3 = 10 – 11x + 3x2
[pic] = [pic]
ได้ det (A – B) = (2x–1)(5x–2) – 11(2 – 3x)
= 10x2– 9x + 2 – 22 + 33x = 10x2+ 24x – 20
แต่โจทย์กำหนดให้ det (A – B) = 44 ฉะนั้น 10x2+ 24x – 20 = 44
10x2+ 24x – 20 – 44 = 0
10x2+ 24x – 64 = 0
5x2+ 12x – 32 = 0
(5x – 8)(x + 4) = 0
x = -4 , [pic]
แต่โจทย์กำหนดให้ x เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น x = -4
ดังนั้น det (A) = x2 + 5x + 3 = (-4)2 + 5(-4) + 3 = 16 – 20 + 3 = -1 และ det (B) = 10 – 11x + 3x2
= 10 – 11(-4) + 3(-4)2 = 10 + 44 + 48 = 102
เพราะว่า det (A-1B) = det (A-1) det (B) และ det(A-1) = [pic]
แทนค่า หา det (A-1B) ได้ det (A-1B) = [pic]( 102 = -102
ดังนั้น [pic] = [pic] = 102
ตอบ 102
(24)
| |
|6) ถ้า x และ y เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับสมการ |
|[pic] |
|แล้ว y2 – 2x เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (Ent. 48 คณิต 2) |
|1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 |
แนวคิด จาก [pic]
[pic]
ได้ 9(3x + 8(2y = 5 …….. (
6(3x + 4(2y = 3 …….. (
(( 2, 12(3x + 8(2y = 6 ……..(
(–(, 3(3x = 1
3x = [pic]
3x = 3-1
x = -1
แทนค่า 3x = [pic] ใน ( ได้ 6([pic] + 4(2y = 3
2 + 4(2y = 3
4(2y = 1
2y = [pic]
2y = 2-2
y = -2
ดังนั้น y2 – 2x = (-2)2 – 2(-1) = 4 + 2 = 6
ตอบ 2. 6
(25)
| |
|7) ถ้า A เป็น 2(2 เมตริกซ์ ซึ่ง 2det (A) + 3det(3(A-1)t) – 55 = 0 |
|และ det (A) เป็นจำนวนเต็ม แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูก (Ent. 48 คณิต 2) |
|1. det (A) ( 10 2. 10 ( det (A) ( 20 3. 20 ( det (A) ( 30 4. det (A) ( 30 |
แนวคิด
จาก 2det (A) + 3det(3(A-1)t) – 55 = 0
( ใช้ความรู้เกี่ยวกับ det(A) = det(At) ดังนั้น det( (A-1)t = det( (A-1) )
det(3(A-1)t) = 32det( (A-1)t) = 9det(A-1) = 9 ([pic] = [pic]
ดังนั้น 2det (A) + 3 ([pic]– 55 = 0
2det (A) (det (A) + 3 ([pic](det (A) – 55 (det (A) = 0(det (A)
2det2(A) + 27 – 55det (A) = 0
2det2(A) – 55det (A) + 27 = 0
(2det(A) – 1)(det(A) – 27) = 0
ได้ det(A) = [pic] , 27
แต่กำหนดให้ det (A) เป็นจำนวนเต็ม
ดังนั้น det(A) = 27
แต่ det(3(A-1)t) = [pic]
แสดงว่า det (A) ( 0
ฉะนั้น ตัวเลือก 1. det (A) ( 10
ตัวเลือก 2. 10 ( det (A) ( 20
และ ตัวเลือก 4. det (A) ( 30 ผิด
ตอบ 3. 20 ( det (A) ( 30
(26)
| |
|9) กำหนดให้ [pic] และ [pic] |
|ถ้า det (2A) = 28 แล้ว det (AB-1) เท่ากับเท่าใด (Ent. 48 คณิต 2) |
แนวคิด ใช้ความรู้เกี่ยวกับ det(kA) = kmdet(A)
det(AB) = det(A) (det(B)
det(A-1) = [pic]
จากกำหนดให้ det (2A) = 28 ได้ 22det (A) = 28
นั้นคือ det (A) = 7
แต่จาก [pic] ได้ det(A) = x3 – 1
ดังนั้น x3 – 1 = 7
x3 = 8
นั้นคือ x = 2
แต่จาก [pic]
ได้ det(B) = (x-1)(x-1) – (-x2) = x2 – 2x + 1 + x2 = 2x2 – 2x + 1
แทน x = 2 ใน det(B) = 2x2 – 2x + 1
ได้ det(B) = 2(2)2 – 2(2) + 1 = 8 – 4 + 1 = 5
เพราะว่า det (AB-1) = det (A) det (B-1)
= det (A) [pic]
= 7 ([pic]
= [pic] ตอบ [pic]
……The End……
................
................
In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.
To fulfill the demand for quickly locating and searching documents.
It is intelligent file search solution for home and business.
Related searches
- data classification matrix template
- data classification matrix nist
- responsibility matrix template excel
- job role matrix excel spreadsheet
- roles and responsibilities matrix template
- raci matrix template excel
- roles and responsibilities matrix template excel
- employee matrix for promotion
- project responsibility matrix template excel
- free responsibility matrix template excel
- matrix in mathematics examples
- software evaluation matrix template