เมทริกซ์(Matrix) - TATC



เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์

| | |

|มิติ i ( j |เช่น A = [pic] เมทริกซ์ A มีมิติ 2(3 |

|( ( |a13 คือ สมาชิกของเมทริกซ์ A ตำแหน่งที่ 1 3 |

|แถว หลัก |หมายถึง สมาชิกของเมทริกซ์ A ตัวที่อยู่ในแถวที่ 1 หลักที่ 3 |

| | |

|A = B |เช่น ถ้า [pic] |

|ต้องมี ( มิติที่เท่ากัน |จะได้ x = 1 , y = 2 , a = 3 และ b = 4 |

|( สมาชิกในตำแหน่ง |แต่ [pic] |

|เดียวกันเท่ากัน | |

| | |

|A + B |เช่น [pic] |

|ต้องมี ( มิติที่เท่ากัน | |

|( ดำเนินการกับสมาชิกในตำแหน่งเดียวกัน |[pic] |

| |เช่น [pic] |

|A ( B |ถ้า A ( B แล้ว AB ( BA |

|ใช้ ( แถว ( หลัก |[pic] |

|( นำผลคูณมาบวกกัน |มิติ |

|ต้องมี |( ( ( |

|หลักของตัวตั้งเท่ากับแถวของตัวคูณ |2(3 3(1 2 (1 |

(2)

| | |

|[pic] |เช่น ถ้า A = [pic] เมทริกซ์ A มีมิติ 2(3 |

| | |

|สลับ แถว กับ หลัก |แล้ว At = [pic] เมทริกซ์ At มีมิติ 3(2 |

| | |

|A(A-1 = A-1(A = In |ถ้า A(B = In แล้ว B = A-1 |

| | |

|[pic] |[pic] |

| | |

|[pic] |เมื่อ ad – bc ( 0 ได้ [pic] |

| |และ [pic] |

| | |

|[pic] |[pic]คูณทแยงลงมีค่าเป็นบวก คูณทแยงขึ้นมีค่าเป็นลบ |

| | |

|[pic] |[pic] |

|เมื่อ m > 2 |ผลบวกของผลคูณระหว่างสมาชิกกับค่าโคเฟกเตอร์ |

| |แต่ละตำแหน่งของแถวหรือหลักที่เลือก |

| |และ [pic] |

| |เมื่อ det(A) ( 0 |

| | |

|[pic] |( det(A) = det(At) ( det(kA) = kmdet(A) |

| |( det(AB) = det(A) (det(B) ( det(A-1) = [pic] |

(3)

| | |

|เมทริกซ์เอกฐาน(Sigolar Matrix) |ถ้าเมทริกซ์ A มี det(A) = 0 |

| |แล้ว A จะเป็นเมทริกซ์เอกฐาน (ไม่มี A-1) |

| | |

| |ถ้าเมทริกซ์ A มี det(A) ( 0 |

|เมทริกซ์ไม่เอกฐาน(Non-Sigolar Matrix) |แล้ว A จะเป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน(มี A-1) |

| | |

| |( [pic] |

|[pic]เมื่อ det(A) ( 0 |( [pic] |

| |โดยที่ [pic] |

| |และ [pic] |

| |เมื่อ [pic] เป็นค่าดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ที่เกิดจากการตัดแถวที่ i กับหลักที่ j |

| | |

|[pic] |[pic] |

| |[pic] |

|เลือก แถวที่ 1 |[pic] [pic] |

|det(A) = 1(C11(A) |[pic][pic] |

|+ 2(C12(A) | |

|+ 6(C13(A) | |

|= 1(M11(A) | |

|+ 2((-1)M12(A) | |

|+ 6(M13(A) | |

|= -11 + (2(1) + (6(4) | |

|= -11 + 2 + 24 | |

|= 15 | |

(4)

| | |

|การแก้ระบบสมการ |เช่น x – 3z = -2 |

| |3x + y – 2z = 5 |

|(ใช้ตัวผกผันการคูณ |2x + 2y + z = 4 |

|A เป็นเมทริกซ์สัมประสิทธ์ |จากระบบสมการเขียนเป็นเมทริกซ์ได้ ดังนี้ |

|X เป็นเมทริกซ์ตัวแปร |[pic] |

|B เป็นเมทริกซ์ตัวคงที่ |(ใช้ตัวผกผันการคูณ |

|AX = B |[pic] |

|X = A-1B |ให้ [pic] |

| |[pic] |

| |[pic] [pic] |

| |[pic] |

| |( [pic] |

| |[pic] |

| |ดังนั้น ( x , y , z ) = ( 4 , -3 , 2 ) |

(5)

| | |

|[pic] |ถ้า det(A) ( 0 แล้ว det(adj(A)) = det(A)m-1 |

| | |

|การแก้ระบบสมการ |เช่น x – 3z = -2 |

| |3x + y – 2z = 5 |

|(ใช้กฎของคราเมอร์ |2x + 2y + z = 4 |

|เมื่อ det(A) ( 0 | |

|A เป็นเมทริกซ์สัมประสิทธ์ |จากระบบสมการเขียนเป็นเมทริกซ์ได้ ดังนี้ |

|Ax เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจากการแทนที่หลักที่ 1 |[pic] |

|ของเมทริกซ์ A ด้วยตัวคงที่ | |

|Ay เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจากการแทนที่หลักที่ 2 |(ใช้กฎของคราเมอร์ |

|ของเมทริกซ์ A ด้วยตัวคงที่ | |

|Az เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจากการแทนที่หลักที่ 3 |ให้ [pic] |

|ของเมทริกซ์ A ด้วยตัวคงที่ | |

| |[pic] |

|[pic] | |

|[pic] |[pic] |

|[pic] | |

| |[pic] |

| | |

| |ดังนั้น ( x , y , z ) = ( 4 , -3 , 2 ) |

(6)

| | |

|การแก้ระบบสมการ |เช่น x – 3z = -2 |

| |3x + y – 2z = 5 |

|(ใช้เมทริกซ์แต่งเติม |2x + 2y + z = 4 |

|A เป็นเมทริกซ์สัมประสิทธ์ |จากระบบสมการเขียนเป็นเมทริกซ์ได้ ดังนี้ |

|X เป็นเมทริกซ์คำตอบ |[pic] |

|B เป็นเมทริกซ์ตัวคงที่ |(ใช้เมทริกซ์แต่งเติม |

|In เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ |[pic] |

| | |

|(A [pic] B( ( ( In [pic] X( |( [pic] |

| | |

| |( [pic] |

| | |

| |( [pic] |

| |( [pic] |

| | |

| |จากบรรทัดที่ 1 ได้ x = 4 |

| |จากบรรทัดที่ 2 ได้ y = -3 |

| |จากบรรทัดที่ 3 ได้ z = 2 |

| |ดังนั้น ( x , y , z ) = ( 4 , -3 , 2 ) |

| | |

|(A [pic] In( ( ( In [pic]A-1( |ใช้เมทริกซ์แต่งเติม ดำเนินการตามแถวหา A-1 |

(7)

แนวข้อสอบปลายภาค เรื่องระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์

| | |

|1. ถ้า [pic] |4. เมทริกซ์ในข้อใดเป็นตัวผกผันการคูณ |

|แล้ว ค่าของ 2x – 3y เท่ากับข้อใด |ของเมทริกซ์ [pic] |

|ก. -2 ข. 0 |ก. [pic] |

|ค. 2 ง. 34 |ข. [pic] |

| |ค. [pic] |

|2. กำหนดให้ [pic] |ง. [pic] |

|และ [pic] | |

|แล้ว ค่าของ 2A – Bt เท่ากับข้อใด |5. ถ้า [pic] = [pic] |

|ก. [pic] |แล้ว ค่าของ x เท่ากับข้อใด |

|ข. [pic] |ก. 0 |

|ค. [pic] |ข. -2 |

|ง. [pic] |ค. 2 |

| |ง. 4 |

|3. กำหนดให้ [pic] | |

|และ [pic] |6. กำหนดให้ [pic] |

|แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง |แล้ว [pic] เท่ากับข้อใด |

|ก. [pic] |ก. 6 |

|ข. [pic] |ข. 7 |

|ค. [pic] |ค. 8 |

|ง. [pic] |ง. 14 |

(8)

| | |

|7. กำหนดให้ [pic] |9. ถ้า [pic] |

|และ [pic] |แล้ว [pic] มีค่าเท่ากับข้อใด |

|แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง |ก. -125 |

|ก. [pic] |ข. -29 |

|ข. [pic] |ค. -5 |

|ค. [pic] |ง. 25 |

|ง. [pic] | |

| |10. จากระบบสมการ |

|8. ถ้า [pic] | |

|แล้ว [pic] มีค่าเท่ากับข้อใด |[pic] |

|ก. 0 | |

|ข. 12 |ค่าของ x + y + z เท่ากับข้อใด |

|ค. 24 |ก. 7 |

|ง. -24 |ข. 5 |

| |ค. 4 |

| |ง. 3 |

[pic]

(9)

|เฉลย |

|แนวข้อสอบปลายภาค เรื่องระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ |

1. ถ้า [pic] แล้ว ค่าของ 2x – 3y เท่ากับข้อใด

แนวคิด เมทริกซ์ที่เท่ากันย่อมมีสมาชิกในตำแหน่งเดียวกันเท่ากัน

ดังนั้น x + y = 2 และ 5 = x – 3

x = 5 + 3 = 8

แทนค่า x = 8 ใน x + y = 2

8 + y = 2

y = 2 – 8 = -6

เพราะฉะนั้น 2x – 3y = 2(8) – 3(-6) = 16 + 18 = 34

ตอบ ง. 34

(หรืออาจจะหาค่า x และ y จาก -5 = 2y+7 และ x – y = 14)

2. ให้ [pic] และ [pic] แล้ว 2A – Bt มีค่าเท่าใด

แนวคิด 1) หาค่า 2A จาก [pic] ได้ [pic]

2) หาค่า Bt จาก [pic] ได้ [pic]

3) หาค่า 2A – Bt

2A – Bt = [pic] – [pic]

= [pic]

= [pic]

ตอบ ข. [pic]

(10)

3. ให้ [pic] และ [pic] แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

แนวคิด ก. [pic]

A มีมิติ 2(3

B มีมิติ 3(2

ฉะนั้น AB มีมิติ 2(2

[pic]

ดังนั้น ก. ผิด

ข. [pic]

B มีมิติ 3(2

A มีมิติ 2(3

ฉะนั้น BA มีมิติ 3(3

แต่ ข. มีมิติ 2(2 ดังนั้น ข. ผิด

ค. [pic]

เพราะว่า[pic] ฉะนั้น [pic]

ดังนั้น ค. ถูกต้อง

ง. [pic]

เพราะว่า [pic] ดังนั้น ง. ผิด

ตอบ ค. [pic]

(11)

4. เมทริกซ์ในข้อใดเป็นตัวผกผันการคูณของเมทริกซ์ [pic]

แนวคิด

| | |

|[pic] |เมื่อ ad – bc ( 0 ได้ [pic] |

| |และ [pic] |

ฉะนั้น ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ์ [pic] คือ [pic]

ก. [pic] = [pic]

ข. [pic] = [pic]

ค. [pic] = [pic]

ง. [pic] ตอบ ข. [pic]

5. ถ้า [pic] = [pic] แล้ว ค่าของ x เท่ากับข้อใด

แนวคิด จากโจทย์กำหนดให้ค่าดีเทอร์มินันต์เท่ากัน ฉะนั้นต้องนำแต่ละค่าไปหาค่า

[pic] = [pic] = [pic]

[pic] = [pic] = [pic] = [pic]

แต่ [pic] = [pic] ฉะนั้น [pic] = [pic]

[pic] + 4 = 0

(x – 2)(x – 2) = 0

x = 2 ตอบ ค. 2

(12)

6. กำหนดให้ [pic] แล้ว [pic] เท่ากับข้อใด

แนวคิด [pic]

[pic]

[pic]

= (–1)( –4 – 3)

= (–1)( –7)

= 7

[pic]

[pic]

= 4 – 3

= 1

ดังนั้น [pic] = 7 + 1 = 8

ตอบ ค. 8

[pic]

(13)

7. ให้ [pic] และ [pic] แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง

แนวคิด ก. [pic]

[pic]

[pic]

ดังนั้น ก. [pic] ถูกต้อง

ข. [pic]

[pic]

[pic]

เพราะว่า det(AB) = det(A) (det(B)

= –23 (12 = –276

ดังนั้น ข. [pic] ถูกต้อง

ค. [pic]

เพราะว่า det(A) = det(At) ดังนั้น det(A+B) = det(A+B)t

ซึ่ง จาก ก. [pic] ฉะนั้น [pic]

ดังนั้น ค. [pic] ถูกต้อง

ง. [pic]

เพราะว่า det(A-1) = [pic]

ซึ่ง จาก ก. [pic]

ฉะนั้น [pic]

ดังนั้น ง. [pic] ไม่ถูกต้อง

ตอบ ง. [pic]

(14)

8. ถ้า [pic] แล้ว [pic] มีค่าเท่ากับข้อใด

แนวคิด [pic] = [pic]

= [0(0(4]+[(-1)(3(0]+[2((-3)((-2)]–[0(0(2]–[(-2)(3(0]–[4((-3)((-1)]

= 0 + 0 + 12 – 0 – 0 – 12

= 0

หรือ ใช้วิธีเลือก หลักที่ 1 ซึ่งมีสมาชิกเป็น 0 , -3 , 0

[pic] = 0([pic] + (-3) ([pic] + 0([pic]

= 0 + (-3) ([pic] + 0

= [pic]

= [pic]

=[pic]

= (-1)[(-8) + 8]

= (-1) (0

= 0

ตอบ ก. 0

[pic]

(15)

9. ถ้า [pic] แล้ว [pic] มีค่าเท่ากับข้อใด

แนวคิด

| |

|เมื่อ [pic] |

|ถ้า det(A) ( 0 แล้ว det(adj(A)) = det(A)m-1 |

[pic] = [pic]

= [1(1(4]+[(-1)((-3)(0]+[2(3((-2)]–[0(1(2]–[(-2)((-3)(1]–[4(3((-1)]

= 1 + 0 + (-12) – 0 – 6 – (-12)

= -5

[pic] = [pic]3-1

= (-5) 3-1

= (-5)2

= 25

ตอบ ง. 25

[pic]

(16)

10. จากระบบสมการ ค่าของ x + y + z เท่ากับข้อใด

[pic]

แนวคิด จากระบบสมการเขียนเป็นเมทริกซ์ได้ ดังนี้

[pic]

(ใช้กฎของคราเมอร์

ให้ [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

ดังนั้น x + y + z = 4 + (-3) + 2 = 3

ตอบ ง. 3

(17)

ตัวอย่างข้อสอบ Entrant

เรื่องระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์

1) กำหนดให้ [pic]

และ [pic]

แล้ว det [5(A-1 + Bt)] มีค่าเท่ากับเท่าใด

(Ent. 45 คณิต 2)

2) ให้ x เป็นจำนวนจริงบวก

และ A เป็นเมตริกซ์โดยที่ [pic]

ถ้า det [[pic]A2] = 16

แล้ว det [8A-1 + 2At] มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 40 2. 72 3. 80 4. 82

(Ent. 46 คณิต 2)

3) กำหนดเมตริกซ์ [pic]

ถ้า a, b เป็นคำตอบของสมการ det (2A2) + (1 – x2)3 det(A-1) = 45

โดยที่ a > b แล้ว 2a – b มีค่าเท่ากับเท่าใด

(Ent. 47 คณิต 2)

4) ถ้า [pic]

[pic]

และ det (ABt) = -132

แล้ว det (A + B) มีค่าเท่ากับเท่าใด

(Ent. 47 คณิต 2)

(18)

5) กำหนดให้ x เป็นจำนวนเต็ม

และ [pic]

[pic]

ถ้า det (A – B) = 44

แล้ว [pic] เท่ากับเท่าใด

(Ent. 47 คณิต 2)

6) ถ้า x และ y เป็นจำนวนจริง

ซึ่งสอดคล้องกับสมการ

[pic]

แล้ว y2 – 2x เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 5 2. 6 3. 7 4. 8

(Ent. 48 คณิต 2)

7) ถ้า A เป็น 2(2 เมตริกซ์

ซึ่ง 2det (A) + 3det(3(A-1)t) – 55 = 0

และ det (A) เป็นจำนวนเต็ม แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูก

1. det (A) ( 10 2. 10 ( det (A) ( 20 3. 20 ( det (A) ( 30 4. det (A) ( 30

(Ent. 48 คณิต 2)

8) กำหนดให้ [pic]

และ [pic]

ถ้า det (2A) = 28 แล้ว det (AB-1) เท่ากับเท่าใด

(Ent. 48 คณิต 2)

(19)

เฉลย

ตัวอย่างข้อสอบ Entrant

เรื่องระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์

| |

|1) กำหนดให้ [pic] และ [pic] |

|แล้ว det [5(A-1 + Bt)] มีค่าเท่ากับเท่าใด (Ent. 45 คณิต 2) |

แนวคิด

จาก [pic]

ได้ [pic] …….. (

[pic]

[pic]

[pic]

และ [pic]

ได้ [pic] …….. (

(+ ( [pic]

[pic]

ดังนั้น det [5(A-1 + Bt)] = 25(15 – 25(5 = 375 – 125 = 250

ตอบ 250

(20)

| |

|2) ให้ x เป็นจำนวนจริงบวก และ A เป็นเมตริกซ์โดยที่ [pic] |

|ถ้า det [[pic]A2] = 16 แล้ว det [8A-1 + 2At] มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ |

|(Ent. 46 คณิต 2) 1. 40 2. 72 3. 80 4. 82 |

แนวคิด จาก [pic]

det(A) = (1+x) (1+x) – 1(1 = 1 + 2x + x2 – 1 = x2 + 2x

เพราะว่า det[[pic]A2] = ([pic])2det(A2) = [[pic](det(A)]2

= [[pic](x2 + 2x)]2

แต่โจทย์กำหนดให้ det[[pic]A2] = 16 = 42 ฉะนั้น [[pic](x2 + 2x)] = (4

ดังนั้น [pic](x2 + 2x) = 4 หรือ [pic](x2 + 2x) = -4

x2 + 2x = 8 หรือ x2 + 2x = -8

x2 + 2x – 8 = 0 หรือ x2 + 2x + 8 = 0 เป็นไปไม่ได้

(x – 2)(x + 4) = 0 ได้ x = 2 , -4

แต่โจทย์กำหนดให้ x เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น x คือ 2

ดังนั้น [pic] ( [pic]

[pic]

[pic]

[pic] ( [pic]

[pic]

ดังนั้น det (8A-1 + 2At) = (9(9) – [(-3)(-3)] = 81 – 9 = 72

ตอบ 2. 72

(21)

| |

|3) กำหนดเมตริกซ์ [pic] |

|ถ้า a, b เป็นคำตอบของสมการ det (2A2) + (1 – x2)3det(A-1) = 45 |

|โดย a > b แล้ว 2a – b มีค่าเท่ากับเท่าใด (Ent. 47 คณิต 2) |

แนวคิด จาก [pic] ได้ det (A) = x(-x) – 1(-1) = -x2 + 1

[pic]det (A2) = (x2 – 1)(-1 + x2) = -x2 + 1 + x4- x2 = x4– 2x2 + 1

เพราะว่า det (2A2) = 22det (A2) = 4(x4– 2x2 + 1) = 4x4– 8x2 + 4

และ det(A-1) = [pic] = [pic] = [pic]

แทนค่าใน det (2A2) + (1 – x2)3det(A-1) = 45

(4x4– 8x2 + 4) + (1 – x2)3([pic]) = 45

(4x4– 8x2 + 4) + (1 – x2)2 = 45

(4x4– 8x2 + 4) + (1 – 2x2+x4) = 45

5x4– 10x2 + 5 = 45

x4– 2x2 + 1 = 9

x4– 2x2 – 8 = 0

(x2– 4)(x2+ 2) = 0

แต่ (x2+ 2) ( 0 ฉะนั้น (x2– 4) = 0

(x – 2)(x + 2) = 0 ( x = 2 , -2

แต่โจทย์กำหนดให้ a, b เป็นคำตอบของสมการ det (2A2) + (1 – x2)3det(A-1) = 45

โดยที่ a > b ดังนั้น a คือ 2 และ b คือ -2

แล้ว 2a – b = 2(2 – (-2) = 4 + 2 = 6

ตอบ 6

(22)

| |

|4) ถ้า [pic] , [pic] และ det (ABt) = -132 |

|แล้ว det (A + B) มีค่าเท่ากับเท่าใด (Ent. 47 คณิต 2) |

แนวคิด

จาก [pic]

ได้ det (A) = -3(1 – a(a2 = -3 – a3

และ [pic]

ได้ det (B) = 4(3 – 0((-1) = 12

เพราะว่า det (ABt) = det (A) det (Bt)

และ det(Bt) = det (B)

ได้ det (ABt) = (-3 – a3) (12

แต่โจทย์กำหนดให้ det (ABt) = -132

ดังนั้น (-3 – a3) (12 = -132

(-3 – a3) = -11

– a3 = -8

a3 = 8

a = 2

จาก [pic] และ [pic]

ได้ [pic] =[pic]

แต่ a = 2 ดังนั้น det (A + B) = [pic] = [pic]

= 1(4 – 2(3 = 4 – 6 = -2

ตอบ -2

(23)

| |

|5) กำหนดให้ x เป็นจำนวนเต็ม และ [pic], [pic] |

|ถ้า det (A – B) = 44 แล้ว [pic] เท่ากับเท่าใด (Ent. 47 คณิต 2) |

แนวคิด จาก [pic] และ [pic]

ได้ det (A) = (x+1)(2x+3) ได้ det (B) = (2 – x)(5 – 3x)

= x2 + 5x + 3 = 10 – 11x + 3x2

[pic] = [pic]

ได้ det (A – B) = (2x–1)(5x–2) – 11(2 – 3x)

= 10x2– 9x + 2 – 22 + 33x = 10x2+ 24x – 20

แต่โจทย์กำหนดให้ det (A – B) = 44 ฉะนั้น 10x2+ 24x – 20 = 44

10x2+ 24x – 20 – 44 = 0

10x2+ 24x – 64 = 0

5x2+ 12x – 32 = 0

(5x – 8)(x + 4) = 0

x = -4 , [pic]

แต่โจทย์กำหนดให้ x เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น x = -4

ดังนั้น det (A) = x2 + 5x + 3 = (-4)2 + 5(-4) + 3 = 16 – 20 + 3 = -1 และ det (B) = 10 – 11x + 3x2

= 10 – 11(-4) + 3(-4)2 = 10 + 44 + 48 = 102

เพราะว่า det (A-1B) = det (A-1) det (B) และ det(A-1) = [pic]

แทนค่า หา det (A-1B) ได้ det (A-1B) = [pic]( 102 = -102

ดังนั้น [pic] = [pic] = 102

ตอบ 102

(24)

| |

|6) ถ้า x และ y เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับสมการ |

|[pic] |

|แล้ว y2 – 2x เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (Ent. 48 คณิต 2) |

|1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 |

แนวคิด จาก [pic]

[pic]

ได้ 9(3x + 8(2y = 5 …….. (

6(3x + 4(2y = 3 …….. (

(( 2, 12(3x + 8(2y = 6 ……..(

(–(, 3(3x = 1

3x = [pic]

3x = 3-1

x = -1

แทนค่า 3x = [pic] ใน ( ได้ 6([pic] + 4(2y = 3

2 + 4(2y = 3

4(2y = 1

2y = [pic]

2y = 2-2

y = -2

ดังนั้น y2 – 2x = (-2)2 – 2(-1) = 4 + 2 = 6

ตอบ 2. 6

(25)

| |

|7) ถ้า A เป็น 2(2 เมตริกซ์ ซึ่ง 2det (A) + 3det(3(A-1)t) – 55 = 0 |

|และ det (A) เป็นจำนวนเต็ม แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูก (Ent. 48 คณิต 2) |

|1. det (A) ( 10 2. 10 ( det (A) ( 20 3. 20 ( det (A) ( 30 4. det (A) ( 30 |

แนวคิด

จาก 2det (A) + 3det(3(A-1)t) – 55 = 0

( ใช้ความรู้เกี่ยวกับ det(A) = det(At) ดังนั้น det( (A-1)t = det( (A-1) )

det(3(A-1)t) = 32det( (A-1)t) = 9det(A-1) = 9 ([pic] = [pic]

ดังนั้น 2det (A) + 3 ([pic]– 55 = 0

2det (A) (det (A) + 3 ([pic](det (A) – 55 (det (A) = 0(det (A)

2det2(A) + 27 – 55det (A) = 0

2det2(A) – 55det (A) + 27 = 0

(2det(A) – 1)(det(A) – 27) = 0

ได้ det(A) = [pic] , 27

แต่กำหนดให้ det (A) เป็นจำนวนเต็ม

ดังนั้น det(A) = 27

แต่ det(3(A-1)t) = [pic]

แสดงว่า det (A) ( 0

ฉะนั้น ตัวเลือก 1. det (A) ( 10

ตัวเลือก 2. 10 ( det (A) ( 20

และ ตัวเลือก 4. det (A) ( 30 ผิด

ตอบ 3. 20 ( det (A) ( 30

(26)

| |

|9) กำหนดให้ [pic] และ [pic] |

|ถ้า det (2A) = 28 แล้ว det (AB-1) เท่ากับเท่าใด (Ent. 48 คณิต 2) |

แนวคิด ใช้ความรู้เกี่ยวกับ det(kA) = kmdet(A)

det(AB) = det(A) (det(B)

det(A-1) = [pic]

จากกำหนดให้ det (2A) = 28 ได้ 22det (A) = 28

นั้นคือ det (A) = 7

แต่จาก [pic] ได้ det(A) = x3 – 1

ดังนั้น x3 – 1 = 7

x3 = 8

นั้นคือ x = 2

แต่จาก [pic]

ได้ det(B) = (x-1)(x-1) – (-x2) = x2 – 2x + 1 + x2 = 2x2 – 2x + 1

แทน x = 2 ใน det(B) = 2x2 – 2x + 1

ได้ det(B) = 2(2)2 – 2(2) + 1 = 8 – 4 + 1 = 5

เพราะว่า det (AB-1) = det (A) det (B-1)

= det (A) [pic]

= 7 ([pic]

= [pic] ตอบ [pic]

……The End……

................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download