Noţiuni fundamentale despre vectori

Cap. I NOIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI

In mecanic exist mrimi scalare sau scalari i mrimi vectoriale sau vectori.

Mrimile scalare (scalarii) sunt complet determinate prin valoarea lor numeric ? un numr pozitiv sau negative ? urmat de unitatea de msur. Exemple: timpul (10 sec.), distana dintre dou puncte (2 m), aria unei suprafee (25m2), masa (50kg.), temperatura (-10?C), lucrul mecanic (Nm), puterea mecanic (W), energie mecanic (Jouli), etc.

Mrimile vectoriale (vectorii) sunt complet determinate prin modul (mrime sau intensitate), direcie, sens i uneori punct de aplicaie sau origine. Exemple: viteza v , acceleraia a , impulsul H , momentul cinetic K , fora F , etc.

Vectorii se noteaz fie printr-o liter cu o bar deasupra ( v,a,F ), fie prin dou litere cu o bar deasupra lor ( AB,MN ), prima liter indic?nd punctul de aplicaie (originea) vectorului, a doua liter extremitatea lui.

De exemplu un vector AB este caracterizat prin urmtoarele elemente:

- modulul (mrimea sau intensitatea) vectorului, AB , este dat de

numrul care reprezint lungimea segmentului AB; - dreapta suport sau suportul vectorului este dreapta determinat

de punctele A i B; - sensul vectorului este dat de sensul de parcurs de la A la B; - punctul de aplicaie sau originea vectorului este punctul A; - extremitatea vectorului este punctul B.

Clasificarea vectorilor ?n funcie de punctul lor de aplicaie: 1?.Vectori liberi, la care punctul de aplicaie poate ocupa orice poziie ?n spaiu, menin?ndu-se aceleai: mrimea, direcia i sensul, fr ca efectul vectorului s se modifice. Aceti vectori se caracterizeaz prin modul, direcie i sens. (Exemple: vitezele i acceleraiile unui corp ?n micarea de translaie, momentul unui cuplu de fore.) 2?.Vectori alunectori, la care punctul de aplicaie se poate deplasa numai pe suportul vectorului, menin?ndu-se acelai modul i sensul vectorului. Aceti vectori se caracteriz prin modul, direcie,sens i dreapta suport. (Exemple: forele aplicate unui corp rigid). 3?.Vectori legai, la care punctul de aplicaie este bine determinat. Aceti vectori se caracerizeaz prin modul, direcie, sens i punct de aplicaie. (Exemple: momentele polare, forele aplicate unui punct material). Versorul sau vectorul unitate este vectorul de modul egal cu unitatea.

Dac u reprezint versorul vectorului F , adic are modulul egal cu unitatea, aceeai direcie i acelai sens cu F , ?ntre vector i versorul su exist relaiile:

F F u sau u FF u versF FF

(1.1)

Prin orientarea sa un versor poate caracteriza direcia i sensul unei axe; axa este o dreapt pe care se alege un sens pozitiv de parcurs, indicat uneori printr-o sgeat.

Echivalena vectorilor. Echivalena a doi vectori F1 i F2 se exprim prin egalitatea:

F1 F2

(1.2)

Cei doi vectori se numesc echivalenti ?ntre ei sau echipoleni.

Aceti vectori sunt caracterizai prin aceleai elemente, egale ?ntre ele, ?n

funcie de tipul vectorilor:

- Doi vectori liberi sunt echipoleni dac au:

- mrimi egale,

- suporturi paralele,

- acelai sens.

Punctul de aplicaie al vectorilor nu trebuie precizat deoarece

operaiile de adunare i ?nmulire ?ntre vectori liberi pot fi efectuate ?n

orice punct arbitrar din spaiu.

- Doi vectori alunecatori sunt echipoleni dac au:

- mrimi egale,

- suport comun,

- acelai sens.

Punctul de aplicaie poate fi oriunde pe suportul vectorilor, poziia

suportului trebuie s fie precizat.

- Doi vectori legai sunt echivaleni ?ntre ei dac au:

- mrimi egale,

- suporturi confundate,

- sensuri identice,

- acelai punct de aplicaie.

?n acest capitol se vor prezenta operaiile cu vectori liberi:

- adunarea (suma)

- scaderea (diferena)

- ?nmulirea, i relaii care au la baz aceste operaii vectoriale.

Se menioneaz c nu exist noiunea i operaia de ?mprire vectorial.

Se mai fac urmtoarele precizri: Toate operaiile ce vor fi definite pentru vectorii liberi vor putea fi extinse i ?n cazul vectorilor alunectorii i legai ?n anumite condiii. Exp.: operaiile cu vectori legai vor trebui efectuate ?n punctul comun de aplicaie al vectorilor respectivi; operaiile cu vectori alunectori cu suporturile concurente vor trebui efectuate ?n punctul de concuren al suporturilor. ?n operaiile cu vectori, acetia vor reprezenta mrimi fizice de acelai tip.

Adunarea sau suma geometric a vectorilor. Suma a doi sau mai muli vectori este prin definiie un vector obinut prin metodele prezentate ?n continuare. Se menioneaz c definiia pentru suma vectorilor este dat pentru vectorii alunectori cu suporturile concurente (vectorii se construiesc cu punctele de aplicaie ?n punctul de concuren al suporturilor) i pentru vectorii legai ?n punctul de aplicatie comun. ?n cazul vectorilor alunectori care nu au suporturile concurente i a vectorilor legai care nu au punctul de aplicaie comun, se adun vectorii echipoleni corespunztori iar vectorul sum obinut se definete ca vector liber. Suma vectorial a doi vectori a i b este vectorul c a b , care se obine aplic?nd regula paralelogramului sau regula triunghiului.

Regula paralelogramului (fig. 1.1.a.): se construiete un paralelogram care are ca laturi cei doi vectori a i b cu punctul de

aplicaie comun; diagonala care unete punctul de aplicaie comun al

celor doi vectori cu v?rful opus al paralelogramului reprezint vectorul sum c a b .

Regula triunghiului (fig. 1.1.b.): vectorul b se construiete cu punctul de aplicaie ?n extremitatea vectorului a ; suma celor doi vectori

este vectorul care unete punctul de aplicie al primului vector cu

extremitatea celui de-al doilea vector.

Suma vectorial a trei vectori necoplanari ( cu orientri oarecare ?n spaiu ) a,b,c se obine aplic?nd regula paralelipipedului (fig.

1.1.c.): se construiete un paralelipiped care are drept muchii cei trei vectori cu punctul de aplicaie comun.Vectorul sum d a b c este

reprezentat de diagonala care unete punctul de aplicaie comun al celor

trei vectori cu v?rful opus al paralelipipedului. Suma a n vectori ,Fi (i 1,2.......n) se efectueaz aplic?nd regula

poligonului (se aplic succesiv de mai multe ori regula paralelogramului

sau regula triunghiului) (fig. 1.1.d):

R n Fi i1

(1.3)

?n cazul ?n care extremitatea ultimului vector din poligon coiencide cu punctul de aplicaie al primului vector, vectorul sum R este nul

(R 0) .

b

c

a

a)

c a b a

b

b)

c b

d

a c)

Fig. 1.1

R Fn

F1 F1 F2 F2

F3

Fi d)

Proprietile adunrii vectorilor

comutativitatea:

a b b a .

asociativitatea vectorilor: (a b) c a (b c).

asociativitatea cu un scalar:

a b a b

(1.4)

existena unui vector opus:

a a a a 0 .

Existena elementului nul: a 0 0 a a .

Modul de definire a sumei vectorilor face posibil descompunerea

unui vector dup dou direcii necoliniare ?n plan sau dup trei direcii

necoplanare ?n spaiu.

Operaia de adunare vectorial a doi vectori intervine i la diferena

a doi vectori. Diferena a doi vectori a i b este vectorul a b , care se obine

adun?nd vectorul a cu opusul vectorului b , aplic?nd fie regula

paralelogramului (fig. 1.2.a), fie regula triunghiului (fig. 1.2.b):

d a b a b

b

d

b

a)

(1.5) a

Fig. 1.2

a

d a b

b

b)

Produsul dintre un vector i un scalar. Se consider vectorul a i scalarul , Prin ?nmulirea vectorului a cu scalarul , se obine un vector b a , cu urmtoarele caracteristici:

- modulul, b a .

- direcia, aceeai cu a vectorului a . - sensul, acelai cu a vectorului a , dac 0 , sens contrar

dac 0

Expresia:

b a

(1.6)

reprezint relaia de coliniaritate a vectorilor a i b .

Proprieti:

1, b a

1,b a

1.7

a a a

a a a

a b a b .

Mrimea algebric a unui vector paralel cu o ax.

Se consider vectorii F1 i F2 paraleli cu axa de versorul u (fig.

1.3). Intre aceti vectori i versorul u exist urmtoarele relaii:

F1

F2

0

u

Fig. 1.3

F1 u

sau

F1 F1u F1 u, 0

F2 u

sau

F2 F2u F2 u, ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download