HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY ...

[Pages:11]Hat?rozatlan integral, primit?vkeres?s (Antideriv?lt)

?. HAT?ROZATLAN INTEGR?L, PRIMIT?VKERES?S (PRIMIT?V F?GGV?NY, ANTIDERIV?LT FOGALMA)

1. Defin?ci?

A differenci?lsz?m?t?s egyik legfontosabb feladata az, hogy

kisz?m?tsuk az f ( x) f?ggv?ny f ' ( x) deriv?ltj?t, vagy a f?ggv?ny df ( x) = f ' ( x) dx differenci?lj?t.. Az integr?lsz?m?t?s legfbb feladata a ford?tott k?rd?s megold?sa, azaz annak az F ( x) f?ggv?nynek a megtal?l?sa, amelynek a deriv?ltja az adott f ( x) , azaz F' ( x) = f ( x) vagy dF ( x) = F' ( x)dx = f ( x)dx teljes?lj?n.

Az integr?lsz?m?t?st a geometria, mechanika, fizika ?s mszaki t?rgyak tanul?s?n?l gyakran alkalmazzuk.

Defin?ci?. Az F ( x) , x (a,b) f?ggv?ny f ( x) primit?v f?ggv?nye az (a,b) intervallumon, ha annak minden pontj?ban differenci?lhat?, ?s x (a,b) eset?n F' ( x) = f ( x) vagy dF ( x) = f ( x)dx .

Defin?ci?. Egy adott f ( x) f?ggv?nyhez egy adott (a,b) ,

intervallumon hozz?rendelt {F ( x) + C} f?ggv?nyhalmazt (a f?ggv?ny

primit?vf?ggv?nyeinek halmaz?t), ahol C egy konstans hat?rozatlan integr?lnak nevezz?k, ?s a k?vetkezk?ppen jel?lj?k

f ( x) dx = F ( x) + C . Az jelet integr?lnak olvassuk, f ( x) - az integrandus, x - az

integr?l?si v?ltoz?, ?s a dx , az x differenci?lja, jelzi, hogy melyik v?ltoz? szerint keress?k a primit?v f?ggv?nyt, a C- az integr?l?si konstans.

Integr?l?si szab?lyok. ,

( ) ( ) f ( x)dx = f ( x) d f ( x)dx = f ( x)dx ,

1

Hat?rozatlan integral, primit?vkeres?s (Antideriv?lt)

af ( x)dx = a f ( x)dx , a - konstans,

( f1 ( x) ? f2 ( x))dx = f1 ( x)dx ? f2 ( x)dx .

f

( x)dx =

1 A

f

( x)dAx ,

A-

konstans,,

f ( x)dx = f ( x)d ( x ? A), A- konstans,

f ( x)dx = F ( x) + C f (u( x))du( x) = F (u( x)) + C ,

ahol u ( x) egy differenci?lhat? f?ggv?ny

?ltal?nos szab?lyok

( ) d f (u)du = f (u)du ,

dF (u) = F (u) + C af (u)du = a f (u)du , ( f1 (u) ? f2 (u))du = f1 (u)du ? f2 (u)du ,

ahol u egy differenci?lhat? f?ggv?ny

Alapintegr?lok.

(1)

xndx = xn+1 + C,n -1, n +1

(2)

exdx = ex + C ,

(3)

axdx = ax + C,a 1, ln a

(4)

dx = ln x + C , x

(5)

sin xdx = -cos x + C ,

(6)

cos xdx = sin x + C ,

2

Hat?rozatlan integral, primit?vkeres?s (Antideriv?lt)

(7)

d cos2

x

=

tgx

+

C,x

(2k

+1)

2

,

(8)

dx sin2

x

=

-ctgx

+

C,x

k

,

(9)

tgxdx = -ln cos x + C,x (2k +1) , 2

(10)

ctgxdx = ln sin x + C,x k ,

(11)

dx a2 - x2

=

1 2a

ln

a a

+ -

1 a

arctg

x a

x +C, x + C,

a0 x

, a

(13)

dx x2 + a2

=

1 a

arctg

x a

+ C,

0,

(14)

dx = ln x + x2 ? a2 + C, x > a , x2 ? a2

(15)

chxdx = shx + C ,

(16)

shxdx = chx + C ,

(17)

dx = arcsin x + C, x < a ,

a2 - x2

a

(18)

x2 + a2 dx = x x2 + a2 + a2 ln x + x2 + a2 + C ,

2

2

3

Hat?rozatlan integral, primit?vkeres?s (Antideriv?lt)

(19)

a2 - x2 dx = x a2 - x2 + a2 arcsin x + C .

2

2

a

Maple utas?t?sok

> int(f,x); > Int(f,x); ahol f az integrandus, x - a v?ltoz? Ellenrz?s J:=int(F,x) > diff(J,x);

.2. Integr?l?si m?dszerek

T?bb integr?l?si m?dszert fogunk rendre megismerni. Elssorban

a (1)?(19) k?pleteket haszn?ljuk, de gyakran szok?s az egyszer

v?ltoz?cser?ket is haszn?lni, amiknek az ?ltal?nos k?plete a k?vetkez

Az

f ( x).g' ( x)dx

integr?lt gyakran jel?lik m?g

f ( x).dg ( x)., alakban is.

Ilyenkor az integr?lban l?v g' ( x)-et kell elssorban megtal?lni.

P?lda. Sz?m?tsa ki a k?vetkez integr?lt

( ) J1 = x4 +12x3 - 3x + 5 dx.

Matematikai megold?s Az (1) k?plet alapj?n:

J1 = x4dx +12 x3dx - 3 xdx + 5 dx =

= x5 +12. x4 - 3. x2 + 5 + C = x5 + 3x4 - 3x2 + 5 + C .

5

42

5

2

Megold?s a Maple-ben >J[1]:=int(x^4+12*x^3-3*x+5,x);

4

Hat?rozatlan integral, primit?vkeres?s (Antideriv?lt)

J1

:=

x5 5

+

3x4

-

3x2 2

+

5+

C

.

Az eredm?ny:

J1 + C , i.e.

x5 5

+ 3x4 - 3x2 2

+5+C.

Elny?sebb, ha a k?vetkez jel?l?st alkalmazzuk:

>J[1]:=Int(x^4+12*x^3-3*x+5,x)=

int(x^4+12*x^3-3*x+5,x);

( ) J1 :=

x4 +12x3 - 3x + 5 dx = x5 + 3x4 - 3x2 + 5 .

5

2

Ellenrz?s:

>diff(J[1],x);

x4 +12x3 - 3x + 5 .

P?lda. Sz?m?tsa ki a k?vetkez integr?lt

J2 = 4 sin3 x.cos xdx

Matematikai megold?s Az (1) k?plet ?s egyszer v?ltoz?csere

alapj?n.

J2

=

4 sin3

x.(cos x)dx

=

4 sin3

xd

sin x

=

(sin x)4

4. 4

=

= sin4 x + C .

Megold?s a Maple-ben

>J[2]:=Int(4*sin(x)^3*cos(x),x)=

int(4*sin(x)^3*cos(x),x);;

J2 := 4 sin3 x.cos xdx = sin( x)4

P?lda. Sz?m?tsa ki a k?vetkez integr?lt

I1 =

dx . 1- 8x2

Matematikai megold?s A (17) k?plet ?s egyszer v?ltoz?csere alapj?n

5

Hat?rozatlan integral, primit?vkeres?s (Antideriv?lt)

( ) ( ) I1

=

2

1 2

dx2 2

=

2 arcsin

2

2x

+ C

2

1- 2 2x

4

Megold?s Maple-ben. >I[1]:=Int(1/sqrt(1-8*x^2),x)=

int(1/sqrt(1-8*x^2),x);

( ) I1 :=

dx = 2 arcsin 2 2x 1-8x2 4

P?lda. Sz?m?tsa ki a k?vetkez integr?lt

I2 =

1+ cos2 x cos2 x dx .

Matematikai megold?s A (7) k?plet ?s egyszer v?ltoz?csere

alapj?n

I2 =

1 cos2

x

+

1

dx

=

1 cos2

x

dx

+

1dx = tgx + x + C .

Megold?s a Maple-ben

>I[2]:=int((1+cos(x)^2)/(cos(x)^2),x);

sin( x) I2 := cos( x) + x ,

P?lda. Sz?m?tsa ki a k?vetkez integr?lt

I3 =

2x sin2 x + cos2 x

sin2 x

dx ,

Matematikai megold?s Az (1) ?s (8) k?pletek ?s egyszer

v?ltoz?csere alapj?n

I3 =

2x sin2 sin2 x

x

+

cos2 sin2

x x

dx

=

2

xdx +

1

- sin2 sin2 x

x

dx

=

= 2 x2 + 2

1 sin2

dx x

-

1dx = x2 - cotgx - x + C .

Megold?s a Maple-ben

6

Hat?rozatlan integral, primit?vkeres?s (Antideriv?lt)

>I[3]:=int((2*x*sin(x)^2+cos(x)^2)/ sin(x)^2,x);

I3 := x2 - cot g ( x) - x

P?lda. Sz?m?tsa ki a k?vetkez integr?lt

I4 =

dx ,

(arcsin x)2 1- x2

Matematikai megold?s Az (1) ?s (17) k?pletek ?s egyszer v?ltoz?csere alapj?n

I4 =

(

arcsin

x

)-2

1 1-

x2

dx

=

= (arcsin x)-2 d arcsin x = - 1 + C . arcsin x

Megold?s a Maple-ben >I[4]:=int(1/(arcsin(x)^2*sqrt(1-x^2)),x);

I4

:=

-

1 arcsin

(

x)

P?lda. Sz?m?tsa ki a k?vetkez integr?lt

I5 =

ln x dx , x

Matematikai megold?s A (4) ?s (1) k?pletek ?s egyszer v?ltoz?csere alapj?n

3

I5 =

(

ln

x

)

1 2

1 x

dx

=

1

(ln x)2

d ln x

=

(ln x)2

+C

=

3

2

7

Hat?rozatlan integral, primit?vkeres?s (Antideriv?lt)

= 2ln x ln x + C . 3

Megold?s a Maple-ben

>I[5]:=int(sqrt(ln(x))/x,x);

I5

:=

2 3

ln

(

x)

3 2

P?lda. Sz?m?tsa ki a k?vetkez integr?lt

I6 = ex .sin exdx .

Matematikai megold?s Az (5) ?s (1) k?pletek ?s egyszer v?ltoz?csere alapj?n

( ) I6 = sinex ex dx = sinexdex = -cos ex + C

Megold?s a Maple-ben >I[6]:=int(exp(x)*sin(exp(x)),x);

( ) I6 := -cos ex

P?lda. Sz?m?tsa ki a k?vetkez integr?lt

I7 =

x3

x8

-

dx 2

.

Matematikai megold?s A (12) k?plet ?s egyszer v?ltoz?csere alapj?n

( ) ( ) ( ) I7 =

x3 dx = 1 x8 - 2 4

1

dx4 =

x4

2

-

2

2

=

1 82

ln

x4 x4

-2 +2

+C.

8

 ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download