Formulaire de trigonométrie circulaire
Formules de trigonom¨¦trie circulaire
Soient a, b, p, q, x, y ¡Ê R (tels que les fonctions soient bien d¨¦finies) et n ¡Ê N.
La parfaite connaissance des graphes des fonctions trigonom¨¦triques est n¨¦cessaire.
Relations fondamentales
cos2 (x) + sin2 (x) = 1
Arccos(x) + Arcsin(x) =
¦Ð
2
d
cotan(x) = 1 + cotan2 (x) = sin21(x)
? dx
Arctan(x) + Arctan x1 = signe(x) ¡Á ¦Ð2
tan(x) = 1 + tan2 (x) = cos12 (x)
Arctan(x) + Arccotan(x) = ¦Ð2
d
dx
x en radians
0
cos(x) sin(x) tan(x)
1
0
0
¡Ì
¡Ì
¦Ð
6
¦Ð
4
¦Ð
3
¦Ð
2
Arccos(?x) = ¦Ð ? Arccos(x)
ix
3
¡Ì2
2
2
1
2
1
¡Ì2
2
¡Ì2
3
2
0
1
?ix
3
3
1
¡Ì
3
¡À¡Þ
ix
?ix
Il faut savoir lin¨¦ariser ¨¤ l¡¯aide des formules d¡¯Euler cos(x) = e +e
et sin(x) = e ?e
; de m¨ºme,
2
2i
d¨¦velopper se r¨¦alise ¨¤ partir des formules de Moivre einx = (cos(x) + i sin(x))n = cos(nx) + i sin(nx).
Formules d¡¯addition
cos(a + b) =
sin(a + b) =
tan(a + b) =
cos(a) cos(b) ? sin(a) sin(b)
sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
cos(a ? b) =
sin(a ? b) =
tan(a ? b) =
tan(a)+tan(b)
1?tan(a) tan(b)
cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
sin(a) cos(b) ? cos(a) sin(b)
tan(a)?tan(b)
1+tan(a) tan(b)
Pour retenir cos x ¡À n ¦Ð2 et sin x ¡À n ¦Ð2 , il suffit de visualiser les axes du cercle trigonom¨¦trique :
+ cos, + sin, ? cos et ? sin (dans le sens trigonom¨¦trique). Ajouter ¦Ð2 correspond ¨¤ avancer dans le sens
¦Ð
antitrigonom¨¦trique (ou ¨¤ d¨¦river) ; retrancher
correspond ¨¤ avancer dans le sens trigonom¨¦trique (ou
2
¦Ð
¨¤ int¨¦grer). Par exemple : sin x + 2 = cos(x) et sin(x + ¦Ð) = ? sin(x).
Formules d¡¯angle double
cos(2x) =
=
cos2 (x) ? sin2 (x)
2 cos2 (x) ? 1 = 1 ? 2 sin2 (x)
sin(2x) =
tan(2x) =
2 sin(x) cos(x)
2 tan(x)
1?tan2 (x)
Formules du demi-angle
cos2 (x) =
1+cos(2x)
2
En posant t = tan
sin2 (x) =
x
2
1?cos(2x)
2
tan(x) =
pour x 6¡Ô ¦Ð [2¦Ð], on a : cos(x) =
1?t2
,
1+t2
sin(2x)
1+cos(2x)
sin(x) =
2t
1+t2
=
1?cos(2x)
sin(2x)
et tan(x) =
2t
¡¤
1?t2
Somme, diff¨¦rence et produit
cos(p) + cos(q) =
sin(p) + sin(q) =
tan(p) + tan(q) =
p+q
cos p?q
2
2
p+q
p?q
cos
2
2
sin(p+q)
cos(p) cos(q)
2 cos
2 sin
cos(p) ? cos(q) =
sin(p) ? sin(q) =
tan(p) ? tan(q) =
?2 sin p+q
sin p?q
2
2
2 cos p+q
sin p?q
2
2
sin(p?q)
cos(p) cos(q)
Proc¨¦d¨¦ mn¨¦motechnique : retenir ? coco-moins-sisi-sico-cosi ? pour l¡¯ordre des fonctions.
Les produits cos(a) cos(b), sin(a) sin(b) et sin(a) cos(b) s¡¯obtiennent ¨¤ partir des formules d¡¯addition.
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