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Diagramas de Venn

Em 1880 o lógico inglês (e posteriormente o historiador) John Venn publicou um artigo com o título “Sobre representação diagramática e mecânica de proposições e raciocínios”. Trabalhando em recém-criada área de Álgebra de Boole e associando-a com a nova visão da Teoria de Conjuntos desenvolvida por G.Cantor, Venn propôs a idéia de representar as relações entre conjuntos através de configurações de figuras no plano; o objetivo dele, claramente formulado naquele artigo:

...antes de mais nada os diagramas servem para auxiliar o olho e a mente graças a natureza intuitiva do seu testemunho... foi plenamente alcançado, já que 120 anos mais tarde todos os livros elementares de matemática usam este caminho para introduzir alunos em Teoria de Conjuntos.

União A união entre dois conjuntos [pic]e [pic]consiste num outro conjunto [pic]de todos os elementos que pertencem a [pic]ou a [pic]ou a ambos. Simbolicamente, temos: [pic], lê-se: C é igual a [pic]união [pic]. De uma maneira mais concisa a definição dada acima pode ser escrita simbolicamente por:

[pic]

Exemplo Fazendo a união dos conjuntos [pic]e [pic], temos: [pic]Também podemos representar a união usando diagramas:

|[pic] |

|Figura 49.3: União de conjuntos. |

Intersecção

Chamamos de intersecção de um conjunto [pic]com outro conjunto [pic], ao conjunto constituído pelos elementos [pic]que pertencem tanto a [pic]como a [pic], simultaneamente. A esse conjunto indicamos:[pic], lê-se: ``[pic] intersecção [pic]", ou por simplicidade ``[pic] inter [pic]". Esquematicamente temos:

[pic]

Exemplo

Sejam [pic]e [pic], temos: [pic].

Em diagramas:

|[pic] |

|Figura 49.4: Intersecção de conjuntos. |

1-Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própia; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?

[pic]

Solução: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pelo número de elementos da interseção n(C∩A) = 8%.

[pic]

Como a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, então 9% + 8% + 14% + x = 100 %. Daí, vem que 31% + x = 100%. Logo, o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel é x = 100% - 31% = 69%.

2-Numa pesquisa sobre as emissoras de tevê a que habitualmente assistem, foram consultadas 450 pessoas, com o seguinte resultado: 230 preferem o canal A; 250 o canal B; e 50 preferem outros canais diferente de A e B. Pergunta-se:

a) Quantas pessoas assistem aos canais A e B?

b) Quantas pessoas assistem ao canal A e não assistem ao canal B?

c) Quantas pessoas assistem ao canal B e não assistem ao canal A?

d) Quantas pessoas não assitem ao canal A?

[pic]

Solução: Seja o diagrama a seguir:

[pic]

Temos que 230 - x + x + 250 - x + 50 = 450.

a) O número de pessoas que assistem aos canais A e B é x = 530 - 450 = 80

b) O número de pessoas que assistem ao canal A e não assistem ao canal B é 230 - x = 150.

c) O número de pessoas que assistem ao canal B e não assistem ao canal A é 250 - x = 170.

d) O número de pessoas que não assitem ao canal A é 250 - x + 50 = 250 - 80 + 50 = 220.

PUC) Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem as duas revistas é ....

[pic]

Solução: Seja x o valor procurado. Desenhando um diagrama de Venn-Euler e utilizando-se do fato de que a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, temos a equação: 60 - x + x + 80 - x = 100. Daí, vem que, 60 + 80 - x = 100.

[pic]

Logo, x = 140 - 100 = 40. Assim, o percentual procurado é 40%.

Em uma prova de Matemática com apenas duas questões, 300 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 100 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova?

[pic]

Solução: Temos que 100 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260 - 100 = 160 acertaram apenas a segunda questão. Se 300 acertaram somente uma das questões e 160 acertaram apenas a segunda, segue que, 300 - 160 = 140 acertaram somente a primeira. Como 210 erraram a primeira, incluindo os 160 que também erraram a primeira, temos que, 210 - 160 = 50 erraram as duas. Assim podemos montar o diagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o conjunto dos que acertaram a primeira questão; P2 é o conjunto dos que acertaram a segunda e N é o conjunto dos que erraram as duas. Observe a interseção P1∩ P2 é o conjunto dos que acertaram as duas questões.

[pic]

Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 140 + 100 + 160 + 50 = 450.

Exercícios em grupo 4 alunos

1. (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as únicas matérias dadas são português e matemática, 240 alunos estudam português e 180 alunos estudam matemática. O número de alunos que estudam português e matemática é:

a) 120 b) 60 c) 90 d) 120 e) 180

2. (ACAFE-SC) Dados os conjuntos [pic] e [pic]. Quantos elementos possui [pic]?

a) infinitos b) 8 c) 7 d) 6 e) 5

3-Em uma pesquisa sobre o consumo de dois produtos A e B, foram entrevistas ``[pic]" pessoas, das quais descobriu-se que: 40 consomem o produto A, 27 consomem B, 15 consomem A e B e 20 pessoas não consomem o produto A. Qual o número de pessoas ``[pic]" que foram entrevistadas?

a) 85 b) 75 c) 60 d) 90 e) n.d.a

4. (CESGRANRIO) Em uma universidade são lidos dois jornais [pic]e [pic]; exatamente [pic]dos alunos lêem o jornal A e [pic]o jornal B. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é:

a) 48% b) 60% c) 40% d) 140% e) 80%

5- Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X,  7 comeram a sobremesa Y  e  3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma ?

*a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

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