Уроци по Математика за 1 - 12 клас | Подготовка за матури



Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н И Ф О Р М И Нека е дадена функцията Fx=fxφx и се търси стойността и при стойност на аргумента x=a. Не във всички случаи обаче може да се изчисли стойността на Fa. Така напрмер, ако функциите f(x)и φx са дефинирани в околността наточката a и за x=a имаме fa=φa,то няма смисъл да се пита каква е стойността на функцията Fx при x=a, защотоВ тази точка тя не е дефинирана. Като заместим с x=a във F(x) ще получим Fa=faφa00. Изразът 00 няма числов смисъл, не е определен и в такъв случай се говори, че 00 е една неопределена форма. Представлява интерес обаче въпросът дали функцията Fx притежаваграница или не, когато x клони към a и как може да се пресметне тази граница. Теоремата на Лопитал , дава отговор на този въпрос. ТЕОРЕМА НА ЛОПИТАЛ Нека fx и φx са две непрекъснати функции в околността на точката a, които прите-жават производни в тази околност с изключение евентуално на самата точка a. Нека освен това в точката a да имаме fa=φa=0. Ако съществува границата limx?afxφx , то съще-ствува и границата limx?fxφx и при това тези две граници са равни, т.е. limx?afxφx=limx?afaφa Теоремата остава в сила и тогава, когата при x?a функциите fx и φx растат неогра-ничено. В този случай неопределеността на израза fxφx приема вида ∞∞.По същество при неопределените форми 00 и ∞∞ теоремата на Лопитал ни дава възможност( разбира се, ако се спазват условията и) намирането на границата на отношението от функциида се замени с намирането на границата на отношението на техните производни, което в многослучаи се оказва по-просто. Има обаче случаи, когата съществува limx?afxφx, без да съществуваотношението limx?afxφx и тогава трябва да се използуват други начини за намиране на границакоито вече познаваме. В някои случаи, за да се намери границата, е необходимо да се приложи теоремата на Лопитал последователно няколко пъти, като всеки път внимаваме да са изпълне-ни условията и, за да имаме право да я приложим. В много случаи, за да се намери по-бързо –границата на отношението на производните на функцията, е необходимо да се извършат някоитъждествени преобразувания с това отношение и тогава да се премине към граничен преход. Теоремата на Лопитал може да се прилага с успех при намиране граница на функции, когато при едно непосредствено заместване на аргумента x със стойността, към коята клони, изразите на тези функции водят до неопределени форми от вида00;∞∞;0.∞;∞-∞;00;∞0;1∞. Намирането на границата в такива случаи се нарича разкриване на неопределеността. Раз-криването на неопределености от вида: 0.∞; ∞-∞; 00;∞0; 1∞ с помощта на преобразова-ния, които ще посочим по.-долу се свеждат към разкриване на неопределеностите от вида 00 или ∞∞.ПРИМЕРИ: |. Неопределеност от вида 00 или∞∞1. Намерете границата limx?3x2-9x2+2x-15 Решение. В случая Fx=x2-9x2+2x-15, fx=x2-9, φx=x2+2x-15 и при x=3, Fx приемаформата00 . За да приложим теоремата на Лопитал за намиране на граница на Fx, когато x клони към 3, трябва да проверим дали са изпълнени условиата на тази теорема. а) fx и φx са цели рационални функции, непрекъснати за всяко x и следовател-но в околност на точката x=3. б) Производните fx=2x и φx=2x+2 съществуват за всяко x и следователно в околност на точката x=3. в)В точката x=3, f3=φ3=0. г)Съществува границата на отношението на fx и φx, т.е. limx→3fxφx=limx→32x2x+2=68=34.От а), б), в) и г) следва, че всички условия в теоремата на Лапитал са изпълнени и следователно имаме право да я приложим за намиране границата на дадената функция. Тогава съгласно тази теорема да запишем limxΔ→3Fx=limx→3fxφx=limx→3fxφx или в случая limx→3x2-9x2+2x-15==limx→3x2-9/x2+2x-15/=limx→32x2x+2=68=34.Забележка: Преди да използваме теоремата на Лопитал, трябва да извършим проверка на условията показани по горе, за да се убедим, че имаме право да я приложим, т.е. че условията и са изпълнени.2. Намерете limx→0ex+e-x-21-cos2x. Решение: При x=0 се получава неопределеност от вида 00 . Прилагаме правилото на Лопитал, т.е. limx→0ex+e-x-21-cos2x=limx→0ex-e-x2sin2x=00=limx→0ex+e-x4cos2x=24=12.3. Намерете limx→0tgx-xx-sinx. Решение. Неопределеност от вида 00: limx→0tgx-xx-sinx=limx→01cos2x-11-cosx=limx→01-cos2xcos2x1-cosx= =limx→01-cosx1+cosxcos2x1-cosx=limx→01+cosxcos2x=2.4. Намерете limx→+∞xln1+x. Решение. При x→+∞, числителя и знаменателя растат неограничено, т.е. в случая имамеНеопределеност от вида ∞∞. Прилагаме теоремата на Лопитал.limx→+∞xln1+x=limx→+∞111+x=limx→+∞1+x=+∞ .ll. Неопределеност от вида 0.∞ Нека е дадена функцията Fx=fx.φx.Търсим границата и при x→aa е крайно число или a=∞. Ако за x=a функцията Fxприема неопределената форма 0.∞, то тази неопределена форма може да бъде сведена към разгледаните вече форми 00или ∞∞ с помощта на следните тъждествени преобразования: fx.φx= fx1φx или fx. φx=φx1fx, т.е. взели сме частното на една функция и реципрочното на другата. По-нататък границата се търси при неопределените форми 00или ∞∞.5. Намерете limx→0x.cotgx. Решение. При x=0 функцията приема неопределана форма 0.∞. Тогава съгласно казаното извършваме преобразованието x.cotgx=x1cotgx=xtgx или limx→0x.cotgx=limx→0xtgx=00=limx→011cos2x=1.6. Намерете limx→+∞x2.e-0,01x=0.∞=limx→+∞x2e0,01x=∞∞=limx→+∞2x0,01.e0,01x=∞∞=limx→∞20,012.e0,01x=0.lll. Неопределеност от вида ∞-∞ Нека е дадена функцията Fx=fx=φx. Търсим границата при x→a a е крайно число или a=∞. Ако за x=a функцията приемаНеопределената форма ∞-∞, то тази неопределена форма може да бъде сведена до не-ределената форма 00 или ∞∞ чрез помощта на следните тъждествени преобразувания: fx-φx=fx1-φxfx или fx-φx fxx-1. В някои случаи е по удобно да при-ведем към еднакъв знаменател. ПРОДЪЛЖЕНИЕТО ВИЖТЕ В БРОЙ №9. ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download