Arch Documentation

arch Documentation

Release 6.3.0 Kevin Sheppard

Jan 05, 2024

CONTENTS

1 Univariate Volatility Models

3

1.1 Introduction to ARCH Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 ARCH Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Forecasting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Volatility Forecasting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5 Value-at-Risk Forecasting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.6 Volatility Scenarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.7 Forecasting with Exogenous Regressors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.8 Mean Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.9 Volatility Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

1.10 Using the Fixed Variance process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

1.11 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

1.12 Model Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

1.13 Utilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

1.14 Theoretical Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

2 Bootstrapping

249

2.1 Bootstrap Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

2.2 Confidence Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

2.3 Covariance Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

2.4 Low-level Interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

2.5 Semiparametric Bootstraps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

2.6 Parametric Bootstraps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

2.7 Independent, Identical Distributed Data (i.i.d.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

2.8 Independent Samples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

2.9 Time-series Bootstraps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

2.10 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

3 Multiple Comparison Procedures

323

3.1 Multiple Comparisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

3.2 Module Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

3.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

4 Unit Root Testing

339

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

4.2 Unit Root Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

4.3 The Unit Root Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

5 Cointegration Analysis

373

5.1 Cointegration Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

i

5.2 Cointegration Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 5.3 Cointegrating Vector Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

6 Long-run Covariance Estimation

405

6.1 Long-run Covariance Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

6.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

7 API Reference

451

7.1 Volatility Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

7.2 Unit Root Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

7.3 Cointegration Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

7.4 Cointegrating Relationship Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

7.5 Bootstraps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

7.6 Testing with Multiple-Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

7.7 Long-run Covariance (HAC) Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

8 Change Logs

455

8.1 Version 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

8.2 Past Releases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

9 Citation

463

10 Index

465

Bibliography

467

Python Module Index

469

Index

471

ii

arch Documentation, Release 6.3.0

Note Stable documentation for the latest release is located at doc. Documentation for recent developments is located at devel.

The ARCH toolbox contains routines for: ? Univariate volatility models; ? Bootstrapping; ? Multiple comparison procedures; ? Unit root tests; ? Cointegration Testing and Estimation; and ? Long-run covariance estimation.

Future plans are to continue to expand this toolbox to include additional routines relevant for the analysis of financial data.

CONTENTS

1

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In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

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