Quantum Mechanics Made Simple: Lecture Notes

[Pages:218]Quantum Mechanics Made Simple: Lecture Notes

Weng Cho CHEW1 October 5, 2012

1The author is with U of Illinois, Urbana-Champaign. He works part time at Hong Kong U this summer.

Contents

Preface

vii

Acknowledgements

vii

1 Introduction

1

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Quantum Mechanics is Bizarre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 The Wave Nature of a Particle?Wave Particle Duality . . . . . . . . . . . . . 2

2 Classical Mechanics

7

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Lagrangian Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Hamiltonian Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 More on Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Poisson Bracket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Quantum Mechanics--Some Preliminaries

15

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Probabilistic Interpretation of the wavefunction . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Simple Examples of Time Independent Schr?odinger Equation . . . . . . . . . 19

3.3.1 Particle in a 1D Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.2 Particle Scattering by a Barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.3 Particle in a Potential Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 The Quantum Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Time-Dependent Schr?odinger Equation

27

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Quantum States in the Time Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3 Coherent State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.4 Measurement Hypothesis and Expectation Value . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.4.1 Time Evolution of the Hamiltonian Operator . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4.2 Uncertainty Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.4.3 Particle Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

i

ii

Quantum Mechanics Made Simple

5 Mathematical Preliminaries

35

5.1 A Function is a Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2 Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2.1 Matrix Representation of an Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2.2 Bilinear Expansion of an Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2.3 Trace of an Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2.4 Unitary Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2.5 Hermitian Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3 Identity Operator in a Continuum Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.4 Changing Between Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4.1 The Coordinate Basis Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.5 Commutation of Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.6 Expectation Value and Eigenvalue of Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.7 Generalized Uncertainty Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.8 Time Evolution of the Expectation Value of an Operator . . . . . . . . . . . . 53

5.9 Periodic Boundary Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6 Approximate Methods in Quantum Mechanics

57

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.2 Use of an Approximate Subspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.3 Time Independent Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.4 Tight Binding Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.4.1 Variational Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.4.2 Time Dependent Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7 Quantum Mechanics in Crystals

71

7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.2 Bloch-Floquet Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.3 Bloch-Floquet Theorem for 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.4 Effective Mass Schr?odinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.5 Density of States (DOS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.6 DOS in a Quantum Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8 Angular Momentum

85

8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.1.1 Electron Trapped in a Pill Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8.1.2 Electron Trapped in a Spherical Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8.2 Mathematics of Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 8.3 L^2 Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Contents

iii

9 Spin

95

9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9.2 Spin Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9.3 The Bloch Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

9.4 Spinor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9.5 Pauli Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

10 Identical Particles

101

10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

10.2 Pauli Exclusion Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

10.3 Exchange Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

10.4 Extension to More Than Two Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

10.5 Counting the Number of Basis states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

10.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

10.7 Thermal Distribution Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

11 Density Matrix

111

11.1 Pure and Mixed States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

11.2 Density Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

11.3 Time Evolution of the Matrix Element of an Operator . . . . . . . . . . . . . 114

11.4 Interaction of Light with Two-Level Atomic System . . . . . . . . . . . . . . 115

12 Quantization of Classical Fields

123

12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

12.2 The Quantum Harmonic Oscillator Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

12.2.1 Eigenfunction by the Ladder Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

12.3 Quantization of Waves on a Linear Atomic Chain?Phonons . . . . . . . . . . 127

12.4 Schr?odinger Picture versus Heisenberg Picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

12.5 The Continuum Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

12.6 Quantization of Electromagnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

12.6.1 Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

12.6.2 Field Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

12.6.3 Multimode Case and Fock State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

12.6.4 One-Photon State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

12.6.5 Coherent State Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

13 Schr?odinger Wave Fields

145

13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

13.2 Fock Space for Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

13.3 Field Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

13.4 Similarity Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

13.5 Additive One-Particle Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

13.5.1 Three-Particle Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

13.6 Additive Two-Particle Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

13.7 More on Field Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

iv

Quantum Mechanics Made Simple

13.8 Boson Wave Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 13.9 Boson Field Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 13.10Additive One-Particle Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 13.11The Difference between Boson Field and Photon Field . . . . . . . . . . . . . 160

14 Interaction of Different Particles

161

14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

14.2 Interaction of Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

14.3 Time-Dependent Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

14.3.1 Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

14.4 Spontaneous Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

14.5 Stimulated Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

14.6 Multi-photon Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

14.7 Total Spontaneous Emission Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

15 Quantum Information and Quantum Interpretation

169

15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

15.2 Quantum Cryptography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

15.2.1 No-cloning Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

15.2.2 Entangled States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

15.2.3 A Simple Quantum Encryption Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . 172

15.3 Quantum Computing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

15.3.1 Quantum Bits (Qubits) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

15.3.2 Quantum Gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

15.3.3 Quantum Computing Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

15.4 Quantum Teleportation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

15.5 Interpretation of Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

15.6 EPR Paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

15.7 Bell's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

15.7.1 Prediction by Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

15.7.2 Prediction by Hidden Variable Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

15.8 A Final Word on Quantum Parallelism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

A Generators of Translator and Rotation

191

A.1 Infinitesimal Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

A.2 Infinitesimal Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

A.3 Derivation of Commutation Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

B Quantum Statistical Mechanics

195

B.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

B.1.1 Distinguishable Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

B.1.2 Identical Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

B.1.3 Identical Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

B.2 Most Probable Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

B.2.1 Distinguishable Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Contents

v

B.2.2 Identical Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 B.2.3 Identical Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 B.3 The Meaning of and . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

C Gaussian Wave Packet

203

C.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

C.2 Derivation from the Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

C.3 Physical Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

C.4 Stability of the Plane Wave Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

vi

Quantum Mechanics Made Simple

 ................
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