Quantum Mechanics Made Simple: Lecture Notes
[Pages:218]Quantum Mechanics Made Simple: Lecture Notes
Weng Cho CHEW1 October 5, 2012
1The author is with U of Illinois, Urbana-Champaign. He works part time at Hong Kong U this summer.
Contents
Preface
vii
Acknowledgements
vii
1 Introduction
1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Quantum Mechanics is Bizarre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 The Wave Nature of a Particle?Wave Particle Duality . . . . . . . . . . . . . 2
2 Classical Mechanics
7
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Lagrangian Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Hamiltonian Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 More on Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Poisson Bracket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Quantum Mechanics--Some Preliminaries
15
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Probabilistic Interpretation of the wavefunction . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Simple Examples of Time Independent Schr?odinger Equation . . . . . . . . . 19
3.3.1 Particle in a 1D Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.2 Particle Scattering by a Barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.3 Particle in a Potential Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 The Quantum Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Time-Dependent Schr?odinger Equation
27
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Quantum States in the Time Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Coherent State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4 Measurement Hypothesis and Expectation Value . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4.1 Time Evolution of the Hamiltonian Operator . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4.2 Uncertainty Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4.3 Particle Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
i
ii
Quantum Mechanics Made Simple
5 Mathematical Preliminaries
35
5.1 A Function is a Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2.1 Matrix Representation of an Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2.2 Bilinear Expansion of an Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2.3 Trace of an Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2.4 Unitary Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2.5 Hermitian Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3 Identity Operator in a Continuum Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4 Changing Between Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.4.1 The Coordinate Basis Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.5 Commutation of Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.6 Expectation Value and Eigenvalue of Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.7 Generalized Uncertainty Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.8 Time Evolution of the Expectation Value of an Operator . . . . . . . . . . . . 53
5.9 Periodic Boundary Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6 Approximate Methods in Quantum Mechanics
57
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 Use of an Approximate Subspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3 Time Independent Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.4 Tight Binding Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.4.1 Variational Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.4.2 Time Dependent Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7 Quantum Mechanics in Crystals
71
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.2 Bloch-Floquet Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.3 Bloch-Floquet Theorem for 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.4 Effective Mass Schr?odinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.5 Density of States (DOS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.6 DOS in a Quantum Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8 Angular Momentum
85
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.1.1 Electron Trapped in a Pill Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.1.2 Electron Trapped in a Spherical Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.2 Mathematics of Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 8.3 L^2 Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Contents
iii
9 Spin
95
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.2 Spin Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.3 The Bloch Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.4 Spinor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.5 Pauli Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10 Identical Particles
101
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
10.2 Pauli Exclusion Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
10.3 Exchange Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
10.4 Extension to More Than Two Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10.5 Counting the Number of Basis states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10.7 Thermal Distribution Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11 Density Matrix
111
11.1 Pure and Mixed States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
11.2 Density Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
11.3 Time Evolution of the Matrix Element of an Operator . . . . . . . . . . . . . 114
11.4 Interaction of Light with Two-Level Atomic System . . . . . . . . . . . . . . 115
12 Quantization of Classical Fields
123
12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
12.2 The Quantum Harmonic Oscillator Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
12.2.1 Eigenfunction by the Ladder Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
12.3 Quantization of Waves on a Linear Atomic Chain?Phonons . . . . . . . . . . 127
12.4 Schr?odinger Picture versus Heisenberg Picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12.5 The Continuum Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.6 Quantization of Electromagnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
12.6.1 Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
12.6.2 Field Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
12.6.3 Multimode Case and Fock State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
12.6.4 One-Photon State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
12.6.5 Coherent State Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
13 Schr?odinger Wave Fields
145
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13.2 Fock Space for Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13.3 Field Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
13.4 Similarity Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
13.5 Additive One-Particle Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
13.5.1 Three-Particle Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
13.6 Additive Two-Particle Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
13.7 More on Field Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
iv
Quantum Mechanics Made Simple
13.8 Boson Wave Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 13.9 Boson Field Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 13.10Additive One-Particle Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 13.11The Difference between Boson Field and Photon Field . . . . . . . . . . . . . 160
14 Interaction of Different Particles
161
14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
14.2 Interaction of Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
14.3 Time-Dependent Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
14.3.1 Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
14.4 Spontaneous Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
14.5 Stimulated Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
14.6 Multi-photon Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
14.7 Total Spontaneous Emission Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
15 Quantum Information and Quantum Interpretation
169
15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
15.2 Quantum Cryptography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
15.2.1 No-cloning Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
15.2.2 Entangled States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
15.2.3 A Simple Quantum Encryption Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . 172
15.3 Quantum Computing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
15.3.1 Quantum Bits (Qubits) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
15.3.2 Quantum Gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
15.3.3 Quantum Computing Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
15.4 Quantum Teleportation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
15.5 Interpretation of Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
15.6 EPR Paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
15.7 Bell's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
15.7.1 Prediction by Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
15.7.2 Prediction by Hidden Variable Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
15.8 A Final Word on Quantum Parallelism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
A Generators of Translator and Rotation
191
A.1 Infinitesimal Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
A.2 Infinitesimal Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
A.3 Derivation of Commutation Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
B Quantum Statistical Mechanics
195
B.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
B.1.1 Distinguishable Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
B.1.2 Identical Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
B.1.3 Identical Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
B.2 Most Probable Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
B.2.1 Distinguishable Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Contents
v
B.2.2 Identical Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 B.2.3 Identical Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 B.3 The Meaning of and . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
C Gaussian Wave Packet
203
C.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
C.2 Derivation from the Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
C.3 Physical Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
C.4 Stability of the Plane Wave Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
vi
Quantum Mechanics Made Simple
................
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