Transformada de Laplace y sus aplicaciones a las ...

Transformada de Laplace y sus aplicaciones a las ecuaciones diferenciales

Jos? Salvador C?novas Pe?a 8 de enero de 2008

?ndice General

1 Transformada de Laplace

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1.1 Funciones continuas a trozos. Funci?n de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Definici?n de Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Definici?n y primeros ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Dominio de definici?n de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . 8

1.3 Propiedades de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Transformada de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3 Transformada de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.4 Transformada de la convoluci?n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.5 Primer Teorema de Traslaci?n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.6 Segundo Teorema de Traslaci?n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Propiedades de la funci?n Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1 Derivabilidad de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.2 Teoremas del valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.3 Teorema del valor final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Transformada de Laplace inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5.1 Inyectividad de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5.2 Transformada de Laplace inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.3 F?rmula de inversi?n compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Aplicaciones

23

2.1 Una primera aproximaci?n al problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Uso de la convoluci?n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Problemas con funciones discontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5 Funciones de impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

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?ndice general 2.6 Una aplicaci?n concreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.7 Funciones de transferencia. Estabilidad y control de sistemas el?ctricos . . . 30

ii

Introducci?n

Vamos a desarrollar un tema sobre la Transformada de Laplace y su aplicaci?n a la resolu-

ci?n de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Estas ecuaciones surgen de manera natural en el contexto de los circuitos el?ctricos.

Consideremos por ejemplo el t?pico circuito LRC de la figura

donde la inductancia L, la resistencia R y la capacidad de condensador C se consideran constantes. Se tiene entonces que la carga q(t) que circula por el circuito est? dada por la ecuaci?n

Lq00(t) + Rq0(t) + q(t)/C = V (t), y dado que la intensidad I(t) es la derivada de la carga, ?sta puede calcularse por la ecuaci?n

Zt LI0(t) + RI(t) + I(s)ds/C = V (t),

0

o equivalentemente con la ecuaci?n diferencial LI00(t) + RI0(t) + I(t)/C = V 0(t),

en el caso en que V (t) sea una funci?n derivable. 1

Introducci?n

De forma similar, si tenemos un circuito con varias ramas y m?s elementos, como por ejemplo

podemos deducir a partir de las leyes de Kirchoff que las intensidades que circulan por los

hilos el?ctricos del circuito vienen dadas por

0 = I1 - I2 - I3,

V 0(t) = I10 R1 + I1/C1 + I20 R2, 0 = -I20 R2 + I300L + I3/C2,

Si suponemos los elementos del circuito constantes, salvo a lo mejor el voltaje V (t), que supondremos una funci?n derivable, tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

La Transformada de Laplace es una herramienta que permite transformar los problemas anteriores en problemas algebraicos y, una vez resuelto este problema algebraico m?s f?cil a priori de resolver, calcular a partir de la soluci?n del problema algebraico la soluci?n del problema de ecuaciones diferenciales.

Esta es la forma en que los ingenieros abordan el estudio de estos problemas, como pone de manifiesto las referencias [Oga1], [Sen] o [Jam]. Adem?s este m?todo es explicado en algunos libros de ecuaciones diferenciales como [BoPr], [Bra], [Jef] o [MCZ].

Sin embargo, para entender en su justa dimensi?n la Transformada de Laplace hay que 2

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