MOVIMIENTO PLANO GENERAL CINEMÁTICA Ing. Eduardo Valentín ...

MOVIMIENTO PLANO GENERAL ? CINEM?TICA

Ing. Eduardo Valent?n Talavera Moctezuma

Septiembre 2018

Para simplificar el estudio del movimiento del cuerpo r?gido (que es aquel cuerpo que se considera indeformable) se hace referencia a dos tipos de movimiento que pueden ocurrir en ?ste, dichos tipos de movimiento son conocidos como traslacional y rotacional. El movimiento traslacional es aquel que se genera cuando todas las part?culas de un cuerpo r?gido se mueven con la misma velocidad y aceleraci?n siguiendo una trayectoria recta o curvil?nea. Por otra parte, el movimiento rotacional es aquel donde todas las part?culas del cuerpo se mueven en torno a un eje fijo.

Figura 1. Traslaci?n de los puntos P1 y P2 a P1' y P2' (izquierda) y Rotaci?n del punto P a P' en torno a un eje que pasa por el punto C y perpendicular al plano de movimiento (derecha)

Ambos movimientos pueden presentarse de forma individual al analizar la cinem?tica de un cuerpo r?gido, gener?ndose los casos de estudio de traslaci?n pura y rotaci?n pura. Pero cuando el movimiento de un cuerpo r?gido no es puramente rotacional o traslacional sino una combinaci?n de ambos, entonces, se presenta un caso de movimiento plano general.

Figura 2. Movimiento plano general compuesto por una traslaci?n de C a C' y una rotaci?n de P a P' en torno a C

Un ejemplo de cuerpo que experimenta movimiento plano general es el de una llanta de autom?vil cuyo centro esta en el punto C, en dicha llanta tambi?n podemos ubicar un segundo punto P en la periferia, conforme el autom?vil avanza, el movimiento de C se describe a trav?s de una l?nea recta mientras que la trayectoria de P, si bien es cierto que se est? girando aparentemente en torno a C, tambi?n est? traslad?ndose junto con el resto del autom?vil generando un movimiento que es el resultado de la traslaci?n del punto C en direcci?n a el movimiento del veh?culo y la rotaci?n de P respecto a C

Figura 3. Movimiento plano general de una llanta. En la figura se aprecia que el movimiento del centro C de la llanta es de tipo traslacional y el movimiento del punto P ubicado en la periferia es rotacional con respecto del punto C, pero no es ni traslacional ni rotacional con respecto a los ejes coordenados "x" y "y". Ecuaciones de Velocidad Cuando se realiza el an?lisis de velocidad de un movimiento traslacional de un cuerpo, ?ste se realiza con respecto de un sistema de coordenadas fijo en el plano, a partir del cual se determina el cambio de posici?n a trav?s del tiempo que experimenta el cuerpo en cuesti?n. En cuanto a las ecuaciones de velocidad de un movimiento rotacional, estas se plantean con respecto de un sistema de coordenadas fijo en el centro de rotaci?n del cuerpo que experimenta este movimiento. En el caso del movimiento plano general al tratarse de la combinaci?n de traslaci?n y rotaci?n, las ecuaciones de ?ste movimiento se plantean como la suma de una velocidad traslacional con respecto a un sistema coordenado fijo en el plano de an?lisis y una velocidad angular relativa del punto de an?lisis del cuerpo r?gido con respecto de su centro de rotaci?n. Retomando el ejemplo de la llanta de autom?vil, si consideramos a esta como una placa circular situada en el plano XY cuyos ejes coordenados permanecen fijos en el espacio, las

ecuaciones de velocidad del punto P van a estar determinadas por la velocidad traslacional del punto C con respecto al eje coordenado XY al cual se le llama , mas, la velocidad angular del punto P en torno al eje que pasa por el punto C y perpendicular al plano de movimiento, siendo esta una velocidad relativa de P con respecto de C la cual se expresa como /

Figura 4. Velocidad de un cuerpo r?gido que experimenta movimiento plano general: El vector es la velocidad lineal que experimenta el centro de rotaci?n del cuerpo C, P es cualquier punto de an?lisis en el cuerpo r?gido, el vector / es el vector que va desde el centro de rotaci?n al punto de an?lisis P y es la velocidad angular del cuerpo con respecto de C La expresi?n matem?tica que representa el movimiento del cuerpo r?gido anteriormente descrito es la siguiente:

= + / ()

Si se quiere obtener una expresi?n matem?tica mas extensiva de la ecuaci?n anterior, bastar? recordar que la velocidad relativa de P con respecto de C que se expresa mediante el t?rmino /es el resultado del producto vectorial entre el vector de velocidad angular del cuerpo entorno al eje perpendicular al plano de movimiento (para este ejemplo el eje z) el cual se expresa como y el vector que va desde el centro de rotaci?n del cuerpo hasta el punto de an?lisis representado por la expresi?n /

/ = + / ()

Sustituyendo la expresi?n () en ()

= + + / ()

Finalmente, la expresi?n () se puede considerar como la ecuaci?n que describe el comportamiento de la velocidad de un punto P cualquiera situado en un cuerpo r?gido que experimenta traslaci?n respecto a un eje coordenado fijo y rotaci?n respecto a un punto C.

Ecuaciones de Aceleraci?n

Una vez que se tienen las ecuaciones de velocidad del movimiento plano general de un cuerpo r?gido y se quieren conocer las respectivas ecuaciones de aceleraci?n, bastar? con derivar la expresi?n () con respecto del tiempo, de tal forma que ahora la ecuaci?n represente el cambio de la velocidad de un punto P del cuerpo con respecto del tiempo, en otras palabras, la aceleraci?n de dicho punto.

(

)

=

(

+

/)

= + / ()

El t?rmino de la ecuaci?n () corresponde a la aceleraci?n traslacional del centro de rotaci?n del cuerpo r?gido y el t?rmino / es la aceleraci?n relativa de P con respecto de C, dicha expresi?n al ser el resultado de derivar el t?rmino / con respecto del tiempo puede ser escrita de la siguiente manera

/

=

?

/ +

?

/

/ = ? / + ? ( ? /)

/ = ? / - / ()

Sustituyendo la expresi?n () en ()

= + ? / - / ()

La ecuaci?n () es el modelo matem?tico de la aceleraci?n de un punto P cualquiera de un cuerpo r?gido considerando la aceleraci?n traslacional de su centro de rotaci?n, la aceleraci?n angular del cuerpo en torno a C, el vector / que va desde el centro de rotaci?n C del cuerpo al punto P de an?lisis y la velocidad angular del cuerpo entorno al punto C y un eje perpendicular al plano de movimiento.

Figura 5. Aceleraci?n de un cuerpo r?gido que experimenta movimiento plano general: El vector es la aceleraci?n lineal que experimenta el centro de rotaci?n del cuerpo C, P es cualquier punto de an?lisis en el cuerpo r?gido, el vector / es el vector que va desde el centro de rotaci?n al punto de an?lisis P , es la velocidad angular del cuerpo con respecto de C y es la aceleraci?n angular del cuerpo con respecto de C.

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