Bài 1:
Chuyên đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ - MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
(15 TIẾT)
Vấn đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ
I - HÀM BẬC BA y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ( 0 )
( ( Các bước cơ bản khảo sát hàm bậc ba:
|Bước 1 : TXĐ : D=R |Bước 4 : Lập bảng biến thiên |
| |Bước 5: Nhìn BBT kết luận (có 4 ý sau) |
|Bước 2 : Tính y’. Giải PT y’ = 0 tìm các điểm cực trị. |( Hàm số đạt CĐ tại x = ? khi đó y = ? |
| |( Hàm số đạt CT tại x = ? khi đó y = ? |
| |( Hàm số đồng biến trên khoảng ? |
| |( Hàm số nghịch biến trên khoảng ? |
|Bước 3 : Tính các giới hạn: |Bước 6 : đồ thị |
|( [pic] |( Bảng giá trị |
|( [pic] |x |
| |y |
| | |
| |( Vẽ đồ thị |
(( Chú ý : Có 2 dạng đồ thị
BÀI TẬP
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a) y = x3 + 3x2 – 3
b) y = x3 - 3x + 1 .
c) y=[pic]
d) y= - x3 + 3x2 – 4
e) y = x3 – 3x2 + 3x + 1,
f) y = -x3 + 3x2 – 5x + 2
g) y = x3 + x – 2
h) y = x3 – 3x2 + 6
i) y = x3 – 3x – 2
k) y = x3 – 3x2 + 3
l) y = - x3 + 3x + 1
m) y = 2x3 – 6x +2
II - HÀM BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG y = ax4 + bx2 + c( a ( 0 )
( ( Các bước cơ bản khảo sát hàm bậc 4 trùng phương
|Bước 1 : TXĐ : D=R |Bước 4 : Lập bảng biến thiên |
| |Bước 5 : Nhìn BBT kết luận (có 4 ý sau) |
|Bước 2 : Tính y’. Giải PT y’ = 0 tìm các điểm cực trị. |( Hàm số đạt CĐ tại x = ? khi đó y = ? |
| |( Hàm số đạt CT tại x = ? khi đó y = ? |
| |( Hàm số đồng biến trên khoảng ? |
| |( Hàm số nghịch biến trên khoảng ? |
|Bước 3 : Tính các giới hạn: |Bước 6 : đồ thị ( Bảng giá trị |
|[pic] |x |
| |y |
| |( Vẽ đồ thị |
| | |
(( Chú ý : Có 2 dạng đồ thị
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a) y = x4 – 2x2. b) y = -x4 +2x2 + 3
b) c) y = x4 + 2x2 -1 d)[pic].
e) [pic] f) y = x4 – 2x2 + 2
g) [pic] h) y = x4 - 4x2 + 5
i) [pic]
III - HÀM NHẤT BIẾN: [pic] ( c ( 0; ad ( bc ( 0 ) với
( ( Các bước cơ bản khảo sát hàm nhất biến
|Bước 1 : TXĐ : [pic] |Bước 4 : Lập bảng biến thiên |
|Bước 2 : Tính [pic]. ( ad(bc > 0 thì y/>0, ( x (D |Bước 5 : đồ thị |
|( ad(bc < 0 thì y/ < 0, ( x (D |( Bảng giá trị |
|Kết luận : (bắt buộc có) |x |
|* hàm số không có cực trị. |y |
|* hàm số luôn tăng (giảm) trên từng khoảng xác định | |
| |( Vẽ đồ thị : vẽ 2 tiệm cận trước. |
|Bước 3 : Tiệm cận: |NHẬN XÉT: Đồ thị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng. |
|( là tiệm cận đứng vì | |
|( là tiệm cận ngang vì | |
(( Chú ý : Có 2 dạng đồ thị
3) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a) y = [pic] b) y = [pic]
c) y = [pic] d) y = [pic]
e) y = [pic] f) y = [pic]
g) y = [pic] h) y = [pic]
i) y = [pic] k) y = [pic]
----------(---------
VẤN ĐỀ 2 : TIẾP TUYẾN(TT)
Loại 1: TT của đồ thị tại điểm [pic]
( Tính đạo hàm f’(x) và giá trị [pic]
( Phương trình tiếp tuyến (pttt) có dạng (d): [pic]
4) Viết pttt với (C) biết:
a. ( C ) : [pic] tại [pic]
b. ( C ) : [pic] tại [pic]có tung độ [pic]
c. ( C ) : [pic]là giao điểm của ( C ) với đt [pic]
d. ( C ) : [pic]với [pic]là giao điểm của ( C ) và Oy
e. ( C ) : [pic] với [pic]là giao điểm của ( C ) và Ox.
Loại 2: Biết hệ số góc của TT là [pic]
( Giải PT: [pic], tìm nghiệm [pic].
( PT TT dạng (d): [pic].
Chú ý: ( Nếu thì k = a.
( Nếu thì
Ví dụ 1: Cho (C) là đồ thị hàm số [pic]. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng – 5.
Giải
Ta có: [pic]. Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm (x0;y0) ( (C).
d có hệ số góc bằng – 5 ([pic]
* Với x0 = 1 ( [pic]. Phương trình tiếp tuyến của © tại A(1;– 3)
có dạng: [pic] hay y = –5x + 2
* Với x0 = 3 ( [pic]. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(3; 7)
có dạng: [pic] hay y = –5x + 22
Vậy: Có 2 phương trình tiếp tuyến của (C) thỏa yêu cầu bài toán:
(d1): y = –5x + 2 và (d2): y = –5x + 22.
Ví dụ 2 : Cho (C) là đồ thị hàm số y = – x3 + 3x. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = – 9x.
Giải
Ta có: y’ = – 3x2 + 3.
Phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại M(x0; y0) có dạng: [pic]
(d) song song (d’): y = – 9x ( f’(x0) = – 9 ( x = ( 2
Với x = 2 ( y = – 2 ( tiếp tuyến có dạng: y = – 9x + 16.
Với x = – 2 ( y = 2 ( tiếp tuyến có dạng: y = – 9x – 16.
Vây có 2 phương trình tiếp tuyến của (C) thỏa yêu cầu bài toán:
y = – 9x + 16 và y = – 9x – 16
5) Cho (C) [pic]. Viết pttt với (C) biết:
a) TT này song song với y= 6x-1 .
b) TT vuông góc với [pic].
6) Cho ( C ) [pic] Viết pttt với ( C ) biết TT đó:
a) Song song với đt : [pic]
b) Vuông góc với đt : [pic]
Loại 3: TT của (C) đi qua điểm [pic].
( Gọi d là ĐT qua A và có hệ số góc là k, khi đó [pic]
( Điều kiện tiếp xúc của [pic]là hệ PT sau phải có nghiệm: [pic]
Tổng quát: Cho hai đường cong [pic] và [pic]. Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với nhau là hệ sau có nghiệm. [pic].
Ví dụ : Cho (C) là đồ thị hàm số [pic]. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(3; 0).
Giải
Ta có: y’ = x2 – 2x
Đường thẳng (d) đi qua A(3; 0) và có hệ số góc k có phương trình dạng:
y = k(x – 3) + 0
(d) là tiếp tuyến của (C) ( [pic]có nghiệm.
Lấy (2) thay vào (1) ta được: [pic]
Thay x = 0 vào (2) ta được k = 0. Phương trình tiếp tuyến là: y = 0
Thay x = 3 vào (2) ta được k = 3. Phương trình tiếp tuyến là: y = 3x – 9
Vậy ta có hai pttt của (C) đi qua A: y = 0 và y = 3x – 9
7) Cho ( C ) [pic] Viết pttt với ( C ) biết TT :
a) Qua gốc tọa độ O
b) Qua điểm [pic]
8) Cho ( C ) :[pic] .Viết pttt với ( C ) biết TT
a) Tại điểm có hòanh độ [pic]
b) Qua [pic]
9) Cho ( C ) :[pic]. Viết pttt biết TT đó qua [pic]
----------(---------
VẤN ĐỀ 3: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PT BẰNG ĐỒ THỊ
( ( Phương pháp
+ Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(m) (1)
+ (1) là PT hoành độ giao điểm của [pic]
+ Do đó số nghiệm của (1) là số giao điểm của ( và (C).
+ Kết luận
BÀI TẬP
10) Cho hàm số y = - x3 + 3x + 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm pt: x3 - 3x + m = 0
11) Cho hàm số [pic]
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm pt: x4 – 6x2 + 3 = m
12) Cho hàm số y = [pic] có đồ thị là (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của PT: [pic]
----------(---------
Vấn đề 4: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Quy tắc 1 xác định CĐ, CT:
1. Tìm TXĐ
2. Tính y’. Tìm các điểm làm cho y’=0 hoặc không xác định.
3. Lập bảng biến thiên
4. Kết luận
Quy tắc 2 xác định CĐ, CT:
1. Tìm TXĐ
2. Tính y’.giải PT y’= 0 tìm các xi (i=1,2,3)
3. Tính y”. Tính y”(xi)
4. Dựa vào dấu y”(xi) kết luận:
( Nếu y”(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi
( Nếu y”(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi
Chú ý: Nếu hàm số có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực đại hay cực tiểu tại x0 thì f’(x0) = 0 ( Điều ngược lại chưa chắc đúng)
Dạng 1: Bài toán chứng minh
13) Chứng minh hàm số luôn luôn có CĐ, CT (tức là có 2 cực trị). CM:
a) y=[pic] b) y=[pic]
c) y=[pic] d. y = -x3 - 3x2 + 4m2x. e) [pic]
14) Chứng minh hàm số không có cực trị CM:
a) y = [pic]. b) y =
c) y = d) y =
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số thỏa mãn điều kiện về cực trị:
Cho hàm số[pic] , đồ thị là (C).
( Nghiệm của PT [pic] là hoành độ của điểm cực trị.
( Nếu [pic] thì hàm số đạt cực đại tại [pic].
( Nếu [pic] thì hàm số đạt cực tiểu tại [pic].
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA:
( Để hàm số [pic] có 2 cực trị
( Để hàm số [pic] không có cực trị (
( Để hàm số [pic]có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành [pic].
( Để hàm số [pic]có hai cực trị nằm về 1 phía đối với trục tung ( x CĐ .x CT > 0
( Để hàm số [pic]có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung [pic].
( Để hàm số [pic]có hai cực trị nằm phía trên trục hoành [pic].
( Để hàm số [pic]có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành [pic].
( Để hàm số [pic]có cực trị tiếp xúc với trục hoành [pic].
CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN DẠNG : y = ax4 + bx2 + c (a [pic]0) :
- Tính y’ = 4ax3 + 2bx
- Cho y’= 0 [pic]2x(2ax2 + b) = 0 [pic]
- Hàm số có 3 cực trị (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 [pic]a.b < 0
- Hàm số có 1 cực trị: (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép hoặc có một nghiệm bằng 0
[pic][pic]
( Chú ý:
1. Đối với hàm số bậc ba, lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là ĐT đi qua 2 điểm cực trị.
2. Cách tính tung độ cực trị của hàm số y = f(x) tại x0
- Hàm số bất kỳ : thực hiện phép thế y0 = f(x0)
- Hàm đa thức: chia đạo hàm ( lấy y chia cho y’ được thương là q(x) và dư là r(x)).
Khi đó, y = q(x).y’ + r(x). Vì hàm số đạt cực trị tại x0 nên y’(x0) = 0.
Do đó, giá trị cực trị y0 = r(x0) ( tức là thế x0 vào phần dư r(x) để tính tung độ cực trị)
3. Khoảng cách giữa hai điểm: [pic]
4. A(x; y) thuộc trục hoành khi y = 0, B(x;y) thuộc trục tung khi x = 0
BÀI TẬP
15) Cho hàm số[pic]
a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
b) Tìm m để hàm số có 2 cực trị nằm về khác phía so với trục tung
c) Tìm m để hàm số có 2 cực trị nằm hai phía của đường thẳng x = 1.
c) Tìm m để hàm số có 2 cực trị nằm bên trái đường thẳng x = 1.
16) Xác định m để hàm số có 3 cực trị, (có 1 cực trị)
a) y = mx4 b + (m2 – 9)x2 + 3m + 2.
b) y = mx4 + (m2 – 4)x2 + 3m + 1.
c) [pic].
VẤN ĐỀ 5: GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐỒ THỊ
( (Chú ý:
- Giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với trục hoành là nghiệm của PT
f(x) = 0
- Điều kiện PT bậc 2 có nghiệm phân biệt, nghiệm dương
- Định lý Vi-et, công thức tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng.
Nhắc lại:
1. ĐT d qua A(x1; y1) và có hệ số góc k thì có PT : y = k(x-x1) + y1
2. Cho [pic]
3. Khoảng cách từ một điểm đến một ĐT: Cho ĐT [pic] và điểm M(x0;y0) khi đó [pic]
BÀI TẬP
17) Tìm m để đồ thị hàm số [pic] cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
18) Cho hàm số y = x4 – mx2 + m - 1 (m là tham số). Tìm m để đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. ( Đs: m > 1 và [pic])
19) Khảo sát hàm số y = x3 ( 6x2 + 9x ( 1 (C). Gọi d là ĐT đi qua điểm A(2; 1) và có hệ số góc m. Tìm m để ĐT d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.
20) Cho hàm số [pic]
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Với giá trị nào của m thì ĐT (d) qua A(-2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt.
c) Tìm m để ĐT (d) cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt thuộc 2 nhánh.
----------(---------
BÀI TẬP TỔNG HỢP
21) Cho hàm số [pic] (C).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương [pic].
c) Viết PT TT của (C) tại điểm có hoành độ là [pic].
d) Viết PT TT của (C), biết hệ số góc của TT [pic].
e) Viết PT TT với (C), biết TT song song với ĐT [pic].
22) Cho hàm số [pic] (C).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Viết PT TT của (C), biết TT vuông góc với ĐT [pic]
c) Viết PT TT tại các điểm cực trị.
d) Tìm m để ĐT [pic] cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.
23) Cho hàm số [pic] (C).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để PT [pic] có 4 nghiệm thực phân biệt.
c) Viết PT TT của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
d) Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT song song với ĐT [pic].
24) Cho hàm số [pic] (C).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị (C) , hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình [pic] .
c) Viết PT TT của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
d) Viết PT TT của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3 .
25) Cho hàm số [pic] [pic], m là tham số
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 0
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm cực trị.
c) Tìm m để hàm số có cực trị
d) Tìm m để [pic]cắt với trục hoành tại ba điểm phân biệt.
26) Cho hàm số [pic]
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi [pic] .
b) Biện luận theo k số nghiệm thực của PT [pic].
c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại [pic] .Tìm m để hàm số có 1 cực trị .
27) Cho hàm số [pic] (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Viết PT TT của (C) tại điểm có tung độ [pic] .
c) Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT song song với ĐT [pic].
d) Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT vuông góc với ĐT [pic].
e) Tìm m để ĐT [pic] cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm .
28) Cho hàm số [pic] (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Viết PT TT của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành .
c) Viết PT TT của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung .
d) Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT vuông góc với ĐT [pic].
e) Tìm m để ĐT [pic] cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương .
29) Cho hàm số [pic] (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất
c) Tìm m để ĐT [pic] cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt.
d) Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT vuông góc với ĐT [pic].
e) Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên.
Chuyên đề 2 : PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
(5 TIẾT)
1. Kiến thức cần nhớ:
[pic]
2. Các dạng cơ bản:
Dạng 1: [pic](Không cần đặt điều kiện[pic])
Dạng 2: [pic]
Dạng 3: [pic] xét 2 trường hợp:
TH1: [pic] TH2: [pic]
Lưu ý: g(x) thường là nhị thức bậc nhất (ax+b) nhưng có một số trường hợp g(x) là tam thức bậc hai (ax2+bx+c), khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể mạnh dạn đặt điều kiện cho [pic] rồi bình phương 2 vế đưa phương trình(bất phương trình về dạng quen thuộc.
Ví dụ 1: Giải phương trình
a) x - [pic] = 0 (1)
b) [pic] (2)
Giải
a) x - [pic] = 0 [pic][pic]
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 3
b) Điều kiện: [pic]
Phương trình (2) [pic][pic]
[pic]3x+13+2[pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
Vậy nghiệm của phương trình (2) là x = 0
Ví dụ 2: Giải các phương trình:
1. [pic]
2. [pic]
Ví dụ 3: Giải các bất phương trình
1. [pic]
2. [pic]
Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006). Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:
[pic] ĐS: [pic].
Phương pháp đặt ẩn phụ:
Khi bình phương 2 vế đưa phương trình(bất phương trình vô tỷ mà dẫn đến phương trình, bất phương trình đại số không giải được thì ta tìm cách giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1: Giải phương trình: [pic] (1)
Giải
Đặt t = x2 – 3x + 3 = [pic]
Khi đó (1) có dạng: [pic]
[pic][pic]
Với t = 1[pic]x2 – 3x + 3 = 1 [pic]x2 – 3x + 2 = 0 [pic]
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 1; x = 2.
Ví dụ 2: Giải các phương trình: [pic].
Đặt [pic] ĐS: x=(5.
[pic].
HD: Đặt [pic]. ĐS: x = (3, x = 6.
Ví dụ 3: Giải bất phương trình [pic].
HD: Đặt [pic] ĐS: [pic].
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
1. [pic] ĐS: x = 9.
2. [pic] ĐS: x = 1.
3. [pic] ĐS: x = 5.
4. [pic] ĐS: x = - 1; x = 3.
5. [pic] ĐS: x = 4; x = 7.
6. [pic]. ĐS: [pic].
7. [pic]
8. [pic]
9. [pic]
Bài 2: Giải bất phương trình sau:
1. [pic].
2. [pic].
3. [pic].
4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]
PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Hàm số mũ
• y=ax; TXĐ D = R
• Bảng biến thiên
a>1 00; 0< c (1.
b. phương trình logarit:
( Phương pháp đưa về cùng cơ số:
1) logaf(x)=g(x)([pic] 2) logaf(x)= logag(x)([pic].
( Phương pháp đặt ẩn phụ:
2. Bất phương trình mũ(logarit
a. Bất phương trình mũ:
( af(x) > ag(x) ([pic]; ( af(x )( ag(x) ( [pic].
Đặc biệt:
* Nếu a>1 thì: af(x)>ag(x) ( f(x)>g(x);
af(x)(ag(x) ( f(x)(g(x).
* Nếu 0logag(x)([pic]
(logaf(x)(logag(x)( [pic].
Đặc biệt:
+ Nếu a >1 thì: logaf(x)>logag(x) ( [pic];
+ Nếu 0< a logag(x) ( [pic].
Ví dụ 1: Giải phương trình:
a) 9x – 8.3x – 9 = 0 (x [pic])
b) log3(x+2) + log3(x-2) = log25 (x [pic])
c) log3(3x + 1)log3(3x+2 + 9) = 6
d) log2(x2 +8) = log2x + log26
Giải
a) Đặt t = 3x, điều kiện t > 0
Phương trình đã cho trở thành : t2 – 8t – 9 = 0 [pic]
Kết hợp với điều kiện ta có t = 9
Với t = 9, khi đó : 3x = 9 [pic]x = 3
b)Phương trình đã cho tương với hệ
[pic]
Vậy nghiệm của phương trình là x = 3.
c) Do 3x > 0 với mọi x, nên phương trình đã cho xác định với mọi x.
Ta có :
log3(3x + 1)log3(3x+2 + 9) = 6
[pic] log3(3x + 1)log3[32(3x + 1)] = 6
[pic] log3(3x + 1)[log332 + log3(3x +1)] = 6
Đặt t = log3(3x +1) > log31 = 0 ta có phương trình
t(2+t) = 6 [pic]t2 + 2t – 6 = 0 [pic][pic]
Từ điều kiện t > 0 ta có log3(3x + 1) = - 1 + [pic]
[pic][pic]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : [pic]
d)Tập xác định của phương trình là (0 ; [pic]), khi đó
log2(x2 + 8) = log2x + log26 [pic]x2 + 8 = 6x
[pic]x2 – 6x + 8 = 0 [pic][pic]
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 ; x = 4
Ví dụ 2 : Giải bất phương trình : log3(x+2) > log9(x+2)
Giải
Điều kiện : x > -2
Ta có [pic]
Do đó
[pic]
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x > -1.
Ví dụ 3: Giải phương trình : [pic]
B. BÀI TẬP
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1. 2x + 1 – 2 -x = 1 ĐS: x = 0.
2. [pic] ĐS: x = 0, x = 2
3. [pic] ĐS: x = 1.
4. [pic] ĐS: x = 0.
5. [pic] ĐS: x = 0, x = 1.
6. [pic](ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=(1.
7. [pic] (ĐH_Khối D 2006) ĐS: x=0, x=1.
8. [pic] (ĐH_Khối D 2003) ĐS: x=(1, x=2.
9. [pic]
10. [pic]
11. [pic]
12. [pic] (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3.
Bài 2: Giải bất phương trình:
1. [pic] (ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4 ( x ( 3.
2. [pic] (ĐH_Khối B 2008) ĐS: (4< x < (3, x > 8.
3. [pic](ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4.
4. [pic] (ĐH_Khối D 2008) ĐS: [pic].
(((((((((((((((((((((((
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
1. [pic] ĐS: (1; 1).
2. [pic] ĐS: (1; 2) hoặc (2; 1).
3. [pic] ĐS: (-1; 2) hoặc (2; - 1).
4. [pic]
5. [pic]
6. [pic] (ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), ((2;(2)
7. [pic] (ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2).
8. [pic] (ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4)
9. [pic] (ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4).
Bài 2. Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm:
1. [pic] ĐS: [pic]
2. [pic] ĐS: [pic].
3. [pic] ĐS: [pic].
Chuyên đề 3: LƯỢNG GIÁC (5 TIẾT)
A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Hệ thức LG cơ bản
[pic] [pic]
2. CÔNG THứC LG THườNG GặP
Công thức cộng: [pic]
Công thức nhân: [pic]
Tích thành tổng: cosa.cosb =[pic][cos(a(b)+cos(a+b)]
sina.sinb =[pic][cos(a(b)(cos(a+b)]
sina.cosb =[pic][sin(a(b)+sin(a+b)]
TổNG THÀNH TÍCH: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
CÔNG THứC Hạ BậC: COS2A =[pic](1+COS2A)
sin2a =[pic](1(cos2a)
BIểU DIễN CÁC HÀM Số LG THEO [pic]: [pic]
B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trìng LG cơ bản
* sinu = sinv [pic] * cosu = cosv ( u = (v+k2(
* tanu=tanv ( u=v+k( * cotu = cotv ( u = v+k( [pic].
2. Một số phương trình LG thường gặp
a. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
➢ PHươNG TRÌNH BậC NHấT đốI VớI MộT HÀM Số LượNG GIÁC: để GIảI CÁC PHươNG TRÌNH NÀY TA DÙNG CÁC CÔNG THứC LG để đưA PHươNG TRÌNH Về PHươNG TRÌNH LG Cơ BảN.
➢ PHươNG TRÌNH BậC HAI đốI VớI MộT HÀM Số LượNG GIÁC: LÀ NHữNG PHươNG TRÌNH CÓ DạNG A.SIN2X+B.SINX+C=0 (HOặC A.COS2X+B.COSX+C=0, A.TAN2X+B.TANX+C=0, A.COT2X+B.COTX+C = 0)
➢ để GIảI CÁC PHươNG TRÌNH NÀY TA đặT T BằNG HÀM Số LG.
VÍ Dụ 1: GIảI PHươNG TRÌNH SAU: 5COSX – 2SIN2X = 0
GIảI
TA CÓ: 5COSX – 2SIN2X = 0[pic][pic]5COSX - 4SINXCOX = 0 [pic]COSX(5 – 4SINX) = 0 (*)
[pic][pic]
❖ COSX = 0 [pic]X =[pic]
❖ 5 – 4SINX = 0 [pic]4SINX = 5 [pic]SINX [pic] NÊN PHươNG TRÌNH VÔ NGHIệM
❖ VậY PHươNG TRÌNH (*) CÓ TậP NGHIệM LÀ COSX = 0 [pic]X =[pic]
VÍ Dụ 2: [pic] ĐS: [pic]
B. PHươNG TRÌNH BậC NHấT đốI VớI SINX VÀ COSX:
DạNG: ASINX + BCOSX = C. ĐIềU KIệN để PHươNG TRÌNH CÓ NGHIệM LÀ [pic].
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho[pic], ta được:
[pic]
Đặt: [pic]. Khi đó phương trình tương đương:
[pic] hay [pic].
Ví dụ 1: Giải phương trình: sinx + [pic]cosx = 1
Giải
Ta có: sinx + [pic]cosx = 1[pic]2sin(x + [pic]) = 1[pic]sin(x+[pic]) = [pic]
[pic] sin(x+[pic]) = sin[pic]
[pic][pic] [pic][pic]
Ví dụ 2: [pic] ĐS: [pic][pic]
c. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
DạNG: ASIN2X+BSINXCOSX+CCOS2X=0 (*).
Cách giải: + Kiểm tra nghiệm với [pic].
+ Giả sử cosx(0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0.
Chú ý: [pic]
Ví dụ: [pic] ĐS: [pic]
d. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
DạNG: A(SINX( COSX)+ BSINXCOSX=C.
Cách giải: Đặt t= sinx( cosx. Điều kiện ( t ([pic].
[pic]
Ví dụ: [pic] ĐS: [pic]
e. Phương trình lượng giác không mẫu mực
Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.
Ví dụ 1: Giải phương trình: cos3x – cos4x + cos5x = 0
Giải
cos3x – cos4x + cos5x = 0 [pic]cos3x + cos5x = cos4x
[pic]2cos4xcosx = cos4x [pic]cos4x(2cosx – 1) = 0
[pic][pic]
Ví dụ 2: Giải phương tình: cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
ĐS: [pic]
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:
Ví dụ: Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0
ĐS:[pic]; [pic]
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
1. [pic] ĐS: [pic].
2. cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0 ĐS: [pic].
3. [pic] ĐS: [pic]
4. [pic] ĐS: [pic]
5. 1 + cos4x - sin4x = 2cos2x ĐS: [pic].
6. [pic] ĐS: [pic]
7. 2cosx – 1 = sin2x – sinx ĐS: [pic]
8. (2cosx – 1)(2sinx+3) = sin2x – sinx ĐS: [pic]
9. [pic] ĐS: [pic]
10. [pic] ĐS: [pic]
11. 1 + sinx.cos2x = sinx + cos2x ĐS: [pic]
12. [pic] ĐS: [pic]
13. [pic] ĐS: [pic]
14. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx ĐS: [pic]
15. (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx ĐS: [pic]
16. [pic] ĐS: [pic]
17. [pic] ĐS: [pic]
18. cos3x(4cos2x+3cosx(4=0 ĐS: [pic]
19. cos3x+cos2x(cosx(1=0 ĐS: [pic]
20. 2sin3x – cos2x + cosx = 0 ĐS : [pic]; [pic]
(Hết(
Chuyên đề 4: TÍCH PHÂN (5 TIẾT)
CÔNG THỨC
Bảng nguyên hàm
|[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic][pic] |[pic][pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic][pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] | | |
|[pic] | | |
CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
Các quy tắc đạo hàm
Quy tắc cộng: (u [pic]v)’ = u’ [pic] v’
Quy tắc nhân: (k.u)’ = k. u’, k là hằng số
(u.v)’ = u’v +uv’;
Quy tắc chia: [pic]
Bảng đạo hàm
|(C )’ = 0 | |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|(sinx)’ = cosx |(sinu)’ = u’.cosu |
|(cosx)’ = - sinx |(cosu)’ = - u’.sinu |
|(tanx)’ = [pic]1+tan2x |(tanu)’ = [pic]u’(1+tan2u) |
|(cotx)’ = [pic]-(1+cot2x) |(cotu)’ = [pic]-u’(1+cot2u) |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN
Để tính tích phân [pic] ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt t = u(x) và tính [pic].
Bước 2. Đổi cận: [pic].
Bước 3. [pic].
Ví dụ 1 : Tính tích phân:
a) I = [pic]
b) I = [pic]
Giải:
a). Đặt t = [pic]
Đổi cận: x = 0 ; t = [pic]
x = [pic]; t = 2
Do đó: I = [pic]
b). I = [pic]
Đặt t = 1 + cos2x [pic]du = 2cosx( - sinx)dx [pic]du = - sin2xdx
Đổi cận: x = 0 ; t = 2
x = [pic]; t = 1
Do đó: I = [pic] = [pic]
Ví dụ 2 . Tính tích phân [pic]. Đặt [pic] ĐS: [pic].
Ví dụ 3: Tính tích phân [pic]. ĐS: [pic].
Dạng vô tỷ
Ví dụ . Tính tích phân [pic]. Đặt [pic] ĐS: [pic].
Dạng lượng giác
Ví dụ 1 (bậc sin lẻ). Tính tích phân [pic]. Đặt [pic] ĐS: [pic].
Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân [pic]. Đặt [pic] ĐS: [pic].
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Công thức:
[pic] (1).
Công thức (1) còn được viết dưới dạng:
[pic] (2).
Phương pháp giải toán
Giả sử cần tính tích phân [pic] ta thực hiện
Bước 1. Đặt [pic] (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm [pic] và vi phân [pic] không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân [pic] phải tính được.
Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả.
Đặc biệt:
i/ Nếu gặp [pic] với P(x) là đa thức thì đặt [pic].
ii/ Nếu gặp [pic] thì đặt [pic].
Ví dụ 1: Tính tích phân: I = [pic]
Giải
Đặt u = x – 1 [pic]du = dx
dv = e2x dx[pic] v = [pic]
Do đó: I = [pic] = [pic]
= [pic]
Ví dụ 2. Tính tích phân [pic]. ĐS: I = 1
Ví dụ 3. Tính tích phân [pic]. ĐS: [pic].
Ví dụ 4: Tính tích phân [pic]. ĐS: [pic].
Ví dụ 5: Tính tích phân [pic]. ĐS: [pic].
Ví dụ 6. Tính tích phân [pic]. ĐS: [pic].
Ví dụ 7: Tính tích phân [pic]. ĐS: [pic].
Ví dụ 8: Tính tích phân [pic]. ĐS: [pic].
Ví dụ 9: Tính tích phân [pic]. ĐS: [pic].
Chú ý:
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
BÀI TẬP
Bài I: Tính các tích phân sau:
1/ [pic] ĐS: [pic].
2/ [pic] ĐS: [pic].
3/ [pic] ĐS: [pic].
4/ [pic] ĐS: [pic].
5/ [pic] ĐS: [pic].
6/ [pic] ĐS: [pic].
7/ [pic]
8/ [pic]
9/ [pic]
10/ [pic]
Bài II: Tích các tích phân sau:
1/ [pic] ĐS: [pic].
2/ [pic] ĐS: [pic].
3/ [pic] ĐS: [pic].
4/ [pic] ĐS: [pic].
5/ [pic] ĐS: [pic].
6/ [pic] ĐS: [pic].
7/ [pic] ĐS: [pic].
(Hết(
Chuyên đề 5: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH (15 TIẾT)
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
A. LÝ THUYẾT
I. Tọa độ
1. Hệ trục toạ độ oxy gồm ba trục ox, oy đôi một vuông góc với nhau với hai vectơ đơn vị [pic] [pic].
2. [pic]; M(x;y) ( [pic]
3. Tọa độ của vectơ: cho [pic]
a. [pic] b. [pic] c. [pic]
d. [pic] e. [pic] f. [pic]
g. [pic].
4. Tọa độ của điểm: cho A(xa;ya), b(xb;yb)
a.[pic] b.[pic]
c. G là trọng tâm tam giác ABC ta có:
xG=[pic]; yG=[pic]
d. M chia AB theo tỉ số k: [pic]
Đặc biệt: M là trung điểm của AB: [pic]
II. Phương trình đường thẳng
1. Một đường thẳng ( được xác định khi biết một điểm M(x0;y0) và một vectơ pháp tuyến [pic] hoặc một vectơ chỉ phương [pic]
Phương trình tổng quát [pic].
Phương trình tham số: [pic] , [pic].
Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k: [pic].
2. Khoảng cách từ một điểm M(xM;yM) đến một đường thẳng (:[pic] là:
[pic].
III. Phương trình đường tròn
1. Một đường tròn được xác định khi biết tâm I(a;b) và bán kính r.
Phương trình:
Dạng 1: [pic].
Dạng 2: [pic], điều kiện [pic] và [pic].
2. Điều kiện để đường thẳng (: [pic] tiếp xúc với đường tròn (C) là:
[pic]
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(-1;2), B(2;1) và C(2;5).
a) Viết phương trình tham số của các đường thẳng AB và AC. Tính độ dài các đoạn thẳng AB và AC.
b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải
a) Phương trình tham số
❖ Đường thẳng AB
Ta có: [pic] là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. Vậy phương trình tham số của đường thẳng AB là: [pic]
❖ Đường thẳng AC
Ta có: [pic] là vectơ chỉ phương của đường thẳng AC. Vậy phương trình tham số của đường thẳng AC là: [pic]
❖ Độ dài đoạn thẳng AB: AB = [pic]
❖ Độ dài đoạn thẳng AC: AC = 3[pic]
b) Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi (C) là phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
(C): x2 + y2 -2ax – 2by + c = 0 (*)
[pic] 5 +2a – 4b + c = 0 (1)
[pic] 5 - 2a – 2b + c = 0 (2)
[pic] 29 - 4a – 10b + c = 0 (3)
Giải (1), (2), (3) ta được a = 1; b = 3; c = 5
Vậy (C) : x2 + y2 - 2x - 6y+5 = 0
B. BÀI TẬP
1. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2;3) và B((2;1).
a. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
b. Viết phương trình đường tròn đường kính AB.
c. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm nằm trên trục hoành.
d. Viết phương trình đường tròn qua ba điểm O, A, B.
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(0;1), B(1;0) và đường thẳng d: x+y+2 = 0.
a. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
b. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm nằm trên đường thẳng d.
3. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm [pic]
a. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ I.
b. Viết phương trình đường tròn có tâm B và tiếp xúc với AC.
c. Viết phương trình đường tròn qua ba điểm A, B, C.
4. Trên mặt phẳng Oxy cho ba điểm A((1;2), B(2;1) và C(2;5).
a. Viết phương trình tham số của các đường thẳng AB và AC.
b. Viết phương trình đường cao dạng tổng quát hạ từ đỉnh A của tam giác ABC.
c. Tính khoảng cách từ điểm B đến đường cao AH của tam giác ABC.
5. Trên mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(1; 4) và đường thẳng d: 4x + y – 17 = 0
a. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua A và song song với đường thẳng d.
b. Tìm tọa độ điểm B thuộc d sao cho tam giác OAB cân tại O.
6. (ĐH_CĐ Khối D_2009) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x(2y(3=0 và 6x(y(4=0. Viết phương trình đường thẳng BC và đường thẳng AC.
ĐS: BC: x + 6y+9 = 0; AC: 3x(4y+5=0
7. (Khối A_2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B((2;(2) và C(4;(2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N. ĐS: x2 + y2 ( x + y ( 2 = 0
8. (Khối A_2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các đường thẳng d1: x + y + 3 = 0,
d2: x(y(4=0, d3: x(2y=0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2.
ĐS: M1((22;(11), M2(2;1)
9. (Khối A_2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(0;2) và [pic]. Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. ĐS: [pic]
10. (CĐ Khối B_2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C((1; (2), đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x+y(9=0 và x+3y(5=0. Tìm tọa độ các đỉnh A và B. ĐS: A(1;4), B(5;0).
11. (Khối B_2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;1) và B(4;(3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng x(2y(1=0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
ĐS: [pic]
12. (Khối B_2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5. ĐS: (C1): (x(2)2+(y(1)2 =1 hoặc (x(2)2+(y(7)2 = 49
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
|A. Hệ trục toạ độ oxyz gồm ba trục ox, oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vị [pic] [pic]. |
|B. [pic]; M(x;y;z)([pic] |
|C. Tọa độ của vectơ: cho [pic] |
|1. [pic] |
|2. [pic] |
|3. [pic] |
|4. [pic] |
|5. [pic] |
|6. [pic] |
|7. [pic] |
|8. [pic]cùng phương([pic] |
|9. [pic]. |
|D. Tọa độ của điểm: cho A(xa;ya;za), b(xb;yb;zb) |
|1.[pic] 2.[pic] |
|3.G là trọng tâm tam giác ABC ta có: |
|xG=[pic];yG=[pic]; zG=[pic] |
|4. M chia AB theo tỉ số k: [pic] |
|Đặc biệt: M là trung điểm của AB: [pic] |
|5. ABC là một tam giác([pic]([pic] khi đó S=[pic] |
|6. ABCD là một tứ diện([pic].[pic](0, VABCD=[pic] hoặc V=[pic] (S là diện tích đáy, h là chiều cao) |
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG
|I. Mặt |Mặt phẳng ( được xác định bởi: (M(x0;y0;z0), [pic](. Phương trình tổng quát của mặt phẳng ((): Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax0+By0+Cz0+D=0 |
|phẳng |hay A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0( Ax+By+Cz+D=0. |
| |* Một số mặt phẳng thường gặp: |
| | |
| |a) Mặt phẳng (Oxy): z = 0; mặt phẳng (Oxz): y = 0; mặt phẳng (Oyz): x = 0. |
| |b) Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: có [pic] |
| |c) (()(((()([pic] |
| |d) (()((()([pic]và ngược lại |
| |e) (()((d ([pic] |
| |f) (()( d ([pic]. |
|II. | |
|Đường |Đường thẳng ( được xác định bởi: (M(x0;y0;z0), [pic]=(a;b;c)( |
|thẳng |i) Phương trình tham số:[pic]; |
| |ii) Phương trình chính tắc:[pic] |
| |iii) Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng:[pic]trong đó [pic],[pic]là hai VTPT và VTCP [pic]. |
| |†Chú ý: a/ Đường thẳng Ox:[pic] ; Oy:[pic] ; Oz:[pic] |
| |b/ (AB):[pic]; c/ (1(((2([pic]; d/ (1((2([pic]. |
| | |
|IV. | |
|Đường | |
|cong | |
|III. | | | |
|Góc- |GÓC GIữA HAI đườNG THẳNG |Góc giữa hai mp *cos((,(’)=cos(=[pic]; |Góc giữa đường thẳng và mp *sin((,()=sin(=[pic]. |
|Kh/C |*COS((,(’)=COS(=[pic]; | | |
KHOẢNG CÁCH
| Cho M (xM;yM;zM), (():Ax+By+Cz+D=0, (:(M0(x0;y0;z0), [pic](, (’ (M’0(x0';y0';z0'), [pic]( |
|* khoảng cách từ M đến mặt phẳng ((): d(M,()= [pic] |
|* khoảng cách từ M đến đường thẳng (: d(M,()=[pic] |
|* khoảng cách giữa hai đường thẳng: d((,(’)=[pic] |
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
|Mặt cầu (S)(I(a;b;c),bán kính R( |
|Dạng 1: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 (S) |
|Dạng 2: x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 khi đó R=[pic] |
|a) d(I, ()>R: (()[pic](S)=( |
|b) d(I, ()=R: (()[pic](S)=M (M gọi là tiếp điểm) |
|*Điều kiện để mặt phẳng (() tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, ()=R (mặt phẳng (() là tiếp diện của mặt cầu (S) tại M khi đó [pic]=[pic]) |
|3) Nếu d(I, () 0
a < 0
I
(
O
y
x
I
(
O
y
x
Dạng 2: hàm số không có cực trị
a > 0
a < 0
I
(
O
y
x
I
(
O
y
x
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số có 1 cực trị
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị
I
O
x
Dạng 1: hàm số đồng biến
Dạng 2: hàm số nghịch biến
O
y
x
I
y
a
Δ
r
[pic]
[pic]
[pic]
M
O
[pic]
z
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
I
y
Biện luận theo m số giao điểm của (C): y = f(x) và (C’): y=g(x;m)
❖ Lập phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x; m) [pic] F(x, m) = 0 (*)
❖ Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) và (C’).
❖ Dựa vào điều kiện về nghiệm của phương trình mà biện luận
[pic]
[pic]
[pic]
(C)
Δ
n
x
[pic]
[pic]
[pic]
................
................
In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.
To fulfill the demand for quickly locating and searching documents.
It is intelligent file search solution for home and business.