Trường THPT Phan Châu Trinh ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12
Trường THPT Phan Châu Trinh ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12
Tổ Toán - Tin HỌC KỲ II- NĂM HỌC 2013 – 2014
A.GIẢI TÍCH:
I. Lí thuyết:
Chương III:Nguyên Hàm-Tích Phân và ứng dụng
1)Nguyên Hàm
2)Tích Phân
3) Ứng dụng của tích phân trong hình học
Chương IV: Số Phức
1)Số Phức
2)Cộng, trừ và nhân số phức
3)Phép chia số phức
4)Phương trình bậc hai với hệ số thực
II. Bài tập: ( Sách giáo khoa và sách bài tập )
B. HÌNH HỌC:
I. Lí thuyết:
Chương III:Phương pháp tọa độ trong không gian
II. Bài tập: ( Sách giáo khoa và sách bài tập )
CÁC BÀI TẬP THAM KHẢO
PHẦN A: GIẢI TÍCH
Chương III:Nguyên Hàm-Tích Phân và ứng dụng
Phần 1:Nguyên Hàm
Bài 1: Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và tính chất
1) f(x) = x3 – 3x + [pic] 2) f(x) = [pic]+ [pic] 3) f(x) = (5x + 3)5 4) f(x) = sin4x cosx
Giaûi
1) [pic]
2)[pic]
3)[pic]
4) [pic]
Bài 2: Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x)=1+ sin3x bieát F([pic])= 0.
Giaûi
Ta coù F(x)= x – [pic] cos3x + C. Do F([pic]) = 0 [pic] [pic] - [pic] cos[pic] + C = 0 [pic] C = -[pic].
Vaäy nguyeân haøm caàn tìm laø: F(x)= x – [pic] cos3x -[pic].
Bài 3:T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè sau ®©y.
1/[pic] [pic] [pic] [pic] [pic]
Bài 4:Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x)=sin2x.cosx, bieát giaù trò cuûa nguyeân haøm baèng [pic] khi x=[pic]
Bài 5: Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) = e1-2x , bieát F([pic]
Bài 6:Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) = [pic] , bieát F([pic]
Bài 7:Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và tính chất
1. f(x) = x3 – 3x + [pic]
2. f(x) = [pic]
3. f(x) = [pic]
4. f(x) = [pic]
5. f(x) = [pic]
6. f(x) = [pic]
7. f(x) = [pic] [pic]
8. f(x) = [pic]
9. f(x) = [pic]
10. f(x) = tan2x
11. f(x) = cos2x
12. f(x) = (tanx – cotx)2
13. f(x) = [pic]
14. f(x) = [pic]
15. f(x) = sin5x
16. f(x) = 2sin4xcosx
17. f(x) = ex(ex – 1)
18. f(x) = ex(2 + [pic]
19. f(x) = 2x + 3x
20. f(x) = e3x+1
Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết rằng
1/ f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5,ĐS. f(x) = x2 + x + 3 2/ f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ,ĐS. f(x) = [pic] Bài 9:Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Tính I = [pic] bằng cách đặt t = u(x)
|Đặt t = u(x)[pic] |
|I = [pic] |
1. [pic] 2.[pic] 3.[pic] 4.[pic] 5. [pic] 6. [pic]
7. [pic] 8.[pic] 9.[pic] 10.[pic] 11.[pic] 12. [pic]
14. [pic] 15.[pic] 16.[pic] 17.[pic] 18.[pic] 19. [pic]
20.[pic] 21.[pic] 22.[pic] 23.[pic]
Bài 10:Tìm nguyên hàm bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
|Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I |
|[pic] |
|Hay[pic] ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) |
1. [pic] 2.[pic] 3.[pic] 4.[pic] 5.[pic] 6.[pic] 7.[pic] 8.[pic] 9.[pic] 10.[pic] 11.[pic] 12.[pic]
13.[pic] 14.[pic] 15.[pic] 16.[pic] 17.[pic] 18.[pic] 19.[pic] 20. [pic] 21. [pic] 22.[pic]
Phần 2:Tích phân
Bài 11:Tìm tích phaân caùc haøm soá sau:
a/ [pic] b/ [pic] c/ [pic]
Giaûi
a/ [pic] = [pic]
b/[pic]
= [pic]= 8
c/ [pic]=[pic]+[pic]=[pic]+[pic] =(x-[pic]=5
Bài 12:Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñoåi bieán daïng 1:
Phöông phaùp giaûi:
b1: Ñaët x = u(t) (ñieàu kieän cho t ñeå x chaïy töø a ñeán b) [pic] dx = [pic]
b2: Ñoåi caän:
x = a [pic]u(t) = a [pic] t = [pic]
x = b [pic]u(t) = b [pic] t = [pic] ( choïn [pic],[pic] thoaû ñk ñaët ôû treân)
b3: Vieát [pic] veà tích phaân môùi theo bieán môùi, caän môùi roài tính tích phaân .
Ví duï: Tính :[pic]
§Æt x = sint [pic] dx = cost.dt. Víi x [pic][0;1] ta cã t[pic][pic]
§æi cËn:
|x |0 1 |
| t |0 [pic] |
VËy [pic] = [pic] = [pic]
Chuù yù: Khi gaëp tích phaân maø bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân coù daïng :
◆ [pic] thì ñaët x= [pic]sint t[pic] [pic]
◆ [pic] thì ñaët x= [pic]tgt t[pic] [pic]
◆ [pic] thì ñaët x= [pic] t[pic] [pic]\ [pic]
Bài 13: Tính tích phaân[pic] baèng phöông phaùp ñoåi bieán dạng 2.
Phöông phaùp giaûi:
b1: Ñaët t = [pic](x) [pic] dt = [pic]
b2: Ñoåi caän:
x = a [pic]t =[pic](a) ; x = b [pic]t = [pic](b)
b3: Vieát tích phaân ñaõ cho theo bieán môùi, caän môùi roài tính tích phaân tìm ñöôïc .
Ví duï : Tính tích phaân sau :a/ [pic] b/[pic]
Giaûi:
a/ Ñaët t = x2 + x +1 [pic] dt = (2x+1) dx
Ñoåi caän:
Vaäy I= [pic]
b/ Ñaët t=[pic] [pic] t2= x2+ 3[pic] tdt = x dx
Ñoåi caän:
Vaäy J = [pic]
Bµi 14 :TÝnh caùc tích phaân sau:
1/I=[pic]
2/J=[pic]
3/K=[pic]
Bµi 15 : Tính caùc tích phaân sau:
1/[pic]
2/[pic]
3/[pic]
4/[pic]
Chú ý: đổi biến thì phải đổi cận
Dấu hiệu :
|Chứa (biểu thức)n |Đặt u = biểu thức |
|Chứa [pic] |Đặt u = [pic] |
|Chứa mẫu |Đặt u = mẫu |
|Chứa sinx.dx |Đặt u = cosx |
|Chứa cosx.dx |Đặt u = sinx |
|Chứa [pic] |Đặt u = lnx |
Dấu hiệu:
|[pic] |Đặt x = sint , t [pic] |
|[pic] |Đặt x = a.sint , t [pic] |
|[pic] |Đặt x = tant , t [pic] |
|[pic] |Đặt x = a.tant , t [pic] |
Bài 16 :Tính tích phaân baèng phöông phaùp tuøng phaàn:
| Coâng thöùc töøng phaàn : [pic] hoặc[pic] |
Ví duï 1: Tính caùc tích phaân sau: a/ I=[pic] b/J=[pic]
Giaûi
a/ Ñaët :[pic] (chuù yù: v laø moät nguyeân haøm cuûa cosx )
Vaäy I = x sinx[pic] - [pic] = cosx[pic]= -1
b/ Ñaët :[pic]
Vaäy J= lnx. [pic][pic] -[pic]
Bài 17:Tính tích phaân cuûa moät soá haøm höõu tæ thöôøng gaëp:
a) Daïng baäc cuûa töû lôùn hôn hay baèng baäc cuûa maãu:
Phöông phaùp giaûi:Ta chia töû cho maãu taùch thaønh toång cuûa moät phaàn nguyeân vaø moät phaàn phaân soá roài tính.
Ví duï: Tính caùc tích phaân sau:
a/ [pic] = [pic].
b/ [pic]
b) Daïng baäc1 treân baäc 2:
Phöông phaùp giaûi: Taùch thaønh toång caùc tích phaân roài tính.
*Tröôøng hôïp maãu soá coù 2 nghieäm phaân bieät:
Ví duï: Tính caùc tích phaân : [pic]
Giaûi
Ñaët [pic]=[pic]
[pic] A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 [pic] A=3. cho x=3 [pic] B=2.
Vaäy ta coù: [pic]=[pic]
* Tröôøng hôïp maãu soá coù nghieäm keùp:
Ví duï: Tính caùc tích phaân : [pic]
Giaûi
CI:[pic]
=(ln[pic][pic]
CII: Ñaët [pic]
[pic] Ax -2A+B= 0 [pic] [pic]
Vaäy [pic]= [pic][pic]
*Tröôøng hôïp maãu soá voâ nghieäm:
Ví duï: Tính caùc tích phaân :I=[pic]
Giaûi:
[pic]
Ta có : [pic]=[pic]
Tính J= [pic]
Đặt x+1=[pic](t [pic][pic]) [pic] dx=[pic]. Khi x= -1 thì t = 0 ; khi x=0 thì t=[pic] [pic] J=[pic] . Vaäy I= ln [pic][pic])
Bài 18 : Tính tích phaân haøm voâ tæ:
• Daïng1:[pic] Ñaët t=[pic]
• Daïng 2:[pic] Ñaët t=[pic]
Ví duï: Tính tích phaân I = [pic]
Giaûi
Ñaët t =[pic] [pic] t3= 1-x [pic] x= 1-t3 [pic] dx= -3t2dt.
Ñoåi caän: Vaäy I= [pic]
Bài 19 :Tính tích phaân cuûa moät soá haøm löôïng giaùc thöôøng gaëp
◆ Daïng:[pic]
Phöông phaùp giaûi:
Duøng coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång ñeå taùch thaønh toång hoaëc hieäu caùc tích phaân roài giaûi.
◆ Daïng: [pic]
Phöông phaùp giaûi: Neáu n chaün duøng coâng thöùc haï baäc, n leû duøng coâng thöùc ñoåi bieán.
Ví duï :
[pic]
◆ Daïng: [pic] Ñaëc bieät: [pic]
Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =sinx
◆ Daïng: [pic] Ñaëc bieät: [pic]
Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =cosx
◆ Caùc tröôøng hôïp coøn laïi ñaët x=tgt
Ví duï: Tính caùc tích phaân sau:
a/ [pic] b/[pic] c/[pic] d/[pic]
Giaûi a/ [pic]=[pic]
b/[pic]
c/ I=[pic]=[pic]
Đaët t =sinx [pic] dt = cosx dx.
Đổi cận
Vaäy: I=[pic]
d/J = [pic]=[pic]
Đaët t = sinx [pic] dt = cosx dx.
Đổi cận
VËy: J=[pic]
Bài 20 :Tính caùc tích phaân sau:
1/[pic] 2/[pic] 3/ [pic] 4/[pic] 5/[pic]
Bµi 21: 1/ I=[pic] 2/ J=[pic]
Bµi 22 : 1/ I=[pic] 2/ I=[pic] 3/ I=[pic]
Bµi 23: 1/[pic] 2/[pic]
Phần 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1/Các kiến thức cơ bản :
a) Daïng toaùn1: Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi 1 ñöôøng cong vaø 3 ñöôøng thaúng.
Coâng thöùc:
Cho haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] khi ñoù dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong
(C) :y=f(x) vaø caùc ñöôøng thaúng x= a; x=b; y= 0 laø :[pic]
b) Daïng toaùn2: Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi 2 ñöôøng cong vaø 2 ñöôøng thaúng.
Coâng thöùc:
Cho haøm soá y=f(x) coù ñoà thò (C) vaø y=g(x) coù ñoà thò (C’) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] khi ñoù dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C), (C’) vaø caùc ñöôøng thaúng x= a; x=b laø : [pic]
Phöông phaùp giaûi toaùn:
B1: Laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm giöõa (C) vaø (C’)
B2: Tính dieän tích hình phaúng caàn tìm:
➢ Cách tính [pic]
TH1: Neáu phöông trình f(x) = 0 voâ nghieäm trong (a;b). Khi ñoù dieän tích hình phaúng caàn tìm laø:[pic]
TH2: Neáu phöông trình f(x) = 0 coù 1 nghieäm laø x1[pic](a;b). Khi ñoù dieän tích hình phaúng caàn tìm laø:
[pic]
TH3: Neáu phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm coù caùc nghieäm laø x1; x2[pic](a;b). Khi ñoù dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: [pic]
Chuù yù: * Neáu phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm coù nhieàu hôn 2 nghieäm laøm töông töï tröôøng hôïp 3.
* Daïng toaùn 1 laø tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa daïng toaùn 2 khi ñöôøng cong g(x)=0
Ví duï 1ï: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò cuûa haøm soá y = sinx treân ñoaïn [0;2[pic]] vaø Ox.
Giaûi:
Ta coù :sinx = 0 coù 1 nghieäm x=[pic] vaäy dieän tích hình phaúng caàn tìm laø:
S = [pic] = [pic] = 4
Ví dụ2: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P1): y = x2 –2 x , vaø (P2) y= x2 + 1 vaø caùc ñöôøng thaúng x = -1 ; x =2 .
Giaûi
Pthñgñ : x2 –2 x = x2 + 1 [pic]2x +1= 0 [pic]x = -1/2 .
Do ñoù :S=[pic]
= [pic] = [pic] =[pic](dvdt)
Ví dụ 3: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P): y2 = 4 x , vaø ñöôøng thaúng (d): 2x+y-4 = 0.
GiaûiTa coù (P): y2 = 4 x [pic] x =[pic] vaø (d): 2x+y-4 = 0 [pic] x=[pic] .
Phöông trình tung ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø ñöôøng thaúng (d) laø: [pic]=[pic][pic] [pic]
Vaäy dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: S=[pic]
2/ Bài tập tương tự :
Baøi 24: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ (C) cña hµm sè y = 2 - x2 víi ®êng th¼ng (d): y = x.
Baøi 25: Cho hµm sè y = [pic] (C) . TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña nã t¹i A(0,1).
Baøi 26:Cho hµm sè y = [pic] (C) . TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ c¸c trôc Ox; Oy vµ ®êng th¼ng x = 2.
Baøi 27:TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng (C): [pic] vµ c¸c ®êng th¼ng
(d): x + y - 2 = 0 ; y = 0.
Baøi 28: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng (P): y = x2 - 2x + 2 ;tiÕp tuyÕn (d) cña nã t¹i ®iÓm M(3;5) vµ Oy.
Baøi 29:Cho hµm sè y = [pic] (C) .
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C); tiÖm cËn cña nã vµ x = 2; x= 3.
Phần 4: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY
1/Các kiến thức căn bản :
Theå tích cuûa vaät theå troøn xoay sinh ra khi hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C) coù phöông trình y= f(x) vaø caùc ñöôøng thaúng x= a, x=b , y= 0 quay moät voøng xung quanh truïc Ox laø: [pic]
2/ Bài tập áp dụng :
Bài 30: Tính theå tích khoái caàu sinh ra do quay hình troøn coù taâm O baùn kính R quay xung quanh truïc Ox.
Giaûi:
Ñöôøng troøn taâm O baùn kính R coù phöông trình :x2 + y2 = R2 [pic] y2= R2-x2
Theå tích khoái caàu laø : V= [pic] = [pic]= [pic]= [pic](ñvtt)
Bài 31: Tính theå tích cuûa vaät theå troøn xoay, sinh ra bôûi moãi hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau khi noù quay xung quanh truïc Ox: x = –1; x = 2; y = 0; y = x2–2x.
Giaûi:
Theå tích cuûa vaät theå troøn xoay caàn tìm laø : [pic]
= [pic]=[pic] (ñvtt)
Bµi 32 TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh ra khi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng sau :
y = 0, y = [pic], x = 0, x = [pic] khi quay quanh trục Ox
Gi¶i:
V = [pic] §Æt : [pic] ( [pic]
( V = [pic] = [pic]
Bµi 33. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh ra bëi phÐp quay xung quanh trôc Oy cña h×nh giíi h¹n bëi c¸c ®êng y = [pic], y = 2, y = 4 vµ x = 0.
Gi¶i: V = [pic]([pic] = 12.
➢ Bài tập đề nghị :
Bài 34: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
1. Trục hoành, [pic].
2. Parabol: [pic], các đường thẳng x = -1, x = 3 và trục hoành.
3. [pic].
4. [pic].
5. [pic].
Bài 35: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục hoành:
1. [pic] và [pic].
2. [pic].
3. [pic].
Bài 36: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
1. Trục hoành, [pic].
2. Parabol : [pic] các đường thẳng x = -1, x = 2 và trục hoành.
3. [pic].
4. [pic].
Bài 37: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục hoành:
1. [pic] v à [pic].
2. [pic]
Chương VI: SỐ PHỨC
A. củng cố kiến thức
1. Số phức: Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i[pic] = -1 được gọi là một số phức.
a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo
i được gọi là đơn vị ảo.
Tập các số phức được kí hiệu là (
Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R[pic](.
Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo.
0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo.
2. Hai số phức bằng nhau
[pic]
3. Cộng, trừ hai số phức
[pic]
Số đối của số phức z = a + bi là số phức - z = - a - bi; z + (-z) = 0.
4. Nhân hai số phức
[pic]
5. Môđun của số phức, số phức liên hợp
z = a +bi (a, b [pic]) thì môđun của z là [pic]
z = a +bi (a, b [pic]) thì số phức liên hợp của z là [pic] = a - bi.
Ta có:
[pic]
z là số thực khi và chỉ khi z = [pic]
6. Chia cho số phức khác 0
Nếu z = a + bi (a, b [pic]) khác không thì số phức nghịch đảo của z là [pic].
Thương của z' cho z khác không là: [pic]. Ta có: [pic].
7. Biểu diễn hình học của số phức
Số phức z = a + bi (a, b [pic]) được biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức.
Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo
Số phức z = a + bi (a, b [pic]) cũng được biểu diễn bởi vectơ [pic], do đó M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b [pic]) cũng có nghĩa là [pic] biểu diễn số phức đó.
Ta có:Nếu [pic] theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì
[pic] biểu diễn số phức z + z',
[pic] biểu diễn số phức z - z',
k[pic] biểu diễn số phức kz,
[pic], với M là điểm biểu diễn của z.
B. Các dạng bài tập
Dạng 1. Xác định tổng, hiệu, tích, thương của các số phức
a) Phương pháp giải
- áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân.
b) Các ví dụ
Bài 1: Tìm phân thực, phần ảo của các số phức sau
a) i + (2 - 4i) - (3 - 2i); b) [pic]
Bài giải
a) Ta có: i + (2 - 4i) - (3 - 2i) = ((0 + 2) + (1 - 4)i) + (- 3 + 2i)
= (2 - 3) + (-3 + 2)i
= -1 - i.
Vậy số phức đã cho có phần thực là - 1, phần ảo là - 1.
b) Sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân hai số phức ta có
[pic]
Do đó nhận được kết quả của bài toán là 2 + 10i
Bài 2:Tính [pic]
Bài giải
Ta có : [pic]
Bài 3: Thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n sau: a. (2 - i) + [pic] b.[pic] c.[pic] d. [pic]
Bài 4: Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau:
a. (2 - 3i)(3 + i) b. (3 + 4i)2 b. [pic]
Bài 5: Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau:
a. [pic] b. [pic] c. [pic] d. [pic]
Bài 6:Tính [pic]
Bài giải
Ta có: [pic]
Mà [pic]. Nên [pic], hay là
[pic].
Bài 7: Tính [pic]
Bài giải
Nhận thấy [pic].
Suy ra [pic].
Bài 8: Cho số phức [pic].
Hãy chứng minh rằng: [pic].
Bài giải
Do [pic]. Nên [pic];
Lại có [pic]. Suy ra [pic].
Hơn nữa ta có [pic].
Bài 9: Tìm số phức z, nếu [pic].
Bài giải
Đặt z = x + yi, khi đó : [pic][pic][pic][pic][pic]
Vậy có ba số phức thoả mãn điều kiện là z = 0; z = i; z = - i.
Dạng 2.Biểu diễn số phức trong mặt phẳng toạ độ
a) Phương pháp giải
Để biểu diễn một số phức cần dựa vào định nghĩa và các tính chất sau:
Nếu số phức z được biểu diễn bởi vectơ [pic], số phức z' được biểu diễn bởi vectơ [pic], thì
z + z' được biểu diễn bởi [pic];
z - z' được biểu diễn bởi [pic];
- z được biểu diễn bởi [pic].
b) Các ví dụ.
Bài 10: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau: [pic];
Bài giải
Đặt z = x + yi suy ra z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i. Nên hệ thức [pic] trở thành
[pic]
Vậy tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(1; - 1) bán kính R = 2.
Dạng 3: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa căn bậc hai của số phức
Cho số phức w mỗi số phức z thoả mãn z2 = w được gọi là một căn bậc hai của số phức w.
a) Nếu w là số thực
+ w < 0 thì có hai căn bậc hai: [pic]
+ w [pic]0 thì có hai căn bậc hai: [pic].
b) Nếu w là số phức khi đó ta thực hiện các bước:
+ Giả sử w= a + ib, đặt z = x + iy là một căn bậc hai của w tức là: [pic] khi đó ta có hệ:[pic]
Bình phương 2 vế của (1) và (2) rồi cộng lại ta được [pic]
Do vậy ta được hệ: [pic]
Giải hệ tìm được [pic] và [pic]suy ra x và y để tìm z.
Chú ý: Theo (2) ta có nếu b > 0 thì x, y cùng dấu. Nếu b < 0 thì x, y trái dấu.
2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức
Cho PT: [pic] và có [pic]
+ Nếu [pic] pt có hai nghiệm là [pic]
Trong đó [pic]là một căn bậc hai của [pic].
+ Nếu [pic]= 0 thì pt có nghiệm kép: [pic].
B. Các dạng bài tập
1. Giải phương trình bậc nhất
a) Phương pháp giải
Biến đổi phương trình về dạng Az + B = 0, A, B [pic]. Viết nghiệm [pic]
b) Ví dụ
Bài 11: Giải phương trình 2iz + 1 - i = 0
Bài giải
Nghiệm của phương trình là [pic].
2. Tính căn bậc hai và giảiphương trình bậc hai
a) Phương pháp giải
Sử dụng công thức tính căn bậc hai của số phức để tính căn bậc hai.
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm nghiệm của phương trình với chú ý phải đưa về đúng dạng của phương trình.
b) Các ví dụ
Bài 12: Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
[pic]
Bài giải
a) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -5 + 12i tức là
[pic]
[pic][pic]
Do b = 12 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có [pic] hoặc [pic]
Vậy -5 + 12i có 2 căn bậc hai là z1 =2+3i và z2 = -2-3i.
b) Tương tự ta gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 8+ 6i tức là
[pic]
[pic][pic]
Do b= 6> 0 nên x và y cùng dấu từ đó có [pic] hoặc [pic]
Vậy 8 + 6i có 2 căn bậc hai là 3+i và -3-i.
c) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 33 - 56i tức là
[pic]
[pic][pic]
Do b = -56 < 0 nên x và y trái dấu từ đó có [pic] hoặc [pic]
Vậy 2 căn bậc hai của 33 - 56i là 7- 4i và -7+i4.
d) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -3 +4i tức là
[pic]
[pic][pic]
Do b = 4 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có [pic] hoặc [pic]
Vậy 2 căn bậc hai của -3 + 4i là 1 + 2i và -1-2i.
Bài 13:Giải phương trình [pic] trên tập số phức
Giải: [pic] nên [pic]
Phương trình có hai nghiệm : [pic]
Bài 14: Giải các phương trình sau trên tập số phức
a. z2 + 5 = 0 b. z2 + 2z + 2 = 0 c. z2 + 4z + 10 = 0 d. z2 - 5z + 9 = 0
e. -2z2 + 3z - 1 = 0 f. x2 + 7 = 0 g. x2 - 3x + 3 = 0
Bài 15: Giải các phương trình sau:
[pic] [pic] [pic]
Bài giải
a) Ta có [pic]= 12- 4.3.2 =-23 R : (S) ( ( = (
▪ d = R : ( tieáp xuùc (S) taïi H (H: tieáp ñieåm, (: tieáp dieän)
▪ d < R : ( caét (S) theo ñöôøng troøn coù pt [pic]
2.3.Giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët caàu
[pic] (1) vaø
[pic] (2)
+ Thay ptts (1) vaøo pt mc (2), giaûi tìm t,
+ Thay t vaøo (1) ñöôïc toïa ñoä giao ñieåm
2.CÁC DẠNG TOÁN
a/ Các dạng toán về toạ độ điểm, véctơ.
Daïng 1: Chöùng minh A,B,C laø ba ñænh tam giaùc
• A,B,C laø ba ñænh tam giaùc ( [[pic]] ≠ [pic]
• S(ABC = [pic][pic]
• Ñöôøng cao AH = [pic]
• Shbh = [pic]
Daïng 2: Tìm D sao cho ABCD laø hình bình haønh
• Chöùng minh A,B,C khoâng thaúng haøng
• ABCD laø hbh [pic] [pic]
Daïng 3: Chöùng minh ABCD laø moät töù dieän:
• [[pic]].[pic]≠ 0
• Vtd = [pic][pic]
Ñöôøng cao AH cuûa töù dieän ABCD
[pic] [pic] [pic]
• Theå tích hình hoäp :
[pic]
Dạng 4/ Hình chiếu của một điểm M trên các trục tọa độ và trên các mp tọa độ:
Cho điểm M ( x , y , z ). Khi đó:
+ M1 là hình chiếu của điểm M trên trục Ox thì M1 ( x , 0 , 0 )
+ M2 là hình chiếu của điểm M trên trục Oy thì M2 ( 0 , y , 0 )
+ M3 là hình chiếu của điểm M trên trục Oz thì M3 ( 0 , 0 , z )
+ M4 là hình chiếu của điểm M trên mpOxy thì M4 ( x , y , 0 )
+ M5 là hình chiếu của điểm M trên mpOxz thì M5 ( x , 0 , z )
+ M6 là hình chiếu của điểm M trên mpOyz thì M6 ( 0 , y , z )
Dạng 5:/ Chứng minh ba A, B, Cđiểm thẳng hàng
Ta đi chứng minh 2 véctơ [pic] cùng phương
b/ Caùc daïng toaùn về mặt cầu :
Daïng 1: Maët caàu taâm I ñi qua A
ª [pic](1)
▪ Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R2
Daïng 2: Maët caàu ñöôøng kính AB
▪ Taâm I laø trung ñieåm AB
▪ Vieát phöông trình maët caàu taâm I (1)
▪ Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R2
Daïng 3: Maët caàu taâm I tieáp xuùc mp(
Mc[pic]
Daïng 4: Maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD
Ptr mc coù daïng [pic] A,B,C,D ( mc(S) [pic]heä pt, giaûi tìm A, B, C, D
Daïng 5: Maët caàu ñi qua A,B,C vaø taâm I € (α)
Mc(S) coù ptr: [pic](2)
A,B,C ( mc(S): theá toïa ñoä caùc ñieåm A,B,C vaøo (2). Theá toaï ñoä taâm m/c I(-A, -B, -C) vaøo pt (α)
Giaûi heä phöông trình treân tìm A, B, C, D
Daïng 6: Maët phaúng tieáp xuùc maët caàu taïi A( mặt tiếp diện)
Tieáp dieän (() cuûa mc(S) taïi A : ( qua A,[pic]
Daïng 7: Tìm tieáp ñieåm H của mặt phẳng vaø mặt caàu : (laø hchieáu cuûa taâm I treân mp()
✓ Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp( : ta coù [pic]
✓ Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø (()
Daïng 8: Tìm baùn kính r vaø taâm H cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán giöõa m/c S(I ;R) vaø mp(():
+ baùn kính [pic]
+ Tìm taâm H ( laø h chieáu cuûa taâm I treân mp(())
✓ Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp( : ta coù [pic]
✓ Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : [pic]
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
BAØI TAÄP VEÀ TOAÏ ÑOÄ ÑIEÅM TOAÏ ÑOÄ VEÙCTÔ:
. Bài 1:Cho ba vect¬ [pic]= ( 2;1 ; 0 ),[pic]= ( 1; -1; 2) , [pic]= (2 ; 2; -1 ).
a) T×m täa ®é cña vect¬ : [pic]= 4[pic]- 2[pic]+ 3[pic] b) Chøng minh r»ng 3 vect¬ [pic],[pic],[pic]kh«ng ®ång ph¼ng .
c) H·y biÓu diÓn vect¬ [pic]= (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vect¬ [pic],[pic],[pic].
. Bài 2:Cho 3 vect¬ [pic]= (1; m; 2),[pic]= (m+1; 2;1 ) ,[pic]= (0 ; m-2 ; 2 ) .§Þnh m ®Ó 3 vect¬ ®ã ®ång ph¼ng
Bài 3:T×m täa ®é cña vect¬ [pic], biÕt r»ng:
. a) [pic] vµ [pic] b) [pic] vµ [pic]
. c) [pic] vµ [pic], [pic]
. Bài 4:Cho ®iÓm M(1; 2; 3). T×m täa ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm M:
a) Trªn c¸c mÆt ph¼ng täa ®é: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trªn c¸c trôc täa ®é: Ox, Oy, Oz.
. Bài 5:Cho ®iÓm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cña ®iÓm ®èi xøng víi ®iÓm M:
a) Qua gèc täa ®é O b) Qua mÆt ph¼ng Oxy c) Qua Trôc Oy.
. Bài 6 :Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). T×m täa ®é cña c¸c ®Ønh cßn l¹i.
. Bài 7:Cho ba vect¬ [pic] [pic] T×m:
. [pic]
. Bài 8:TÝnh gãc gi÷a hai vect¬ [pic] vµ [pic]: [pic] [pic]
. Bài 9:
. a) Trªn trôc Oy t×m ®iÓm c¸ch ®Òu hai ®iÓm: A(3; 1; 0) vµ B(-2; 4; 1).
b) Trªn mÆt ph¼ng Oxz t×m ®iÓm c¸ch ®Òu ba ®iÓm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1).
. Bài 10:Cho ba ®iÓm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
. a) Chøng minh r»ng A, B, C lµ ba ®Ønh cña mét tam gi¸c. b) TÝnh chu vi vµ diÖn tÝch (ABC.
. c) T×m täa ®é ®Ønh D ®Ó tø gi¸c ABDC lµ h×nh b×nh hµnh. d/ T×m to¹ ®é träng, trùc t©m cña (ABC.
. e) TÝnh ®é dµi ®êng cao cña (ABC h¹ tõ ®Ønh A. f) TÝnh c¸c gãc cña (ABC.
d/ T×m täa ®é t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp cña tam gi¸c ABC .
. Bài 11:Cho bèn ®iÓm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cña mét tø diÖn.
b) T×m gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®èi diÖn cña tø diÖn ABCD.
c) TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD vµ tÝnh ®é dµi ®êng cao cña tø diÖn h¹ tõ ®Ønh A.
d/ T×m to¹ ®é träng t©m cña tø diÖn ABCD.
e/ X¸c ®Þnh to¹ ®é ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ A xuèng mÆt ph¼ng (BCD)
BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU
. Bài 12:Trong c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y ,ph¬ng tr×nh nµo lµ ph¬ng tr×nh cña mÆt cÇu ,khi ®ã chØ râ to¹ ®é t©m vµ b¸n kÝnh cña nã ,biÕt:
a) [pic] b)[pic]
c) [pic] d) [pic]
Bài 13:LËp ph¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ,biÕt :
a) T©m I(2;1;-1), b¸n kÝnh R=4. b) §i qua ®iÓm A(2;1;-3) vµ t©m I(3;-2;-1).
c) §i qua ®iÓm A(1;3;0) ,B(1;1;0) vµ t©m I thuéc 0x. d) Hai ®Çu ®êng kÝnh lµ A(-1;2;3), B(3;2;-7)
. Bài 14:ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) biÕt :
a) T©m I(1;2;-2) vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P):6x-3y+2z-11=0.
c) B¸n kÝnh R = 9 vµ tiÕp xóc víi (P): x+2y+2z+3=0 t¹i ®iÓm M(1;1;-3).
. Bài 15:Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ 0xyz ,cho bèn ®iÓm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).
a) ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè cña ®êng th¼ng ®i qua D vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC).
b) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD.
c/ ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp diÖn víi mÆt cÇu (S) t¹i A.
Bài 16: Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho [pic]
vaø ñöôøng thaúng (d) : [pic]
a/ Vieát phöông trình chính taéc cuûa caùc ñöôøng thaúng laø giao tuyeán cuûa maët phaúng [pic] vôùi caùc maët phaúng toïa ñoä. Tính theå tích cuûa khoái töù dieän ABCD bieát A , B , C laø giao ñieåm töông öùng cuûa maët phaúng [pic] vôùi caùc truïc toïa ñoä Ox , Oy , Oz, coøn D laø giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng (d) vôùi maët phaúng toïa ñoä Oxy.
b/ Vieát phöông trình maët caàu (S) ñi qua boán ñieåm A , B , C , D. Xaùc ñònh toïa ñoä taâm vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán cuûa maët caàu (S) vôùi maët phaúng (ACD).
Bài 17:Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho boán ñieåm A ( -2 , 0 ,1) , B ( 0 , 10 , 3 ) ,
C ( 2 , 0 , -1) ,D ( 5 , 3 , -1 ).
a/ Vieát phöông trình maët phaúng (P) ñi qua ba ñieåm A , B , C.
b/ Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua ñieåm D vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P).
/Vieát phöông trình maët caàu (S) taâm D vaø tieáp xuùc vôùi maët phaúng (P).
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1/Vectô phaùp tuyeán cuûa mp( :[pic]≠[pic] laø veùctô phaùp tuyeán cuûa ( [pic] [pic]( [pic]
2/Quan heä giöõa vtpt [pic] vaø caëp vtcp [pic],[pic]:
Nếu hai vec tơ [pic],[pic] coù giaù song song vôùi (() hoaëc naèm trong (()
[pic] [pic] = [[pic],[pic]]
3/Pt mp(() qua M(xo ; yo ; zo) coù vtpt [pic] = (A;B;C): [pic]
[pic] Ax + By + Cz + D = 0
Chuù yù : Muoán vieát phöông trình maët phaúng caàn: 1 ñieåm vaø 1 veùctô phaùp tuyeán
5.Phöông trình maët phaúng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : [pic]
6.Phöông trình caùc maët phaúng toïa ñoä
(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7. Vò trí töông ñoái cuûa hai mp ((1) vaø ((2) :
|° [pic] |
|° [pic] |
|° [pic] |
|ª [pic] |
8.KC từ M(x0,y0,z0) đến (() : Ax + By + Cz + D = 0
[pic]
9.Goùc giữa hai maët phaúng : [pic]
2.CAÙC DAÏNG TOAÙN
Daïng 1: Maët phaúng qua 3 ñieåm A,B,C :
[pic]
Daïng 2: Maët phaúng trung tröïc ñoaïn AB :
° [pic]
Daïng 3: Maët phaúng ( qua M vaø ( d (hoaëc AB)
° [pic]
Daïng 4: Mp( qua M vaø // (: Ax + By + Cz + D = 0
° [pic]
Daïng 5: Mp( chöùa (d) vaø song song (d/)
▪ Tìm 1 ñieåm M treân (d)
▪ Mp( chöùa (d) neân (() ñi qua M vaø coù 1 VTPT [pic]
Daïng 6 Mp(() qua M,N vaø ((() :
° [pic]
Daïng 7: Mp(() chöùa (d) vaø ñi qua A:
■ Tìm [pic]
• [pic]
.
Daïng 8: Laäp pt mp(P) chöùa hai ñöôøng thaúng (d) vaø (d/) caét nhau :
• Ñt(d) ñi qua ñieåm M(x0 ,y0 , z0 ) vaø coù VTCP [pic] .
• Ñt(d/) coù VTCP [pic]
• Ta coù [pic] laø VTPT cuûa mp(P).
• Laäp pt mp(P) ñi qua ñieåm M(x0 ,y0 , z0 ) vaø nhaän [pic] laøm VTPT.
Daïng 9: Laäp pt mp(P) chöùa ñt(d) vaø vuoâng goùc mp(Q) :
• Ñt(d) ñi qua ñieåm M(x0 ,y0 , z0 ) vaø coù VTCP [pic] .
• Mp(Q) coù VTPT [pic]
• Ta coù [pic] laø VTPT cuûa mp(P).
• Laäp pt mp(P) ñi qua ñieåm M(x0 ,y0 , z0 ) vaø nhaän [pic] laøm VTPT.
Daïng10: Cm mp(P) // mp(Q) :
• mp(P) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
• mp(Q) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0
• mp(P) // mp(Q) [pic]
Daïng 11: Cm mp(P) [pic] mp(Q) :
• mp(P) coù VTPT [pic]
• mp(Q) coù VTPT[pic]
• mp(P) [pic] mp(Q) [pic].
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 18: LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M vµ cã vtpt [pic] biÕt
a, [pic] b, [pic]
c, [pic] d, [pic]
Bµi 19: LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng trung trùc cña AB biÕt:
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5)
c, [pic] c, [pic]
Bµi 20: LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng [pic] ®i qua ®iÓm M vµ song song víi mÆt ph¼ng [pic] biÕt:
a, [pic] b, [pic]
c, [pic] d, [pic]
. Bµi 21: Lptr cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M(2;3;2) vµ song song víi cÆp vÐct¬ [pic]
. Bµi 22: LËp ph¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ
a) Song song víi c¸c trôc 0x vµ 0y. b) Song song víi c¸c trôc 0x,0z.
c) Song song víi c¸c trôc 0y, 0z.
. Bµi 23: LËp ph¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng ®i qua 2 ®iÓm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ :
a) Cïng ph¬ng víi trôc 0x. b) Cïng ph¬ng víi trôc 0y. c) Cïng ph¬ng víi trôc 0z.
. Bµi 24:X¸c ®Þnh to¹ ®é cña vÐc t¬ [pic] vu«ng gãc víi hai vÐc t¬ [pic].
. Bµi 25: T×m mét VTPT cña mÆt ph¼ng (P) ,biÕt (P) song song với giá của hai vec tơ [pic]
. Bµi 26: LËp ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) biÕt :
a) (P) ®i qua ®iÓm A(-1;3;-2) vµ nhËn [pic] lµm VTPT.
b) (P) ®i qua ®iÓm M(-1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0.
. Bµi 27:LËp ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c mÆt ph¼ng ®i qua I(2;6;-3) vµ song song víi c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é.
. Bµi 28:Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iÓm A(-1;2;3) vµ hai mÆt ph¼ng (P): x-2=0 ,
. (Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) ®i qua ®iÓm A vµ vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng (P),(Q).
. Bµi 29: LËp ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) trong c¸c trêng hîp sau:
. a) §i qua hai ®iÓm A(0;-1;4) vµ (P) song song với giá của hai vec tơ lµ [pic] vµ [pic]
. b) §i qua hai ®iÓm B(4;-1;1) vµ C(3;1;-1) vµ cïng ph¬ng víi trôc víi 0x.
. Bµi 30: Cho tø diÖn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
. a) ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t c¸c mÆt ph¼ng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
. b) ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua c¹nh AB vµ song song vãi c¹nh CD.
. Bµi 31: ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (P)
. a) §i qua ba ®iÓm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
. b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0
. c) Chøa 0x vµ ®i qua A(4;-1;2) ,
. d) Chøa 0y vµ ®i qua B(1;4;-3)
. Bµi 32: Cho hai ®iÓm A(3;2;3) B(3;4;1) trong kh«ng gian 0xyz
. a) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) lµ trung trùc cña AB.
. b) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) qua A vu«ng gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng y0z
. c) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) qua A vµ song song víi mÆt ph¼ng (P).
.
III.ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (d) qua M(xo ;yo ;zo) coù vtcp [pic]= (a1;a2;a3)
[pic]
2.Phöông trình chính taéc cuûa (d)
[pic]
4.Vò trí töông ñoái cuûa 2 ñöôøng thaúng :
Cho 2 đường thẳng:
d1 :x=x1+a1t; y=y1+a2t ; z=z1+a3t có véctơ chỉ phương[pic]=(a1;a2;a3) và M1 (x1, y1, z1) ( d1
d2 :x=x2+b1t; y=y2+b2t ; z=z2+b3t có véctơ chỉ phương[pic]=(b1;b2;b3) và M2 (x2, y2, z2) ( d2
* d1// d2 ( [pic]
*d1( d2 ( [pic]
* d1 cắt d2 ( [pic] có nghiệm duy nhất.
* d1 chéo d2 ( [pic] vô nghiệm.
* Đặc biệt d1(d2 ( [pic]
4.Góc giữa 2 đường thẳng : [pic]
2.CAÙC DAÏNG TOAÙN
Daïng 1: Ñöôøng thaúng (d) ñi qua A,B
[pic]
Daïng 2: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø song song (()
[pic]
Daïng 3: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø vuoâng goùc mp(
[pic]
Daïng4: PT d’ hình chieáu cuûa d leân ( : d/ = ( ( (
▪ Vieát pt mp(() chöùa (d) vaø vuoâng goùc mp(
[pic]( [pic]
Daïng 5: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø vuoâng goùc (d1),(d2)
[pic]
Daïng 6: PT d vuoâng goùc chung cuûa d1 vaø d2 :
+ Tìm [pic] = [[pic]d1, [pic]d2]
+ Mp( chöùa d1 , (d) ; mp( chöùa d2 , (d)
[pic] d = ( ( (
Daïng 7: PT d qua A vaø caét d1 , d2 : d = ( ( (
vôùi mp( = (A,d1) ; mp( = (A,d2)
Daïng 8: PT d // ( vaø caét d1,d2 : d = (1 ( (2
vôùi mp(1 chöùa d1 // ( ; mp(2 chöùa d2 // (
Daïng 9: PT d qua A vaø ( d1, caét d2 : d = AB
vôùi mp( qua A vaø ( d1 ; B = d2 ( (
Daïng 10: PT d ( (P) caét d1, d2 : d = ( ( (
. vôùi mp( chöùa d1 vaø ((P) ; mp( chöùa d2 vaø ( (P)
Daïng 11: Hình chieáu cuûa ñieåm M
1. H laø hình chieáu cuûa M treân mp(
▪ Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua M vaø vuoâng goùc mp(() : ta coù [pic]
▪ Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : [pic]
2. H laø hình chieáu cuûa M treân ñöôøng thaúng (d)
▪ Vieát phöông trình mp(() qua M vaø vuoâng goùc vôùi (d): ta coù [pic]
▪ Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt :[pic]
Daïng 12 : Ñieåm ñoái xöùng
a/ Tìm ñieåm M / ñoái xöùng vôùi ñieåm M qua mp(P) :
• Laäp pt ñt (d) ñi qua ñieåm M vaø vuoâng goùc mp(P).
• Tìm toaï ñoä giao ñieåm H cuûa ñt(d) vaø mp(P) .
• A/ ñoái xöùng vôùi A qua (P) ( H laø trung ñieåm cuûa MM/ neân :
[pic]
b/ Tìm ñieåm M / ñoái xöùng vôùi ñieåm M qua ñt(d) :
• Laäp pt mp (P) ñi qua ñieåm M vaø vuoâng goùc ñt(d).
• Tìm toaï ñoä giao ñieåm H cuûa ñt(d) vaø mp(P) .
• A/ ñoái xöùng vôùi A qua (d) ( H laø trung ñieåm cuûa MM/ neân :
[pic]
Daïng 12 : CM söï song song:
a/ Cm ñt(d) // ñt(d/) :
• ñt(d) ñi qua ñieåm M1(x1 , y1 , z1) vaø coù VTCP [pic]
• ñt(d/) ñi qua ñieåm M2( x2 , y2 , z2) vaø coù VTCP [pic].
• Ta tính [pic].
• ñt(d) // ñt(d/) [pic].
b/ Cm ñt(d) // mp(P) :
• ñt(d) ñi qua ñieåm M1(x1 , y1 , z1) vaø coù VTCP [pic]
• mp(P) : Ax + By + Cz + D = 0 coù VTPT [pic].
• ñt(d) // mp(P) [pic]
Daïng 12 : CM söï vuoâng goùc :
a/ Cm ñt(d) [pic] ñt(d/) :
• ñt(d) coù VTCP [pic]
• ñt(d/) coù VTCP [pic].
• ñt(d) [pic] ñt(d/) [pic]
b/ Cm ñt(d) [pic] mp(P) :
• ñt(d) coù VTCP [pic]
• mp(P) coù VTPT [pic].
• ñt(d) [pic] mp(P) [pic]
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
. Bµi 33:LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) trong c¸c trêng hîp sau :
. a) (d) ®i qua ®iÓm M(1;0;1) vµ nhËn [pic]lµm VTCP
. b) (d) ®i qua 2 ®iÓm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3)
. Bµi 34: ViÕt ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm M(2;3;-5) vµ song song víi ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh: [pic]
Bµi 35: Cho ®êng th¼ng (D) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh lần lượt lµ : [pic]vµ
. (P): x+y+z+1=0. T×m ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng (d) ®i qua A(1;1;1) song song víi mÆt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng (D)
. Bµi 36: Cho mÆt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iÓm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè cña ®êng th¼ng (d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã
. Bµi 37:
. 1/ LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cña ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(2;1;3) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P) trong c¸c trêng hîp sau:
. a) [pic] b) [pic].
. 2/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P)
. Bµi 38: a/ LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cña ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(1;2;3) vµ song song víi ®êng th¼ng ([pic]) cho bëi :[pic].
. b/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua ([pic])
. Bµi 39: XÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) ,biÕt:
a) [pic] (P): x-y+z+3=0 b) [pic] (P): y+4z+17=0
. Bµi 40: Cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 vµ [pic].
a) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P) .
b) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d1) qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mÆt ph¼ng (P) .
. Bµi 41: Cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :
[pic] [pic]
CMR hai ®êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña nã.
. Bµi 42: Cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :
. [pic] [pic]
a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc chung cña (d1),(d2) .
.
-----------------------
|x |0 1 |
| t |1 3 |
|x | 0 1 |
| t |[pic] 2 |
[pic]
|x | 0 1 |
| t | 1 0 |
|x |0 [pic] |
| t |0 1 |
|x |0 [pic] |
| t |0 1 |
A
B
Qui öôùc:
Maãu = 0 thì Tö û= 0
................
................
In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.
To fulfill the demand for quickly locating and searching documents.
It is intelligent file search solution for home and business.