E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios resueltos ...

[Pages:85]E.T.S. Minas: M?todos Matem?ticos

Ejercicios resueltos Tema 7

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Francisco Palacios

Escuela Polit?cnica Superior de Ingenier?a de Manresa Universidad Polit?cnica de Catalu?a Noviembre 2008, Versi?n 1.3

1 EDO's separables

Ejercicio 1 Resuelve las siguientes EDO's separables.

dy 1. = sin 5x.

dx 2. dx + e3x dy = 0.

dy 3. (x + 1) = x + 6.

dx 4. xy0 = 4y.

dy y3 5. dx = x2 .

dx x2y2

6. =

.

dy 1 + x

7. dy = e3x+2y.

dx

?

??

?

8. 4y + yx2 dy - 2x + xy2 dx = 0.

9. 2y (x + 1) dy = x dx.

dx ? y + 1 ?2

10. y ln x =

.

dy

x

(1.1)

dy = sin 5x,

dx

dy = sin 5x dx,

Z

Z

dy = sin 5x dx,

(1.2)

y = - 1 cos 5x + c, 5

c R.

dx + e3x dy = 0,

1

Ejercicios: EDO's de primer orden

2

(1.3) (1.4) (1.5)

e3x dy = -dx,

-1 dy = e3x dx

= -e-3x dx,

Z

Z

dy = -e-3x dx,

Z

Z

1 dy =

e-3x (-3) dx,

3

y = 1 e-3x + c, 3

c R.

dy (x + 1) = x + 6,

dx

x+6

dy =

dx,

x+1

Z

Z

x+6

dy =

dx,

x+1

Z

Z

Z?

?

x+6

x+1+5

5

dx =

dx = 1 +

dx

x+1

x+1

x+1

= x + 5 ln |x + 1| + c,

y = x + 5 ln |x + 1| + c, c R.

xy0 = 4y,

dy x = 4y,

dx

1

1

dy = 4 dx,

y

x

Z

Z

1

1

dy = 4 dx,

y

x

ln |y| = 4 ln |x| + c1, ln |y| = ln x4 + c1,

|y| = eln x4+c1 = x4 ? ec1 , (c2 = ec1 ) = c2x4,

y = ?c2x4, y = cx4, (c = ?c2).

dy y3 dx = x2 ,

Ejercicios: EDO's de primer orden

3

Soluci?n impl?cita Soluci?n expl?cita (1.6)

Soluci?n impl?cita Soluci?n expl?cita (1.7)

1

dx

y3 dy = x2 ,

Z

Z

y-3 dy = x-2 dx,

1 -2

y-2

=

-x-1

+

c1,

-1 -1 2y2 = x + c1,

12 y2 = x + c,

c = -2c1.

1 2 + xc

y2 =

. x

r

y=?

x .

2 + cx

dx x2y2

=

,

dy 1 + x

??

y2 dy =

1+x x2

dx,

Z

Z?

?

y2 dy =

11 x2 + x dx,

1 y3 3

=

-1 x

+

ln |x|

+

c1.

y3 = 3 ln |x| - 3 + c, x

(c = 3c1) .

r y = 3 3 ln |x| - 3 + c.

x

dy = e3x+2y, dx

dy = e3x ? e2y, dx

Z

dy e2y

=

e3x dx, Z

e-2y dy = e3x dx,

Z

Z

- 1 e-2y (-2) dy = 1 e3x3 dx,

2

3

-1 e-2y 2

=

1 e3x 3

+

c1.

Ejercicios: EDO's de primer orden

4

-3e-2y = 2e3x + c, (c = 6c1) .

(1.8)

? 4y

+

yx2?

dy

-

? 2x

+

xy2?

dx

=

0,

? 4y

+

yx2?

dy

=

? 2x

+

xy2?

dx,

?

?

dy x 2 + y2

dx = y (4 + x2) ,

y

x

2 + y2 dy = 4 + x2 dx,

Z

Z

y

x

2 + y2 dy = 4 + x2 dx,

Z

Z

1 2y

1 2x

2 2 + y2 dy = 2 4 + x2 dx,

1 2

? ln 2

+

y2?

=

1 2

? ln 4

+

x2?

+

c1.

Soluci?n impl?cita

ln

? 2

+

y2?

=

ln

? 4

+

x2

?

+

c2,

(c2 = 2c1) .

Calculamos la soluci?n expl?cita

ln

? 2

+

y2

?

-

ln

? 4

+

x2?

=

c2,

? 2 + y2 ? ln 4 + x2 = c2,

2 + y2 4 + x2

=

ec2

=

c,

2 + y2

4 + x2 = c,

2

+

y2

=

c

? 4

+

x2?

,

y2

=

c

? 4

+

x2?

-

2,

soluciones expl?citas

p y = ? c (4 + x2) - 2.

(1.9)

2y(x + 1) dy = x dx,

x

2y dy =

dx,

x+1

Z

Z

x

2y dy =

dx,

x+1

Resolvemos la integral del lado derecho

Z

x

dx

=

Z

x+1-1

Z

dx =

? 1-

1

? dx

x+1

x+1

x+1

= x - ln |x + 1| + c

Ejercicios: EDO's de primer orden

5

y2 = x - ln |x + 1| + c.

(1.10)

dx ? y + 1 ?2

y ln x =

,

dy

x

(y + 1)2 y ln x dx = x2 dy,

(y + 1)2 dy = x2 ln x dx, y

Z

(y + 1)2

Z

dy =

x2 ln x dx,

y

resolvemos la integral del lado izquierdo

Z (y + 1)2

Z y2 + 2y + 1

Z?

? 1

dy =

dy = y + 2 + dy

y

y

y

y2 = + 2y + ln |y| ,

2

resolvemos la integral del lado derecho Z x2 ln x dx = integral por partes,

tomamos

u = ln x dv = x2 dx

)

du

=

1 x

dx

v

=

1 3

x3

Z

Z

x2 ln x dx = 1 x3 ln x - 1 x3 1 dx

3

Z3 x

= 1 x3 ln x - 1 x2 dx

3

3

= 1 x3 ln |x| - 1 x3 + c,

3

9

finalmente, la soluci?n es

y2 + 2y + ln |y| = 1 x3 ln |x| - 1 x3 + c,

2

3

9

c R.

Ejercicio 2 Resuelve las siguientes EDO's separables.

ds 1. = ks, k constante.

dr

2. dP = P - P 2. dt

3. sec2 x dy + csc y dx = 0.

?

?

4. ey sin 2x dx + cos x e2y - 1 dy = 0.

Ejercicios: EDO's de primer orden

6

5. (ey + 1)2 e-ydx + (ex + 1)3 e-x dy = 0.

6.

?

?

y - yx2

dy

= (y + 1)2 .

dx

7.

dy

?

?

= sin x cos 2y - cos2 y .

dx

p

8. x 1 - y2 dx = dy.

9. (ex + e-x) dy = y2. dx

(2.1)

ds = ks,

dr

1

ds = k dr,

Zs

Z

1 ds = k dr,

s

ln |s| = kr + c1,

|s| = ekr+c1 |s| = ekrec1

= c2ekr, (c2 = ec1 ) ,

s = ?c2ekr, s = cekr, (c = ?c2) .

(2.2)

dp = p - p2, dt

1

p - p2 dp = dt,

Z

Z

1

p - p2 dp = dt,

Z

1

p - p2 dp = integral racional.

Descomposici?n en fracciones simples

1

1

A B A(1 - p) + B(p)

p - p2 = p(1 - p) = p + 1 - p = p(1 - p) ,

igualamos numeradores

1 = A(1 - p) + Bp,

determinamos los coeficientes: si p = 0

1 = A + B ? 0 A = 1,

Ejercicios: EDO's de primer orden

7

si p = 1 la descomposici?n es

1 = A ? 0 + B ? 1 B = 1,

1

11

p(1

-

p)

=

p

+

1

-

. p

Z

Z?

?

p(1

1 -

p)

dp

= =

ln

????

1

1+ p p -p

????1.

1 -

p

dp = ln |p| - ln |1 - p|

Soluci?n impl?cita

ln

????

1

p -

p

????

=

t

+

c1.

Calculamos la soluci?n expl?cita

???? 1

p -

p ????

=

et+c1

=

et

?

ec1 ,

????

1

p -

p

????

=

c2et,

(c2 = ec1 ) ,

1

p -

p

=

?c2et,

p = cet, 1-p

(c = ?c2) ,

Soluci?n expl?cita (2.3)

p = cet(1 - p) = cet - cetp,

p + cetp = cet,

p

? 1

+

cet?

=

cet.

cet p = 1 + cet .

sec2 x dy + csc y dx = 0,

sec2 x dy = - csc y dx,

1

-1

csc y dy = sec2 x dx,

? 1 ? dy = ? -1 ? dx,

1

1

sin y

cos2 x

sin y dy = - cos2 x dx,

Z

Z

- sin y dy = + cos2 x dx.

Ejercicios: EDO's de primer orden

8

Calculamos la integral del lado derecho usando la identidad trigonom?trica

cos2

x

=

1

+

cos 2x ,

2

Z

Z

cos2 x dx =

1 + cos 2x

x1

dx = + sin 2x + c,

2

24

soluci?n impl?cita (2.4)

x1 cos y = + sin 2x + c.

24

ey

sin

2x

dx

+

cos x

?e2y

-

? 1

dy

=

0,

cos

x

?e2y

-

? 1

dy

=

-ey

sin

2x

dx,

e2y - 1

sin 2x

ey

dy = -

dx,

cos x

usamos la identidad trigonom?trica

sin 2x = 2 sin x cos x,

?

?

ey

-

1 ey

2 sin x cos x

dy = -

dx,

cos x

?ey - e-y? dy = -2 sin x dx,

Z ?ey - e-y? dy = 2 Z (- sin x) dx.

Soluci?n impl?cita

ey + e-y = 2 cos x + c1.

Si usamos el coseno hiperb?lico

ey + e-y

cosh y =

,

2

podemos obtener una soluci?n expl?cita

ey + e-y = cos x + c1 ,

2

2

?

?

1

cosh y = cos x + c, c = 2 c1 ,

y = arc cosh (cos x + c) .

(2.5)

(ey + 1)2 e-y dx + (ex + 1)3 e-x dy = 0,

(ex

+ ex

1)3

dy

=

- (ey

+ ey

1)2

dx,

ey

ex

(ey

+

1)2

dy

=

- (ex

+

1)3

dx,

 ................
................

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