Matemática Financeira e Informática de Gestão



Cálculo e Instrumentos FinanceirosTaxa de Juro, Capitaliza??o e DescontoPedro Cosme da Costa VieiraFaculdade de Economia da Universidade do Porto, Portugal2015Pre?mbulo O Cálculo Financeira (ou Matemática Financeira) desenvolve e aplica ferramentas matemáticas para modelizar o comportamento das variáveis financeiras onde se inclui o comportamento do pre?o dos intrumentos financeiros transaccionados em mercados sem se preocupar com os fundamentais económicos desses activos. A Ciência Economica preocupa-se com a afecta??o dos recursos escassos. Assim, come?ando na explora??o dos recursos naturais, a Ciência Economica preocupa-se com a sua transforma??o, produ??o de bens e servi?os e a sua distribui??o pelos indivíduos seja através dos salários, dos lucros e rendas ou das transferências. Numa economia de mercado, os bens e servi?os s?o transaccionados no mercado mediante um pre?o. A existência de concorrência nos mercados de bens e servi?os é fundamental para a produ??o (para que as pessoas se possam especializar nas actividades em que têm vantagens comparativas e para que possa ser ultrapassada a escala mínima de produ??o e aproveitadas as economias de escala) e para a distribui??o (permite que as pessoas revelem os seus gostos e preferências).A Finan?a n?o trata dos recursos escassos no sentido considerado pela Economia mas trata no sentido de estudar e desenvolver intrumentos que “titularizam” os recursos escassos. Assim, os instrumentos financeiros n?o s?o recursos escassos per si mas podem ser transformados em recursos escassos (e noutros instrumentos financeiros). A grande inova??o da Finan?a é que os instrumentos financeiros, apesar de n?o serem um recurso escasso, ao serem transaccionados em mercado (e.g., na bolsa de valores mobiliários) que têm baixos custos de transac??o e de diversifica??o do risco, levam à mudan?a de titularidade dos recursos escassos que d?o base aos instrumentos financeiros.O Cálculo Financeiro tem como axiomas fundamentais que i) n?o é possível obter ganhos por arbitragem (i.e., n?o é possível realizar um ganho sem investimento inicial e sem risco de perda) e que ii) os mercados s?o completos (i.e., um indivíduo que tenha um dado activo no instante de tempo T, pode transferi-lo para qualquer outro instante de tempo M mediante uma taxa de juro R de transforma??o, VM =VT.(1 + R)M–T). Em termos de organiza??o do texto, vou considerar, modelos sem risco aplicaveis a depósitos bancários e a obriga??es e, depois, modelos com risco aplicáveis a seguros e a ac??es. Ainda dentro dos activos com risco, apresentarei instrumentos derivados (op??es de compra e op??es de venda) usando modelos de simula??o.Em termos mais detalhados, na primeira parte deste texto abordo conceitos básicos como taxa de juro e suas componentes, capitaliza??o simples e composta, desconto. Depois, apresento instrumentos financeiros denominados sem risco, i.e., os depósitos e créditos bancários e as obriga??es. Como a infla??o é uma componente importante da taxa de juro, considero ainda o conceito de ?ndice de Pre?os, Taxa de Infla??o, Pre?os Correntes e Pre?os Constantes. Na segunda parte do texto apresento sucintamente as ferramentas da folha de cálculo Excel. Apesar da generalidade dos alunos iniciar os seus estudos universitários com razoáveis conhecimentos de informática, a capacidade de utilizar uma folha de cálculo é muito reduzida. Está diponível um ficheiro Excel com os exemplos algébricos apresentados neste texto ).?ndiceCapítulo 1. Taxa de juro, capitaliza??o e desconto51.0. Introdu??o51.1. Taxa de juro8Componentes da taxa de juro15i) Taxa de infla??oii) Remunera??o realiii) Compensa??o de potenciais perdas – riscoTaxas de referência (EURIBOR, LIBOR, Taxa de Desconto do BCE)19 1.2. Capitaliza??o – Valor Futuro25Capitaliza??o simplesCapitaliza??o composta1.3. Desconto – Valor Actual ou Valor Presente341.4. Pagamento da dívida – Rendas37Express?o Algébrica da Renda perpétuaExpress?o Algébrica da Renda de dura??o limitadaTAEG implícita num contrato1.5. Pre?os correntes e pre?os constantes49Taxa de infla??o Compatibiliza??o de tramos da série com diferentes bases1.6. Contrato de Mútuo – Enquadramento legal58Capítulo 2. Folha de Cálculo – Ferramentas básicas 61Express?es algébricasFerramenta Data + Goal SeekFerramenta Data + SolverBibliografia 68Taxa de juro, capitaliza??o e desconto1.0 Introdu??oA Ciencia Económica trata da afecta??o dos recursos escassos. Quer isto dizer que numa economia à Robinson Crusoé (em que n?o há comércio porque cada indivíduo produz tudo o que consome), partindo de uma por??o de terra e de trabalho, a Ciência Económia trata da decis?o do indivíduo quanto à produ??o de milho, trigo, couves ou feij?o, da transforma??o dos produtos agrícolas produzidos em galinhas, porcos ou tortilhas e de que parte da produ??o vai para consumo e para investimento. Mas como n?o vivemos isolados, a Ciência Economica trata também da troca entre os diversos agentes económicos e de como essa troca aumenta o bem estar dos individuos.Uma economia pode ser vista como um circuito aberto que come?a nos Recursos Naturais e acaba na Lixeira tendo dois circuitos fechados no seu interior (o circuito do trabalho Consumo e o circuito do Capital Investimento).Fig. 1.1 – A economia vista como um circuito aberto que come?a nos Recursos Naturais e termina na LixeiraO mercado induz ganhos no bem-estar das popula??es porque as trocas permitem que os individuos se especializem nas actividades em que têm vantagens comparativas, permitem o explorar das economias de escala e que sejam compatibilizados os gostos e preferências individuais com as possibilidades de produ??o. As interac??es no mercado resultam na afixa??o de um pre?o (a rela??i de troca, por exemplo, um kg de galinha por 6kg de milho) que vai ser incorporado no processo de compatibilizar das possibilidades de produ??o com as necessidades (gostos e preferências) dos individuos de forma a que a economia como um todo funcione no ponto óptimo (ou próximo desse ponto).A Finan?a n?o trata directamente dos recursos escassos porque trata apenas da “titulariza??o” dos recursos escassos que existem na economia. Assim, cria um sistema de contabiliza??o dos recursos escassos que materializa em “títulos”. Depois, esses títulos autonomizam-se e passam a ser considerados como se fossem recursos escassos. O instrumento financeiro com o qual temos mais contacto é a Moeda. Quando, por exemplo, eu trabalho 10 horas (que é um recurso escasso) em troca de uma nota de 100€ (que, no fundamento, n?o é um recursos escasso pois n?o pode ser consumida e podem ser produzidas mais notas), estou apenas a titularizar o valor do meu trabalho. Apenas aceito esses titulos (sem valor intrínseco) em troca do meu trabalho (com valor intrínseco) porque acredito que existem bens e servi?os na economia que eu posso adquirir em troca dos títulos que obtive como pagamento do meu trabalho. Assim, quando tenho na carteira a nota de 100€ o seu valor já n?o resultar de originalmente o meu trabalho ter valor mas apenas de, com esse título, poder adquirir os bens e servi?os escassos que quero consumir.O “título” que traduz a nota de 100€ está autonomizada n?o só relativamente ao valor do meu trabalho e dos demais bens e servi?os produzidos na economia como pode ser trocado por outros “títulos”, por exemplo, posso trocar a nota de 100€ por 5 notas de 20€ ou trocar (emprestado) por 3 notas de 50€ de daqui a 10 anos (recebendo 50€ de juros).Além das notas (actualmente, todas as economias têm moeda), existem outros instrumentos financeiros capazes de titularizar recursos escassos. Por exemplo, posso titularizar uma casa (cujo pre?o de hoje é 100000€, permite ter uma renda de 300€/mês e receber 60000€ daqui a 25 anos) em 100 “obriga??es” de 1000€ cada que paga uma mensalidade de 3,00€/mês e ainda 600€ ao fim de 25 anos. Agora, estas obriga??es podem ser vendidas de forma independente da casa e podem mesmo ser transformadas (por exemplo, separado o pagamento final que vendo por 32650€, do valor da mensalidade que vendo por 67350€) ou combinados com outros títulos na constru??o de novos activos financeiros.Vamos supor que um empreendedor cria uma empresa na qual investe em máquinas, conhecimento e organiza??o um total de 100 mil € e da qual se prevê um lucro anual entre 5mil€ e 25mil€ durante um horizonte temporal de 10 anos findo o qual a empresa será vendida por 50mil€. Esta empresa pode ser titularizada em 50 obriga??es de 1000€ que pagam um cup?o anual de 100€ e um valor final de 1000€ (uma taxa de juro de 10%/ano) e ainda 50 ac??es em que cada uma terá direito a um lucro anual entre 0€ e 400€ de que resulta que cada uma das ac??es terá, para uma taxa de juro de 15%/ano, um valor financeiro de 1000€/cada. Criados estes títulos, estes podem ser comprados e vendidos e podem ser criados fundos de investimento (uma mistura de títulos correspondentes a obriga??es e ac??es de várias empresas) que, por sua vez, também podem ser transformados em obriga??es e ac??es (estes títulos s?o denominados “títulos de participa??o em produtos estruturados”) e o os activos financeiros têm menores custos de transac??o e est?o em suporte virtual (maioritariamente), actualmente o volume de transac??es de intrumentos financeiros é muito superior ao volume de transac??es dos bens e servi?os que lhes s?o subjacentes. Apesar de a titulariza??o cria um activo financeiro que se autonomiza do recurso escasso subjacente, nunca nos devemos esquecer que o “título” n?o é um recurso escasso pelo que a “poupan?a de títulos” n?o traduz verdadeiramente uma poupan?a de recursos escassos da economia como um todo.Nos modelos que vamos tratar será assumido que os mercados financeiros s?o completos o que traduz que s?o transaccionados no mercado títulos referentes a todos os instantes de tempo desde hoje até a um horizonte temporal distante. Quer isto dizer que se tenho recursos hoje, posso usar activos financeiros para transformar esses recursos noutros recursos disponíveis num instante futuro qualquer mediante uma rela??o de transforma??o que está dependente da taxa de juro de mercado e do tempo que medeia entre o intante presente e esse instante futuro. Por exemplo, posso “enviar” 100€ para daqui a 25 anos (emprestando hoje os 100€) recebendo em 2040 um total de 200€. Para eu poder realizar esta troca tem que haver no mercado uma cadeia de individuos que materializem a minha vontade realizando opera??es contrárias (“trazem” 200€ de daqui a 25 anos para o presente transformando-os em 100€). Assim sendo, a minha vontade de “levar” o dinheiro apra o futuro é a Oferta do Mercado (eu sou o produtor de poupan?a) e a resposta dos outros indivíduos é a Procura do Mercado (os outros s?o os consumidores da minha poupan?a).1.1 Taxa de juroEm termos económicos, do lado de quem empresta, o juro é a recompensa que a pessoa recebe por adiar o consumo. Do lado de quem pede emprestado, o juro é o pre?o que a pessoa paga por poder antecipar o consumo. Assim, o juro é o pre?o do crédito. Em termos relativos, obtemos a taxa de juro dividindo os juros pelo montante emprestado, (e.g., se pedi 2000€ emrepstados e devolvi, decorrido um determinado intervalo de tempo, 2100€, ent?o, a taxa de juro foi de 5%). Normalmente, a taxa de juro refere-se a um período de tempo, e.g., 5% por ano.O juro também pode ser entendido como a “taxa de c?mbio” entre recursos disponíveis em 2 instantes de tempo diferentes (considerando que o tempo em que o recurso escasso está disponível é uma característica do recurso, a taxa de juro será o termo de troca entre dinheiro disponível no presente e dinheiro disponível no futuro). Por exemplo, posso trocar 10kg de frango de agora por 11 kg de frango de daqui a um ano (uma taxa de juro de 10%/ano).. Em termos conceptuais, o juro refere-se a um bem fungível sendo pago no mesmo bem que o activo, por exemplo, um lavrador empresta 100kg de milho e, ao fim de um trimestre, recebe 101kg de milho de volta (é milho na mesma mas n?o s?o os mesmos gr?os), caso em que teremos uma taxa de juro de 1% por trimestre. Se aplicado a instrumentos financeiros denominados em euros (de que as notas s?o um caso particular) ou a qualquer bem fungível, a taxa de juro vai ser uma percentagem (uma grandeza sem dimens?es). A remunera??o da utiliza??o durante um período de tempo é uma taxa de juro se o bem emprestado é fungível (i.e., indistinto de outras unidades, e.g., trigo duro), sen?o é uma renda (bem imóvel) ou um aluguer (bem móvel).Ex.1.1. Empresto 10 galinhas a um vizinho que me dá 11 galinhas daqui a um ano. i) Determine a taxa de juro anual ii) Determine quanto receberia se, à mesma taxa de juro, emprestasse 20 galinhas.R. i) Sendo V0 o capital inicial, Vf o capital final e r a taxa de juro anual, teremos a rela??o Vf = V0 + V0 * r = V0 * (1 + r). No exemplo, a taxa de juro resolve 11 = 10×(1 + r) r = 10%/ano. ii) Assumido que a taxa de juro de 10%/ano se mantém quando empresto 20 galinhas, receberia = 20 * (1 + 10%) = 22 galinhas.Se eu entregasse as 10 galinhas para o vizinho produzir ovos com o encargo de me devolver as mesmas galinhas mais 2 ovos por dia, já seria um aluguer (em termos anglo-saxónicos, seria um contrato de leasing ou de renting).A poupan?a individual.A principal motiva??o para haver poupan?a é o ciclo de vida humana: o indivíduo tem necessidade de consumir durante todos os, aproximadamente, 80 anos da sua vida mas apenas é produtivo entre os 25 anos e os 65 anos de idade (ver, Fig. 1.2). Ent?o, o individuo vai precisar de guardar parte do que produz enquanto trabalha para ter recursos quando for incapaz de trabalhar. Pode parecer estranho, mas o individuo também tem que ser capaz de enviar recursos para o passado para pagar as despesas que teve enquanto era crian?a.Fig. 1.2 – Rela??o entre o rendimento e o consumo ao longo da vidaMandar dinheiro para o passado traduz que na inf?ncia e juventude o indivíduo se endividou para poder consumir e estudar (o trabalho da crian?a n?o tem valor, i.e., n?o produz bens ou servi?os). Na meia-idade, o indivíduo é produtivo pelo que amortiza a dívida contraída na inf?ncia e juventude (envia recursos para o passado pagando às pessoas que lhe emprestaram o dinheiro quando era crian?a), consome e constitui uma poupan?a (i.e., empresta a outras crian?as e jovens) para a reforma em que vai consomir a poupan?a constituída durante a meia-idade (i.e., gasta o que poupou mediante o pagamento das crian?as a quem emrpestou no passado, ver, Fig. 1.3). Em termos financeiros, podemos imaginar que a pessoa quando é crian?a e jovem pede emprestados 175000€ (aos pais e ao Estado) para gastar em consumo e investir no desenvolvimento da sua capacidade produtiva (principalmente na escolariza??o); na meia-idade trabalha para consumir, pagar a dívida contraída em crian?a e jovem mais os juros (aos pais e ao Estado) e poupar 100000 Euros (e.g., emprestar aos filhos, adquirir uma casa, activos financeiros ou emprestar ao Estado); e que, quando se reforma, recebe (dos filhos, por vender os activos e do Estado) o dinheiro poupado na meia-idade mais os juros para gastar em consumo.Fig. 1.3. – Rendimento, consumo, endividamento e poupan?a ao longo da vidaOutra motiva??o importante para haver poupan?a é o indivíduo precaver-se face ao risco quer da diminui??o do rendimento (e.g., por ficar desemprego) quer do aumento da despesa (e.g., por ter um acidente automóvel). O indivíduo pode poupar 10% do seu rendimento que empresta a alguém de confian?a de forma que, em caso de ter um azar, possa recuperar essas poupan?a para poder continuar a consumir normalmente.Outra raz?o para haver poupan?a é a existência de empreendedores. Assim, os individuos além de emprestarem a outros individuos (para consumo ou compra de bens duradouros) também podem emprestar a empreendedores para investirem em nova capacidade produtivas. Como o aumento do stock de capital (máquinas, estradas, escolaridade, etc.) aumenta a produtividade do trabalho (e de outros factores de produ??o), os empreendedores apropriando-se de parte desse ganho conseguem pagar os juros e o capital inicial ainda tendo um lucro. Ent?o, os empreendedores competem pela poupan?a das pessoas pagando-lhe um juro que é determinado no mercado. Por exemplo, um agricultor produz 20 ton/ano de milho (que vende por 3000€) mas fazendo um investimento em canais de irriga??o (de 15000€) passa a produzir com o mesmo trabalho 30ton/ano (que vende por 4500€) ao longo de 25 anos. Ent?o, é lucrativo o agricultor pedir os 15000€ emprestados e pagar 5%/ano de taxa de juro (porteriormente, iremos aprender a calcular que, a 5%/ano, este aumento na produ??o tem um valor de 21141€ que é maior que os 15000€ do investimento). Como a escolaridade induz um aumento nos salários futuros da pessoa, será positivo a crian?a adedicar o seu tempo (custo de oportunidade) e aplicar recursos a estudar (custo financeiro que tem que pedir emprestados) para que o seu salário venha aumentado no futuro (podendo mais do que pagar o crédito). Mas para poupar n?o é obrigatório haver uma tansac??o no mercado pois também existe poupan?a (de recursos escassos) quando se adquirem bens que duram vários períodos, e.g., uma máquina de lavar lou?a, um frigorífico ou uma casa (i.e., bens duradouros).Como vivemos numa economia com moeda, os empréstimos s?o denominados em numerário. No exemplo, o agricultor vende as 10 galinhas (a 2€ cada) e empresta os 20€ ao vizinho que lhos devolve no futuro acrescidos de 10% de juros (i.e., um total de 22€) com os quais o agricultor poderá adquirir 11 galinhas (a 2€ cada). Ex.1.2. Um capitalista tem 100 ovelhas que vai emprestar em troca de 750kg de queijo mais 100 ovelhas ao fim de um ano. Supondo que o pre?o de cada ovelha é 250€ e que o pre?o do queijo é 5€/kg, determine a taxa de juro anual deste contrato.R. Empresto 25000€ (que obtenho da valora??o das 100 ovelhas ao pre?o de mercado) e recebo 28750€ por ano (da valora??o do queijo, 3750€, e das ovelhas, 25000€, ao pre?o de mercado). A taxa de juro resolve a express?o seguinte:Vf = V0 * (1 + r) r = (Vf – V0)/V0 = Vf / V0 – 1 r = 28750/25000 – 1 = 15%.O juro também pode ser entendido como a “taxa de c?mbio” entre bens disponíveis em dois instantes de tempo diferentes (ou o termo de troca entre estes dois bens). Por exemplo, posso trocar 10kg de “frango de agora” por 11 kg de “frango de daqui a um ano” (uma taxa de juro de 10%/ano) sendo que esta troca é feita no presente. ? estranho eu estar a comprar e vender hoje bens que ainda n?o existem mas, no conceito de mercado completo, todos os bens que possam vir a existir no futuro podem ser transaccionados no presente. A existência de mercado completos é importante porque, muitas das vezes, apenas o bem é produzido no futuro se já tiver sido vendido no passado.Por exemplo, uma companhia de actores tem em projecto levar à cena daqui a 6 meses um espectáculo para o qual precisa pelo menos de uma factura??o de 10000€ (2500€ para o aluguer da sala, 2500€ para os adere?os e 5000€ para a remunera??o do trabalho). A sala tem capacidade para 2500 lugares que, normalmente, s?o vendidos na bilheteira a 6 € cada. Como é arriscado avan?ar com o projecto, a companhia lan?ou um crowdfunding no qual vai vender previamente bilhetes a 5€ por lugar e só leva à cena o espectáculo se conseguir vender nos próximos 2 meses pelo menos 1500 bilhetes (o dinheiro será devolvido no caso de o projecto n?o avan?ar) que corresponde a 75% do break even point.A poupan?a agregada.A pessoa apenas pode emprestar recursos se poupar mas isto n?o garante que, no agregado da economia, exista poupan?a. O agregado traduz a soma da poupan?a de todos os individuos da economia. Se umas pessoas pouparem recursos hoje para que outras os possam consumir hoje, ent?o, n?o haverá poupan?a agregada. Assim, a poupan?a financeira individual n?o tem necessariamente efeito económico agregado se o que uns poupam for imediatamente consumido por outros (haverá apenas uma redistribui??o do rendimento disponível). Para haver poupan?a agregada a quantidade de capital da economia (seja capital produtivo ou stocks) tem que aumentar ao longo do tempo.Supondo uma economia com 2 tipos de agentes económicos, os credores, c, e os devedores, d, e que no instante 0 e 1 est?o disponíveis na economia um total de bens e servi?os Y0 e Y1, respectivamente. Sem crédito teremos (Yc0 quantifica a quantidade de bens disponíveis para os credores no intante 0):Y0 = Yc0 + Yd0 e Y1 = Yc1 + crédito V0 à taxa de juro r, os credores passam a ter disponível no presente (Yc0 – V0) e os devedores (Yd0 + V0) mantendo-se Y0 = (Yc0 – V0) + (Yd0 + V0) = Yc0 + Yd0. No futuro, os credores ter?o rendimento disponível aumentado, [Yc1 + V0 (1+r)], e o devedores diminuído, [Yd0 – V0 (1+r)], mas mantendo-se Y1 = Y0:Y1 = [Yc1 + V0 (1+r)] + [Yd0 – V0 (1+r)] = Yc1 + Yd1 = Y0. Assim, neste exemplo, a existência de poupan?a dos credores n?o se traduziu em poupan?a agregada porque essa poupan?a foi canalizada para consumo dos devedores.Apenas haverá impacto económico se a poupan?a for encaminhada para investimento que induza um aumento do produto futuro, Y1.Em termos agregados, no futuro apenas ser?o consumidos os recursos disponíveis nesse instante de tempo independentemente do valor nominal da poupan?a financeira existente: Se houver mais activos (em termos nominais) que bens e servi?os disponíveis ent?o, o valor nominal dos activos diminui.Imaginemos uma aldeia onde há 1000 terrenos idênticos e onde a única forma de poupar para a velhice é adquirindo um desses terrenos. Quando alguém compra um terreno por 1000 kg de milho está a poupar esse recurso (pois deixa de consumir o milho) mas, como o número de terrenos é fixo, essa poupan?a individual n?o traduz uma poupan?a agregada pois quem vende o terreno estará a “despoupar” na exacta quantidade (vai consumir os 1000kg de milho). Vamos supor que na aldeia, em termos individuais, as pessoas querem poupar o dobro do que poupavam. Como o número de terrenos é fixo, a economia ajusta fazendo o pre?o relativo dos terrenos aumentar para 2000kg de milho. Quando a quantidade de “activos financeiros” na economia é fixo, a duplica??o da propens?o à poupan?a dos individuos n?o faz aumentar a poupan?a agregada mas apenas faz duplicar o pre?o do “activo financeiro”. A poupan?a em termos agregados obrigaria a que os 1000kg fossem armazenados (para os tempos de seca) ou que fossem utilizados para pagar a pessoas que arroteassen novos terrenos ou para melhorar o sistema de rega (o que induziria um aumento do total de capital na economia).A poupan?a de uma economia face ao exterior é condensada na Balan?a Corrente. Relativamente à Zona Euro onde estamos integrados, nos últimos anos a situa??o tem sido positiva face ao exterior (globalmente, a Zona Euro está a emprestar recursos escassos ao exterior).Fig. 1.4 – Saldo da balan?a corrente da Zona Euro em percentagem do PIB (BCE)Já relativamente a Portugal, no período 1995-2012 houve um endividamento face ao exterior de 177 mil milh?es de euros (ver, Fig. 1.5).Fig. 1.5 – Saldo da Balan?a Corrente portuguesa em percentagem do PIB (INE e BP)Intermediários financeiros. O problema de emprestar activos é que o devedor pode n?o cumprir a sua obriga??o (devolver o que lhe entregamos mais os juros). No sentido de diminuir este risco, nas economias desenvolvidas, existem intermediários financeiros (bancos, seguradoras, gestores de património, etc.) que captam os recursos dos aforradores e os emprestam a agentes económicos que desconhecemos. A maior escala do intermediário financeiro faz com que sejam mais eficientes na avalia??o do risco dos devedores, na cobran?a coerciva dos créditos e na diversifica??o do risco (ponto a tratar na parte 2) o que permite aumentar a garantia de que os recursos emprestados nos ser?o devolvidos.Nas economias desenvolvidas os créditos s?o em dinheiro que n?o é um recurso escasso (podem ser impressas mais notas a um custo muito menor que o valor facial das notas). No entanto, em termos económicso, como o Banco Central mantém o número de notas fixo, mantém-se que quem empresta dinheiro está a prejudicar o seu consumo presente (pois poderia adquirir e consumir bens ou servi?os e n?o o faz) e a favorecer o seu consumo futuro (vai adquirir e consumir bens e servi?os com o dinheiro devolvido mais os juros) e quem pede dinheiro emprestado favorece o consumo presente (adquire e consume bens e servi?os que n?o poderia adquirir) mas prejudica o seu consumo futuro (para pagar a dívida, n?o poderá consumir no futuro). Assim, um empréstimo em moeda também está a transferir recursos do presente para o futuro (do aforrador) e do futuro para o presente (do devedor).No sentido de aumentar a capacidade produtiva do país, até aos anos 1980, os bancos portugueses estavam limitados quanto a conceder crédito às famílias (crédito para aquisi??o de bens de consumo, automóveis, imóveis habitacionais, férias, etc.). Depois da liberaliza??o da actividade bancária, o crédito às famílias tornou-se a principal fatia do negócio dos bancos comerciais.Mercado de valores mobiliários. Os aforradores também podem aplicar as suas poupan?as directamente em empresas usando a Bolsa de Valores Mobiliários. Neste caso, como n?o há intermediários financeiros que garantam os valores entregues, o aforrador assume o risco de incumprimento do devedor por causa, por exemplo, da empresa da qual comprou activos vir a falir. Exemplo actual de grande dimens?o é a falência do Banco Espirito Santo e das empresas do Grupo Espirito ponentes da taxa de juroTaxa de juro nominal.Quando o empréstimo é em numerário (em moeda ou denominado em euros), a taxa de juro escrita no contrato como percentagem do valor emrpestado é denominada por taxa de juro nominal. Por exemplo, emprestando 25mil€ durante um ano com uma taxa de juro nominal de 4,0% ao ano, no fim do prazo contratado receberei 26mil€. Em termos económicos, a taxa nominal engloba três componentes.i) Taxa de infla??o. Os pre?os dos bens e servi?os variam ao longo do tempo, uns aumentando e outros diminuindo. O aumento do pre?o médio (que se traduz num aumento do Nível Geral de Pre?os) denomina-se por infla??o e quantifica-se como uma taxa anual. Se, por exemplo, a taxa de infla??o prevista para os próximos 12 meses for de 2,8%/ano, se eu adquiro hoje um cabaz por 100€, para poder comprar o mesmo cabaz daqui a um ano terei que desembolsar 102,80€. Os pre?os dos bens e servi?os aumentando acontece ao mesmo tempo uma diminui??o do valor da moeda (desvaloriza??o).Tendo eu uma soma de dinheiro que permite comprar um cabaz de bens e servi?os, se emprestar essa soma, havendo infla??o, quando for reembolsado preciso de uma soma maior para poder comprar um cabaz idêntico. Ent?o, a taxa de juro terá que incorporar a taxa de infla??o para corrigir a desvaloriza??o da moeda.A teoria económica e a evidência empírica afian?am que a subida média dos pre?os (i.e., a infla??o) n?o tem relev?ncia na afecta??o dos recursos escassos o que justifica que as políticas monetárias da Zona Euro (e de quase todas as zonas monetárias do mundo) sejam no sentido de, em média, haver um aumento do nível geral dos pre?os na ordem dos 2,0%/ano. O concenso está nas vizinhan?as de 2,0%/ano mas também poderia ser outro valor, por exemplo 1,0%/ano ou 2,5%/ano. Comparando Julho de 1999 (ano de fixa??o dos c?mbios de transforma??o das moedas locais em euros) e Julho de 2015, a taxa de infla??o média na Zona Euro foi de 1,90%/ano.Fig. 1.6 – Evolu??o da taxa de infla??o anual na Zona Euro (dados: BCE)ii) Remunera??o real. Se o contrato é em euros, a taxa de juro real quantifica a varia??o no poder aquisitivo dos euros que se emprestam. Assim, traduz, em percentagem, quanto vai aumentar (no futuro e relativamente ao que poderia comprar no presente) o recheio do cabaz do credor. Denomina-se por taxa de juro real porque quantifica a varia??o de quantidades reais (i.e., com import?ncia económica real). A existência da componente real tem, principalmente, 3 origens:a) Ser preferível consumir hoje a consumir no futuro. Na microeconomia, quando estudamos a influência da taxa de juro na poupan?a, é aceite o princípio de que o ser humano prefere consumir no presente. Ent?o, o agente económico para adiar o consumo vai exigir no futuro o reembolso de uma quantidade de dinheiro que lhe permita consumir um cabaz melhor que o que poderia consumir no presente. Este princípio tem como efeito que a taxa de juro real seja tendencialmente positiva.b) O capital ser produtivo. O capital é um conjunto de bens que tornam o factor trabalho (e demais factores) mais produtivo. Por exemplo, um agricultor se utilizar uma enxada em vez das m?os consegue cultivar mais terra e produzir mais bens. Assim, quem pedir emprestado dinheiro para comprar bens de capital, pode devolver o dinheiro acrescido de uma parcela e ainda ter uma vantagem. Este princípio tem como efeito que os investidores remunerem a poupan?a com uma taxa de juro real positiva.c) O PIB aumentar ao longo do tempo. Motivado pelo progresso tecnológico e pela acumula??o de capital, no futuro cada indivíduo será mais produtivo do que nós somos agora, i.e., há ganhos de produtividade ao longo do tempo. Nos últimos 100 anos, os ganhos de produtividade por trabalhador foram cerca de 1,5%/ano. Como haverá no futuro maior abund?ncia de bens e servi?os, quem antecipa o consumo está disponível para devolver uma quantidade maior de bens e servi?os. Este princípio justifica uma tendência secular positiva para taxa de juro real. No entanto, este princípio faz com que em períodos em que se prevê uma diminui??o do produto, a taxa de juro real seja negativa (e.g., quando há períodos de crise de que uma guerra é um caso particular).iii) Compensa??o por potenciais perdas (risco). A taxa de juro também compensa n?o existir conhecimento perfeito sobre o que vai acontecer no futuro. Ent?o, o agente económico tem que acautelar as contingências futuras adversas. Por exemplo, os automóveis têm uma roda sobresselente porque existe a probabilidade de acontecer um furo num pneu. Como ao longo do tempo o risco de furo tem diminuido, a roda sobresselente tem piorados nas suas características.a) Incumprimento do devedor. Quem empresta hoje tem a convic??o de que o devedor vai cumprir no futuro as obriga??es assumidas. Isto é, que o dinheiro emprestado no presente será devolvido no futuro acrescido dos juros negociados. No entanto, nem sempre isso acontece (e.g., mesmo que o devedor seja sério, quando o seu principal activo é o trabalho, se morrer ou ficar inválido n?o poderá cumprir as suas obriga??es).Em termos simples, podemos modelizar o risco como a probabilidade de o capital mais os juros nunca serem devolvidos. Neste modelo “tudo ou nada” que é denominado por lotaria, existe a probabilidade p de o devedor n?o cumprir o acordo (havendo perda total do capital e dos juros) e a probabilidade complementar (1–p) de o cumprir na totalidade. Sendo que se pretende uma taxa de juro sem risco de r, (e.g., taxa de juro da dívida pública alem?), teremos que emprestar o capital V0 à taxa de juro i de forma a recebermos, em média (em termos esperados), a quantidade Vf:Como o valor recebido é, em média, zero vezes a probabilidade de perda total, 0.p, mais o capital, V0, com juros contratados, taxa i, vezes a probabilidade de cumprimento total, Vi*(1+i)*(1–p). Desta forma, temos a seguinte express?o:Vf = 0*p+V0*(1-i)*(1-p)A taxa i tem que ser maior que a soma da taxa de infla??o mais a taxa de juro real para, assim, compensar em termos estatísticos o risco de o contrato n?o ser cumprido. Assim, a taxa de juro sem risco, r, terá que ser acrescido de uma componente de forma a que o capital recebido Vf seja, em média, igual ao que receberíamos sem risco. No caso da lotaria em que o risco de incumprimento total é p teremos:Vf = 0*p+V0*(1-i)*(1-p) (1+i) = (1+r) / (1-p) i = (1+r) / (1-p) - 1Por exemplo, se pretendermos uma taxa de juro nominal sem risco de 2,0%/ano e houver uma probabilidade de 2,5%/ano de o dinheiro e juros n?o serem devolvidos no fim do prazo, a taxa de juro exigida no contrato para cobrir este risco terá que ser de 4,615%/ano. i = (1+r) / (1-p) – 1 = (1+ 2,0%)/(1-2,5%)-1 = 4,615%Em termos correntes falaríamos de um Spread de 2,615 pontos percentuais, pp, relativamente à taxa de juro sem risco. Vejamos outro exemplo. Um indivíduo empresta 1€ e, decorrido um mês, recebe uma determinada soma de dinheiro que antecipa só ser paga se uma carta retirada do baralho for um Rei. Qual a taxa de juro do contrato que faz com que o aforrador receba, em média, o euro que emrpestou?Como a probabilidade de n?o sair esse tipo de carta é 12/13 = 92,31%, a taxa de juro acordada resolve 1€ = 0*92,31 + A*(1+R)*(1-92,31%) R = 1/(1-92,31%)-1 = 1200%/mês (i.e., um contrato “equilibrado” terá que garantir que, em caso de sucesso, o aforrador recebe 1€ + 12€ = 13€).b) Erro na previs?o da infla??o. Quando num contrato é prevista uma taxa de juro nominal, apesar de apenas a componente real ter relev?ncia económica, ao existir erro na previs?o da taxa de infla??o ent?o, existe o risco de a taxa de juro real ser diferente da antecipada. Por exemplo, se a taxa nominal é de 10,00%/ano, para uma infla??o antecipada de 5,00%/ano, a taxa de juro real será de (1+10,00%)/(1+5,00%) – 1 = 4,76%/ano. No entanto, se no futuro se verificar que a infla??o efectiva foi de 7,00%/ano, a taxa de juro real virá a posteriori = (1+10%)/(1+7%) – 1 = 2,80%/ano, menor que o valor previsto na data de assinatura do contrato o que prejudica o aforrador (e beneficia o devedor). Se, pelo contrário, a taxa de infla??o for menor, quem fica prejudicado é o devedor (e o aforrador é beneficiado). Este risco tem um efeito negativo na economia (“Barro, 1995, estimates that a 10 percentage point rise in inflation will reduce the growth rate of real per capita GDP by 0,2–0,3 percentage points per year, leading to output being lowered by between 4% to 7% after 30 years”, Issing, 2000, “Why price stability?”, pp.84).Para melhorar a previsibilidade da taxa de infla??o, os bancos centrais anunciam uma meta para a infla??o de longo prazo e, utilizando instrumentos de política monetária, procuram fazer com que a infla??o seja o mais estável possível em torno dessa meta que, na generalidade das zonaas monetárias, é na ordem dos 2,00%/ano. Uma forma de ultrapassar o risco de previs?o da taxa de infla??o é a taxa de juro contratada ser variável. Por exemplo, contrata-se a taxa de juro real (mais a taxa de risco) e deixa-se para o fim do contrato a determina??o da “correc??o monetária” que será feita a posteriori. Taxa de referência EURIBOR. Como as condi??es de mercado podem obrigar a altera??es na taxa de juro real, outra modalidade é usar uma taxa de juro variável em fun??o de um índice que traduz a taxa de juro de mercado, índice esse que, no caso português, é a EURIBOR média do mês anterior mais um Spread que traduz a taxa de risco do cliente (normalmente indicada em pontos percentuais acima da EURIBOR). EURIBOR é uma sigla (Euro Interbank Offered Rate) que representa a taxa de juro a que os bancos sem risco (first class credit standing) emprestam euros entre si (opera??es também denominadas por “cedência de liquidez”). A informa??o é recolhida (pelas 10h45) por um painel de 44 bancos representativos do mercado do Euro sendo a Caixa Geral de Depósitos membro desse painel. Apesar de o prazo dos empréstimos interbancários ser de 1, 2 ou 3 semanas, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ou 12 meses, a EURIBOR é uma taxa anualizada (i.e., x% ao ano), havendo uma para cada prazo. Os bancos s?o livres de fazer contratos para outros prazos que n?o ser?o usados no cálculo da EURIBOR.Ver Euribor a 6 meses é a mais usada nos contratos de crédito à habita??o. Até meados de 2008, data do início visivel da Crise do Subprime, a EURIBOR 6M oscilava em torno dos 3,5%/ano, no intervalo 2,0%/ano e 5,0% mas, desde ent?o, caiu para quase zero, evolu??o que apresento na Fig 1.7 (EURIBOR média diária para o prazo de 6 meses, entre 1 de Janeiro de 2000 e 30 de Julho de 2015, média mensal a azul e média móvel exponencial de 24 meses a castanho). Fig. 1.7 – Evolu??o da EURIBOR a 6 meses entre Jan2000 e Jun2015 (euribor-rats.eu)Como a EURIBOR quantifica a taxa de juro de empréstimos entre institui??es sem risco, esta taxa apenas incorpora a taxa de infla??o prevista pelos agentes económicos para os próximos 6 meses (no caso da EURIBOR 6M) e a taxa de juro real de mercado para o mesmo prazo, raz?o pela qual nos contratos indexados à EURIBOR com agentes económicos com risco é acrescentada a esta taxa de referencia uma parcela para cobertura do risco denominada por Spread, e.g., 1,25 pontos percentuais. Para valores pequenos de Spread temos os pontos base como partes por 10000, e.g., dizer que o Spread é 75 pontos base é equivalente a dizer que é 0,75 pontos percentuais.Taxa de referência LIBOR. ICE LIBOR é uma sigla (Intercontinental Exchange London Interbank Offered Rate) que representa uma taxa de juro de referência em 5 moedas (USD - U.S. dollar; EUR – Euro; GBP - pound sterling, JPY - Japanese yen e CHF - Swiss franc) para 7 prazos (overnight, uma semana e 1, 2, 3, 6 e 12 meses). Assim s?o diariamente calculadas 35 taxas de juro. Tem por base apenas os grandes bancos internacionais sendo, por isso, um painel muito mais pequeno que o usado no cálculo da EURIBOR (o painel tem apenas 20 bancos sendo que nem todos s?o elegíveis para entrar nos cálculos da taxa de juro de todas as moedas, ver painel). Se, por exemplo, uma empresa faz uma entrega pela qual recebe 1 milh?o de yens daqui a 3 anos. Ent?o, para anular o risco cambial, a empresa pede agora 900 mil yens pelos quais vai pagar a LIBOR 3M + 2 pp (em yens) para comprar as materias primas e pagar os salários (em Euros) necessários para executar a encomenda.Taxa de desconto do Banco Central Europeu. A quantidade de moeda em circula??o e a sua taxa anual de aumento s?o decis?es política que afectam o nível geral de pe?os e a sua taxa de varia??o, respectivamente. Quando aumenta a quantidade de moeda em circula??o n?o existe nenhum efeito positivo na economia mas apenas um aumento dos pre?os, i.e., ocorre infla??o. ? a superneutralidade da moeda.Teoria Quantitativa da Moeda. Referente a um ano, a quantidade de bens e servi?os produzidos, Y, vezes o pre?o, P, (i.e., o produto nominal Y.P) é igual à quantidade de moeda em circula??o, M, vezes a velocidade média de circula??o da moeda, V, (i.e., em quantas transac??es uma nota intermedeia):Y*P = M*VNa Zona Euro, em Junho de 2015, a quantidade de notas em circula??o é de 1017 mil milh?es € (cerca de 10% do PIB) a que, em termos de meios de pagamento, se somam 5340 mil milh?es € em depósitos à ordem. Desta forma, na Zona Euro existe um total de 6357 mil milh?es € em meios de pagamento (cerca de 67% do PIB), ECB. Resulta directamente da teoria quantitativa da moeda que a taxa de infla??o é igual à taxa de crescimento da quantidade de moeda, M/M, mais a taxa de crescimento da velocidade de circula??o, V/V, menos a taxa de crescimento do produto real, Y/Y:Esta rela??o obtém-se diferenciando e dividindo por Y.P = M.V:No longo prazo, a velocidade de circula??o da moeda é, a médio/longo prazo, estável. Sendo a política do BCE uma taxa de infla??o de 1,95%/ano, sendo a taxa de crescimento do PIB de 2,40% por ano, ent?o, a quantidade de moeda em circula??o terá que aumentar de forma definitiva =(1+1,95%)*(1+2,40%)-1 = 4,40%/ano. Como a moeda emitida tem um custo de produ??o que é relativamente pequeno em compara??o com o valor facial das notas, o banco central tem lucro que se denomina por direito de senhoriagem que é entregue ao Estado na forma de dividendos.Apresento na Fig. 1.8 o trajecto da taxa de infla??o portuguesa no processo de ajustamento de um período de infla??o elevada (a taxa média de 22,1%/ano da década 1974-1984) para o objectivo de 2%/ano da Zona Euro. Na década 1985-1995 (governa??o do Prof. Cavaco Silva), a trajectória de desinfla??o induz a ideia de que o objectivo tra?ado foi a taxa de infla??o diminuir, em média, a uma propor??o de 20% por ano (linha a castanho).Fig. 1.8 – Taxa de infla??o portuguesa, 1960-2015 (homóloga mensal com alisamento exponencial de 12 meses, dados: INE, a linha a castanho diminui 20%/ano)Depois de um período de taxa de infla??o elevada os agentes económicos n?o acreditam que o Banco Central, BC, tenha for?a política suficiente para garantir a anunciada diminui??o da taxa de infla??o (os trabalhadores continuam a exigir subidas periódicas de salários) pelo que, o BC terá que, parcialmente, acomodar a taxa de infla??o do ano anterior para neutralizar os aumentos nominais dos salários. A n?o acomoda??o levará a um aumento incomportável do salário real e a uma queda abrupta de liquidez na economia o que terá efeitos negativos no emprego e no produto. Outro problema s?o os contratos com taxa de juro fixa (elevada) que, quando a infla??o diminui, ficam desfavoráveis para os devedores.Quando ocorrem mudan?as da denomina??o da moeda a diminui??o da taxa de infla??o pode ser mais rápida como, e.g., no Brasil que passou de 29,3%/mês em 1994 para 1,2%/mês em 1996 mantendo-se desde ent?o inferior a 0.5%/mês (dados do Banco Mundial).No curto prazo, a velocidade de circula??o da moeda oscila de forma significativa o que torna insuficiente usar a tendência de longo prazo para manter a taxa de infla??o próxima da meta. Ent?o, no curto prazo, o Banco Central tem que usar intrumentos de cedência e absor??o de liquidez mais rápidos e provisórios que a emiss?o defenitiva de moeda. Um instrumento de política é o banco central da zona monetária (por exemplo, o BCE para a Zona Euro) pode absorver liquidez (i.e., aceitar depósitos) ou ceder liquidez (i.e., emprestar dinheiro) aos bancos comerciais que, como intermediários, a transmitem a toda a economia. Para desincentivar os bancos de recorrer ao BCE como fonte de financiamento de longo prazo (e n?o por ser um spread para cobrir o risco), o BCE tem uma janela de desconto com um spread de 1 ponto percentual (podendo ser ligeiramente menor): se, por exemplo, o BCE fixar a taxa de juro (que denomina como taxa de desconto) em 3,00%/ano, ent?o aceita depósitos à taxa de 2,50%/ano e empresta dinheiro à taxa de 3,50%/ano garantido por “activos bons” (os activos usados como colaterais ter?o que ter pelo menos A de rating). Além disso, os bancos n?o podem usar sistematicamente o BCE para a obten??o de liquidez porque, num sistema LIFO (last in, first out) de contabiliza??o dos créditos, ao fim de um determinado prazo, a taxa de juro aumenta. Somando estas duas raz?es (a necessidade de dar garantias boas e a taxa de juro ser crescente com o prazo), a taxa de juro do BC é normalmente inferior à EURIBOR n?o sendo usada como indexador do mercado de crédito.Em vez de mudar a taxa de juro e esperar que os bancos aceitem ou cedam liquidez, o BC pode ainda fazer opera??es de mercado aberto (open market) em que, para aumentar a liquidez da economia, compra de obriga??es (com rating superior a A) “vendendo” euros e, para diminuir a liquidez, vende obriga??es “comprando” euros.AgênciaN.? de classesMelhor classePior classeFitch Ratings9AAADMoody's21AaaCStandard & Poor's10AAADTabela 1.1 – Nota??es de rating para obriga??es de longo prazoResumindoA taxa de juro nominal, r, resulta da composi??o de três parcelas: A taxa de juro real, R, A taxa de infla??o, , e A taxa de incumprimento, p.r = (1 + R)*(1 + )/(1 - p) -1Por exemplo, para uma taxa de juro real de 2,00%/ano, uma taxa de infla??o prevista de 1,60%/ano e um risco de incumprimento previsto de 3,00%/ano, teremos no contrato uma taxa de juro nominal de r =1,02*1,016/0,97-1 = 6,837%/ano. A taxa de juro sem risco seria de r = 1,02*1,016-1 = 3,63%/ano, e o spread para cobertura do risco seria de = 6,84% - 3,63% = 3,21 pontos percentuais.Para valores de r, R, e p pequenos (i.e., próximos de zero), é aceitável aproximar a taxa de juro nominal pela soma das parcelas (a taxa de juro real mais a taxa de infla??o mais a taxa de incumprimento), r = R + + p. No exemplo, teríamos r = 2,00%+1,60%+3,00% = 6,60%/ano, ligeiramente menor que o “verdadeiro valor” de 6,84%/ano.Ex.1.2. Determine a taxa de juro a cobrar quando a taxa de juro real pretendida é de 1,80%/ano, a taxa de infla??o prevista é de 2,80%/ano, e a probabilidade de incumprimento prevista é de 3,50%/ano.R. Seria aproximadamente = 1,80% + 2,80% + 3,50% = 8,100%/ano e, em temos exactos, = (1 + 1,80%) * (1 + 2,80%) / (1 - 3.50%) – 1 = 8,446%/ano.Quando somamos taxas de juro, falamos em termos de pontos percentuais. Neste exemplo, a taxa de juro real é 1,800 por cento ao ano a que se acrescentam 2,850 pontos percentuais para corrigir a infla??o e um Spread de 3,796 pontos percentuais para compensar o risco de perda.Ex.1.3. Uma determinada institui??o de crédito usa a técnica de Credit Scoring na determinar do spread da taxa de juro do crédito bancário relativamente à EURIBOR 6M. Somando o efeito das três variáveis mais relevantes (ver tabela abaixo), se o score ≤ 80, o spread será de 0,75 p.p. (i.e., pontos percentuais), se 80 < score ≤ 120, o spread será de 1,75 p.p. enquanto que se score > 130, o banco n?o concede crédito. Determine o spread para um casal que ganha 2000€/mês, tem um património de 100M€, um tem 26 anos e outro 30 anos, e pretende pedir 175M€ para comprar uma casa avaliada em 250M€ (que custa 225M€). No cálculo do risco assume-se uma presta??o mensal de 6,00€ por cada mil€ de empréstimo.VariávelScorePJA: Propor??o dos juros e amortiza??es no rendimento mensalp = 100PJAPDP: Propor??o das dívidas no patrimóniop = 25PDPIM: Idade média do casalp = IMR. Como o Score = 100*6*175/2000 + 25*(175/(50 + 250)) + 28 = 95,1 está no intervalo ]80, 130], o Spread será de 1,75p.p.A personaliza??o das condi??es do crédito (usando um spread diferente para cada cliente em fun??o do seu scoring) é um instrumento de gest?o de risco muito utilizada nos contratos de crédito sendo calculado com base na opini?o de peritos e históricos de clientes passados. Partindo de milhares de históricos, as institui??es de crédito conseguem relacionar as variáveis socio-económicas dos clientes com a probabilidade de virem a incumprir. Também é possível calcular quanto será, em caso de incumprimento, a perda média para a institui??o de crédito. Como estes históricos s?o importantes na gest?o do risco (no cálculo dos spreads), as institui??es de crédito mantêm-na confidencial mesmo em termos agregados.1.2 Capitaliza??o As taxas de varia??o (de que a taxa de juro é um exemplo) s?o referidas a uma unidade de tempo, normalmente um ano, por exemplo, uma taxa de juro de 5,00%/ano ou uma taxa de crescimento do PIB de 1,60%/ano. Se a dura??o do contrato for de vários anos mas os juros forem pagos no final de cada ano, como estamos sempre a voltar à situa??o inicial, n?o há qualquer problema algébrico. Esta é a situa??o dita normal.Por exemplo, num crédito de 150000€ com uma taxa de juro de 2,657%/ano, no final de cada ano, o devedor terá que pagar =150000€ * 2,657% = 3985,50€ de juros.Se os juros s?o pagos apenas no fim do contrato, no fim de cada ano o devedor passará a acrescer à sua dívida os juros que n?o s?o pagos, capitalizando-os. Neste caso, ao fim de cada ano, acrescentam-se os juros ao capital em dívida. Estamos em presen?a da situa??o dita capitalizada.No cálculo da capitaliza??o teremos que considerar duas situa??es, a capitaliza??o simples e a capitaliza??o composta.i) Capitaliza??o simplesApesar de os juros irem ficando em dívida, n?o se consideram explicitamente os juros sobre os juros vencidos no fim de cada ano e n?o pagos, sendo, portanto, uma simplifica??o que terá de ser tida em conta aquando da negocia??o da taxa de juro. Em termos algébricos é semelhante à situa??o dita normal (em que os juros s?o pagos no fim de cada ano) mas em que vamos somando os juros até ao pagamento final. Apesar de ser uma aproxima??o por n?o considerar explicitamente os juros dos juros, faz sentido a sua utiliza??o por ser simples de compreender e calcular para pessoas com baixa literacia financeira e, para taxas de juro e prazos pequenos, faz uma diferen?a diminuta para a correcta capitaliza??o em que os juros em dívida vencem juros.Sendo que é acordado um empréstimo de V0 euros durante n períodos a uma taxa de juro r (por cento) por cada período, com capitaliza??o simples apenas no fim do tempo contratado é que se calculam os juros multiplicando o número de anos pela taxa de juro anual: j = n*r. No final do prazo a dívida será, V0*(1 + n*r). Podemos verificar no quadro seguinte que o “1” na express?o se refere ao capital inicial.AnoCapital inicialJuros do anoCapital final1V0+V0*r=V0 + V0*r = V0*(1 + r)2V0*(1+r)+V0*r=V0*(1+r) + V0*r= V0*(1 + 2*r)3V0*(1 + 2*r)+V0*r=V0*(1 + 2*r)+ V0*r = V0*(1 + 3*r)............NV0*(1+(n–1)*r)+V0*r =V*(1 + n*r)Tabela 1.2. – Capitaliza??o dita simplesEx.1.4. Foi acordado um empréstimo de 15 mil € a 3 anos à taxa nominal fixa de 2,50%/ano e que os juros seriam pagos no fim do prazo acordado, capitalizados de forma simples. Determine qual a quantia total a pagar no fim do contrato.R. Ser?o pagos =15000 * (1 + 3 * 2,50%) = 16125€.Ex.1.5. Foi acordado um empréstimo de 15 mil €, a 3 anos à taxa média EURIBOR a 6 meses acrescida de um spread de 2 pontos percentuais e que os juros seriam pagos no fim do prazo acordado, capitalizados de forma simples. Sendo que durante a vigência do contrato a média da EURIBOR foi 0,754%/ano, 0,617%/ano e 0,465%/ano, respectivamente, determine qual a quantia total a pagar no fim do contrato.R. Ser?o pagos =15000*(1 + 2,754% + 2,617% + 2,465%) = 16175,40€.Ex.1.6. Foi acordado um empréstimo de 25000€ a 3 meses à taxa de 3,760%/ano, capitaliza??o simples, determine qual a quantia a pagar no fim do contrato.R. Os juros ser?o =25000 * (1+3,760%*0,25) = 25235,00€.ii) Capitaliza??o compostaEsta forma inclui os juros dos juros capitalizados (o que é denominado por anatocismo, wiki). Sendo que o contrato prevê que os juros apenas s?o pagos no final do período do contrato, ent?o o cálculo correcto dos juros deve incluir os juros dos juros que entretanto passaram a estar em dívida (e que passaram a ser capital). Se é acordado um empréstimo de V0 euros que será devolvido ao fim de n períodos acrescido de um juro à taxa de r (por cento) por cada ano, ent?o o capital em dívida aumenta a cada ano. Para o caso da taxa de juro ser igual em todos os anos (taxa de juro constante), teremos:AnoCapital inicialJuros do anoCapital finalTaxa de juroacumulada1V+ V*r= V*(1 + r)(1+ r) – 12V*(1 + r)+ V*(1 + r)*r= V*(1 + r)*(1 + r)(1 + r)^2 – 13V*(1 + r)^2+ V*(1 + r)^2*r= V*(1 + r)*(1 + r) *(1 + r)(1 + r)^3 – 1……………nV*(1 + r)^(n-1)= V*(1 + r)^n(1 + r)^n – 1Tabela 1.3 – Capitaliza??o composta com taxa de juro anual constanteEx.1.7. Foi acordado um empréstimo de 15 mil €, a 3 anos, à taxa nominal fixa de 2,50%/ano e que os juros seriam pagos no fim do prazo acordado, capitalizados de forma composta. Determine qual a quantia a pagar no fim do contrato.R. Ser?o pagos =15000 * (1 + 2,50%)^3 = 16153,36€ (que compara com 16175,40€ da capitaliza??o simples do Ex. 1.5). Para resultar da capitaliza??o simples o mesmo valor fical que com a capitaliza??o composta, a taxa de juro do contrato teria que ser = (16153,36/15000 -1)/3 = 2,563%/ano.Ex.1.8. Calcule o total a pagar num empréstimo a 5 anos em que o capital emprestado é de 25000€, a 5,0%/ano, juros a pagar no fim do período com capitaliza??o composta. i) Determine a taxa de juro dos 5 anos e ii) determine qual teria que ser a taxa de juro para que da capitaliza??o simples resultasse o mesmo valor final.R. i) O valor final a pagar será de =25000*(1 + 5%)^5 = 31907,04€. A taxa de juro da dura??o total do contrato será (1+5%)^5 -1 = 27,628%. ii) Com capitaliza??o simples a taxa de juro do contrato teria que ser =((1+5%)^5 -1)/5 = 5,526%/ano e n?o 5,000%/ano.Ex.1.9. Calcule, com o auxílio do Excel o Ex.1.5 mas com capitaliza??o simples e composta e determine o valor dos juros dos juros. R. Capitaliza??o simples, B1: =15000*(1+0,02754+0,02617+0,02465)Também posso escrever em percentagem, B1: =15000*(1+2,754%+2,617%+2,465%)Capitaliza??o composta, B2: =15000*(1+0,02754)*(1+0,02617)*(1+0,02465) que também posso escrever em percentagem, B2: =15000*(1+2,754%)*(1+2,617%)*(1+2,465%)Calculo os juros de juros subtraindo o capital final da capitaliza??o composta ao capital final da capitaliza??o simples fazendo uma express?o com referências, B3: =B2-B1.Express?es no Excel com referências (fixas e livres).No exemplo anterior utilizamos o Excel digitando as express?es praticamente como se estivessemos a usar uma máquina de calcular. No entanto, vimos no cálculo do valor dos juros dos juros que o uso de referências dentro de express?es (na express?o de B3) permite usar valores que est?o em células (cálculos intermédios ou variáveis e par?metros do modelo).O uso de referências e cálculos intermédios é importante porque permite identificar mais facilmente eventuais erros de concep??o do modelo. Assim, torna-se possível resolver problemas mais complexos. Vamos agora resolver o mesmo Ex. 1.9 com “variáveis” e explicitando os cálculos intermédios.Cópia de express?es com referências.Uma das principais ferramentas do Excel é poderem-se copiar express?es de umas células para as outras. Neste caso, o Excel vai alterar as referências que est?o “livres” mantendo as que est?o “amarradas”. Nas referencias “livres”, ao copiar para a direita, a letra das referências aumenta e, ao copiar para baixo, o número da referência aumenta (e vice-versa). Amarra-se uma referência com o simnolo $ quando rpecisamos evitar que isso aconte?a. Vejamos ent?o o exemplo 1.9:R. C9: =B9+B$7/100; D9: = C9; E9: = 1+C9 e copio as 3 células em coluna para baixo o que faz B9 passar a B10 e B11 mantendo-se B$7 e C9 passa para C10 e C11. Em D12:= B6*(1+ D9+D10+D11)) e em E7: =B6*E9*E10*E11. D13: =D12-$B6 e copio em linha para a direita o que faz D12 passar a E12 mantendo-se $B6. Finalmente, fa?o E14: =E13-D13.Se alterarmos o valor de uma das células “variável”, por exemplo, de B7 de 2,0 para 1,5, os valores ser?o automaticamente recalculados (950,40€; 970,58€ e 20,18€, respectivamente).Uso de uma conta corrente.Na capitaliza??o composta podemos fazer uma conta corrente onde capitalizamos os juros no instante de vencimento. Esta forma de cálculo é importante de ser feita porque permite que o cliente veja a evolu??o ao longo do tempo da sua situa??o financeira e, por se basear em opera??es simples, é menos sensivel a erros de concep??o. Em caso de dúvida, deve ser ser realizada como “prova dos 9”.Ex.1.10. Quando entrou na universidade, um estudante recebeu de umas tias um empréstimo no valor de 20000€ remunerados à taxa de juro de 2,50%/ano a capitalizar de forma composta. O capital e os juros ser?o pagos apenas ao fim de 10 anos. i) Determine numa conta corrente o valor final a pagar. ii) Detremine a taxa de juro que deveria estar escrita no contrato se a capitaliza??o fosse simples. iii) Se tivesse sido acordado que, no fim dos 10 anos, o estudante pagaria 25mil € qual seria a taxa de juro?R. i) Em termos de express?es, escrevo B5: =B1; C5: =B5*B$2 e D5: =B5+C5. Depois, para calcular a capitaliza??o composta, no inicio do ano 2, o capital vai ser o capital final do ano 1, fa?o ent?o B6: =D5. Depois, passo às cópias das express?es. Copio B6 até B15, C5 até C14 e D5 até D14. Escrevo ainda a express?o B16: =B15-B5.ii) para calcular a taxa de juro que deveria estar escrita no contrato se a capitaliza??o fosse simples e pretendessemos receber a mesma quantidade de juros, escrevia B17: = B16/B5/A14. iii) Agora, alteravamos o valor da célula B2 até obtermos em B15 o valor de 25000€ (tentativa e erro). Podemos também utilizar a ferramenta Data + Goal Seek (Atingir Objectivo). Resulta uma taxa de juro de 2,257% que traduz a “verdadeira” taxa de juro quando temos 2,50%/ano mas com capitaliza?? simples.Ex.1.11. Durante 5 anos, um indivíduo emprestou 1000€ no início de cada um ano e recebeu 7500€ no fim do ano 10 (i.e., início do ano 11). Calcule, com o auxílio do Excel, qual a taxa de juro implícita no contrato (capitaliza??o composta).R. Em termos capitalizados, teria que resolver a equa??o implícita seguinte: {r: 1000*(1+r)10 + 1000*(1+r)9 + 1000*(1+r)8 + 1000*(1+r)7 + 1000*(1+r)6 – 7500 = 0}. No Excel, existe a ferramenta Data + Goal Seek para o resolver este problema (na ferramenta, o Excel amarra a referência das células mas sem significado).Metia em A1 uma taxa de juro qualquer, A1: = 3%.Fazia em B1: =1000*(1+A1)^10 + 1000*(1+A1)^9 + (1+A1)^8 + 1000*(1+A1)^7 + 1000*(1+A1)^6 – 7500 e, agora, aplicava a ferramenta Goal Seek fazendo a célula B1 (Set cell B1) igual a zero (value to 0) pela altera??o da célula A1 (By changing cell A1). Podemos também fazer uma conta corrente.Notar que as entregas s?o num determinado instante de tempo (inicio do ano) e os juros s?o referentes a um período de tempo (o ano inteiro, entre o inicio do ano 1 e o início do ano 2). Aparentemente, a constru??o deste modelo é mais exisgente em termos de trabalho que excrever apenas a express?o numa célula mas, de facto, n?o é por duas raz?es. Primeiro, em termos de express?es só precisamos escrever C4: =B4+E3; D4: =C4*B$1; E4: =C4+D4 pois depois copio estas express?es (todas de uma só vez) até à linha 14. Segundo, é muito mais fácil identificar eventuais erros de concep??o, o que poupa tempo de verifica??o.Ex.1.12. Num plano reforma a 40 anos, um indivíduo deposita 250€ no início de cada meses durante 480 meses. Para uma taxa de juro de 0,25%/mês (capitaliza??o composta mensal), determine numa conta corrente o saldo no final dos 40 anos. R. Uso a ferramenta “Series” para preencher os meses de 1 até 480. Em termos de express?es, escrevo B5: =B$2; C5: =B5+E4; D5: =C5*B$1 e E5: =C5+D5 e copio as express?es até à linha 484. O resultado capitalizado está na célula E484 (que formatei).Referência para uma taxa de juro de longo prazo.Na Economia é necessário haver uma referência para uma taxa de juro constante de longo prazo. Se no curto prazo podemos usar a EURIBOR e a LIBOR, no longo prazo podemos usar a dívida pública de um país com baixo risco.País \ Prazo (anos)101520253050Austria (Euros)0,946%1,043%1,441%1,504%1,728%France (Euros)0,976%1,455%1,656%1,949%2,112%Germany (Euros)0,678%1,056%1,180%1,393%Netherlands (Euros)0,847%1,256%1,526%Portugal (Euros)2,414%2,879%3,179%UK (Libras)1,885%2,242%2,385%2,466%2,499%2,376%US (Dólares)2,164%2,838%Tabela 1.3. – Taxas de juro de longo prazo que podem ser usadas como referência para contratos com taxa de juro fixa (10 de Agosto 2015, ).Ex.1.13. A empresa Hidra-E vai construir uma barragem para a produ??o de electricidade que, posteriormente, vai arrendar a uma distribuidora de energia. Determine o valor da anualidade supondo que o investimento é de 200M€, que o arrendamento é uma anualidade paga em euros no fim de cada ano e crescente à taxa de infla??o prevista pelo BCE (1,90%/ano), que o contrato tem a dura??o de 50 anos e que a taxa de juro é a taxa austriaca a 50 anos mais um spread de 2,0 pontos percentuais.R. Vou construir uma conta corrente no Excel. Na área B1 até B4 est?o os par?metros do modelo e na célula C8 está a presta??o que, depois, vou determinar com a ferramenta Data+ Goal Seek de forma a barragem fique totalmente amortizada ao fim dos 50 anos. Nas células a verde est?o as express?es, B5: =B2+B3; D8: =B8*B$5; E8: =B8-C8+D8; B9: =E8 e C9: =C8*(1+B$4), que copio para baixo. Finalmente, uso a ferramenta Goal Seek.Obtemos que a primeira anualidade é 6,208M€ e a última de 15,613M€.Período de tempo fraccionado. Na tabela 1.3, obtemos a express?o da taxa de juro capitalizada de forma composta usando um número inteiro de anos. No entanto, como a fun??o potência é uma fun??o real de variável real, em termos matemáticos, podemos extrapolar o conceito de capitaliza??o de n anos para apenas uma frac??o do ano. Por exemplo, sendo a taxa de juro de 5,0%/ano, se o empréstimo durar apenas 3 meses (ou os juros forem capitalizado de forma composta a cada 3 meses), a taxa de juro do contrato será =(1 + 5,0%)^0,25 – 1 = 1,227% por trimestre (supondo que 3 meses correspondem a 0,25 anos). Neste exemplo de capitaliza??o composta trimestral, a taxa de juro trimestral capitalizada =(1 + 1,227%)^4 tem que dar =(1 + 5,0%).Ex.1.14. Num empréstimo de 100K€ foi acordado o pagamento mensal de juros à taxa média do último mês da EURIBOR a 3 meses e o capital apenas no fim do prazo acordado. Supondo um mês em que a taxa de juro foi de 0,237%/ano, quanto foi pago de juros?R. Como a EURIBOR é uma taxa de juro anual, termos que calcular a taxa de juro mensal, =(1 + 0,237%)^(1/12) – 1 = 0,019729%. Agora, multiplicando por 100K€, obtemos os juros do mês, 19,73€ de juros.Ex.1.15. Num empréstimo a 5 anos, foi acordada uma taxa de juro total de 25% o que corresponderia a uma taxa trimestral de 1,250% se a capitaliza??o fosse simples. Supondo que a capitaliza??o é composta e que os juros s?o pagos trimestralmente, qual será a taxa de juro trimestral?R. Um trimestre será 1/20 do período total do contrato pelo que a taxa de juro trimestral será dada por =(1 + 25,0%)^(1/20) – 1 = 1,122%/trimestre.Valor Futuro. Quando se empresta uma soma a uma determinada taxa de juro anual (e.g., 1000€ a 4,0%/ano), no futuro (e.g., daqui a 10 anos), essa soma estará maior (no exemplo, =1000* (1+4%)^10 = 1480,24€). Mas o conceito de taxa de juro também pode ser aplicado ao princípio micro-económico de que os agentes económicos preferem o presente ao futuro. Assim, ter hoje 10 galinhas é melhor que ter as mesmas 10 galinhas daqui a 10 anos e, por maioria de raz?o por causa da infla??o, é preferivel ter hoje 100€ a ter 100€ daqui a 10 anos. Desta forma, existe um valor que torna a pessoa indiferente entre ter uma soma no futuro e ter uma soma no presente. Se, a pessoa estiver indiferente entre ter 1000€ agora ou 1480,24€ daqui a 10 anos esnt?o, a pessoa “capitaliza a utilidade” à taxa de 4,0%/ano.Nos valores que entram na compara??o de indiferen?a (1000€ e 1480,24€) os 1000€ denominam-se por Valor Presente ou Valor Actual e os 1480,24€ denominam-se por Valor Futuro.O Valor Futuro, para agentes económicos que preferem o presente (i.e., taxas de juro positivas), será maior que o Valor Presente.O conceito micro-económico de “indiferen?a” entre recursos escassos disponíveis em instantes de tempo diferente é importante porque permite comparar (e somar) recursos financeiros que s?o disponibilizados em instantes de tempo diferentes. Neste caso, apesar de n?o podemos comparar os valores directamente, usando a taxa de juro é possível “levá-los” todos para um mesmo instante de tempo e, emt?o, compará-los e somá-los.Ex.1.16. Uma tias solteiras prop?em-se a darem-vos agora 10000€ ou 12000€ quando, daqui a 3 anos, acabarem a licenciatura e entrarem no mestrado. Supondo que est?o indiferentes (indecisos) entre estas duas somas, qual será a taxa de juro a que capitaliza a vossa utilidade?R. Como as duas somas serem equivalentes, o valor futuro dos actuais 10000€ daqui a 3 anos terá que ser igual aos 12000€ disponíveis no futuro pelo que temos que determinar a taxa de juro {r: 10000*(1+r)^3 = 12000} (1+r)^3 = 12000/10000 r = 1,2^(1/3)-1 = 6,266%.Ex.1.17. No sentido de comprar um apartamento daqui a 5 anos, um indivíduo fez hoje um plano de poupan?a em que deposita no início de cada mês 1000€ durante 60 meses. Supondo que a taxa de juro é de 4,0%/ano, determine o valor futuro daqui a 5 anos deste plano de poupan?a (i.e., quanto dinheiro terá no fim dos 60 meses)?3943350110490R. Vou no Excel calcular o valor futuro (i.e., capitalizado) de cada entrega para, depois, poder somá-las todas. 3952875371475Inserir a série dos meses na coluna A escrevendo 1 em A4, seleccionar A4 e usando o comando Fill (Série, Série nas colunas, tipo linear, incremento 1, limite 60). B1: = 4%; B2: =(1+B1)^(1/12)-1C4: =B2*(1+B$2)^(61-A4) e copiar em coluna;C62: = Soma(B4:B63)Como exercício em casa, podem fazer uma conta corrente.1.3 Desconto – Valor Actual ou Valor PresenteNas express?es de cálculo da capitaliza??o composta e do Valor Futuro (o Vf) de uma soma de um capital inicial (o V0) é considerado que o número de períodos, n, é um número real positivo. Cf = C0*(1 + r)^nQuando o n é positivo, temos uma dist?ncia temporal entre o instante zero, presente, em que é feito o empréstimo/depósito e o instante futuro, f, em que é pago o reembolso do capital mais os juros. Por exemplo, se emprestamos 100€ em 1-Jan-2015 a uma taxa de juro 5,0%/ano com os juros e o capital pagos em 1-Jan-2035 (n igual a 20), com capitaliza??o composta iremos receber 100*1,05^20 = 265,33€. Se emprestamos 500€ em 1-Jan-2016 a uma taxa de juro 4,0%/ano, em 1-Abr-2016 (n igual a 0,25 anos) com capitaliza??o composta iremos receber 500*1,04^0,25 = 504,93€.No entanto, pelo menos em termos matemáticos, as express?es algébricas aceitam que o número de períodos seja negativo. Neste ponto vou explicar qual o significado económico de consideramos um período de tempo negativo.Quando o n é negativo, representa a dist?ncia temporal entre o presente (em que é pago o reembolso do capital mais os juros) e o instante passado em que foi feito o empréstimo. Cf = C0 * (1 + r) ^ n C0 = Cf / (1 + r) ^ n C0 = Cf * (1 + r) ^ -n. Pro exemplo, recebi 100€ em 1-Jan-2015 como capital final de uma soma que tinha emprestado em 1-Jan-1995. Se a taxa de juro foi de 5,0%/ano e a capitaliza??o composta, o montante que emprestei foi de =100*1,05^–20 = 37,69€ (ou 100 / 1,05^20 = 37,69€).Quando tenho tempo negativo é normal denominar a taxa de juro (ou taxa de capitaliza??o) por taxa de desconto (por o resultado vir mais pequeno). Assim, levar uma soma do presente para o futuro denomina-se por Capitalizar enquanto que trazer uma soma do futuro para o presente denomina-se por descontar.Ex.1.18. Numa linha de crédito LTRO (Long Term Refinancing Operation) do BCE com taxa de juro de 1,0%/ano, um banco pediu um crédito a 3 anos para o qual usa como garantia um conjunto de créditos imobiliários no valor de 100M€. Supondo que, por quest?es de precau??o, o BCE usa nos créditos imobiliários deste tipo uma taxa de desconto de 10%/ano, determine o valor máximo que o banco conseguirá obter de crédito.R. Os 100M€ v?o ter que ser descontados (aos presente) à taxa de 10%/ano. Assim, teremos C0 = 100*(1+10%)^-3 = 75,131M€, pelo que o banco conseguirá, no máximo, um crédito de 75,131M€ (um desconto de quase 25%). No final dos 3 anos, se o Banco no entretanto, falir, os activos ficam para o BCE (poder?o estar desvalorizados).O n negativo também permite encontrar uma equivalência entre o capital que vou ter disponível no futuro e o que teria que ter no tempo presente para ficar indiferente entre as duas situa??es (sem necessidade de haver empréstimo da soma de dinheiro). No meu emprego, vou receber daqui a dez anos 100€ de prémio de bom desempenho. Supondo que eu desconto a utilizade do dinheiro à taxa de 6,0% ao ano, em termos de valor presente, esses 100€ s?o equivalente a ter agora =100€ * 1,06^-10 = 55,84€. Ent?o, se alguém me oferecer agora 56,00€ em troca dos prometidos 100€ daqui a 10 anos, eu preferiro os 56,00€ agora.O Valor Actual (ou presente) tem a mesma potencialidade que o Valor Futuro quanto à compara??o de valores que est?o disponíveis em instantes de tempo diferentes.Ex.1.19. Um estudante, quando terminar o curso, vai receber de umas tias um prémio de 10K€. Supondo que pensa terminar o curso daqui a 30 anos e que a sua taxa de desconto é de 5,0%/ano, i) qual será o valor descontado ao presente (i.e., o valor actual) dessa soma de dinheiro? ii) Supondo que alguém oferece ao estudante 2,5K€ hoje em troca dos 10K€ futuros, qual é a taxa de juro implícita neste contrato?R. i) Os 10K€ valem no presente V0 =10000*(1+5%)^-30 = 2313,77€. ii) 2500€ * (1+r)^30 = 10000 r = (10000/2500)^(1/30) -1 = 4,729%/anoEx.1.20. Deram-me a escolher receber 1000€ agora ou receber 675€ daqui a 3 anos mais 675€ daqui a 10 anos. Para uma taxa de desconto de 5,0%/ano, o que será preferível?R. Para comparar as verbas tenho que as colocar no mesmo instante de tempo, e.g., calcular o valor actual das duas parcelas que é =675*(1+5%)^-3 + 675*(1+5%)^-10 = 997,48€. Como o valor actual dos recebimentos futuros (997,48€) é menor que o recebimento presente (1000€), vou optar por receber os 1000€ agora.Ex.1.21. Um sortudo ganhou numa lotaria um prémio e deram-lhe a escolher entre receber 350K€ agora ou 1000€ no fim de cada mês dos próximos 50 anos. i) Determine a taxa de juro implícita a op??o das mensalidades. ii) Se o sortudo descontar a utilidade do dinheiro à taxa de 3,0%/ ano, qual será a op??o que irá preferir?R. i) Vou descontar cada um dos 1000€ ao presente, somá-las e aplicar a ferramenta atingir objectivo para determinar a taxa de juro implícita.B2: =(1+B1)^(1/12)-1; B6: =B$3; C6: =B6*(1+B$2)^-A6; C4: =SOMA(C6:C605)O resultado é 2,415%/ano. Se adoptasse outro instante de tempo qualquer e descontasse/capitalizasse cada uma das parcelas a esse instante de tempo (incluindo a capitaliza??o/desconto dos 350K€), o resultado seria o mesmo.ii) Escrevendo 3,0% na célula B1, obtemos 312979,92 € para valor descontados ao presente das 600 mensalidades que, por ser menor que os 350K€, traduz que o sortudo preferiria receber o prémio de 350K€ agora.Em termos conceptuais, a capitaliza??o e o desconto s?o economicamente idênticos. A diferen?a é que na capitaliza??o andamos para a frente no tempo enquanto que no desconto andamos para trás no tempo. Assim, trata-se da mesma express?o da capitaliza??o composta mas explicitada em ordem ao capital inicial:Ex.1.22. Uma vítima do regíme nazi depositou em 1940 todo o seu dinheiro num banco. Sendo que decorridos 68 anos esse banco foi obrigado a devolver o capital depositado acrescido de juros à taxa de 3.5%/ano, o que somou 1M€, qual terá sido o capital depositado?R. Descontamos 68 anos o capital final de 1M€, resulta como capital inicial a somaC0 = 1E6*(1+3,5%)^-68 = 96395,38€1.4 RendasOs conceitos que apresentei (taxa de juro, capitaliza??o e desconto) s?o suficientes para, com a ajuda do Excel, resolver todos os problemas colocados pela “economia financeira”. No entanto, ainda é preciso apresentar alguma terminologia e express?es algébricas que detalhar?o os conceitos já apreendidos e enriquecer?o a liguagem. Conceito importante é o conceito de Renda.Quando temos uma dívida, podemos pagá-la pela entrega de presta??es periódicas correspondentes aos juros de cada frac??o de tempo mais o capital inicial no fim do prazo. Esta situa??o é dita normal. Por exemplo, empresto 10000€ a 3% ao ano, recebendo 300€ no fim de cada ano mais 10000€ no fim do prazo contrato (mais 300€ de juros). Segundo, considerei que os juros s?o capitalizados o que traduz que o capital mais os juros s?o pagos apenas no final do prazo contrato, seja a capitaliza??o simples ou composta (com juros de juros). Por exemplo, empresto 10000€ a 3% ao ano e recebo ao fim de 5 anos 11592,74€ (capitaliza??o composta). Também considerei, no Excel, casos mais complexos em que s?o pagas presta??es ao longo do tempo. Agora, vou considerar as Rendas em que uma soma de dinheiro é transformada num fluxo de rendimento (e vice-versa). Por exemplo, entregando hoje 10000€, a pessoa vai receber uma mensalidade de 100€/mês no fim de cada um dos próximos 120 meses.Na Renda cada uma das presta??es inclui juros da frac??o de tempo considerado e uma amortiza??o de parte do capital de forma a que no final do prazo n?o sobre nenhum capital para pagar. As presta??es da renda podem ser constantes ou variáveis no valor, regulares ou irregulares no tempo, podem come?ar a ser pagas imediatamente ou haver diferimento de alguns períodos, podem ter dura??o limitada ou serem perpétuas.O tempo.Em termos conceptuais, para compararmos activos temos que referir todos os valores ao mesmo instante de tempo (descontando ou capitalizando), por exemplo, às 0h do dia 1 de Janeiro de 2015. Depois, entre o instante de tempo onde o recurso está disponível e o instante de tempo para o qual o queremos “levar” existe um período de tempo. Assim, a escala do tempo é uma linha contínua em que cada ponto é um instante de tempo, e.g., às 12h00 do dia 15 de Janeiro de 2015, e em que um intervalo de tempo é o segmento que medeia dois instantes de tempo, e.g., o semestre que medeia entre as 12h00 do dia 15 de Janeiro de 2015 e as 12h00 do dia 15 de Julho de 2015. O instante final de um período é sempre o instante inicial do período seguinte (pagar no fim de 2010 é igual a pagar no início de 2011).Fig. 1.9 – Contabiliza??o do TempoSe a presta??o é paga no início de cada período, denomina-se a renda por antecipada. Se é paga no fim do período denomina-se a renda por postcipada. A existência de classifica??o quando a presta??o é paga no início ou no fim do período indicia que n?o sendo nada dito, a presta??o será paga no meio do perío poderemos ver nos exemplo seguintes, o cálculo das rendas n?o acrescenta nada de importante aos conceitos apresentados nos pontos 1.2 e 1.3.Ex.1.23. (Transforma??o de um stock num fluxo) Uma pessoa comprou um activo pelo qual vai receber 500,00€ no fim de cada um dos próximos 300 meses. Sabendo que no final do prazo o valor do activo será zero e que a taxa de juro de mercado para activos identicos é de 2,50%/ano, determine qual deverá ter sido o pre?o de compra do activo (rever, o Ex. 1.21 do qual usei a mesma folha de cálculo que adaptei para apenas 300 mensalidades).R. Descontando cada uma das 300 presta??es futuras ao instante presente, resulta que o pre?o deverá ter sido de 111807,29€.B2: =(1+B1)^(1/12)-1; B6: =B$3; C6: =B6*(1+B$2)^-A6 e copio B6 e C6 até à linha 305.C4: =SUM(C6:C305)G6: =B$3; H6: =F6*B$2; I6: =F6+G6+H6; F7: =I6 e copio até à linha 305. I4: =I305*(1+$B$2)^-30034994851024255Ex.1.24. (Transforma??o de um fluxo num stock) No sentido de no futuro comprar um barco, uma pessoa entrega no inicio de cada mês 300€ durante 60 meses. Supondo uma taxa de juro de 2,0%/ano, utilize o Excel para calcular quanto a pessoa terá na conta ao fim dos 60 meses.R. Vou referir todos os recebimentos ao instante temporal zero (início do período 1). Por exemplo, a presta??o do 3? mês, por ser antecipada, precisa ser descontada 2 meses.B2: =(1+B1)^(1/12)-1; B5: =B$3; C5: =B4*(1+B$2)^-((A4-1)) e copiava até C64; C65: =SUM(C5:C64); C66: = C65*(1+B1)^5. O aforrador terá 20427,01€ na conta ao fim de 60 meses.Ex.1.25. (Transforma??o de um fluxo noutro fluxo) Parte do salário dos trabalhadores é entregue à Seguran?a Social para que, no futuro, a pessoa possa receber uma pens?o. Supondo um salário de 1000€/mês, que 20% s?o descontados para o sistema de pens?es, que a pessoa trabalha entre os 25 anos (inicio) e os 65 anos (durante 40 anos), que a taxa de juro é 1,0%/ano e que a pessoa está 20 anos reformada, determine qual será a percentagem do salário que o trabalhador vai receber de pens?o (valor de substitui??o).R. Os meses v?o de 300 até 1020 em que, supondo 1000€, nos primeiros 480 meses desconta 200€/mês e nos restantes 240 meses recebe (valor menos) a pens?o que coloco em C3 (para depois utilizar a ferramenta Data + Goal Seek. Os descontos só d?o para uma pens?o de 54% do salário (1,35% do salário por cada ano de descontos).C2: = B1*B2; B3: = C3/B1; E2: = (1+E1)^(1/12)-1B6: = C$2 e copio até à célula B485; B486: = C$3 e copio até à célula B725;C726: =Sum(C6:C725) i) Express?o algébrica da Renda perpétua.Se a renda durar para todo sempre (i.e., recebem-se sempre presta??es mas nunca mais se recebe o capital) ent?o, em qualquer período, a renda vale sempre o mesmo (pois receberemos sempre o mesmo número de pagamentos futuros, infinito). Nesta renda, em termos algébricos, estamos numa situa??o idêntica a um empréstimo em que, no fim de cada período (i.e., postecipada), s?o pagos apenas os juros. Como num emprestimo os juros pagos no fim do ano s?o dados por:P = VA * r Numa renda em que a anual é P e a taxa de juro anual r, teremos VA como valor actual da obriga??o (i.e., o valor actual da soma de todas as presta??es):VA = P / r Em termos algébricos, podemos confirmar este resultado descontando as infinitas presta??es ao presente que é uma série geométrica de raz?o (1 + r):VA = P*(1+r)^-1+ P*(1+r)^-2 + ...Apesar de a renda perpétua parecer n?o fazer sentido, podemos pensá-la como um capital que paga uma presta??o a cada intervalo de tempo e que o devedor tem a op??o de, quando o entender, devolver exactamente o capital inicial. Assim, a renda perpétua pode ser usada como um intrumento flexível de financiamento das empresas. No exemplo seguinte, usando um capital inicial de 40000€, uma mensalidade postecipada de 100€ e um pagamento final de 40000€ (uma taxa de juro implícita de 0,25%/mês), podemos verificar que a presta??o corresponde exactamente ao valor dos juros =400000*2,5% = 1000. Reparar que no instante 120, é pago o capital mais a última presta??o por as preta??es serem postecipadas.Presta??o antecipada.Apesar de a renda ser perpétua (ter um número infinito de presta??es), teremos que somar mais uma presta??o, a inicial. Assim, o valor actual da renda antecipada, Vant, fica maior que o valor actual da renda postecipada, Vpost, exactamente no valor de uma presta??o o que é equivalente a capitalizar a renda perpétua postecipada um período:Ex.1.26. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês para sempre, pagos no fim do mês (renda postecipada). Supondo uma taxa de juro de 2,50%/ano, qual será o valor presente do terreno? E se a presta??o for antecipada?R. Calculo a taxa de juro mensal, =(1+2,5%)^(1/12)-1 = 0,205984%/mês, e aplico essa taxa na express?o da renda perpétua postecipada: VA = 50/0,205984% = 24273,77€. Se for antecipada vale mais 50€: Vant = 50/0,205984%(1 + 0,205984%) = 24323,77€.Ex.1.27. Um eucaliptal produz 12kg/m2 de madeira a cada 10 anos. Supondo o pre?o da madeira é de 0,03€/kg e que a taxa de juro de mercado para investimentos deste tipo é 3,0%/ano (motivado pelo risco de incêndio), i) qual será o valor actual do eucaliptal? ii) Calcule o valor do terreno se a redu??o do risco de incêndio levar a uma diminui??o da taxa de juro para 1,5%/ano. R. Calculo a taxa de juro referente a 10 anos (frequência de produ??o), =(1+3%)^10-1 = 34,392%, e aplico essa taxa na express?o da renda perpétua postecipada: i) VA = (12*0,03)/34,392% = 1,05€/m2.ii) VA = (12*0,03)/((1+1,5%)^10-1) = 2,24€/m2 ( o valor mais que duplica).Presta??o o a express?o da renda perpétua antecipada (quando a primeira presta??o é paga no instante zero) é dada por, VAant = P/r * (1+r), quando a primeira presta??o é paga decorridos n períodos de tempo desde o instante zero, teremos ent?o que descontar a express?o da renda perpétua antecipada o número de períodos de deferimento de que resulta a express?o seguinte:VAdef(n) = P/r * (1 + r) * (1 + r)^-n = P/r * (1 + r)^-(n-1)A renda antecipada (n = 0), a paga no meio do primeiro período (n = 0,5) e a postecipada (n = 1) s?o casos particulares desta express?o. VAmeio = VAdef(0,5) = P/r * (1 + r)^-(0,5-1) = P/r * (1 + r)^0,5Ex.1.28. Uma empresa procura financiar-se através da venda de rendas perpétuas que pagam uma anualidade de 100€ e em que a primeira presta??o é paga decorridos 10 anos da realiza??o do investimento. Para uma taxa de juro de 6,0%/ano, qual deverá ser o valor actual da renda?R. Se é decorridos 10 anos, temos uma renda antecipada no período 10, 100/6% * (1 + 6%), que temos que descontar 10 anos para o presente ficando:V = 100/6% * (1 + 6%)^-9 = 986,50€. ii) Express?o algébrica da Renda de dura??o o conhecimento da express?o algébrica da renda perpétua podemos agora determinar o valor de uma renda de dura??o limitada compondo duas rendas perpétuas, uma a somar e outra, diferida, a subtrair os anos que faltam até infinito.Por exemplo, obtenho uma renda postecipada com uma presta??o anual de 100€, limitada a 5 anos, sobtraindo à renda perpétua “Renda +” a renda perpétua diferida “Renda–”. Instante =>12345678910Renda +100€100€100€100€100€100€100€100€100€...Renda -?????-100€-100€-100€-100€...Renda limitada100€100€100€100€100€0€0€0€0€...Para uma taxa de juro de 5%, teremos:“Renda +” = 100/5% = 2000,00€“Renda –” = 100/5% * (1+5%)^ - 5 = 1567,05€Renda limitada =100/5% - 100/5% * (1+5%)^ - 5 = 100/5%*(1-(1+5%)^-5) = = 2000,00€ - 1567,05€ = 432,95€Em termos algébricos, para uma renda postecipada de dura??o de n períodos teremos“V +” = P / r“V –” = P / r (1 + r)^–nV = “V +” - “V –” = P / r - P / r (1 + r)^–n = P / r *(1- (1 + r)^–n)Sendo n o número de presta??es, o valor actual da soma das n presta??es será ent?o dado por:VA = P / r *(1- (1 + r)^–n)Ex.1.29. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês, pago no fim do mês (postecipado), até que o TGV lhe destrua o terreno (i.e., daqui a 25 anos). Supondo uma taxa de juro de 5,0%/ano, qual será o valor actual do terreno? R. Taxa de juro mensal = (1+5%)^(1/12)–1 = 0,407%/mêsVA = 50/0,407% * (1 – 1,00407^–300) = 12278,58€ * 0,7047 = 8648,45€Se a renda fosse perpétua, valeria 12278,58€.Se a renda for paga no princípio do período (i.e., antecipada), teremos que somar a presta??o inicial e subtrair a presta??o final que é equivalente a capitalizar um período, i.e., multiplicar por (1 + r):Assim, da mesma forma que na express?o da Renda Perpétua, a renda antecipada aparece multiplicada por (1+r) mas a diferen?a já n?o é igual a uma presta??o.Ex.1.30. (Transformar um fluxo noutro fluxo) Suponha que o Figo, entre os 25 e os 35 anos, depositou 100K€ no início de cada mês (i.e., 120 presta??es antecipadas). Para uma taxa de juro de 3%/ano, i) qual o valor que terá na conta aos 35 anos? ii) Suponha que o Figo, com essa poupan?a, pretende receber uma reforma de presta??es iguais entre os 35 anos e os 85 anos (600 presta??es postecipadas e diferidas 10 anos), de quanto vai ser a presta??o?R. Vamos calcular o valor presente da renda e depois determinar o seu valor futuro daqui a 10 anos (capitalizá-la). Sendo r = 1,03^(1/12) – 1 = 0,246627%/mês, vem:VA = 100/0,246627%*(1-(1+0,246627%)^-120) *(1+0,246627%) = 10401,83K€VF = VA * (1+r)^10 = 10401,83K * (1+3%)^10 = 13979,19K€ii) Se fizermos a conta em rela??o ao instante zero, teremos uma renda defirida 10 anos:10401,83 = P/0,246627%*(1-(1+0,246627%)^-600)*(1+3%)^-10P = 10401,83*0,246627%/(1-(1+0,246627%)^-600)/(1+3%)^-10 P = 44,665K€Se fizermos em rela??o ao instante “10 anos” (em que come?a a pens?o), obteremos exactamente o mesmo resultado para a pens?o:10401,83*(1+3%)^10 = P/0,246627%*(1-(1+0,246627%)^-600)13979,19 = P/0,246627%*(1-(1+0,246627%)^-600)P = 13979,19*0,246627%/(1-(1+0,246627%)^-600) P = 44,665K€Ex.1.31. (Transformar fluxos noutro fluxo) Um aforrador deposita no início de cada mês uma quantia numa conta que remunera a poupan?a à taxa de juro fixa de 2,0%/ano. i) Suponha que já depositou 250€/mês durante 120 meses, quanto dinheiro tem capitalizado na conta ao fim dos 120 meses?ii) Fazendo mais 120 depósitos de 300€/mês quanto ficará capitalizado aos fim dos 240 meses?iii) Para dividir o valor capitalizado numa renda antecipada com dura??o de 180 meses a come?ar a receber depois dos 240 meses, qual a presta??o mensal que irá receberá?R. i) Calculo a taxa de juro mensal rm = (1+2%)^(1/12)-1 = 0,165158% e aplico-a à express?o do valor actual da renda antecipada com a taxa fixa:V0 = 250/0,165158%*(1-(1+0,165158%)^-120)*(1+0,165158%) = 27238,81Para saber o saldo da conta, capitalizo este valor para o fim do prazo (120 meses ou 10 anos)V120 = 27238,81 * (1+0,165158%)^120 = 33203,95€ii) Aplico o mesmo raciocínio mais 120 meses e somo o capital que já tinha em t = 120 meses.V120 = 33203,95 + 300/0,165158%*(1-(1+0,165158%)^-120)*(1+0,165158%) = 65890,52€V240 = V120 *(1+0,165158%)^120 = 65890,52 *(1+0,165158%)^120 = 80320,16iib) Também podia somar uma renda de 250€/mês durante 240 meses mais uma renda de 50€/mês durante 120 meses, diferida 10 anos.V240 = (250/0,165158%*(1-(1+0,165158%)^-240)*(1+0,165158%) + 50/0,165158%*(1-(1+0,165158%)^-120)*(1+0,165158%)*(1+0,165158%)^-120)* (1+0,165158%)^240iii) Vou fazer o cálculo da presta??o no instante em que come?a a reforma:P/0,165158%*(1-(1+0,165158%)^-180)*(1+0,165158%) = 80320,16P = 80320,16*0,165158%/(1-(1+0,165158%)^-180)/(1+0,165158%)P = 515,35 €/mêsEx.1.32. (Transformar fluxos num stock) Um agricultor deposita no fim de cada trimestre uma média de 1000€ que varia por causa da sazonalidade. Assim, no 1T deposita 70%, no 2T deposita 80%, no 3T deposita 100% e no 4T deposita 150% relativamente à média. Para uma taxa de juro de 2,50%/ano capitalizada de forma composta e 30 anos de poupan?a, i) determine a equivalência da soma final que o agricultor terá no banco em termos de dinheiro do instante inicial, V0, e ii) quanto é a soma final, V30.R. i) Vou come?ar por considerar 4 rendas anuais (cada trimestre é uma renda independente) antecipadas para diferi-las trimestres inteiros.V1T0 = 700/2,5%*(1-(1+2,5%)^-30)*(1+2,5%)*(1+2,5%)^-0,25 =14925,07€V2T0 = 800/2,5%*(1-(1+2,5%)^-30)*(1+2,5%)*(1+2,5%)^-0,50 =16952,24€V3T0 = 1000/2,5%*(1-(1+2,5%)^-30)*(1+2,5%)*(1+2,5%)^-0,75 =21059,90€V4T0 = 1500/2,5%*(1-(1+2,5%)^-30)*(1+2,5%)*(1+2,5%)^-1 = 31395,44€V0 = V1T + V2T + V3T + V4T =14925,07+ 16952,24+ 21059,90+ 31395,44= 84332,65€ii) V30 = V0 * (1+2,5%) ^30 = 84332,65€* (1+2,5%) ^30 = 176893,43€Obriga??es com taxa de juro fixaUma obriga??o é um instrumento financeiro que condensa uma entrega inicial (o pre?os de aquisi??o) contra vários recebimentos futuros. A obriga??o tem um valor nominal (o par), um prazo (a maturidade), paga presta??es (o cup?o) e, atingindo a maturidade, devolve o par (o valor de remiss?o). O pre?o da obriga??o pode ser maior ou menor que o par dependendo da taxa de juro de mercado, do risco particular da entidade emissora e do valor do cup?o.Denomina-se por “imparidade” quando o valor da obriga??o cai abaixo do par.A remiss?o da obriga??o ocorre com o pagamento, normalmente do par, e pode acontecer em data certa ou em data a sortear. Quando a data de remiss?o é sorteada, para diminuir o risco da obriga??o (i.e.m haver estabilidade da rentabilidade da obriga??o) é necessário que o cup?o seja semelhante à taxa de juro de mercado corrigida do risco da entidade emissora. As condi??es do sorteio s?o descritas no contrato, por exemplo, que s?o emitidas 1 milh?o de obriga??es com cup?o trimestral e que, no fim de cada trimestre, s?o sorteadas 50 mil obriga??es que ser?o remidas ao par no dia do pagamento do cup?o. O sorteio facilita à entidade emissora a amortiza??o das obriga??es em dívida sem a complexidade de ter emiss?es com prazos de maturidade diferentes.Apesar de no momento em que se faz a entrega inicial serem conhecidas todas as características do contrato, o pre?o da obriga??o altera-se no decurso do tempo. As principais raz?es para a altera??o do pre?o da obriga??o s?o i) uma valoriza??o por o tempo ir decorrendo (equivalente à capitaliza??o dos juros); ii) uma desvaloriza??o pelos recebimentos que aconte?am (no dia de pagamento do cup?o); iii) (no caso da taxa contratada ser fixa) uma valoriza??o (ou desvaloriza??o) por a taxa de juro de mercado para o remanescente do prazo contratado diminuir (ou aumentar) e iv) uma valoriza??o (ou desvaloriza??o) pela diminui??o (ou aumento) do risco de incumprimento (i.e., falência) da entidade emitente das obriga??es.Notar que, contrariamente à generalidade dos depósitos a prazo em que o Banco Comercial permite levantar o dinheiro antes do prazo contratado (com ou sem penaliza??o), nas obriga??es n?o se pode obter do emissor o dinheiro antes da maturidade. No entanto, existe a possibilidade de vender a obriga??o a outra pessoa (mercado secundário de obriga??es) pelo pre?o que der.Ex.1.33. Uma obriga??o de valor nominal de 100€, com maturidade de 10 anos, reembolsável ao par e com cup?o de 5€ no fim de cada ano vai ser vendida em leil?o. i) Supondo um investidor que quer ser remunerado a uma taxa de juro de 7.5%/ano, determine o pre?o máximo que o investidor está disponível para pagar pela obriga??o. ii) Passados 5 anos, qual será o valor da obriga??o? iii) Se o mercado justificar um aumento da taxa de juro em um ponto percentual, qual a desvaloriza??o da obriga??o? R. i) Vamos descontar os 100€ da remiss?o ao presente e somar-lhe o valor actual da renda que o cup?o representa V0 = 100*1,075^-10 + 5/7,5%*(1-(1+7,5%)^-10) = 82,84€.ii) Decorridos 5 anos, só faltam outros 5 anos para o recebimento pelo que a obriga??o terá menor número de cup?es a receber mas os 100€ da remiss?o só ser?o descontados 5 anos o que faz valorizar a obriga??o: V5 = 100*1,075^-5 + 5/7,5%*(1- (1+7,5%)^-5) = 89,89€iii) A taxa de juro passa a ser 7,5% + 1% = 8,5% pelo que o aumento da taxa de juro de mercado induz ima desvaloriza instant?nea da obriga??o de 89,89€ para V5 = 100*1,075^-5 + 5/7,5%*(1-(1+7,5%)^-5) = 86,21€, em termos relativos, = 86,21/ 89,89 - 1 = -4,09%iii) TAEG implícita no contrato TAEG: Taxa de juro anual efectiva globalNormalmente, nos contratos de compra a crédito (e.g., de electrodomésticos, carros e férias) é acordado n?o tanto o pre?o do bem ou a taxa de juro mas qual o plano de pagamento das presta??es e de outros custos. No sentido de informar o cliente, o vendedor tem que obrigatoriamente afixar, além do valor das presta??es, o pre?o a pronto pagamento, o total pago pelo cliente e ainda a taxa de juro efectiva implícita no contrato incluídas todas as despesas que o comprador irá ter (presta??es + comiss?es + taxas + etc.).Poderá haver diferen?as subtis entre pagamento a dinheiro, à vista e a pronto pagamento. Pagamento a dinheiro (ou a contado) é em simult?neo com a transac??o e em moeda. Pagamento à vista poderá ir até 3 dias desde a data da transac??o. A pronto pagamento quer dizer que é pago de uma só vez (em oposi??o ao pagamento em presta??es) e, geralmente, é pago na hora mas pode haver um pequeno prazo, e.g., 10 dias (será a pronto pagamento mas diferido) sendo que, no caso de se usar cheque, o deferimento é de 3 dias.A taxa de juro efectiva op?e-se a taxa de juro nominal (n?o no sentido que já vimos mas) no sentido de que n?o corresponde verdadeiramente à taxa de juro que efectivamente é paga. A diferen?a prende-se com usar-se capitaliza??o simples. Por exemplo, se pagamos mensalmente 0,5%/mês de juros, em termos nominais (i.e., usando capitaliza??o simples), a taxa de juro será 0,5%/mês12meses = 6,0%/ano mas, em termos efectivos (i.e., usando capitaliza??o composta), será (1 + 0,5%)^12–1 = 6,17%/ano.Ex.1.33. iv) Se o investidor adquiriu a obriga??o a 75€, qual a taxa de juro efectiva do meu negócio?R. iv) Tenho uma equa??o implícita 100*(1 +r) ^-10 + 5/r*(1-(1+r)^-10) = 75€ o que será fácil de resolver usando a ferramenta do Excel Data+Goal Seek: A1: = um valor qualquer; A2: =100*(1+A1)^-10 + 5/A1*(1-(1+A1)^-10) - 75€ e fa?o a célula A2 igual a zero pela altera??o da célula A1 resultando 8,874%/ano.Ex.1.34. Uma obriga??o soberana (i.e., emitida por um Estado) a 50 anos emitida em 2010 cujo par é 1000€ paga um cup?o de 30€ no fim de cada ano e o par mais o cup?o no fim do prazo. Qual a taxa de juro da obriga??o se for adquirida por 1010€?R. Terei que resolver 1010 = 30/r*(1-(1+r)^-50)+1000*(1+r)^50 com a ferramenta Data+Goal Seek do Excel fazemos A2: =30/A1*(1-(1+A1)^-50)+1000*(1+A1)^-50 - 1010 igual a 0 por altera??o de A1 de que resulta r = 2,961%/ano. 30619701316990Ex.1.35. Um televisor Tal-Tal tem o pre?o a pronto pagamento de 1190 Euros mas o comprador pode comprar a crédito “pagando 119€ na entrega do bem mais 12 presta??es trimestrais de 100€”. i) Determine a TAEG deste contrato de crédito. ii) Se a taxa de juro de mercado sem risco for de 2,0%/ano, qual é a probabilidade de incumprimento implícita no contrato de crédito? R. Resolvemos este problema no Excel. Primeiro, construímos o modelo. B2: = 1190-119; B3: 100 e copio até B14C2: =B2*(1+E$2)^(-A2) e copio em coluna. C15: =Soma(C2:C14)Depois, com a ferramenta Data+ Goal Seek, defino a célula C15 para o valor 0 alterando E2. Resulta que a TAEG é de 7,374%/ano.ii) A probabilidade implícita de incumprimento resolve a diferen?a entre a taxa contratada, r, e a taxa de juro sem risco, i:(1 + r) = (1 + i) / (1 - risco) (1 - risco) = (1 + i) / (1 + r) risco = 1- (1 + i) / (1 + r)E5: =1-(1+E4)/(1+E3) = 5,005%/anoEx.1.36. Um anúncio dizia “Telefone que lhe emprestamos 5000€ por apenas 150€ mensais (durante 60 meses, TAEG=29,28%/ano, encargos totais do crédito de 9000€)”. Confirme a TAEG.R. A norma das compras a crédito é que a presta??o seja postecipada (paga no fim do mês) pelo que teremos que resolver a express?o da renda postecipada no Excel usando a ferramenta Data + Goal Seek: r = 2,175%/mês r = 29,461%/anoA1: 5%; A2: =150/A1*(1-(1+A1)^-60), fazer A2 igual a 5000 pela mudan?a de A1.A TAEG é 29,461%/ano, ligeiramente superior ao anunciado.1.5 Pre?os correntes e pre?os constantesA fecta??o dos recursos escassos tem em aten??o os pre?os relativos. Ent?o, a infla??o (i.e., a subida generalizada dos pre?os e dos salários) n?o tem consequência significativa na afecta??o dos recursos escassos, que apenas sofre altera??o quando ocorrerem mudan?as nos pre?os relativos. Em termos de cálculo financeiro, interessará retirar a infla??o (uma previs?o) dos pre?os e dos rendimentos para que a análise dos activos disponíveis em instantes de tempo diferentes tenha em considera??o apenas o seu poder aquisitivo real. Por exemplo, sabermos que em 1960 uma determinada pessoa tinha activos no valor de mil contos (5000€) n?o nos permite dizer até que ponto essa soma era importante. Os pre?os dos bens ou servi?os observados no dia a dia denominam-se por pre?os corrente ou pre?os nominais e variam ao longo do tempo. Por exemplo, na Fig. 1,10 mostro a evolu??o do pre?o da gasolina sem infla??o (a pre?os de 2014) onde podemos ver que hoje pagamos um pre?o semelhate ao pre?o de 1960 e inferior ao pre?o de 1980. Fig. 1.10 Evolu??o do pre?o da gasolina sem chumbo a pre?os de 2014 (dados: Pordata).Nível Geral de Pre?os.Apesar de a evolu??o do pre?o de um bem ou servi?o particular n?o ser representativo da evolu??o do poder de compra do dinheiro, o Nivel Geral de Pre?os calculado como o “pre?o médio” dos bens e servi?os já pode ser utilizado com este fim. Ent?o, uma vez calculado o NGP, podemos calcular a taxa de infla??o como a subida percentual do i?ndice de pre?os em cada período de tempo, normalmente um ano. O nível geral de pre?os obriga a considerar um cabaz de bens que, por exemplo, no consumidor, refere-se ao cabaz médio de bens e servi?os que as família adquirem. O cabaz é obtido por inquéritos às famílias a intervalos de aproximadamente 10 anos denominando-se o ano do inquérito por ano base e o ?ndice de Pre?os fica escalado nesse ano base normalmente com o valor 100. Nas famílias o pre?o médio denomina-se por ?ndice de Pre?os no Consumo, IPC. Apresento na figura 1.11 um exemplo ilustrativo (simulado) de constru??o no Excel de um IPC que segue a metodologia de Laspeyres (i.e., cabaz fixo) em que o ano base é 2005.Apesar de o índice de pre?os dever ser referido a um instante de tempo (porque os pre?os referem-se a um isntante de tempo), por dificuldades de medida, é referido a um intervalo de tempo, normalmente, um mês, e.g., Jan 2014, ou, em períodos passados ou em paises com deficientes institutos de estatística, a um ano.Fig. 1.11 – Exemplo da constru??o de um índice Laspeyres de pre?os C10: =$B3*C3+$B4*C4+$B5*C5+$B6*C6+$B7*C7+$B8*C8+$B9*C9C11: =C10/$C$10*100Pre?os Constantes.Quando retiramos ao pre?o corrente a subida média dos pre?os (i.e., a infla??o) obtemos o pre?o em termos reais do bem ou servi?o em análise (ou o rendimento real) que também se denomina por pre?o em pre?os constantes.Para transformar pre?os correntes em pre?os constantes utilizamos o índice de pre?os como deflator (andar para trás no tempo) ou inflacionador (andar para a frente no tempo) do pre?o corrente. Em termos de nota??o, vou adoptar PTJ para referir um pre?o do ano J em pre?os constantes do ano T. Como caso particular teremos PJJ como o pre?o corrente do ano J que pode ser simplificado a PJ.Se precisarmos transformar os pre?os correntes do período J, PJ.J, em pre?os reais com base no ano T, PTJ, teremos que multiplicar o pre?o corrente pelo índice de pre?os do período T, IPXT, e dividir pelo índice de pre?os do período J, IPXJ, (Adopto o anos base X porque n?o interessa qual o ano base do IP já que vai “cortar”):Podemos agora “cortar” termos na express?o para verificarmos que é a correcta. Esta técnica visual deve ser sempre usada para verificar se o raciocínio está correcto.Ex. 1.37. Um indivíduo tinha 5000€ em 1960 (a pre?os correntes de 1960). Sabendo que o IP20141960 valia 1,83 (e IP20142014 = 100) determine quanto era essa soma em termos de pre?os de 2014.R. Vou multiplicar a soma pelo IP20142014, 100, e dividir pelo IP20141960:Soma20141960 = Soma19601960 * IP20142014 / IP20141960Soma20141960 =5000 * 100/1,83 = 273K€.Em 1960 essa pessoa tinha 273 mil € (a pre?os constantes de 2014). Notar o tempo verbal “tinha” pois, apesar de o pre?o ser constante de 2014, os 273 mil € a pre?os de 2014 estavam disponível em 1960.Ex.1.37. O pre?o de um frigorífico era 179,90€ em 2006 que se manteve em 2014. Sabendo que o IP20142006 vale 89,50, qual foi a varia??o em termos reais do pre?o?O pre?o termos reais, Pre?o20142006 = Pre?o20062006 * IP20142014 / IP20142006Pre?o20142006 = 179,90 * 100 / 89,50 = 201,01€Ent?o, o pre?o desceu em termos reais: =179,90/201,01 -1 = -10,50%. Ex.1.38. O salário mínimo em 1974 era de 16,46€/mês e em 2014 de 485,00€/mês. Sabendo que o índice de pre?os no consumidor era IP20001974 = 4,793 e IP20002014 = 136,78, compare, em termos reais, o poder aquisitivos do SM nesses dois anos e a taxa de varia??o anual em termos nominais e reais.R. Em termos nominais, o SMN aumentou =(485/14,46)^(1/40)-1 = 9,18%/ano. Em termos reais, vamos, primeiro, calcular SM20101974 = 16,46* 136,78 / 4,793 = 469,73€/mês. Ent?o, em termos reais, o SMN aumentou =(485/469,73)^(1/40)-1 = 0,08%/ano.A Taxa de Infla??o.A taxa de infla??o é calculada com base no índice de pre?os no consumidor, IPC, que, como referido, traduz um pre?o médio de um cabaz de bens e servi?os representativo das compras dos consumidores (índice de cabaz fixo, Laspeyres). O IPC é calculado pelo Instituto Nacional de Estatística, INE, com periodicidade mensal. Uma vez calculado o índice de pre?os mensal, já podemos calcular a taxa de infla??o que tem várias leituras.i) A taxa de infla??o homóloga é a varia??o percentual entre o IPC do mês corrente e o IPC corrente no mês homólogo do ano anterior. Assim, traduza quanto os pre?os considerados na propor??o do cabaz aumentaram nos últimos 365 dias, estando por constru??o livre de sazonalidade.Infla??o Jan2015 = IPCX Jan2015 / IPCX Jan2014 -1ii) A taxa de infla??o anual é a média das 12 taxas de infla??o homóloga referentes a todos os meses do ano.Infla??o 2015 = (Infla??o Jan2015 + ... + Infla??o Dez2015)/12iii) A taxa de infla??o em cadeia é o aumento no IPC num mês relativamente ao mês anterior. Assim, refere-se ao aumento nos pre?os do último mês. Infla??o Mensal Jul2015 = IPCJul2015/ IPCJun2015 -1iv) A taxa de infla??o acumulada é a varia??o percentual entre o IPC de Dezembro do ano anterior e o IPC do mês em referência do ano actual.Infla??o Ac Jul2015 = IPCJul2015/ IPCDez2014 -1v) A taxa de infla??o mensal anualizada é a varia??o percentual entre o IPC no mês anterior e o IPC no mês actual mas capitalizado 12 meses para ficar na unidade %/ano.Infla??o Med An Jul2015 = (IPCJul2015/ IPCJun2015)^12 -1As taxas de infla??o em cadeia, acumulada e mensal anualizada só podem ser calculadas em países (e regi?es) em que o IPC seja calculado com periodicidade mensal e sofrem de sazonalidade.Ex.1.39. Conhecido o índice de pre?os no consumo mensal entre Janeiro de 2009 e Dezembro de 2010, determine a taxa de infla??o homóloga, acumulada, mensal em cadeia e mensal anualizada para todos os meses de 2010. Determine ainda o IPC para 2009, 2010 e a taxa de infla??o no ano de 2010.R. Apresento na figura seguinte a constru??o no Excel onde usei o artifício gráfico (impossível de fazer na folha) de apresentar três paineis.C2: = AVERAGE (B2:B13)C14: = AVERAGE (B14:B25) C26: =C14/C2-1D14: =B14/B2-1E14: =B14/B$13-1F14: =B14/B13-1 G14: =(B14/B13)^12-1D26: =AVERAGE(D14:D25)O índice de pre?os de um ano é obtido como a média dos índices de pre?os mensais. Desta forma, podemos obter a taxa de infla??o média de um ano usando os IPC anuais mas dá ligeiramente diferente da média das taxas de infla??o homólogas. No entanto, para taxas de infla??o menores que 5%/ano, a diferen?a é menor que 1 pontos base (ver o Ex.1.39 onde a diferen?a é de 0,3 pontos base).Ex.1.40. Supondo que o IPC20052000 vale 79,41 e IPC20052010 vale 107,93, determine a taxa de infla??o média anual na década de 2000.R. Neste caso, vamos calcular a infla??o total e “dividi-la” pelos anos que medeia estes dois “instantes” de tempo.Tx.Infla??o(2000-2010) = (107,93/79,41)^(1/10)-1 = 3,12%/anoComo a taxa de infla??o é calculada com o IPC, podemos utilizá-la na reconstru??o do IPCAnálise a pre?os o a infla??o n?o tem impacto (significativo) nas decis?es quanto à afecta??o dos recursos escassos, na análise das decis?es futuras é conveniente fazer uma análise em termos de pre?os constantes. Se, por exemplo, vou nos próximos 40 anos poupar para nos últimos 20 anos da minha vida ter uma pens?o, para efeito de compara??o com a realidade actual, é conveniente saber o valor da pens?o em termos de poder de compra, i.e., em termos de pre?os constantes.Fazer uma análise a “pre?os contantes” é mais fácil que a “pre?os correntes” porque podemos assumir que a maioria das variáveis (por exemplo, os salários,) se vai manter constante.Ex.1.41. Um jovem ganhou 120K€ na raspadinha que pretende transformar numa renda postecipada com dura??o de 50 anos, com mensalidade que mantenham o seu poder de compra (a pens?o vai crescer à taxa de infla??o prevista). Supondo uma taxa de juro nominal de 3,0%/ano e uma taxa de infla??o de 1,9%/ano, determine o valor da i) presta??o em pre?os constantes do instante zero o valor e, em rpe?os correntes, ii) o valor da primeira presta??o e iii) o valor da última presta??o.R. Este exercício é simples de fazer no Excel bastando, a partir da presta??o a pre?os do instante zero (que vamos determinar com a ferramenta Data+Goal Seek), aumentamos a essa presta??o de mês para mês à taxa mensal (1+1,9%)^(1/12)-1.D1: =(1+B1)^(1/12)-1 e copiava para D2; B7: =B$4*(1+D$2)^A7 e C7: =B7*(1 + D$1)^-A7 e copiava ambas as express?es até à linha 606; D7: =Sum(C7:C606).i) Em termos de pre?os constantes do instante zero, as presta??es v?o ser de 258,58€/mês.ii) Em termos de pre?os correntes, a primeira presta??o vai ser de 258,99€ e ii) a última presta??o vai ser de 662,68€.Fazer uma análise a “pre?os contantes” é mais fácil que a “pre?os correntes” porque podemos assumir que a maioria das variáveis (por exemplo, os salários,) se vai manter constante.O uso da express?o da renda de dura??o limitada na análise a pre?os constantes.Se, no exercício 1.41, repararmos nas express?es da linha 7 (e que v?o ser copiadas para as outras linhas), temos uma capitaliza??o da presta??o do instante zero, P0, até ao instante t, Pt, à taxa de infla??o seguida de um desconto dessa presta??o novamente ao instante zero, VaPt, à taxa de juro nominal:Pt = P0*(1+inf)^t e VaPt = Pt*(1 + r)^-tSe juntarmos as duas express?es temos a express?o seguinte:VaPt = P0*(1+inf)^t *(1 + r)^-tQue pode ser simplificada:VaPt = P0*((1 + r)/ (1+inf))^-tAgora, ao fazermos R = (1 + r)/ (1+inf) -1, esta express?o pode ser resolvida usando a express?o da renda limitada:Va = P/R*(1-(1 + R)^-n)Apliquemos ent?o esta express?o ao Ex. 1.41.R = (1+ 3,0%)/(1+1,9%)-1 = 1,079%/anoRm = (1+1,079%)^(1/12)-1 = 0,08952%/mêsP0 = 120000*0,08952%/(1-(1+0,08952%)^-600) = 258,58 €P1 = 258,58 € * (1+1,9%)^(1/12) = 258,99€P600 = 258,58 € * (1+1,9%)^50 = 662,68€Confirma-se que os resultados s?o os obtidos no Excel.O sistema de pens?es.Os sistemas de pens?es públicos têm como filosofia a transferência de recursos entre as pessoas que est?o a trabalhar e as que est?o reformadas: quem trabalha hoje contribui com uma percentagem do seu salário directamente para o pagamento dos que est?o hoje reformados. Assim, no cálculo da pens?o, o sistema n?o precisa calcular o valor capitalizado dos descontos de cada contribuinte mas apenas saber se as contribui??es de hoje s?o suficientes para pagar as pens?es de hoje. No entanto, porque os jovens de hoje precisam saber qual poderá ser a sua pens?o de reforma daqui a muitos anos, é preciso identificar o critério que faz com que as regras de cálculo das pens?es (por exemplo, 2,0% do salário de cada ano de trabalho) se pode manter ao longo do tempo. Em termos matemáticos, o equilíbrio do sistema de pens?es (i.e., de uma regra de cálculo do valor da pens?o) é calculado como se fosse um sistema de capitaliza??o em que a taxa de capitaliza??o das contribui??es é à taxa prevista de crescimento das contribui??es. Se n?o houver altera??es nos descontos contributivos nem na esperan?a de vida, em termos de pre?os constantes, uma boa estimativa para a taxa de crescimento das contribui??es é a taxa de crescimento do Produto Interno Bruto. Ex.1.42. Num sistema de pens?es pretende-se desenhar uma regra para o cálculo do valor das pens?es (uma percentagem do salário de anual) que torne o sistema sustentável no longo prazo. Supondo como cenário que a pessoa, desconta durante 40 anos, tem um salário constante (análise a pre?os constantes), desconta 20% do seu salário e que vai estar reformado 20 anos, determine a regra no caso de i) a taxa de crescimento do PIB ser de 3,0%/ano e ii) de ser 1,0%/ano.R. Como no fim de um sistema equilibrado o saldo é zero, teremos que resolver a express?o seguinte (para o caso de 100€/mês):P/Rm*(1-(1 + Rm)^-240)* (1 + Rm)^-480 = 20/Rm*(1-(1 + Rm)^-480)P = 20*(1-(1 + Rm)^-480)/(1-(1 + Rm)^-240)/ (1 + Rm)^-480i) Rm = (1+3,0%)^(1/12) = 0,246627% => P = 101,36% do salário. Dividindo por 40 anos, será sustentável atrivuir de pens?o 2,53% do salário de cada ano de trabalho. ii) Rm = (1+1,0%)^(1/12) = 0,082954% => P = 54,18% do salário. Dividindo por 40 anos, a pens?o sustentável reduz-se a 1,35% do salário de cada ano de trabalho.O sistema de pens?es português.No caso português, as pens?es calculam-se, grosso modo, como 2,00% do salário de cada ano de trabalho o que tem implícito uma taxa de crescimento do PIB média de 2,35%/ano o que, atendendo à evolu??o da nossa economia (ver, fig. 1.11), parece exageradamente optimista (i.e., o sitema tem défice). O uso de uma taxa de de 2,35%/ano deve-se ao facto de até ao ano 2000 termos tido taxas de crescimento superior a este valor, nasdécadas de 1960 e 1970 a nossa economia teve um crescimento médio de 5,3%/ano e nas décadas 1980 e 1990 um crescimento médio de 3,5%/ano. O problema é que, desde ent?o, o crescimento parou, nos últimos 12 anos, 2001-2014, ficamo-nos por um crescimento de 0,05%/ano (ver, Fig. 1.11).Fig. 1.11 – Taxa de crescimento do PIB e tendência de evolu??o (dados: Pordata)Como deveria ser a regra de cálculo das pens?es.Para n?o haver necessidade de constante altera??o das regras de cálculo, deveria ser introduzido no cálculo da pens?o n?o uma percentagem fixa (no caso, 2,0% do salário médio de cada ano) mas uma percentagem variável com a taxa de crescimento do PIB de cada ano. Usando o modelo usado na resolu??o do Ex. 1.42, uma regra simples poderia ser:Percentagem do ano = 1% + Taxa de Crescimento do PIB / 21% <= Percentagem do ano <= 2,5%Compatibiliza??o de tramos da série com diferentes basesCom o acesso a diferentes fontes de informa??o e com o decorrer do tempo, as séries mudam de base. Nas mudan?as, o índice sofre uma quebra porque salta do valor do antigo tramo da série para 100 e s?o alterados os pesos relativos dos grupos agregados no índice (no caso do IPC, a import?ncia de cada grupo de bens e servi?os na despesa das famílias). Quando é preciso utilizar o número índice ao longo de todos os períodos, torna-se necessário compatibilizar os vários tramos da série à mesma base. A redu??o n?o é verdadeiramente uma mudan?a para a mesma base porque n?o se tem em considera??o que existem altera??es dos ponderadores dos pre?os (i.e., da composi??o do cabaz) mas, mesmo com limita??es, anulando os saltos nos tramos da série (e n?o a altera??o dos ponderadores) construi-se uma série utilizável num período de tempo mais longo.No sentido de tornar possível a compatibiliza??o dos tramos, estes sobrep?em-se (pelo menos) durante um período. Este período de sobreposi??o é que permite calcular o valor do salto relativo entre as séries e, depois, reduzi-lo a zero. Temos que considerar o salto relativo para que a taxa de infla??o (em termos genéricos, a taxa de varia??o da série) se mantenha consistente com os dois tramos. Ex.1.43. Temos uma série com três tramos: o Tramo 1 tem como base o ano 2000 e é calculado até ao ano 2005, o Tramo 2 tem como base o ano 2005 e é calculado entre o ano 2005 e o ano 2010 (existe sobreposi??o no ano 2005) e o Tramo 2 tem como base o ano 2010 e é calculado entre o ano 2010 e o ano 2015 (existe sobreposi??o no ano 2010). Pretende-se construir uma série que tenha por base o ano 2000.Ano2000200120022003200420052006200720082009201020112012201320142015Tramo1100101,8106,7107,4112,6124,6??????????Tramo2?????100103,6109,8109,7112,1118?????Tramo2??????????100103,6109,8109,7112,1118Série100101,8106,7107,4112,6124,6129,1136,8136,7139,7147,0152,3161,4161,3164,8173,5Salto1,2461,470Média3,74%R. Vamos “corrigir” a mudan?a de base multiplicando o Tramo 2 pelo rácio da descontinuidade do ano sobreposto (que salta de 124,6 para 100) e corrige-se o tramo 2 multiplicando todos os valores por 1,246. Depois, multiplicamos o Tramo 3 pelo salto entre o Tramos 1 já extendido em 2010 (salto de 147,0 para 100).G6: = G2/G3; G5: =G3*$G$6 e copio até ao ano 2010, L5. L6: =L5/L4, L5: =L3*$G6 e copio até ao ano 215, Q5. B7: =(Q5/B5)^(1/15)-1.1.6 Contrato de Mútuo – Enquadramento legal Relativamente ao contrato de empréstimo entre particulares (o credor empresta e devedor pede emprestado), existe um enquadramento legal que interessa um gestor conhecer pelo menos sucintamente. A esse tipo de contrato chama-se Contrato de Mútuo e está regulado pelo capítulo VII, art.? 1142 até art.? 1151 do Código Civil. Quem empresta denomina-se por Mutuante e quem pede emprestado denomina-se por mutuário. O mutuário (i.e., o devedor) pode ter fiadores que s?o solidários no cumprimento do contrato (i.e., no pagamento da dívida mais juros). Como o contrato apenas imp?e obriga??es ao mutuário e aos fiadores (de devolver o capital e pagar os juros), o documento fica com o mutuante que pode dar fotocópia ao mutuado e aos fiadores.O mútuo pode ser de dinheiro ou de outra coisa fungível ficando o mutuário obrigado a restituir outro tanto do mesmo género e qualidade (art.? 1142) da coisa emprestada.Em termos formais, para valores elevados (>25000€) é necessário uma escritura pública ou documento particular autenticado, para valores médios (>2500€ e 25000€) é necessário um documento escrito e assinado pelo devedor. Cumprida a forma legal exigida (cujos valores limite s?o actualizados ao longo dos anos), o contrato de mútuo é um título executivo, podendo o credor passar à execu??o dos activos do devedor (e dos fiadores) sem necessidade de uma prévia ac??o declarativa de dívida.Apesar da lei n?o o abrigar para contratos de valor inferior a 25000€, convém que o documento particular tenha as assinaturas reconhecidas presencialmente num notário (i.e., o documento seja autenticado) porque faz prova plena quanto ao declarado no documento (art. 376? do CC) invertendo-se o ónus da prova (art. 375? do CC). Quando alguém alega em juízo um facto (e.g., que alguém nos deve dinheiro) tem que fazer prova disso (art. 342? do CC), e.g., com fotocópia do cheque e testemunhas. Havendo invers?o do ónus da prova, a outra parte é que tem que fazer prova de que o facto n?o é verdadeiro (e.g., mostrar que o cheque do Mutuante daquele valor e naquela data n?o tinha cobertura, um recibo de pagamento ou testemunhas em como já pagou).Nos contratos com vários mutuários solidários, qualquer um deles pode ser demandado pelo Mutuante a pagar a totalidade da dívida (art.?s 519 e 520 do CC). Também pode haver fiadores que garantem o cumprimento da dívida (art. 627? do CC) tendo a finan?a que ter a forma prevista para o contrato de mútuo, i.e., assumida por escrito (art. 628? do CC). ? conveniente que fique claro no documento que o fiador tem consciência de que está a assumir uma responsabilidade para depois n?o poder alegar vícios da vontade.Podem ser acordados juros (art. 1145) mas nunca poder?o ser superiores em 3% (se houver garantia legal) ou em 5% (se n?o houver) ao juro máximo legal (art. 1145).Se o empréstimo for sem juros e sem prazo, o Mutuante é devedor de juros à taxa de juro legal desde a data em que lhe for exigida a devolu??o do objecto do contrato (i.e., entra em mora), havendo necessidade de fazer prova em como o objecto foi pedido (e.g., com testemunhas). No caso de haver prazo, o devedor entra em mora no fim do prazo acordado. No caso de haver nulidade do contrato de mútuo por falta de forma, o mutuante tem que entregar a coisa emprestada ao mutuário (art. 289?/1 do CC).Os mutuários podem entregar um bem móvel como penhor (art. 669? do CC) que confere ao mutuante o direito à satisfa??o do seu crédito com preferência sobre os demais credores (art. 666? do CC). Pode também constituir uma hipoteca voluntária sobre um bem imóvel (art. 712? do CC) que terá que ser constituída por escritura pública (art. 714? do CC) e ser obrigatoriamente registada (art. 687? do CC) passando a conferir ao credor o direito de ser pago com preferência sobre os demais credores que n?o gozem de privilégio especial ou de prioridade de registo (art. 686? do CC).====================CONTRATO DE M?TUO====================Mutuante: Jo?o das Regras, Solteiro, Maior, NIF 111111111, NBI 6666666 – Lisboa válido até 17-03-2015, morador na R. Santos da Casa, 345, 2?Esq, V.N. de Gaia. ===========Mutuários: Américo Vespaniano e Amélia dos Olhos, casados entre si em comunh?o de adquiridos, NIF 2222222 e 33333333, NBI 7777777 – Lisboa valido até 11-07-2012 e 8888888 – Lisboa válido até 03-09-2011, respectivamente, ambos moradores na R. Espeto de Pau, 254, 3.? Drt, Póvoa do Rio. ====================================================Fiador: Joaquim Furriel da Silva, NIF 444444444, NBI 999999999 – Lisboa válido até 30-11-2017, morador na R. Torre e Espada, 30, 1?, Terracota de Baixo. =================O Mutuante entrega aos Mutuários nesta data pelo cheque n.? 54738 da conta 45833345320 do BPT em que o Mutuante é titular 30000€ (trinta mil Euros) como empréstimo pelo prazo de 5 anos a uma taxa de juro anual de 3% ao ano em que os juros vencidos ter?o que ser pagos até ao dia 30 de Maio de cada ano. Os Mutuários aceitam os 30000€ nas condi??es do presente contrato. ============================================================O fiador está consciente e aceita que, em caso de incumprimento dos Mutuários, passa a ter a obriga??o de pagar os juros e o capital em dívida. ===============================Vila Nova de Gaia, 25 de Maio de 2009 ==================================Assinatura do MutuanteAssinatura dos MutuáriosAssinatura do FiadorTodas as assinaturas reconhecidas presencialmente num cartório notarialCapítulo 2. Folha de Cálculo – Ferramentas básicasEste capítulo será de condensa??o das ferramentas básicas usadas na disciplina. Assim, será um texto de apoio e de consulta do aluno. A Folha de Cálculo 352615576835? formada por uma grelha cartesiana de células endere?adas. O endere?o de cada célula é a sua coluna (designada por uma letra) e a sua linha (designada por um número). Por exemplo, na figura do lado estou com o cursor na célula B5 que está vazia. Existe uma célula em uso onde posso escrever ou alterar o que lá tem escrito, apenas uma de cada vez. Posso mover a célula em uso com as setas ou deslocando o cursor do rato e clicando na nova célula que quero. Se precisar seleccionar mais do que uma célula, uso a tecla Shift, , ou a tecla Ctrl mas mantém-se apenas uma célula em edi??o.Express?es algébricas Na célula posso escrever valores sejam eles palavras ou números e express?es que v?o ser cálculadas.No Excel, as express?es de cálculo come?am pelo símbolo = e podem conter números, operadores algébricos da soma, +, subtrac??o, -, divis?o, /, multiplica??o, *, potencia??o ^ e ainda parênteses curvos para controlar a precedência das opera??es e referências a outras células.Por exemplo, se quizer transformar a taxa de juro anual de 5%/ano na taxa de juro mensal correspondente, escreverei numa célula a express?o =(1+5%)^(1/12)-1.Referências a células Nas express?es algébricas também posso incluir referências a outras células como se e funcionará como o valor que está nessa célula estivesse escrito na express?o.Se, por exemplo, na célula B1 tiver escrito 5%, ao escrever e B2: = (1+A1)^(1/12)-1, resultará a taxa de juro mensal efectiva correspondente aos 5%/ano. 4000500121920A1: DívidaB1: 10000€A2: Taxa de juroB2: 5%C2: por anoB3: =(1+B2)^(1/12)-1C3: por mêsA vantagem de usar nas express?es referênciuas a células é que estas v?o funcionar como variáveis ou parametros da express?o. Assim, se eu alterar o conteúdo de uma célula (e.g., B2) as express?es que a usam, (e.g., B3: =(1+B2)^(1/12)-1) s?o recalculadas automaticamente. O uso de referências tem ainda a vantagem de podermos encadear as express?es e assim transformar express?es extensas (e mais sujeitas a erro de sintaxe) em express?es mais simples (e onde os erros s?o mais fáceis de identificar). Ex.4.1. Pretendo saber a presta??o mensal antecipada para pagar um empréstimo de 10000€ à taxa de juro de 5%/ano durante 5 anos, .3975100299085R. Vou fazer cálculos auxiliar (da taxa de juro mensal e de 1 + r) e usá-los numa express?o da express?o da presta??o mensal que, assim, fica mais simples. A4: =1+rB4: =1+B3B6: =12*B4B7: =B1*B3/((1-B4^-B6)*B4)Copia de express?esAo copiar as express?es de umas células para outras, as referências às células vai sofrer altera??es. Assim, se eu copiar na horizontal para a direita, a letra das referências vai aumentar e vice-versa. Por exemplo, se eu copiasse a express?o que está na célula B7: =B1*B3/((1-B4^-B6)*B4) para a célula C7, a express?o copiada n?o seria a original mas haveria o incremento de uma letra C7: =C1* C 3/((1- C 4^- C 6)* C4). O incremento na letra é correspondente à distancia entre a célula original e a célula de destino. Na folha de cáculo seguinte vou explorar a copia para calcular a mensalidade para várias taxas de juro.Ex.4.2. Sobre o problema do Ex4.1, pretendo visualizar o efeito da altera??o da taxa de juro em torno dos 5%/anos. Reorganize a folha de cálculo de forma a utilizar a potencialidade de copiar e colar.R. Para simplificar, copiei os rótulos da coluna C para a coluna G. Depois, seleccionei a área B1 até B7, fiz Editar+Copiar, Ctrl+C, seleccionei C1 e fiz Editar+Colar, Ctrl+V, repetindo para D1, D2, etc.No colar, podia ter seleccionado directamente C1:F1 e feito Enter.Ao copiarmos para outra coluna denomina-se “copiar ao longo da linha” e as referências alteram-se. Assim, tendo B7: =B1*B3/((1-B4^-B6)*B4) ao copiar esta express?o para, por exemplo, F7 ela transforma-se para =F1*F3/((1-F4^-F6)*F4). A coluna das referências altera-se tantas letras quantas as colunas que eu andar, mantendo um desenho de referencia??o idêntico.Se copiar ao longo das colunas, o número que refere a linha da referência vai ser alterado.Fixar referências. Quando escrevo a express?o, posso explicitar que, quando a for copiar, uma referência é para manter tal e qual. Se assim o fizesse, no Ex.4.2 n?o precisava de repetir o valor em dívida nem o prazo. A indica??o é feita colocando o cifr?o, $, antes da letra (se for copiar em linha e n?o quiser que a coluna se altere) ou do número (se for copiar em coluna e n?o quiser que a linha se altere). Tanto posso fixar a coluna (para quando copiar em linha), a linha (para quando copiar em coluna) ou ambos. Além de poder excrever $ na express?o, também posso usar a tecla F4 para colocar os cifr?es (repetidamente, vai trocando os locais onde est?o os cifr?es). Ex.4.3. Refa?a o exercício Ex4.2 indicando que a referência ao valor da dívida e ao prazo de amortiza??o s?o para manter fixos.R. Alterei as posi??es (com cut + past) de forma a simplificar o aspecto da folha de cálculo. Na express?o da célula B7, amarrei a coluna das referências B1 e B3. B7: =$B1*B5/((1-B6^-$B3)*B6)Ao utilitar o cut + Past (cortar + colar) posso mover as células de local, alterando o aspecto da folha de cálculo, sem me preocupar com as express?es pois estas s?o automaticamente re-escritas, estejam ou n?o fixadas. Enquanto que ao copiar se alteram as referências da express?o colocada na célula copiada, ao mover (i.e., cortar e colar), as referências da célula movida n?o se alteram mas alteram-se as das células a jusante (que usam a célula movida).Ex.4.4. Pretendo construir um quadro para estudar em simult?neo o efeito do prazo e da taxa de juro na presta??o. Reorganize a folha de cálculo para construir o quadro.R. Reorganizei como mostro na figura e amarrei a dívida, $B$1, a linha da taxa de juro, D$3 e D$4 e a coluna do prazo, $C5, ficando D5: =$B$1*D$3/((1-D$4^-$C5)*D$4)Por uma quest?o estética, uni as células A5:A7 e as células D1:H1, fiz uma grelha na área dos resultados, D5:H7, e sombreei as células com as taxas de juro, os prazos e os resultadosFerramenta Data + Goal Seek. Em termos matemáticos, partindo de uma fun??o na forma implícita g(x, y) = 0, quero obter a forma explícita y = f(x). E.g., partindo de (x^2+4)/(y-1) -2 = 0 obtenho y = 0,5*x^2+3.2907665556260Quando temos uma fun??o algebricamente n?o explicitável, o Excel permite-nos obter um valor y para cada valor particular x. No exemplo, fa?o B3: =(B1^2+4)/( B2-1) -2 e uso a ferramenta Data+Goal Seek para, considerando um valor para x, calcular um valor de y que verifica a fun??o na forma implícita. se precisar de saber vários pontos da fun??o (para vários valores de x), repito o procedimento alterando o valor da célula B1. Ex.4.5. Suponha a fun??o implícita 5 + y – 0,2y2 + x = 0. Determine a solu??o para a abcissa x = 1. R. Como sei que para cada valor de x existe uma solu??o positiva e outra negativa, para descobrir a negativa coloco 1 em A2 e –5 em B2. Em C2 calculo o erro de assumir que –5 é a solu??o. Uso a ferramenta Data + Gool Seek para determinar o valor de C2 que faz o erro igual a zero.A solu??o encontrada, -3,52085, é aproximada pelo que se mantém a existência de um (pequeno) erro. Se quisermos garantir que as casa decimais (no caso, 5) s?o certas, multiplicar o valor da célula C2 por uma constante, e.g., 1000, e tornamos a calcular.Para encontrar a solu??o positiva, colocava um valor inicial para y diferente, e.g., 1000, resultando como solu??o 8,5208. Se desse o mesmo, teria que experimentar outros valores iniciais para y.Se precisasse de mapear a fun??o, teria que experimentar vários valores para x, reaplicando a ferramenta Data+Goal Seek e copiando o resultado para o lado (colar especial+valores) para cada valor do x. Como tem duas solu??es, teria que descobri-las experimentando diferentes valores iniciais para y.Ex.4.6. Uma institui??o financeira prop?e-lhe um plano de poupan?a em que, por cada 100€ aplicado no início de cada mês, ao fim de 40 anos capitaliza 80000€. Determine a taxa de juro implícita neste produto financeiro.R. O valor actual de uma renda antecipada é que depois teremos que capitalizar n períodos. Para o caso teremos em que r é a taxa de juro mensal, D4: =(1+B4)^(1/12)-1. A solu??o encontrada pelo Excel é 2.401%/ano.Ferramenta Data + Solver. O Solver é uma ferramenta muito mais sofisticada e flexível que a ferramenta Data + Goal Seek e permite n?o só resolver uma fun??o implícita como fazer maximiza??es ou minimiza??es com restri??es. Assim, podemos ter um modelo com várias variáveis e várias restri??es de igualdade ou de desigualdade sobre quaisquer células do modelo (mesmo, cálculos itnermédios). Aleém disso, fica gravado juntamente com a folha de cálculo o que facilita quanto pretendemos utilizar repetidamente o mesmo Solver. Por ser um suplemento, para se poder utilizar o Solver é necessário instalá-la (em no Excel 2003 ir a Ferramentas+Suplementos, e no Excel 2007 ir ao Office Button+ Excel Options + Add-ins category +no Manage cliacar em Go…, +Solver Add In).Ex.4.7. A quantidade de artigos vendidos por um pequeno feirante, V, depende da área de exposi??o da furgoneta, A, do esfor?o dispendido, E, e da quantidade de folhetos publicitários distribuídos, F, segundo a fun??o de produ??o da actividade de vendas:V = 100*(A-3)^0,4*(E-2)^0,4*(F-2)^0,2+0,4*A+0,4*E+0,2E Supondo que os pre?os s?o PA = 125€/u., PE = 5€/u. e PF = 1€/u. e o pre?o unitário de comrpa das mercadorias é PC = 2,5€/u., determine as quantidades óptimas de cada factor sujeitas às restri??es A 10, 2 E 8; 2500 F 0.E2: =B2*D2B5: =100*(B2-3)^C2*(B3-2)^C3*(B4-2)^C4+C2*B2+C3*B3+C4*B4B6: =E5-SOMA(E2:E4)Verificamos que no ponto calculado est?o activas duas das restri??es, B3<=8 e B4<=2500.Bibliografia ComplementarBrand?o, Elísio, 2002, Finan?as, Porto Editora: Porto.Buchanan, J Robert, 2008, An Undergraduate Introduction to Financial Mathematics, World Scientific Publishing: London.Cadilhe, Miguel J. R. e Carlos A. R. Lago, 1994, Matemática Financeira Aplicada, Edi??es Asa: Porto.Dickson, David C. M.; Mary R. Hardy & Howard R. Waters, 2009, Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks, Cambridge University Press: Cambridge.Kohn, Meir, 1994, Financial Institutions and Markets, McGraw-Hill International: NYLevasseur, Michel e Aimable Quintart, 1998, Finance, Económica: Paris.Murteira, Bento, Carlos S. Ribeiro, Jo?o A. Silva e Carlos Pimenta, 2001, Introdu??o à Estatística, McGraw-Hill, Lisboa. ................
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