ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
1.6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ
Παραγοντοποίηση είναι η μετατροπή αθροισμάτων σε γινόμενα . Η διαδικασία αυτή είναι χρήσιμη στις πράξεις κλασμάτων που οι όροι τους είναι πολυώνυμα, στην επίλυση εξισώσεων, απλοποίηση παραστάσεων και αλλού.
Παραγοντοποίηση - Περιπτώσεις
1) κοινός παράγοντας
1. Εφαρμογή της επιμεριστικής ιδιότητας : αβ+αγ=α(β+γ) (εξαγωγή κοινού παράγοντα ) Αν σε κάθε όρο του αθροίσματος υπάρχει κοινός παράγοντας , τότε ο κοινός παράγοντας βγαίνει έξω από μια παρένθεση και στην παρένθεση βάζουμε τους μη κοινούς όρους .
Παραδείγματα
1. χψ + χω = 2. 3χ - 3ω = 3. χψω + χκω = 4. 3χ - 6ψ = 5. 6χ - 8ψ =
6. χ2 - 3χ = 7. χ2 + 3χ = 8. χ2 + χ = 9. 2χ3 + 4χ2 = 10. 6χ3 - 15χ2 =
xy + xz = x(y+z) 6x3 – 15x2 =3x2(2x-5 ) 2x3 + 4x2 = 2x2(x+2)
2) Ομαδοποίηση
Εφαρμογή της επιμεριστικής ιδιότητας : αχ+αψ+βχ+βψ= (α+β)(χ+ψ)
(Ομαδοποίηση)Χωρίζοντας τους όρους του πολυωνύμου σε ομάδες (πολυώνυμα) με ίσο πλήθος όρων, βλέπουμε πολλές φορές ότι, αν βγάλουμε από τους όρους κάθε ομάδας τους κοινούς παράγοντές τους εκτός παρένθεσης, εμφανίζεται το ίδιο πολυώνυμο μέσα στις παρενθέσεις όλων των ομάδων. Τότε το πολυώνυμο των παρενθέσεων είναι κοινός παράγοντας όλων των ομάδων και μπορεί να γραφεί μπροστά από μια νέα παρένθεση. (Η δυσκολία στην περίπτωση αυτή είναι να διακρίνουμε την κατάλληλη ομαδοποίηση των όρων).
3x + 3ω + αx + αω =3(x+ω)+α(x+ω)=(x+ω)(3+α)
χ4 - 4χ2 -χ + 4 =x(x3-1)-4(x2-1)=x(x3-1)-4(x2-1)
=x(x-1)(x2+x+1)-4(x-1)(x+1)
=(x-1)[x(x2+x+1)-4(x+1)]
=(x-1)(x3+x2+x-4x-4)= (x-1)(x3+x2-3x-4)
α2– x2+2x-1=x3-(x2-2x+1) =α2-(x-1)2=(α-χ+1)(α-χ-1)
2) ταυτότητες :
Αν το άθροισμα αποτελείται από 3 όρους , ελέγχουμε αν οι δύο είναι τετράγωνα κάποιων αριθμών και ο τρίτος είναι το διπλάσιο γινόμενό τους
(α+β)2 = α2 + 2αβ + β2 και (α-β)2 = α2 - 2αβ + β2
Παραδείγματα
χ2-4χ+4=χ2-2.χ.2+22 =(χ – 2)2
(α+β)(α-β)= α2 - β2 (Διαφορά τετραγώνων )
Αν το άθροισμα αποτελείται από 2 όρους και δεν έχει κοινό παράγοντα , τότε ίσως να γίνεται εφαρμογή αυτής της ταυτότητας , μετά από κάποια ενδεχόμενη τροποποίηση .
Παραδείγματα
[pic]
3) Παραγοντοποίηση τριωνύμου : Εφαρμογή της ταυτότητας : x2 +(α+β)x+αβ=(x+α)(x+β)
Αν έχουμε τριώνυμο και δούμε ότι δεν είναι ταυτότητα τότε προσπαθούμε να βρούμε δυο αριθμούς α και β έτσι ώστε : το άθροισμά τους να είναι ο συντελεστής του χ και το γινόμενό τους να είναι ο σταθερός αριθμός . Έπειτα εφαρμόζουμε την ταυτότητα : x2 +(α+β)x+αβ=(x+α)(x+β)
Παράδειγμα:
Η Μέθοδος : Έστω το τριώνυμο χ²-8χ+15. Θα ψάξουμε να βρούμε δυο αριθμούς που να έχουν άθροισμα -8 και γινόμενο 15. Ξεκινάμε πάντα από το γινόμενό τους. Για να είναι 15 σημαίνει ότι οι αριθμοί που ψάχνω είναι ομόσημοι. Επειδή όμως το άθροισμά τους είναι αρνητικός (-8), τότε θα είναι και οι δυο αρνητικοί. Παίρνουμε π.χ.
τους παράγοντες -3 και -5 του 15 και βλέπουμε ότι έχουν άθροισμα -8, άρα είναι αυτοί που ψάχνουμε.Έτσι το τριώνυμο χ²-
8χ+15 γράφεται σε γινόμενο παραγόντων : (χ-3)(χ-5)
Κάθε τριώνυμο δεν αναλύεται πάντοτε σε γινόμενο παραγόντων, π.χ. το χ²+4χ+7.
|τριώνυμο |χ2+5χ+6 |χ2-5χ+6 |χ2+5χ-6 |χ2-5χ-6 |
|άθροισμα γινόμενο |α+β |αβ |α+β |αβ |α+β |αβ |α+β |αβ |
| |5 |6 |-5 |6 |5 |-6 |-5 |-6 |
|ποιοτική αναγνώριση |ομόσημοι θετικοί |ομόσημοι αρνητιοί |ετερόσημοι μεγαλύτερος θετ |ετερόσημοι μεγαλύτερος αρν |
|Αρα :α= , β= |2 |3 |-2 |-3 |6 |-1 |-6 |1 |
|παραγοντοπ. |(χ+2)(χ+3) |(χ-2)(χ-3) |(χ+6)(χ-1) |(χ-6)(χ+1) |
|τριώνυμο |χ2+4χ+3 |χ2-3χ+2 |χ2+4χ-5 |χ2-6χ-16 |
|άθροισμα γινόμενο |α+β |αβ |α+β |αβ |α+β |αβ |α+β |αβ |
| | | | | | | | | |
|ποιοτική αναγνώριση |ομόσημοι θετικοί |ομόσημοι αρνητικοί |ετερόσημοι μεγαλύτερος θετ |ετερόσημοι μεγαλύτερος αρν |
|Αρα :α= , β= | | | | | | | | |
|παραγοντοπ. | | | | |
5. Πως γίνεται τελικά η παραγοντοποίηση ;
Όλα , όσα αναφέρθηκαν παραπάνω είναι τεχνικές οι οποίες εφαρμόζονται είτε μαζί είτε χωριστά για να παραγοντοποιηθεί μια ποσότητα . Ανάλογα με την ποσότητα που έχουμε , χρησιμοποιούμε κάποια ή κάποιες από αυτές . Όταν θέλουμε να παραγοντοποιήσουμε μια ποσότητα σκεφτόμαστε διαδοχικά τα παρακάτω :
|Σκέψη |Ενέργεια |
|1. Μήπως έχουν όλοι κάτι κοινό (είτε αριθμό είτε μεταβλητή ) το |Βγάζω τον κοινό παράγοντα και προχωρώ στο επόμενο |
|οποίο θα βγει κοινός παράγοντας ; |Αν δεν έχουν προχωρώ στο επόμενο |
|2. |α. 2 όροι |Μήπως είναι διαφορά τετραγώνων ; |
| | | |
|Πόσοι όροι | | |
|είναι ; | | |
| |β. 3 όροι |Μήπως είναι τετράγωνο διωνύμου ; Αν όχι , μήπως παραγοντοποιείται σαν |
| | |τριώνυμο ; |
| |γ. 4 ή 6 όροι |Μήπως μπορεί να γίνει κατάλληλη ομαδοποίηση ; |
|3. Μήπως δεν παραγοντοποιείται ; | |
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ
§ 2.1 Εξισώσεις 1ου βαθμού
(1) Τι ονομάζουμε εξίσωση 1ου βαθμού;
Εξίσωση 1ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση) με άγνωστο [pic] ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής [pic].
(2) Τι ονομάζεται ρίζα ή λύση της εξίσωσης 1ου βαθμού;
Ρίζα ή λύση της εξίσωσης ονομάζεται κάθε αριθμός που την επαληθεύει.
(3) Τι ονομάζουμε συντελεστές στην εξίσωση [pic];
Συντελεστές τις εξίσωσης [pic] ονομάζονται τα α και β.
(4) Τι ονομάζουμε όρους της εξίσωσης [pic];
Όροι της εξίσωσης [pic] ονομάζονται τα μονώνυμα [pic] και β.
(5) Ποιος είναι ο άγνωστος και ποιος ο γνωστός όρος της εξίσωσης [pic];
Άγνωστος όρος της εξίσωσης [pic] είναι ο όρος [pic].
Γνωστός όρος της εξίσωσης [pic] είναι ο όρος β.
(6) Συνοψίστε σε ένα πίνακα την διερεύνηση της εξίσωσης 1ου βαθμού
|Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης α’ βαθμού ([pic]) |
|Αν [pic] η εξίσωση έχει τη λύση [pic]. |
|Αν [pic] και [pic] η εξίσωση είναι αδύνατη. |
|Αν [pic] και [pic] η εξίσωση είναι αόριστη (ταυτότητα). |
(7) Τι σημαίνει ότι η εξίσωση είναι αδύνατη;
Αδύνατη εξίσωση σημαίνει ότι δεν υπάρχει κανένας πραγματικός αριθμός που να είναι ρίζα της.
(8) Τι σημαίνει ότι η εξίσωση είναι αόριστη ή ταυτότητα;
Αόριστη ή ταυτότητα σημαίνει ότι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί είναι ρίζες της.
Παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων 1ου βαθμού
Μεθοδολογία
Για την επίλυση εξισώσεων 1ου βαθμού ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:
➢ Αν υπάρχουν παρενθέσεις και παρονομαστές απαλείφουμε πρώτα τις παρενθέσεις
➢ Απαλείφουμε τους παρονομαστές
➢ Απαλείφουμε τις παρενθέσεις
➢ Χωρίζουμε γνωστούς από άγνωστους όρους
➢ Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων
➢ Αν ο συντελεστής του άγνωστου όρου είναι διάφορος του μηδενός διαιρούμε και τα δύο της μέλη με τον συντελεστή του αγνώστου.
(1) Να επιλυθεί η εξίσωση: [pic]
Λύση:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
(2) Να επιλυθεί η εξίσωση: [pic]
Λύση:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Αδύνατη
(3) Να επιλυθεί η εξίσωση: [pic]
Λύση:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Αόριστη
Προβλήματα που ανάγονται σε εξισώσεις 1ου βαθμού
Μεθοδολογία:
➢ Για να λύσουμε ένα πρόβλημα με χρήση εξίσωσης 1ου βαθμού, θέτουμε με [pic] την άγνωστη ποσότητα και κατασκευάζουμε την εξίσωση που προκύπτει από τα δεδομένα της άσκησης.
(1) Μια δεξαμενή σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου έχει διαστάσεις βάσεις [pic] και [pic]. Αν περιέχει [pic] λίτρα νερό, να βρείτε το ύψος της στάθμης του νερού.
Λύση:
Έχουμε:
[pic]
[pic]
[pic]
Έστω [pic][pic] το ύψος της στάθμης του νερού. Τότε:
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic] ή [pic]
Ασκήσεις
1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:
i. [pic]
ii. [pic]
iii. [pic]
iv. [pic]
v. [pic]
vi. [pic]
vii. [pic]
viii. [pic]
ix. [pic]
x. [pic]
2. Να βρεθεί ένας αριθμός, του οποίου το διπλάσιο αυξημένο κατά 15, είναι ίσο με το τριπλάσιο του ελαττωμένο κατά 9.
3. Το άθροισμα των ηλικιών τριών προσώπων είναι 86 έτη. Να βρεθεί η ηλικία του καθενός, αν γνωρίζουμε, ότι ο δεύτερος έχει διπλάσια ηλικία από τον πρώτο και ότι ο τρίτος είναι 14 χρόνια μικρότερος από τον δεύτερο.
4. Τρία πρόσωπα Α, Β, Γ μοιράστηκαν ένα ποσό. Ο Α πήρε το [pic] αυτού και 100 € ακόμη, ο Β πήρε το [pic] του ποσού και 90 € ακόμη και ο Γ πήρε το [pic] του ποσού και 70 € ακόμη. Να βρεθεί το ποσό που μοιράστηκαν και τι πήρε ο καθένας.
5. Ένας χώρισε ένα κεφάλαιο 48.000 € σε δυο μέρη και τόκισε το πρώτο μέρος με επιτόκιο 6% και το δεύτερο με επιτόκιο 4%. Ο ετήσιος τόκος που έλαβε από τα δύο κεφάλαια είναι όσος θα έπαιρνε αν τόκιζε όλο το κεφάλαιο προς 5,5%. Να βρεθούν τα δύο μέρη του κεφαλαίου.
6. Δύο ποδηλάτες Α και Β φεύγουν ταυτόχρονα από δύο πόλεις Σ και Θ, οι οποίες απέχουν 195 χιλιόμετρα και κατευθύνονται προς συνάντηση. Η ταχύτητα του Β είναι κατά 3 χιλιόμετρα μικρότερη των [pic] της ταχύτητας του Α. Οι ποδηλάτες συναντήθηκαν μετά 6 ώρες από την αναχώρηση τους. Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των ποδηλάτων, αν γνωρίζουμε, ότι ο Β σταμάτησε στην διαδρομή για μια ώρα.
Ασκήσεις εμπέδωσης στον κοινό παράγοντα
Παραγοντοποίηση
Κοινός Παράγοντας
1. Να μετατραπούν σε γινόμενα πρώτων παραγόντων οι παραστάσεις:
α. 2αβ – 2αδ β.8x 2 – 4x γ. 12x 2 y + 6xy 2 – 3xy δ. 4κλ 2 – 10κ 2 λ + 13κλ ε. 15α 3 β 3 γ 2 – 5α 2 β 3 γ + 20α 2 β 3 γδ στ. 3αν+2 – 12αν
2. Να μετατραπούν σε γινόμενα πρώτων παραγόντων οι παραστάσεις:
α. β (x + 2y) + γ (x + 2y) β. 2α 2 β (x + y) – 4αβ 2 (x + y)
γ. 3α (κ – 3λ) + 6αβ (κ – 3λ) + 12α 2 β (κ – 3λ)
δ. (x + y) 3 – (x + y) 2 ε. α (x – y) + γ (y – x)
στ. 2α (γ – 2δ) + 2αβ (2δ – γ) – 4α 2 (γ – 2δ)
ζ. α (x + y) + β (x + y) – (α – β)(x + y)
η. (x – 2)(x – 1) 2 – 4 (2 – x) θ. 2α (α – 2β) + α – 2β
ι. 3x 2 (x – 3y) – x + 3y ια. 2x 2 y 3 (α – 5β) – 4xy 2 (5β – α)
3. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
α) 2α + 2β β) 5x-5y γ) 7β + 7γ δ) llx-lly ε) 2x + 6y στ)9γ4δ2+6γ4δ3 ζ) 4γ + 12δ η) 5x-10y θ) 8α + 32β ι) 3α-6β
4. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις:
α) 2αχ + 6ay β) α3 -α2χ γ) 6xy + 3y δ) xy-y2 ε) α2+αβ στ) 5ω2-10ω ζ) 2y2 + 4y η) 12χ3 -4χ2 θ) 5αβ + 10α ι) 4αβ + 6αγ κ) χ2-2χ λ) 9α2-6α
5. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
α) (α + β)χ + (α + β) β) (χ + y)α-(χ + y)β γ) y(x-y) + 5(y-x) δ) ω(α-β)-φ(β-α) ε) 5(γ - δ) - (δ - γ)α στ) (x-2y)Y + 3(2y-x) ζ) α(χ + y) - χ - y η) χ(α-β)-α + β
6. Να παραγοντοποιήσετε τις επόμενες παραστάσεις:
α) aβ(x + y) + a(x + y) β)χ2(α-β) + χ(α-β) γ)(κ + x)xy + y(k + λ) δ)2α(χ - y) + a2 (y - χ)
ε)xy(a - β) - (β - a)y στ) 3x4y-6x3y2+9x2y3 ζ) 8α4χ3 - 12α3χ2 + 6α2χ4 - 10α2χ
7. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
a) x3y-x2y2 + xy2 β) 3χ3 +6α2χ2 -3α3χ γ) 4β5 + 6α2β3 - 2β2 δ) x3y3 -x2y2 + 2xy ε) 12αβ2 + 9β2α + 3α3β3 στ) 2x2y3 - 6x2y2 + 2x3y ζ) ) α3 - α2β η) 3y-9y2 θ) 2χ2 -2χ ι) ) β2-β3
8. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
α) αβ + αγ + 2αδ β) xy + 4xco-6xcp γ) 4χ3 + χ2 - χ δ) 2α3-2α4-4α ε) 3χ3-6χ2+9χ4 στ) 8α3 -12α-16α2
9. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
a) x2y3 + xy2 β)2α β –αβ γ)6x3y5+3x2y2 δ)10α4β3-15α2β ε) x2y(y - δ) + xy(5 - γ)
στ) (5χ - 3)(y +1) - (3χ - l)(y +1) ζ) 2α(χ - y)2 - α3 (χ - y) γ) (α2-3a)(x-y)-2a(y-x)
η) xy(a - β)3 - x2y(a - β)2 θ) (3χ2 + 4χ)(α - β) + (χ2 + 2χ)(β - α) ι) (χ - 5)(α +1)2 + (χ + 3)(α +1)2 κ) (3α - 2)(α + 3) + (α + 6)(α + 3) λ) (χ2-2χ+3χ)(α-β)-(χ2-4χ+3)(β-α)
10. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
α) αχ3 + 8ay3 β)α4-αβ3 γ) 3χ5 + 3x2y3 δ)αβ4-α4β ε) χ4 - 27xy3 στ) 2α5 + 16α2β3
11. Στα παρακάτω πολυώνυμα να βγάλετε κοινό παράγοντα τον ΜΚΔ των συντελεστών των όρων τους.
2α5 – 10 24κ – 16λ
15 + 20μ 220ω2 +33t3
3x2 – 9x + 12 14 + 49β +70α
4ρ – 6ρ3 + 8 26μ2 – 39ν
12. Να κάνετε παραγοντοποίηση τα παρακάτω πολυώνυμα .
6αχ + 3α 2α5 – 10α
24κ2λ – 16κλ2 15μ2 + 20μ
220ω2 +33ω3 3x2 – 9x + 12x3
14α2 + 49αβ +70αβ3 4νρ – 6ν 2 ρ3 + 8ρ2ν
26μ2 – 39μ 25z2 – 75 z
α2 – α α3 – α2 – α
Ομαδοποίηση
13. Να μετατραπούν σε γινόμενα πρώτων παραγόντων οι παραστάσεις:
α. 2x + 2y + αy + αx β. α 2 – 4α + αγ – 4γ
γ. α 2 γ 2 – αγδ + αβγ – βδ δ. 5αx – 4βy + 5αy – 4βx
ε. 4αy – 2βy + 2αω – βω στ. x 3 – 5x 2 + 2x – 10
ζ. x 3 + 7x 2 + 3x + 21 η. 7αβ + 7αγ – 9βδ – 9γδ
θ. αβx – αβy – αγx + αγy ι. 5x 3 + x 2 – 20x – 4
ια. x 3 + 3x 2 –16x – 48 ιβ. x 3 + x 2 – 4x – 4
ιγ. βx – αβ + x 2 – αx ιδ. 1 – x + x 2 – x 3 + x 4 – x 5
ιε. α 5 – α 4 – 2α 3 + 2α 2 + α – 1 ιστ. αx – 2αy – βx + 2βy + γx – 2γy
ιζ. αβ (x 2 + y 2) + xy (α 2 + β 2) ιη. αx ν + αy μ + βx ν + βy μ
ιθ. [pic] κ. (α – β) 3 + α 3 – β 3
κα. α 3 – α 2 – α + 1
14. Να παραγοντοποιήσετε ης παραστάσεις:
α) αχ + βy + βχ + ay β) αχ - βy - ay + βχ γ) ax + βy-ay-βx
δ) αχ - βy + ay - βχ ε) 2γα + δβ + δα + 2γβ στ) 3ay - 2βχ + 3αχ - 2βy
15. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
α) χ2 + xy + χω + yω β) α2 + 2α + αβ + 2β γ) α2 + αγ + 4α + 4γ δ) 2α + 2χ + αχ + χ2
ε) 3x-3y + xy-x2 στ) αβ-βχ-αχ + χ2
16. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
a) y2 + αy + βy + αβ β) 3χ3 -7χ2 +3χ-7 γ) 6χ2 + 3λ2χ + 8λχ + 4λ3 γ) 7αβ + 7αγ - 9δβ - 9δγ δ) 5γχ - 8γy + 5βχ - 8βy ε) 21αχ + 35ay + 20y + 12χ στ) κλ + λμ-κμ-μ2 ζ) 2μχ + νχ + 2μy + vy η) αχ - 2ay - βχ + 2βy θ) 2α2 + 3αβ - 2αγ - 3βγ ε) αγ2 + β + βγ2 + α ι) αγ2 - 2α - βγ2 + 2β
17. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
α) χ3 - χ2 + χ -1 β) 2α3 + 3 + 2α + 3α2 γ) βχ - αβ + χ2 – αχ δ)3αχ - ay - 3βχ + βy ε)6χ2 - 4αχ - 9βχ + 6αβ στ)χ3 +x2y + xy2 + y3 ζ) χ4 + 2χ3 + χ2 + 2χ η) α4 - 3α3 + 2α2-6α
18. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
α) αχ3 + ay2x + βχ3 + βγ2χ β) 55x4y + 77x3y3 - 25x2y2 - 35xy4 γ) α5 + α4 + α3 + α2 + α +1 δ) α5 - α4 + α3 - α2 + α -1 ε) 5x3y+ 10xy3 + 5χy - 2χ2-4y2-2xy
Διαφορά Τετραγώνων
19. Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις:
α. α 2 – 16 β. x 2 – 9
γ. 25 – x 2 δ. 36x 4 – 121y 2
ε. [pic] στ. 81x 4 – 16y 4
ζ. 16α2β2 − 25 η.
ζ. 3x ν+2 – 12x v η. α 4 – β 4
θ. α 8 – β 8 ι. α 2ν – β 2ν
ια. (2x – 3) 2 – 16 ιβ. 25 – (α + 7β) 2
ιγ. (x – 3y) 2 – (–x + 2y) 2 ιδ. 25(x – 1) 2 – 4
ιε. (x – 8y) 2 – 49(x + 1) 2 ιστ. [pic]x 2 – (x – y) 2
Τέλειο Τετράγωνο
20. α. x 2 + 2x + 1 β. x 2 − 4x – 4
γ. κ 2 − 2κλ + λ 2 δ. 4α 2 + 12α + 9
ε. 16x 2 + 40xy + 25y 2 στ. 49α 2 − 14αβ + β 2
ζ. 25κ 2 − 60κλ + 36λ 2 η. α2 β2 −14αβ + 49
θ. x 6 − 2x 3 + 1 ι. x 4 − 4x2y2 + 4y 4
ια. x 2 + x + [pic] ιβ. [pic]
ιγ. [pic] ιδ. [pic]
ιε. [pic] ιστ. (α − 3) 2 − 6(α − 3) + 9
21. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
α) χ2 - 4χ + 4 - y2 β) α2 + β2 + 2αβ - γ2 γ) χ2 - 9-2xy + y2 δ) α2 - β2 - γ2 + 2βγ ε) χ2 -y2 -6y-9
στ) 9χ2 - 36y2 - 30χ + 25
Κύβος Αθροίσματος / Διαφοράς
22. α. x 3 − 3x 2 + 3x − 1 β. α 3 + 6α + 12α + 8
γ. 8α3 − 12α 2 + 6α − 1 δ. κ 3 + 9κ 2 + 27κ + 27
ε. ψ 6 + 3ψ 4 + 3ψ 2 + 1 στ.
ζ. (x + 1) 3 + 3(x + 1) 2 + 3(x + 1) + 1
Τριώνυμο
23. α. x 2 + 6x – 7 β. x 2 − 3x – 2
γ. x 2 – 7x – 30 δ. x 2 − 5x + 6
ε. x 2 + 5x + 4 στ. x 2 + 3x – 18
ζ. x 2 + 12x + 32 η. x 2 − 10x + 24
θ. x 2 + 6x + 8 ι. x 2 − x – 72
Συνδυαστικές & Άλλες
24. Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις:
α. αβ 2 – αγ 2 β. x 4 – 64x 2 y 2
γ. x 3 – x(y – z) 2 δ. x 3 y – xy 3
ε. x 3 – 9x στ. 2x 3 – 18xy 2
ζ. 5α 3 – 5αx 2 η. 81x 4 – 16y 4
θ. 3x ν+2 – 12x v
25. Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις:
α. x 2 – 4y 2 – x – 2y β. αx 2 + βy 2 – αy 2 – βy 2
γ. x 3 – x 2 y – xy 2 + y 3 δ. αx 2 – βx 2 – α – β
ε. α 2 – β 2 – α – β στ. 3x 3 + 6x 2 – 9x
ζ. x 2ν+1 – xy 2 η. 9x 2ν+2 – 4y 2ν+2
θ. x 2 – y 2 + ω 2 + 2xω ι. x 2 – y 2 – 2αy – α 2
ια. x 2 + y 2 – 2xy + 2x – 2y + 1 ιβ. 4α 2 – 4αβ + β 2 – 9α 2 β 2
ιγ. 1 – x 2 + 2xy – y 2 ιδ. α 2 + x 2 – β 2 – y 2 – 2αx + 2βy
26. Ομοίως για τις παραστάσεις:
α. x 4 – 7x 2 + 10 β. 4x 4 – 4x 3 + x 2
γ. 2x 2 – 5x + 3 δ. 4x 3 – xy 2
ε. x 3 + x 2 – 4x – 4 στ. x 3 – 6x 2 y + 9xy 2
ζ. x +[pic] – 2 η. y 3 – 2y 2 – 5y + 6
θ. α 2 + 2αβ + β 2 − x 2 + 4x − 4 ι. x 2 − 2xy − 3y 2
ια. x 3 − 7x + 6 ιβ. x 4 + x 2 + 1
27. Ομοίως:
α. (α 2 + β 2 + γ 2) 2 – 4α 2 β 2 β. (3x – 1)(x + 1) 2 – 9(3x – 1)
γ. (x 2 + 3) 2 – 16x 2 δ. (α 2 + β 2) 2 – 4α 2 β 2
ε. (x 2 – 4) 2 – (3x – 2)(x + 2) 2 στ. (α 2 + β 2 + γ 2) 2 – 9α 2 β 2
ζ. x 3 – 1 + x 2 – 1 – (x – 1) 2 η. (x + 1) 3 – x 2 – 1
θ. (x 2 – 4) 2 – (x + 2) 2 ι. (x 2 – 3x + 1) 2 – 1
ια. (x 2 – 4) 2 – (x + 2) 2 ιβ. (x 2 – 25)(x + 5) – 25(x – 5)
ιγ. 2(α + 5) 2 + 20(α + 5) + 50 ιδ. (α + β) 2 + 2(α + β)(α – β) + (α – β) 2
στ. (2x – 3)(3x – 5) + 9x 2 – 25 – (5 – 3x)(3x + 2)
28. Αν ισχύει α 2 + β 2 = 2αβ, ποιο από τα παρακάτω είναι σωστό;
Α. α = 0 ή β = 0
Β. α = 0 και β = 0
Γ. α = 1 και β = 1
Δ. α = β
Ε. Κανένα από τα προηγούμενα.
29. Να λύσετε τις εξισώσεις:
α) χ2 + χ = 0 β) 2χ2 +6χ = 0 γ) 3χ - 7(χ2 - χ) = (5 - 4χ)χ δ) 3χ2 -12χ = 0
ε) 3χ2 = 9χ στ) 4χ2 = -24χ ζ) 6χ2=42χ η) 3χ2-5χ = χ2-3χ θ) χ2 + 6χ = 4χ2 -9χ ι) -8χ2 + 5χ = -12χ2 + χ ια) 5(χ2 - 3χ) = 4χ(χ - 2) ιβ) 11χ(5 - 4χ) = 7(5χ - 6χ2) ιγ) 5χ - 4χ(χ - 3) = χ2 - 2(χ2 - χ) ιδ) 2χ2 -7χ = 3χ-3χ2
30. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
α) α2 + β2 + 2αβ - 2α - 2β
β) χ2 + y2 - χ + y - 2xy γ) 4α2 - 6α + β2 - 3β + 4αβ δ) χ2 - 6xy + 9y2 - 2χ + 6y
31. Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω τριώνυμα:
α) χ2 +7χ + 12 β) χ2 - χ-30 γ) χ2 -13χ + 40 δ) χ2+9χ-22 ε) χ2-3χ-54 στ) χ2 -16χ + 48
32. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
α) 3χ2 - 6χ + 3 β) αχ2 + 2axy + ay2 γ) 2χ3-4x2y + 2xy2 δ) α3β + 2α2β2 + αβ3 ε) x4y + 2x3y2 +x2y3 στ) ax3y - 2ax2y2 + axy3
33. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
α) χ3 + 6χ2 + 9χ β) 4α3+4α2+α γ) 3x3y + 3xy3 + 6x2y2 δ) 18β4 -24β3 +8β2 ε) α4 -2α2β2 +β4 στ) x8-2x4y4 + y8
34. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
α) (χ + y)2 + 9(χ + y) +14 β) (α + β)2 - 3(α + β) - 28 γ) 2(λ - μ)2 - 14(λ - μ) + 24 δ) -(χ + y)2 - 6(χ + y) +16
35. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
α) χ6 + 7χ3 -8 β) χ6 -7χ3 -8 γ) χ2 + 9χ + 20 - αχ - 4α δ) χ2+5χ-6-ωχ + ω ε) χ2 +χ-12-2λχ2 +18λ στ) χ2-11χ + 18-αχ2+4αχ-4α
36. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
α) 2α3 + 8α2 + 8α β) 3χ3 -6χ2 +3χ γ) 16x2y + 72xy2+81y3 -2χ δ) χ2 -6x + 9-y2
ε) y2 - χ2 -10y + 25
37. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
38. α) 2αβ3+6α2β2+8α4β4 β) 4α2 (β2 -1) + 4β2 (1 - β2) γ) 3χ3 (χ2 - χ +1) + 2χ2 (χ - χ2 -1) + +χ(—χ2 +χ-1) δ) α3 - 5α2 - 4α + 20 ε) χ3 +3χ2 - 3-χ στ) α4 + α2 - 20 ζ) α2 + 4αβ2 + 4β2 -1 η) 4(α + β)2 -9(α-β)2 Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις :
αχ2 – αψ2 χα3 – χβ3
χ6 – ψ6 2κ3 + 16λ3
32ν4 – 8μ2 75αβ3 – 27αβ
αχ4 – α4χ 24χ3 + 81ψ3
α6 – α3 2χ4 – 18χ2
39. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις :
α(χ – ψ) + χ2 – ψ2 (α – β)2 + α2 – β2
χ4 – χ2 + χ + 1 αβ - β2 + α3 – β3
χ5 – 8χ2 + χ4 – 16 χ3 + χ2 + 5χ + 125
4χ4 + 8χ6 + ψ3 – ψ2 κ3– 2κ2 + – 27λ3 + 18λ2
40. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις : (Τέλεια τετράγωνα)
χ2 + 2χ + 1 4α2 – 4α + 1
25κ2 + 20κ + 4 χ2 – χ + [pic]
18 + 12χ +2χ2 5χ4 – 100χ2 + 500
(α + β)2 + 2(αβ + β2) + β2 (χ + ψ + 1)2 – 2(χ + ψ + 1) + 1
[pic]χ10 + χ5 + 1 α3 – 4 α2 + 4α
41. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις : (Τέλεια τετράγωνα, διαφορά τετραγώνων )
χ2 + 2χ + 1 – 9ψ2 25α2 – χ2 + 4χψ - 4ψ2
49χ2 + 64ψ2 – 112χψ – ψ4 γ2 – α2 – 2αβ – β2
χ2 +6χψ + 9ψ2 – (9χ2 – 6χψ +ψ2)
42. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις, αφού πρώτα κάνετε τις πράξεις.
2χ(2χ2 – 4) + χ3 – 2χ (α + 1)(α – 1) – (α – 1)(α2 + α +1)
(χ + ψ)3 – χ3 – ψ3 χ2(χ + 6) – χ3 – 8χ
(α + β)3 – α(α – β)2 – β(β – α)2 (2χ + 1)2 – χ(χ – 2) -1
(2α + 3β)(2α – 3β) – 4α(2α – 3β) (α + β)2 – α(α – β)
(α – β )2 - β(α + β) (α + β)2 – (β + γ)2 – (α – γ)(α + γ)
43. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις:
χ(χ + 3) + 2(χ + 3) χ3(χ + 1) – χ(χ + 1)
α(χ + ψ) + β(χ + ψ) χ(α – β) + ψ(β – α)
(χ – 1)(χ – 2) - (1 – χ)(2χ + 1) (2ψ + 2)(ψ – 6) – (3ψ + 3)(2 – ψ)
(α – β)3 + (α – β) χ(χ – α)2(χ + 2α) –χ2(χ – α)(χ + 2α)2
α2(α – β)β3 + α(α – β)2β (χ + ψ + 1) + (χ + ψ +1)χ + (χ + ψ + 1)ψ
44. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις : «Ομαδοποίηση»
2α + 4αβ + 6β + 3 αβ – βγ + χα –χγ
α3β2γ + α2βγ + 2αβ + 2 4χ2ψ + 10χ – 6χψ2 - 15ψ
αβ + βχ +α + γα +γχ + χ χ2 – χ - ψχ +ψ + ω – ωχ
χ5 – 4χ4 + 3χ3 – 12χ2 - χ + 4 α3 + α2 + (α + 1)(α + 2)
αβ + βγ + αγ + γ2 + (β + γ)(α + β) χ2 + (α + β)χ + αβ
45. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις :
(Χρησιμοποιήστε τις ταυτότητες: α2 – β2 = (α – β)(α + β) , α3 – β3 = (α – β)(α2 + αβ +β2) και α3 + β3 = (α + β)(α2 – αβ + β2) )
α2β2 – 4 16χ4 – 81ψ2
1 – 8χ3 64 +125α3
36ω2 - 104 27α3 – 1000
216χ6 + ψ3 (α + β)2 – 1
49χ2ψ4 – 64 [pic]
0,001χ3 – 0,064ψ3 [pic]
46. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις :
χ2 – (χ +3ψ)2 (α + β)2 – (β + γ)2
(χ + 2)3 – (ψ + 2)3 (χ + 1)3 + 1
(5χ + 3ψ)2 – (3χ + 5ψ)2
Γενικές παρατηρήσεις στην παραγοντοποίηση.
• Για να παραγοντοποιήσετε ένα πολυώνυμο πρώτα θα εξετάσετε αν υπάρχει κοινός παράγοντας από όλους τους όρους. Τον παράγοντα αυτό, αν υπάρχει, τον βγάζετε έξω από την παρένθεση. Ύστερα θα εξετάσετε αν το πολυώνυμο μέσα στη παρένθεση παραγοντοποιείται με μια από τις άλλες περιπτώσεις που ακολουθούν.
• Αν ένα πολυώνυμο έχει δυο όρους, είναι πολύ πιθανόν να είναι διαφορά τετραγώνων ή άθροισμα κύβων ή διαφορά κύβων.
• Αν ένα πολυώνυμο έχει τρεις όρους έχει μεγάλη πιθανότητα να είναι τετράγωνο αθροίσματος ή διαφοράς ή τριώνυμο.
• Αν ένα πολυώνυμο έχει τέσσερις όρους τότε είναι πιθανόν να γίνεται παραγοντοποίηση κατά ομάδες.
• Αν ένας όρος βγαίνει ολόκληρος κοινός παράγοντας, χωρίς το πρόσημο του, στη θέση του μένει το +1 ή το –1 ανάλογα με το πρόσημο του όρου
π.χ α3 –3α2 + α = α(α2 – 3α + 1) ή χψ – ψ = ψ(χ – 1).
• Μπορούμε να κλείσουμε δυο αριθμούς σε παρένθεση με το πλην μπροστά, αρκεί να αλλάξουμε το πρόσημο τους δηλαδή α – β = - (-α +β) ή καλύτερα α – β = - (β – α) και – α – β = - (α + β). Αυτή η παρατήρηση είναι πολύ χρήσιμη στη παραγοντοποίηση όπως φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα:
χ2 – ψ2 + ψ – χ = (χ – ψ)(χ + ψ) – (χ – ψ) = (χ – ψ)(χ + ψ – 1)
• Μερικές παραγοντοποιήσεις γίνονται αν προσθέσουμε και αφαιρέσουμε στο πολυώνυμο ένα κατάλληλο μονώνυμο
π.χ 4α4 + β4 = (2α2)2 + (β2)2 + 4α2β2 - 4α2β2 = (2α2 + β2)2 – (2αβ)2 =
= (2α2 + β2 – 2αβ)( 2α2 + β2 + 2αβ).
• Μερικές παραγοντοποιήσεις γίνονται αν διασπάσουμε κάποιον όρο του πολυωνύμου σε άθροισμα ή διαφορά δύο άλλων
π.χ. χ4 – 5χ2ψ2 + 4ψ4 = χ4- 4 χ2ψ2 - χ2ψ2 + 4ψ4 = (χ2 – 2ψ2)2 – (χψ)2 =
(χ2 – 2ψ2 – χψ)(χ2 – 2ψ2 + χψ) εδώ διασπάσαμε το -5 χ2ψ2 σε - 4χ2ψ2 - χ2ψ2 .
• Προσέξτε στις ταυτότητες α3 + β3 = (α + β)(α2 – αβ + β2) και
α3 - β3 = (α - β)(α2 + αβ + β2). Όπως βλέπετε όταν στο β΄ μέλος έχουμε παράγοντα το α + β τότε το γινόμενο αβ παίρνει πρόσημο πλην(-), ενώ όταν έχουμε παράγοντα α – β το γινόμενο αβ παίρνει συν (+).
• Άθροισμα τετραγώνων δεν αναλύεται σε γινόμενο παραγόντων.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Στα παρακάτω πολυώνυμα να βγάλετε κοινό παράγοντα τον ΜΚΔ των συντελεστών των όρων τους.
|i) 2α5 – 10 |ii) 24κ – 16λ |
|iii) 15 + 20μ |iv) 220ω2 +33t3 |
|v) 3x2 – 9x + 12 |vi) 14 + 49β +70α |
|vii) 4ρ – 6ρ3 + 8 |viii) 26μ2 – 39ν |
|ix) 2(3x-2y)(x-y)-3(2x+y)(y-x) |x) 6x(x+1)4-2x2(x+1)3+12x(x+1)5 |
2. Να κάνετε παραγοντοποίηση τα παρακάτω πολυώνυμα.
|i) 6αχ + 3α |ii) 2α5 – 10α |iii) 24κ2λ – 16κλ2 |
|iv) 15μ2 + 20μ |v) 220ω2 +33ω3 |vi) 3x2 – 9x + 12x3 |
|vii) 26μ2 – 39μ |viii) 25z2 – 75 z |ix) α2 – α |
|x) α3 – α2 – α |xi) 14α2 + 49αβ +70αβ3 |xii) 4νρ – 6ν 2 ρ3 + 8ρ2ν |
3. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις, αφού πρώτα κάνετε τις πράξεις:
|i) 2χ(2χ2 – 4) + χ3 – 2χ |ii) (α + 1)(α – 1) – (α – 1)(α2 + α +1) |
|iii) (χ + ψ)3 – χ3 – ψ3 |iv)χ2(χ + 6) – χ3 – 8χ |
|v) (α + β)3 – α(α – β)2 – β(β – α)2 |vi) (2χ + 1)2 – χ(χ – 2) -1 |
|vii) (2α + 3β)(2α – 3β) – 4α(α – 3β) |viii) (α + β)2 – α(α – β) |
|ix) (α – β )2 - β(α + β) |x) (α + β)2 – (β + γ)2 – (α – γ)(α + γ) |
|xi) αx+βy+αy+βx |xii) 2x2+x2y-3xy-6x+5y+10 |
|xiii) 5x3y+10xy3+5x2y2-2x2-4y2-2xy | |
4. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
|i) 2α(α+β)-α-β |ii) (x+y)-2x2(x+y) |
|iii) 5x(x-4)-20x2(4-x) |iv) (x+1)(x-2)-5x(x-2)2-3(x-2) |
|v) 6x2+xy+18xk+3yk |vi) x+y-x2-xy |
|vii) x2-αx-α2y+αxy |viii) 8x3y-24y2-7αxy+21α |
|ix) x3+x2+x+1 |x) 24x4-2x3+3x-3 |
5. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις:
|i) χ(χ + 3) + 2(χ + 3) |ii) χ3(χ + 1) – χ(χ + 1) |
|iii) α(χ + ψ) + β(χ + ψ) |iv) χ(α – β) + ψ(β – α) |
|v) (χ – 1)(χ – 2) - (1 – χ)(2χ + 1) |vi)(2ψ + 2)(ψ – 6) – (3ψ + 3)(2 – ψ) |
|vii) (α – β)3 + (α – β) |viii) χ(χ – α)2(χ + 2α) –χ2(χ – α)(χ + 2α)2 |
|ix) α2(α – β)β3 + α(α – β)2β |x) (χ + ψ + 1) + (χ + ψ +1)χ + (χ + ψ + 1)ψ |
6. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις :
|i) 2α + 4αβ + 6β + 3 |ii) αβ – βγ + χα –χγ |
|iii) α3β2γ + α2βγ + 2αβ + 2 |iv) 4χ2ψ + 10χ – 6χψ2 - 15ψ |
|v) αβ + βχ +α + γα +γχ + χ |vi) χ2 – χ - ψχ +ψ + ω – ωχ |
|vii) χ5 – 4χ4 + 3χ3 – 12χ2 - χ + 4 |viii) α3 + α2 + (α + 1)(α + 2) |
|ix) αβ + βγ + αγ + γ2 + (β + γ)(α + β) |x) χ2 + (α + β)χ + αβ |
7. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις :
|i) α2β2 – 4 |ii) 16χ4 – 81ψ2 |iii) 1 – 8χ3 |
|iv) 64 +125α3 |v) 36ω2 - 104 |vi) 27α3 – 1000 |
|vii) 216χ6+ ψ3 |viii) (α + β)2 – 1 |ix) 49χ2ψ4 – 64 |
|x) [pic] |xi) 0,001χ3 – 0,064ψ3 |xii) [pic] |
8. Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις παραστάσεις:
|i)x2-16y2 |ii)25x2-4 |iii)81k2-9x2 |
|iv)25x2y2-16 |v)x4-16y4 |vi)x4-1 |
|vii)[pic] | | |
9. Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις παραστάσεις:
|i)(x-1)2-4 |ii)4x2-(x-2)2 |
|iii)9(2x-1)2-(3x-1)2 |iv)(4x+2y)2-(2x-3y)2 |
10. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις : (Τέλεια τετράγωνα)
|i) χ2 + 2χ + 1 |ii) 4α2 – 4α + 1 |
|iii) 25κ2 + 20κ + 4 |iv) α3 – 4 α2 + 4α |
|v) 18 + 12χ +2χ2 |vi) 5χ4 – 100χ2 + 500 |
|vii) (α + β)2 + 2(αβ + β2) + β2 |viii) (χ + ψ + 1)2 – 2(χ + ψ + 1) + 1 |
|ix) [pic]χ10 + χ5 + 1 |x) χ2 – χ + [pic] |
|xi) (4x+3y)2-(3x+4y)2 |xii) 9x2+12xy+4y2 |
|xiii) (2x+1)2+2(2x+1)+1 |xiv) (x+2)3-8 |
11. Να βρείτε ποιων διωνύμων τετράγωνα είναι οι παρακάτω παραστάσεις:
|i) x2+8x+16 |ii) 36x2+24x+4 |
|iii) 9x2-12x+4 |iv) 4x4+4x2+1 |
|v) x3-8 |vi) 8x3+27 |
|vii) 1-64x3 |viii) x3-(x-y)3 |
|ix) 2α2 – 7αβ + 3β2 |x) 11χ2 – χ – 10 |
12. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις :
|i) χ2 – (χ +3ψ)2 |ii) (α + β)2 – (β + γ)2 |
|iii) (χ + 2)3 – (ψ + 2)3 |iv) (χ + 1)3 + 1 |
|v) (5χ + 3ψ)2 – (3χ + 5ψ)2 | |
13. Να κάνετε παραγοντοποίηση τα παρακάτω τριώνυμα:
|i) 2α2 – 7αβ + 3β2 |ii) χ2 + χ – 2 |iii) χ2 – χ – 2 |
|iv) χ2 – 3χ + 2 |v) χ2 – 10χ + 16 |vi) -5χ2 + 2χ + 3 |
|vii) 4χ4 – 5χ2 + 1 |viii) χ2 + 3χψ – 4ψ2 |ix) 2χ2 – χ – 1 |
|x) (α + β)2 – 5(α + β) + 6 |xi) α6 + 7α3 – 8 |xii) 11χ2 – χ – 10 |
|xiii) χ2 + χ – 110 |xiv) χ2 – ([pic])χ + [pic] |xv)3(χ2–3)2 – 7(χ2–3) + 2 |
14. Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα:
|i)x2-5x+6 |ii)x2+7x+6 |
|iii)x2-4x+3 |iv)x2+5x+4 |
|v) x2-x-12 |vi) x2+3x-4 |
|vii) 2x2+2x-84 |viii) x2-2x-15 |
15. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις :
|i) αχ2 – αψ2 |ii) χα3 – χβ3 |iii) χ6 – ψ6 |
|iv) 2κ3 + 16λ3 |v) 32ν4 – 8μ2 |vi) 75αβ3 – 27αβ |
|vii) αχ4 – α4χ |viii) 24χ3 + 81ψ3 |ix) 2χ4 – 18χ2 |
16. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις :
|i) α(χ – ψ) + χ2 – ψ2 |ii) (α – β)2 + α2 – β2 |iii) χ4 – χ2 + χ + 1 |
|iv) αβ - β2 + α3 – β3 |v) χ5 – 8χ2 + χ4 – 16 |vi) χ3 + χ2 + 5χ + 125 |
|vii) 4χ4 + 8χ6 + ψ3 – ψ2 |viii) κ3– 2κ2 – 27λ3 + 18λ2 | |
17. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις :
|i) χ2 + 2χ + 1 – 9ψ2 |ii) 25α2 – χ2 + 4χψ - 4ψ2 |
|iii) 49χ2 + 64ψ2 – 112χψ – ψ4 |iv) γ2 – α2 – 2αβ – β2 |
|v) χ2 +6χψ + 9ψ2 – (9χ2 – 6χψ +ψ2) | |
18. Να κάνετε παραγοντοποίηση τις παρακάτω παραστάσεις :
|i) α4 + β4 – 7α2β2 |ii) α4 + β4 – 11α2β2 |
|iii) χ4 + 1 – 3χ2 |iv) χ8 + 4ψ8 |
19. Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις παραστάσεις:
|i) (x-2)3-4(x-2) |ii) x2y2-9y2-x2+9 |
|iii) x5-1+x4-x |iv) 5(4-x2)-(x-2)3 |
20. Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις παραστάσεις:
|i) (3x-6)(x2-1)-(5x-10)(x-1)2 |ii)y2+2x-x2-1 |
|iii)x3+1-x(x+1) |iv)x3+x2+2x+8 |
|v)(x2+xy)2+2x2(x+y)+x2=(x+y+1)2 |vi)(x3-1)-2(x2-1)-(x-1)2 |
|vii)(x2-16)2-(x-4)2 | |
21. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
|Α = x2 – 25y2 |B = 12x2 – 3 |
|Γ = 3(α – β) – (α2 – β2) |Δ = αβ – 3α + 2β2 – 6β |
|Ε = 21 + 4α – α2 |Ζ = αχ – 2αψ +2βψ – βχ |
|Η = 2αβ + 4α – β – 2 |Θ = α3 + 1 |
|Ι = 2β2 – β + 2βα – α |Κ = 4x2(y2 – 1) + 4y2(1 – x2) |
|Λ = x4 – x8 |M = x2y2 + xy – y3 - x2y |
|N = (x + y)2 – w2 + x + y + w |Ξ = x2 – (α – β)x – αβ |
|O = x2 + 3xy + 2y2 + xz +yz |Π = x3 + x2 – 2 |
|Ρ = 6x2 + 5xy + y2 |Σ = 64x4 + y4 |
|T = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) |Y = x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) |
|Φ = x8 – 12x4 + 16 |X = (x – xy)2 + (x – xy)4 – (1 – y)4 |
|Ψ = x7 – x5 – x3 + x |Ω = 4x4 + 3x2y2 + y4 |
22. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
|i) x2-y2-2x+1 |ii) 8x3-y3+6y2-12y+8 |
|iii) x3-6x2+12x-9 |iv) x2-2xy+y2-z2 |
|v) x2+2xy+y2-z2+4z-4 |vi) (x2+y2-z2)2-4x2y2 |
|vii) x3-x2-x+1 |viii) x3+2x2+x+xy+y |
|ix) x3-y3-x+y |x) x3y3-x3-y3+1 |
23. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
|i) αx2+αxy+βx2+βxy |ii) 4x3-9xy2 |
|iii) 9x2+12x2y+4xy2 |iv) x3-5x2+6x |
|v) 9(x+y)2-6y(x+y)+y2 |vi) (5-3x)(x+4)+(3x-5)(2x-3)+9x2-25 |
|vii) (x2-4)2-(3x-2)(3x+2)2 |viii) 5(x2-2x+1)-4(x2-1) |
-----------------------
Γ
................
................
In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.
To fulfill the demand for quickly locating and searching documents.
It is intelligent file search solution for home and business.