كثيرات الحدود – معادلاتها – جذورها
كثيرات الحدود – معادلاتها – جذورها
( 3- 1-) كثيرات الحدود :
نسمي التابع ƒ (x) المعرف بالشكل التالي :
(3-1) ƒ (x) = a nx n +a n-1 x n -+……….+a1x+a0
كثير من حدود من الدرجة n بالنسبة للمتحول x حيث أن n عدد صحيح موجب و a n ≠ 0 حيث (a n . a n-1 . a n-2 . …….*a1*a0) أمثال كثير الحدود و هي أعداد مركبة كذلك x متحول مركب , مثلا" من أجل n = 4 نحصل على كثير حدود من الدرجة الرابعة .
مثال :
ƒ (x) = 2x4 – 3x3 + 5x2 + 2x - 14
ملاحظة :
1- من أجل n = 0 نحصل على كثير حدود من الدرجة صفر و هو عدد ثابت d (x) = a0
2- من أجل n = 1 نحصل على كثير حدود من الدرجة الأولى و يسمى كثير حدود خطي .
( 3 – 1 – 1 ) العمليات على كثيرات الحدود :
ليكن لدينا كثيري الحدود التاليين :
ƒ (x) = a nx n + a n-1 x n - +……….+a1x + a0
g (x) = b mxm + b m-1x m- + ………+ b1x + b0
1- تساوي كثيري الحدود :
نقول عن كثير الحدود ƒ (x) و g (x) أنهما متساويان إذا تساوت أمثلها من أجل جميع قيم x المماثلة أي n = m و i = Γ, n b i = a i ν
2- عملية الجمع ( الطرح ) :
نقول عن كثير الحدود h(x) من الدرجة K ≤ max (n , m ) أنه حاصل جمع (طرح) كثيري الحدود ƒ (x) و g (x) إذا كان
( 3-2) h(x) = ƒ (x) ± g (x)
h(x) = c ky k ± c k-1x k-1………± c0
حيث أمثاله ci تعطى بالعلاقة
ci = ai ± bi .i = 0.k
3- عملية الضرب :
نقول عن كثير الحدود L(x) من الدرجة k = n + m إنه حاصل ضرب كثيري الحدود
ƒ (x) و g (x) إذا كان
(3-3) g (x) . ƒ (x) L(x) =
و نحصل عليه بضرب كل حد من حدود كثير الحدود ƒ (x) بجميع حدود كثير الحدود g (x) ثم نجمع الحدود المتشابهة .
إن حاصل ضرب كثير الحدود ƒ (x) بعدد0 ≠ c هو كثير حدود من نفس الدرجة و لكن أمثاله ناتجة عن ضرب أمثال كثير الحدود ƒ (x) بالعدد c و يكتب c . ƒ (x)
مثال :
ليكن لدينا كثيري الحدود
ƒ (x) = 2x2 – 5x + 5
g (x) = x3 – 3x2 + 2x – 5
أوجد مجموعهم و فرقهم و حاصل ضرب ƒ (x) بـــ g (x) و c ƒ (x) حيث c = 5
الحل :
الجمع : ƒ (x) + g (x) h1(x) =
1) h1(x) = x3 – x2 – 2
الطرح : g (x) ƒ (x) - h2(x) =
2) h2(x) = -x3 + 5x2 – 7x + 8
الضرب :
3) L(x) = ƒ (x) . g (x) = 2x5 – 11x4 + 22x3 – 29x2 + 31x – 15
4) C ƒ (x) = 5 ƒ (x) = 10x2 – 25x + 15
(3-1-2) خواص عمليتي الجمع و الضرب لكثيرات الحدود :
1- الخاصة التبديلية : من أجل أي كثير حدود ƒ (x) و g (x) يتحقق
ƒ (x) + g (x) = g (x) + ƒ (x)
ƒ (x) . g (x) = g (x) . ƒ (x)
2- الخاصة التجميعية : من أجل أي كثيرات حدود ƒ (x) و g (x) و h(x) يتحقق :
ƒ (x) + [ g(x) + h(x) ] = [ƒ (x) + g(x) ] + h(c)
ƒ (x) . [ g(x) + h(x) ] = [ƒ (x) . g(x) ] . h(c)
3- الضرب توزيعي على الجمع : من أجل أي كثيرات حدود ƒ (x) و g (x) و h(x) يتحقق :
[ƒ (x) + g(x) ] h(c) = ƒ (x) h(c) + g(x) h(x)
h(x) . [ƒ (x) + g(x) ] = h(x) . ƒ (x) + h(x) . g(x)
4- من أجل أي كثيري حدود ƒ (x) و g (x) يوجد كثير حدود h(x) يحقق المساواة التالية :
ƒ (x) = g(x) + h(x)
(3-1-3) قسمة كثيرات الحدود :
ليكن ƒ (x) و g (x) كثير حدود حيث g(x) ≠ 0 و درجة كثير الحدود ƒ (x) أكبر أو تساوي درجة كثير الحدود g(x) فإنه ينتج عن قسمة ƒ(x) على g(x) كثيري حدود h(x) و r(x)
ƒ(x) = g(x) h(x) + r(x)
حيث h(x) و r(x) يتعينان بشكل وحيد . و درجة كثير الحدود r(x) أصغر من درجة كثير الحدود g(x) .
و نسمي كثير الحدود ƒ(x) بالمقسوم و كثير الحدود g(x) بالقاسم ( أو المقسوم عليه ) و كثيرا الحدود h(x) بحاصل القسمة و كثير الحدود r(x) بالباقي القسمة .
مثال1 :
ليكن لدينا كثير الحدود :
ƒ(x) = 6x4 + x3 – 5x2 + 6
g(x) = 2x3 + x2 – 2x + 2
أوجد حاصل قسمة ƒ(x) على g(x)
الحل :
يمكن إتمام عملية القسمة بالشكل التقليدي التالي :
6x4 + 1x3 – 5x2 + 0x + 6
2x2 – x2 – 2x + 2
± 6x4 ± 3x3 ± 6x2
3x + 2
4x3 + x2 – 6x + 6
4x3 ± 2x2 ± 4x ± 4
3x2 – 2x + 2
ينتج :
ƒ(x) = g(x) (3x +2 ) + ( 3x2 – 2x + 2 )
حيث نلاحظ :
h(x) = 3x + 2
r(x) = 3x2 + 2x - 3
مثال2:
ليكن لدينا كثيري الحدود
ƒ(x) = x3 + 4x2 + x – 6
g(x) = x2 + 2x – 3
أوجد حاصل قسمة ƒ(x) على g(x)
الحل :
ƒ(x) = g(x)(3x + 2 ) = g(x) . h(x)
نلاحظ
r(x) = 0
(3-1-4) القواسم و القاسم المشترك الأعظمي :
ليكن لدينا كثيري الحدود غير معدودين ƒ (x) و g(x) نسمي كثير الحدود g(x) قاسم لكثير الحدود ƒ (x) إذا كان باقي قسمة ƒ (x) على g(x) معدم أو كثير الحدود g(x) قاسما" لكثير الحدود ƒ (x) عندما فقط توجد كثير حدود h(x) يحقق العلاقة :
(x) = g(x) . h(x) (4-3)ƒ
حيث نلاحظ :
r(x) = 0
تحقق العلاقة (4-3) يعني أن كلا من g(x) و h(x) قاسم لـــ (x)ƒ و (x)ƒ يقبل القسمة على g(x) و .h(x)
إذا كان لدينا كثيري حدود 1(x)ƒ و 2(x)ƒ نقول عن كثير حدود g(x) أنه قاسم مشترك لكثيري الحدود 1(x)ƒ و 2(x)ƒ إذا كان قاسما" لكل من 1(x)ƒ و 2(x)ƒ أي يوجد كثيري حدود h1(x) و h2(x) بحيث يكون :
1(x) = g(x) h1(x) ƒ
2(x) = g(x)h2(x)ƒ
كما نسمي g(x) قاسم مشترك أعظم لكثيري الحدود 1(x)ƒ و 2(x)ƒ إذا كان يقبل القسمة على كل قاسم مشترك آخر gi(x) لكثيري الحدود 1(x)ƒ و 2(x)ƒ.
الخواص الأساسية لقسمة كثيرات الحدود :
1- إذا كان(x)ƒ يقبل القسمة على g(x) و g(x) يقبل القسمة على h(x) فإن (x)ƒ يقبل القسمة على h(x)
2- إذا كان(x)ƒ يقبل القسمة على g(x) و g(x) يقبل القسمة على (x)ƒ فإن العلاقة التالية محققة .
(3-5) (x) = c . g(x) ; c≠0 ƒ
و إذا تحققت العلاقة (3-5) فإن كلا من (x)ƒ و g(x) يقبل القسمة على الآخر .
3- إذا كان(x)ƒ يقبل القسمة على g(x) فإن جداء (x)ƒ بأي كثير حدود آخر يقبل القسمة على g(x)
4- إذا كان كلا من 1(x)ƒ و 2(x)ƒ يقبل القسمة على g(x) فإن مجموعها و فرقهما و جدائهما يقبل القسمة على g(x)
5- كل كثير حدود يقبل القسمة على كثير حدود من الدرجة الصفر أي يقبل القسمة على عدد c≠0
6- إذا كان(x)ƒ يقبل القسمة على g(x) فإن (x)ƒ c يقبل القسمة على g(x) حيث c≠0
7- إن كل قاسم لأحد كثيري الحدود (x)ƒ و (x)ƒc مع c≠0 يكون قاسما" لكثير الحدود الآخر
و لإيجاد القاسم المشترك الأعظم لكثيري الحدود (x)ƒ و g(x) نتبع الخطوات التالية :
1- لنفرض أن درجة كثير الحدود (x)ƒ أكبر أو تساوي درجة كثير الحدود g(x) فعندئذ نقسم (x)ƒ عل g(x) و ليكن ناتج القسمة h(x) و باقي القسمة r(x)
2- نقسم g(x) على r(x) و ليكن الناتج القسمة h1(x) و الباقي r1(x)
3- نقسم r(x) على r1(x) و ليكن الناتج h2(x) و الباقي r2(x)
4- نستمر في هذه العملية حتى نصل إلى باقي rn(x) يقسم rn-1(x) يكون ناتج القسمة hn+1(x) و بذلك يكون rn(x) هو القاسم المشترك الأعظم لكثير الحدود (x)ƒ و g(x) و نلخص الخطوات السابقة كما يلي :
(x) = g(x)h(x) + r(x)ƒ
g(x) = r(x)h1(x) + r1(x)
(6-3) r(x) = r1(x)h2(x) + r2(x)
- - - -
rn-2(x) = rn-1hn(x) + rn(x)
rn-1(x) = rn(x)hn+1(x)
حسب تعريف القاسم المشترك الأعظم يمكننا القول بأنه إذا كان هنالك قاسمين مشتركين أعظميين ŕn(x) و r"n(x) لكثيري الحدود (x)ƒو g(x) فإن :
ŕn(x) = cr"n(x) ; c≠0
و ذلك بالاعتماد على الخاصة الثانية من خواص قسمة كثيرات الحدود
كما يمكننا القول بأن كثيرا حدود يكونان أوليين فيما بينهما إذا كان القاسم المشترك الأعظم لهما هو كثير حدود من الدرجة صفر
مثال : أوجد القاسم المشترك الأعظم لكثيري الحدود التاليين :
= x5 + x4 + 2x3 + 2x2 – x – 1 (x)ƒ
g(x) = x4 + x3 + 2x2 + x – 1
الحل :
بما أن درجة (x)ƒ أكبر من درجة g(x) فإننا نقسم (x)ƒ على g(x) فنجد أن
x5 + x4 + 2x3 + 2x2 – x – 1
± x5 ± x4 ± 2x3 ± x2 ± x x4 + x3 +2x2 + x - 1[pic]
x= h(x) r(x) = x2 - 1
و بالتالي فإن :
h(x) = x , r(x) = x2 – 1 = (x-1)(x+1)
الآن نقسم g(x) على r(x) فنجد
x4 + x3 + 2x2 + x-1
x2 - 1
± x4 ±x2
x2 +x+3=h1(x) x3 + 3x2 +x-1
±x3 ±x
3x2 + 2x -1
±3x2 ±3
2x + 2 = r1(x)
و بالتالي فإن :
h1(x) = x2 + x + 3 , r1(x) = 2x + 2 = 2(x+1)
نلاحظ أن : r(x) = (x-1)(x+1) = r1(x)1/2(x-1)
فإذا وضعنا في العلاقة الأخيرة h2(x) = 1/2(x-1) بحسب العلاقات (3-6) فإن r1(x) هو القاسم المشترك الأعظم المشترك لكثيري الحدود (x)ƒ و g(x) لأن r1(x) يقسم r(x)
مثال :
أوجد القاسم المشترك الأعظم لكثير الحدود
(x) = x4 + 3x3 – x2 – 4x – 3 ; g(x) = 3x2 + 10x2 + 2x – 3ƒ
ملاحظة :
عند تطبيق طريقة إقليدس على كثيرات حدود ذات أمثال صحيحة , نستطيع ضرب المقسوم أو اختصار المقسوم عليه على أي عدد غير صفري , و ذلك للتخلص من الأمثال الكسرية و يمكن إجراء ذلك خلال عملية القسمة نفسها
لنقسم (x)ƒ على g(x) و قبل ذلك نضرب (x)ƒ ب 3 :
3x4 + 9x3 – 3x2 – 12x – 9
3x3 +10x2 +2x - 3 3x4 ± 10x3 ± 2x2 ± 3x
x + 1 = h(x)
- x3 – 5x2 – 9x -9
نضرب الباقي في 3 و نتابع عملية القسمة + 3x2 + 15x2 + 27x +27
3x3 ± 10x2 ± 2x ± 3
r(x) = 5x2 +25x + 30
نختصر الباقي r(x) على 5 يصبح الباقي r(x) = x2 + 5x + 6 ثم نقسم g(x) على r(x) كما يلي :
3x3 + 10x2 + 2x – 3
3x3 ± 15x2 ± 18x x2 + 5x + 6
3x – 5 = h1(x)
- 5x2 – 16x - 3
± 5x2 ± 25x ± 30
r1(x) = 9x + 27
نختصر r1(x) على 9 ينتج r1(x) = x + 3 و بالتالي
h(x) = 3x – 5
نقسم r(x) على r1(x) فينتج
r(x) = x2 + 5x + 6 = (x+3)(x+2) = r1(x)(x+2)
و الباقي صفر إذا" القاسم المشترك الأعظمي r1(x) = x + 3
(3-2) جذور كثيرات الحدود و نظريتا الباقي و القاسم :
(3-2-1) جذور كثير الحدود :
إذا كان (x)ƒ كثير حدود فإننا نسمي القيمة x0 بجذر أو صفر كثير الحدود (x)ƒ إذا انعدم في x0 أي إذا تحقق (x0) = 0ƒ و للحصول على جذور (أصفار) كثير الحدود فإننا نضع (x) = 0ƒ معادلة كثيرا الحدود المذكور و نبحث عن قيم x0 التي تحققها , أما تلك القيم فقد تكون حقيقية أو مركبة
(3-2-2) نظرية بيزو :
باقي قسمة كثير الحدود (x)ƒ على كثير الحدود الخطي (x-a) يساوي قيمة كثير الحدود (x)ƒ من أجل x=a
البرهان :
لدينا : = (x-a)q(x) + R (x)ƒ
و نظرا" لأن تلك العلاقة صحيحة من أجل كل قيم x و منها x=0 يكون :
(a) = (a-a)q(x) + R ƒ
(a) = R ƒ
مثال :
ليكن = x3 + 2x2 – 3x - 4 (x)ƒ و g(x) = x - 2
بالتقسيم (x)ƒ على g(x) نجد
X3 +2x2 – 3x – 4 = (x-2)(x2 + 4x +5) + 6
و هنا R = 6 يمكن الحصول على هذا الناتج بتطبيق نظرية الباقي
(2) = (2)3 + 2(2)2 – 3(2) – 4 = 6 ƒ= R
(3-2-3) نظرية القاسم :
إذا كان (x-a) قاسما" لــ (x)ƒ يكون عندئذ (a) = 0ƒ و بالعكس كان (a) = 0ƒ فإن (x-a) هو قاسم لــ (x)ƒ
البرهان :
لدينا في القسمة و بالاستعانة بنظرية الباقي :
ƒ(x) = (x-a)q(x) + ƒ(a)
إن (x-a) قاسم و هذا يعني أن (a) = 0ƒ و بالعكس , فإذا كان لدينا (a) = 0ƒ فهذا يعني أن (x-a) هو قاسم لــ ƒ(x)
3- التقسيم التركيبي :
يمكن إجراء قسمة كثير الحدود ƒ(x) على ثنائي الحدين (x-a) الخطي و ذلك من خلال إنشاء ثلاثة سطور و بتطبيق الخطوات التالية مستعينين بالمثال التالي :
5x4 – 8x2 – 15x - 6
x-2
1- ترتيب المقسوم ƒ(x) بقوى تنازلية إن لم تكن كذلك و وضع الأمثال بالترتيب في السطر الأول مع الانتباه إلى وضع الصفر كمثال للحدود الناقصة و نضع أيضا" a إلى اليمين في السطر الأول
في مثالنا لدينا ƒ(x) مرتب بقوى تنازلية لنأخذ الأمثال بالترتيب و نضعها في السطر الأول و نضيف a = 2 إلى يمين السطر الأول
5 0 -8 -15 -6 ∟2
لنلاحظ أننا وضعنا صفرا" للحد الناقص الممثل لــ a3x3
2- لنعد كتابة an أمثال xn في السطر الثالث و بنفس العمود فيكون :
∟2 5 0 -8 -15 -6 السطر الأول
10 السطر الثاني
5السطر الثالث
3- لنأخذ الجداء an . a و نضع الناتج في السطر الثاني و العمود الثاني ثم نأخذ مجموع العمود الثاني , فيكون :
5 0 -8 -15 -6 ∟2
10
5 10
4- نعيد العملية بضرب ناتج العملية السابقة بـــ a و نضع الناتج في السطر الثاني تحت an-2 ثم نجمع العمود الثالث و نضع الناتج في السطر الثالث / لنفس العمود
5 0 -8 -15 -6 ∟2
10 20
5 10 12
5- نكرر نفس العملية حتى نصل إلى إضافة آخر ناتج إلى الثابت a0
5 0 -8 -15 -6 ∟2
10 20 24 18
5 10 12 9 12
و تكون الحدود الناتجة أخيرا" أمثال ناتج القسمة q(x) و هو من الدرجة n-1
أما الحد الأخير و هو هنا 12 فهو يمثل الحد الباقي= R ƒ(a) و ناتج القسمة في مثالنا يصبح
q(x) = 5x3 + 10x2 + 12x + 9
R = ƒ(2) = 12
أي :
5x4 – 8x2 – 15x – 6
5x3 + 10x2 + 12x +9 +12/x-2 =
x-2
أو :
5x4 – 8x2 – 15x – 6 = (x-2)(5x3 + 10x2 + 12x +9)
(3-3) – معادلات كثير الحدود و جذورها :
نحصل على المعادلة كثيرة الحدود بوضع كثير الحدود ƒ(x) مساويا" للصفر و الشكل القياسي لمعادلة كثير الحدود هو :
Anxn + an-1xn-1 …….+ a1x + a0 = 0
شكل متعارف عليه حيث تتدرج فيه القوى من الأكبر إلى الأصغر و فيه an ≠ 0 و أمثاله لا تقبل قاسما" لها غير 1± , فمثلا" إذا كان لدينا المعادلة :
-10x5 – 2x2 +6x – 4x3 + 2 = 0
فالشكل القياسي لها هو :
5x5 + 0x4 + 2x3 + x2 – 3x -1 = 0
نحن نعلم سابقا" أن معادلة الدرجة الأولى لها حلا" وحيدا" و أن معادلة الدرجة الثانية لها حلان حقيقيان أو عقديان , سنستعرض فيما يلي للحالة العامة للمعادلات من الدرجة n
نظرية :
نقول عن x0 أنه جذر أو صفر كثير الحدود ƒ(x) إذا تحقق ƒ(x0) = 0 ينتج عن ذلك أن فصل نقاط منحني التابع y = ƒ(x) مع المحور X هي نفسها جذور ƒ(x) = 0
(3-3-1) – النظرية الأساسية في الجبر :
لكل معادلة كثير حدود ƒ(x) = 0 جذر واحد على الأقل , و الجذور قد تكون حقيقية أو عقدية
في الحقيقة , إن معادلة كثير الحدود من الدرجة n لها تماما" n جذر , و هذه الجذور قد لا تكون جميعها متميزة عن بعضها , و عندها نقول إن للمعادلة جذور مشتركة
مثال :
لنبحث عن جذور المعادلة :
x5 – x3 = 0
الحل :
هذه المعادلة من الدرجة الخامسة و لها إذن خمسة جذور , لنكتبها على الشكل :
x5 – x3 = x3(x2-1) = x3(x+1)(x-1) = 0
و الجذور هي :
x3 = x4 = x5 = 0 ; x2 = 1 ; x1 = -1
و هنا نلاحظ أن لدينا جذرا" مكررا" ثلاث مرات
و سوف نستعرض بعض النظريات و العلاقات الخاص بخواص الجذور و الجذور المتوقعة لمعادلة كثير الحدود ثم ندرس في نهاية البحث حل معادلة كثير الحدود ذات الأمثال المركبة من الدرجة الأولى حتى الرابعة
(3-3-2) – نظرية التحليل إلى عوامل خطية :
يمكن تحليل كل معادلة كثير حدود إلى جداء عوامل خطية , لنأخذ مثلا" كثير الحدود ƒn(x) من الدرجة n و حسب النظرية الأساسية في الجبر هناك جذر واحد على الأقل للمعادلة و ليكن x1 هذا يعني إن كثير الحدود (x-x1) قاسم لــ ƒn(x) ( أي R=0 )
إذن :
ƒn(x) = ( x-x1) ƒn-1(x) (1)
حيث ƒn-1(x) كثير حدود من الدرجة n-1 و لكثير الحدود هذا جذر على الأقل و ليكن x2 أي إن (x-x2) قاسم لـــ ƒn-1(x) و
ƒn-1(x) = ( x-x2) ƒn-2(x)
و نعوض في (1) فينتج :
ƒn (x) = ( x-x1)(x-x2) ƒn-2(x)
و نجد أن لكثير الحدود ƒn-2(x) جذر على الأقل و ليكن x3 و هكذا نتابع و نحصل أخيرا" على :
ƒn (x) = ( x-x1)(x-x2)………..(x-xn) ƒ0(x)
حيث ƒ0(x) كثير حدود من الدرجة صفر ( أي عدد ثابت ) و يساوي إلى an أمثال xn في ƒn (x)
أما عدد الحدود فيساوي إلى n حد خطي و نلاحظ أخيرا" إن عدد الجذور التي تجعل ƒn (x) = 0 هو n و هي x1,x2,….,xn و قد يكون منها ما هو مشترك
لنلاحظ أن أية قيمة أخرى مختلفة عن قيم x1,x2,…..,xn لا يمكن أن تعدم أيا" من الحدود الخطية السابقة و بالتالي لا يمكن أن يتجاوز عدد الجذور العدد n درجة ƒn (x)
(3-3-3) – الجذور العقدية :
نظرية :
إذا كان لمعادلة كثير الحدود= 0 ƒ(x)ذات أمثال حقيقية و كان لــ ƒ(x) جذر عقدي من الشكل a + ib يكون المرافق عندئذ a – ib جذرا" أيضا" لـــ = 0 ƒ(x) أي :
ƒ( a+ib) = ƒ( a-ib) = 0
و هذا يعني أن عدد الجذور المركبة لكثير الحدود ذي الأمثال الحقيقية هو عدد زوجي و أن هذه الجذور مترافقة مثنى مثنى و عند تحليل ƒ(x) إلى عوامل جداء خطية تظهر أيضا" هذه الحدود مترافقة مثنى مثنى على الشكل :
[ x – ( a+ib) . [ x – ( a-ib)]
مثال :
إن جذور المعادلة x3 – x2 + x – 0 هي التالية :
x3 = 1/2 - i√3 , x2 = 1/2 + i√3 , x1 = 0
2 2
x3 – x2 + x = ( x - x1)( x - x2)( x -x3) = 0
أي :
ƒ(x) ≠ x[ x - (1/2 + i√3/2)][ x – (1/2 - i√3/2)] = 0
(3-3-4) – الجذور غير العادية :
نظرية :
إذا كان لمعادلة كثير الحدود ƒ(x) = 0 ذات الأمثال العادية جذرا" غير عادي من الشكل a + √b حيث a, b أعداد عادية , و يكون عندئذ مرافق العدد غير العادي , و هو a - √b جذرا" أيضا" للمعادلة
ينتج أيضا" كما في حالة الجذور العقدية إن الجذور غير العادية هي جذور عددها زوجي و هي مترافقة مثنى مثنى
مثال :
المطلوب تشكيل معادلة ƒ(x) = 0 بمعادلات صحيحة و بأصغر درجة ممكنة بحيث يكون √5 و 2 – 3i جذرين لتلك المعادلة
الحل :
لكي تكون الأمثال صحيحة فيجب أن يكون المرافقان √5 و 2 – 3i جذرين للمعادلة التي نريد تشكيلها إذن :
x4 = 2 +3i , x3 = 2 – 3i , x2 = -√5 , x1 = √5
هي جذور المعادلة المطلوبة و منه
ƒ(x) = ( x-x1)( x-x2)( x-x3)( x-x4) = 0
أي
ƒ(x) = ( x - √5)( x + √5)[ x – ( 2 – 3i)][ x – ( 2+ 3i)] = 0
و منه
x4 – 4x3 + 20x – 65 = 0 ƒ(x) =
(3-3-5) – حدود الجذور الحقيقة :
نقول عن العدد الحقيقي L أنه الحد الأعلى للجذور الحقيقية لــ 0 ƒ(x) = إن لم يكن هناك أي جذر حقيقي أكبر من L و نقول عن العدد الحقيقي l أنه الحد الأدنى للجذور الحقيقية لـــ ƒ(x) = 0 إن لم يكن هناك أي جذر حقيقي أصغر من l
إذا كان T جذرا" للمعادلة ƒ(x) = 0 و قسمنا ƒ(x) على ( x-T) باستخدام التقسيم التركيبي و كانت جميع أعداد السطر الثالث موجبة يكون T = L حدا" أعلى للجذور الحقيقية ƒ(x) = 0 أما إذا لم تكن تلك الأعداد موجبة فهذا لا يعني استبعاد احتمال كون T كحد أعلى للجذور
إذا كان t h = -a/3 => z = x – a/3 (3)
و تصبح (2) على الشكل التالي بعد التعويض بــ (3)
(4) x3 + px + q = 0
حيث p = b – a2/3 , q = 2a3/27 – ab/3 + c
نفرض مجهولين مساعدين هما u,v للمعادلة (4) من الشكل:
(5) x = u+v
بحيث تتحقق العلاقة :
(6) u.v = -p/3
نعوض من العلاقة (4) فنحصل
u3 + v3 + 3u2v + 3v2u + p( u+v) + q = 0
(7)
u3 + v3 + q + 3uv( u+v) + p( u+v) = 0
( u3 + v3 + q) + (3uv + p)( u+v) = 0
إن حل المعادلة (7) يؤدي إلى حل المعادلتين
u3 + v3 + q = 0
3uv + p = 0
مع ملاحظة الفرض (5)
(8) u3 + v3 = -q
(9) u . v = -p/3 => u3v3 = -p3/27
نلاحظ من (8) و (9) إن u3 و v3 تحددان جذران لمعادلة تربيعية حيث (8) مجموع الجذرين و (9) جدائها و هي من الشكل
w2 + qw – p3/27 = 0
و حلها كما لاحظنا سابقا" هو
w1.2 = q/2 ±√q2/4+p3/27 : w1 = u3 w2 = v3
و منه :
u = 3√-q/4+√q2/4+p3/27 ; v = 3√-q/2-√q2/4+p3/27
و منه ينتج :
x1 = u1 + v1 = 3√-q/2+√q2/4+p3/27+3√-q/2-√q2/4+p3/27
إن هذا الدستور يحدد جذور المعادلة (4) و يحقق الشرط u . v = -p/3 و لهذا السبب يحسب دوما" u1 ثم من العلاقة u . v = -p/3 نحسب v1
أما الجذرين الآخرين فنجدهم من العلاقات التالية :
x2 = u1ε1 + v1ε2
x3 = u1ε2 + v1ε1
حيث ε1 و ε2 تحسب من الجذر النوني للعدد الصحيح واحد كما يلي:
n√1 = cos 2kл/n + izin2kл/n : k = 0.1.2……
و بحساب الجذر الثالث نجد ( حيث n = 3 )
k = 0 => √1 = 1
k = 1 => ε1 = cos2л/3 + izin4л/3 = -1/2 + i√3/2
ثم نحسب قيمة z3,z2,z1 من العلاقة z = x – a/3
مثال :
حل المعادلة الآتية :
z3 + 3z2 – 3z – 14 = 0 (1)
الحل : حسب القاعدة نفرض :
z = x – a/3 = z – 1
و بالتبديل من (1) نحصل على المعادلة
x3 – 6x – q = 0 : p = -6 : q = - 9
و بحساب
√q2/4 + p3/23 = √81/4 – 216/27 = √49/4 = 7/2
نستنتج منه u1 حيث
u1 = 3√-q/2+√q2/q+p3/27 + 3√q/2+7/2 = 3√8 = 2
و لحساب v1 من العلاقة نجد
u1v1 = -p/3 => v1 = -p/3u = 6/3-2 = 1
و منه
x1 = u1 + v1 = 3 => z1 = x1 – a/3 = 3 + 6/3 = 5
x2 = u1ε1 + v1ε2 = 2(-1/2 + i√3/2) + (-1/2 - i√3/2) =-/3+i√3/2
و منه
=> z2 = x2 – a/3 = -3/2 + i√3/2 + 2 = 1/2 + i√3/2
x3 = u1ε2 + v1ε1 = 2(-1/2 - i√3/2) + (-1/2 + i√3/2) = -3/2-i√3/2
و منه
z3 = x3 – a/3 = -3/2 + i√3/2 +2 = 1/2 - i√3/2
نلاحظ أن x3 مرافق x2
مثال :
x3 + 15x + 124 = 0
نلاحظ مباشرة أن q = 124 : p = 15
و منه
u1 = 3√-q/2+√q2/q+p3/27 = 3√-62+√(62)2+125 = 3√1 = 1
و حسب العلاقة :
=> u1v1 = -p/3 => v1 = -p/3u1 = -5
=> x1 = u1 + v1 = 1- 5 = -4
x2 = u1ε1 + v2ε2 = 1(-1/2 + i√3/2) - 5(-1/2 - i√3/2) = 2 + i3√3
و منه x3 يساوي
x3 = 2 - i3√3
لأنه مرافق x2
ملاحظة هامة :
في حالة ما ضمن الجذر التربيعي أي √q2/4+p3/27 سالب
نتبع الطريقة التالية : نعلم أن كل معادلة تكعيبية يمكن ردها إلى الشكل
x3 + px +q = 0 (1)
حيث p و q ثابتان و نجد جذور هذه المعادلة تعتمد على الخاصة المثلثية التالية
Cos3θ = 4cos3θ – 3cosθ
و بترتيب هذه العلاقة بالشكل التالي
Cos3a – 3/4cosθ – 1/4cos3θ = 0
و يمكن أن نقارن هذه المعادلة بالمعادلة التكعيبية (1) و لكن بما أن x ليس من الضروري أن تكون أصغر أو يساوي الواحد بالقيمة المطلقة بينما 1cosa1≤1 لذلك نفرض أن x = my حيث 1y1≤1 و بذلك تصبح المعادلة التكعيبية بالشكل التالي
m3y3 + pmy + q = 0
y3 + p/m2 y + q/m30
بالمقارنة بين هذه المعادلة و المطابقة المثلثية نجد أن
Y = cosθ (2)
p/m2 = -3/4 (3)
p/m3 = -1/4cos3 (4)
من العلاقة (3) نجد أن
m = 2√-p/3
و من المعادلة (4) نجد أن
Cos3θ = -4q/m3 = -4q/m . 1/m2 = 3q/mp (0)
و لحساب َ نأخذ التجب العكسي للقيمة العددية 3q/mp
و لتكن ג فينتج
ג cos3Q = cos و نستنتج أن
3Q = z + 2kл : k = 0.1.2
=> Q = z/3 + 2kл
إذا"
Q1 = z/3 => x1 = mY1 = mcosQ1
Q2 = Q1 + 2л/3 => x2 = mY2 = mcosQ2
Q3 = Q1 + 4л/3 => x3 = mY3 = mcosQ3
مثال :
أوجد جذور المعادلة
x3 – 2x + 1 = 0
الحل :
نلاحظ p = -2 , q = 1 : نحسب
√q2/4+p3/27 = √1/4-8/27 = √-5/108
نلاحظ ما تحت الجذر سالب لذلك لنتبع الطريقة التالية
M = my : m=2√-p/3 = 1.633 : y = cosθ
حيث θ تحسب من العلاقة :
cos3θ = 3q/mp = 3/1.633-(-2) = -0.9185
لحساب θ نأخذ التجب العكسي لــ (-0.9185) فينتج
cos(3θ) = cos(156.70776)=>
3θ = 156.707769 + 2kл : k = 0.1.2
θ1 = 52235933 = 52014`
θ2 = 52014` + 2л/3 = 172.14
θ3 = 52014` + 4л/3 =292014`
و منه :
x1 = my1 = mcosθ1= 1.633 + 0.6124 = 1.000049
x2 = my2 = mcosθ2 = -1618
x3 = my3 = mcosθ3 = 0.618
تمرين : شكل معادلة 0 =x ) )ƒ بثوابت صحيحة و بأصغر درجة ممكنة بحيث يكون [pic] , [pic]
جذرين لتلك العلاقة.
حتى تكون هذه الجذور للمعادلة يجب أن يكون المرافقان [pic] , [pic] جذرين للمعادلة المراد تشكيلها.
ƒ(x) = a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4
a1 = [pic] a3 = 2 - 3i
a2 = -[pic] a4 = 2 + 3i
a0 = 1
a1 = - (a1 + a2 + a3 + a4 ) = -4
a2 = - (a1a2 + a1a3 + a1a4 + a2a3 + a2a4 + a3a4 )
a2 = 8
( 3 – 4 ) – المعادلات غير الخطية بعدة متحولات:
إن طرق حل جملة معادلات غير خطية بأكثر من متحول يعتمد على شكل الجملة ذاتها.
سوف ندرس حل جملة معادلتين بمتحولين مستعرضين طريقة الحل حسب طبيعة الجملة ومن خلال أمثلة مباشرة.
إن الشكل العام لمعادلة غير خطية ذات متحولين x و y هو :
Ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0
حيث R [pic] ƒ , e , d , c , b , a
من الواضح أنه لا يمكن حل هذه المعادلة إلا بإعطاء قيمة معينة لأحد ولكن إذا كان لدينا معادلة أخرى بمتحولين فإنه يمكننا عندئذ حل الجملة.
1. حل جملة معادلتين إحداهما خطية :
طريقة الحل: نحل أحدى المعادلة الخطية بالنسبة لأحد المتحولين ونعوض في الثانية كما هو موضح في المثال التالي:
أوجد حلول جملة المعادلتين التاليتين:
4x2 + 3y2 = 16 1.
5x + Y = 7 2.
الحل :
لنحل المعادلة (2) بالنسبة ل y
Y = 7 – 5x 3.
لنعوض في (1)
4x2 + 3(7 – 5x)2 = 16
و بالا صلاح
4. 79x2 - 210x + 131 = 0 [pic]
, x1 = - 1 X2 = [pic]
نعوض x1 = + 1 في (2) فنحصل على y = 2 و يكون
2. حل جملة معادلتين كل منهما من الشكل ax2 + by2 = c :
طريقة الحل : نتخلص من حذف احد المتحولين لجمع (طرح) المعادلتين
مثال:
أوجد حل جملة المعادلتين التاليتين :
4x2 + 9y2 = 72 1.
3x2 - 2y2 = 19 2.
الحل : لنضرب (1) ب (2) و (2) ب9 و نجمع المعادلتين:
8x2 + 18y2 =144
27x2 – 18y2 = 171 3.
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
35x2 = 315
من (3) نجد x2 = 9 , إذن3 x1 = [pic]
من أجل x1= 3 نعوض في (1) أيضا:
9x2 = 72 – 36 = 36 و منه y = ± 2
من أجل x2 = -3 نعوض في (1) أيضا:
9x2 = 72 – 36 = 36 و منه y = ± 2
إذن لدينا أربعة حلول وهي الممثلة بالثنائيات (x , y ) التالية:
(3,2 ), (3,-2) ,(-3,2),(-3,-2)
3. حل جملة معادلتين احدهما متجانسة:
نقول عن التعبير الرياضي المماثل لــ 2x2 – 3xy + y2 الذي تظهر فيه جميع حدوده من نفس الدرجة انه متجانس.
إذا ساوى هذا التعبير الصفر فإننا نقول عنه انه معادلة متجانسة.
إذا ضمت جملة المعادلتين معادلة متجانسة فإننا نقوم بحلها بالنسبة لأحد المتحولين ومن ثم نعوض في الثانية.
X2 – 3xy + 2y2 = 0 1.
2x2 + 3xy - y2 =13 2.
الحل:
من (1) لدينا:
(x – y)(x – 2y) = 0
إذن: x = y و x = 2y
من أجل x = y نعوض في (2):
2y2 + 3y2 – y2 = 13
4y2 = 13
Y = ±[pic]
إذن = ±[pic] y = x ولدينا الحل الأول :
[pic] , [pic]) , (-[pic] , -[pic] ) (
من أجل x = 2y نعوض أيضا في (2):
8Y2 + 6Y2 - Y2 = 13
13Y2 = 13
Y = ±1
X = 2Y = ±2
و الحلول هي:
(2,1),(-2,-1)
4. حل جملة معادلتين كلاهما من الشكل d = ax2 + bxy + cy2
لحل هذه الجملة نعالج المعادلتين مع بعضهما البعض للحصول على معادلة متجانسة ثم نعالج هذه المعادلة مع أحدى المعادلتين بنفس الأسلوب السابق.
مثال:
أوجد حل جملة المعادلتين التاليتين:
3x2 + 8y2 = 140 1.
5x2 + 8xy = 84 2.
الحل:
نضرب الأولى بــــ -3 ونضرب الثانية بـــ 5 ثم نجمع:
-9x2 - 24y2 = -420
25x2 + 40xy = 420 3.
_______________________________
16x2 + 40xy - 24y2 = 0
نحل (3):
16x2 + 40xy -24y2 = 8(2x2 + 5xy - 3y2) = 0
= 8(2x - y)(x + 3y ) = 0
أما x = 1/2y , نعوض في (1) :
[pic] y2 + 8y2 = 140
35y2 = 560
Y2 = 16 [pic] y = ±4
X = 1/2 [pic] y = ±2
و الحل هو:
( 2,4 ) , ( -2 , -4 )
و أما x = -3y نعوض في (1) أيضا :
27y2 + 8y = 140
35y2 = 140
Y2 = 4 [pic] y = ±2
إذن x = -3y = ±6
والحل هو: ( 6 , -2 ) , ( -6 , 2 )
5. حل جملة معادلتين كل منهما متناظرة بالنسبة لــ X و Y :
نقول عن المعادلة بمتحولين ومن الدرجة الثانية أنها متناظرة إذا لم تتبدل المعادلة بمبادلة متحوليها كالمعادلة:
2X2 - 3XY + 2Y2 + 5 X + 5 Y = 1
لحل جملة معادلتين متناظرتين نعوض X = U + V و Y = U - V في المعادلتين و نعاملهما مع بعضهما بشكل نتخلص به من V2 .
مثال:
أوجد حل جملة المعادلتين التاليين:
1. x2 + y2 + 3x + 3y = 8
2. xy + 4x + 4y = 2
الحل:
لنلاحظ أن كلا من المعادلتين متناظرة نضع y = u - v و x = u + v و نعوض في الجملة.
(u + v)2 + (u – v)2 + 3(u + v) + 3(u _ v) = 8
(u + v)(u – v) + 4(u + v) + 4(u - v) = 2
أو أيضا :
3. 2u2 + 2v2 + 6u = 8
4. u2 - v2 + 8u = 2
لنتخلص الآن من v2 و ذلك بضرب (4) بـــــ 2 وجمعها مع (3) ينتج:
4u2 + 22u - 12 = 2(2u2 + 11u - 6) = 0
2(2u - 1)( u + 6) = 0
و حلولها هي: u = 1/2 , u = -6
من أجل u = 1/2 نعوض في (4) وينتج :
V2 = u2 + 8u - 2 = 9/4 [pic] v = ±3/2
إذن عندما u = 1/2 و v = - 3/2 نجد :
Y = u -v = -1 , x = u + v = 2
و لدينا الحلين: (-1 , 2 ) و (2 , -1)
ومن أجل u = -6 نعوض في (4) و ينتج:
V2 = u2 + 8u - 2 = -14 [pic] v = ±i[pic]
و إذن عندما v = i[pic] و u = -6 نجد:
x = u + v = -6 + i [pic]
y = u - v = -6 – i [pic]
و عندما u = -6 و v = - i [pic] نجد:
X = u + v = -6 – i [pic]
Y = u – v = -6 + i [pic]
و الحلين هما:
( - 6 + i [pic] , -6 – i [pic])
( -6 – i [pic] , -6 + i [pic])
كما اشرنا أعلاه إن حل جملة معادلات غير خطية تعتمد الأسلوب المناسب لطبيعة الجملة, وقد يناسب الجملة عدة أساليب لحلها, كما قي المثال التالي:
مثال:
أوجد حل حملة المعادلتين التاليتين:
1. x2 + y2 = 25
2. xy = 12
الحل:
نلاحظ أن المعادلتين متناظرة بالنسبة لـــــ x و y , فإننا يمكن أن نحل الجملة كما يلي:
نضرب (2) بـــ 2 و نضيفها إلى (1) فنحصل على:
X2 + 2xy + y2 =49
أو 7 x + y =
و x + y = -7
ثم نضرب (2) بــــ 2 ونضيفها إلى (1) فنحصل على:
X2 - 2xy + y2 = 1
أو x - y = 1 و x - y = -1
و لدينا الجمل التالية:
الحل (4,1) => x+ y = 7
x – y =1 I
الحل (3,4) => x+ y = 7 II
x – y =-1
الحل (-3,-4) => x + y = -7 III
x – y = 1
الحل (-4,-3) => x + y = -7 IV
x – y = -1
أسلوب اخر في الحل:
من (2) لدينا x = 12/y , نعوض في (1) فنحصل على:
X4 - 25x2 + 144 = 0
أو
(x - 4)(x - 3)(x + 3)(x + 4) = 0
و هكذا نجد قيم y المرافقة للقيم الأبعة لــ x المحققة للمعادلة الأخيرة و ذلك بالتعويض في (2)
مثال :
أوجد حل جملة المعادلتين التاليتين :
(1) x3 – y3 = 25
(2) x2 + xy + y2 = 19
الحل :
بقسمة (1) على (2) نحصل على :
(3) x = y + 1
أو
نعوض في (2) و نحصل على :
( y + 1)2 + ( y + 1)y +y2 = 19
أو بالإصلاح :
3y2 + 3y – 18 = 3( y+3)(y-2) = 0
إذن بالتعويض في (3):
من أجل y = -3 لدينا x = -2 و (-2,-3) حل
ومن أجل y = 2 لدينا x= 3 و (3,2) حل
مسائل و تمارين غير محلولة
1- تأكد من إن لكل من جمل المعادلات التالية حل وحيد ثم أوجده باستخدام طريقة التعويض و طريقة توحيد المعاملات و قاعدة كرامر و المصفوفات :
الجواب 3x1 + 2x2 = 1 x1 = -2
5x1 + 4x2 – 4 x2 = 3.5
الجواب x1 = , x2 = 2 , x3 = 3
x1 + 2x2 + 3x3 = 41
2x1 + x2 + x3 = 1
-x1 + 2x2 + x3 = 6
الجواب x1 = 1 , x2 = -1 , x3 = 2
2x1 – 2x2 + x3 = 6
x1 – x2 + 3x3 = 8
4x1 + 2x2 – x3 = 0
2- أوجد حل جملة المعادلات التالية باستخدام طريقة المعاملات المنفصلة , أي بتحويل [A B] إلى [I C]
الجواب x1 = 1/2 , y = -1 , z = 3/2
x – 5y + 3z = 9
2x – y + 4z = 6
3x – 2y + z = 2
3- اختبر أولا" قابلية الحل لكل من جملتي المعادلات التالية ثم أوجد هذا الحل بالاختزال :
الجواب الجملة غير قابلة للحل
x + 2y – 3z = -1
-3x + y – 2z = -7
5x + 3y – 4z = 2
الجواب : x = 3 , y = -2 , z = 1
2x + y – 3z = 1
3x – y – 4z = 7
5x + 2y – 6z = 5
4- هل لكل من جملتي المعادلات التالية حلول غير الحل الصفري و ما هي :
الجواب x1 = -x2 = -x3 = a
2x1 – x2 + 3x3 = 0
3x1 – 2x2 + x3 = 0
x1 – 4x2 + 5x2 = 0
الجواب x1 = -3a , x2 = 0 , x3 = a
x1 – 2x2 + 3x3 = 0
2x1 + 5x2 + 6x3 = 0
5- أوجد حلول جمل المعادلات التالية:
الجواب (1,1) و (2.555,-7/9)
2x2 + y2 + 3x = 6
x – 2y = -1
الجواب (6,3) مكرر
2y2 – 3x = 0
4y – x = 6
الجواب (2,5) (-13/16,5/4)
y2 + 4y – 3x + 1 = 0
3y – 4x = 7
الجواب (-6,9),(-6,9),(6,9)(6,-9)
3x2 – y2 = 27
x2 – y2 = -45
الجواب (-4,-2),(-4,2)(4,2)(4,-2)
5x2 + 3y2 = 92
2x2 + 5y2 = 52
الجواب (0,√21)(0,-√21)(4,-1)(-4,1)
x2 + 4xy = 0
x2 – xy + y2 = 21
الجواب (√3/3,-4√3/3)(-√3/3,
................
................
In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.
To fulfill the demand for quickly locating and searching documents.
It is intelligent file search solution for home and business.