Www.tatc.ac.th
เฉลยแบบฝึกหัด คณิตศาสตร์ 2
แบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ 1.1
จงแสดงวิธีทำ
1. จงเขียนกราฟของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล y = 3x และ y = [pic] ลงบนระนาบแกน x, y เดียวกัน
y = 3x y = [pic]
|x |y | |x |y |
|-2 |0.11 | |-2 |9 |
|-1 |0.33 | |-1 |3 |
|0 |1 | |0 |1 |
|1 |3 | |1 |0.33 |
|2 |9 | |2 |0.11 |
2. จงเขียนกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล y = ex และ y = [pic] ลงบนระนาบแกน x, y เดียวกัน
y = ex y = [pic]
|x |y | |x |y |
|-2 |1/e2 = 0.13534 | |-2 |e2 = 7.3890 |
|-1 |1/e = 0.36788 | |-1 |e1 = 2.71828 |
|0 |1 | |0 |1 |
|1 |e1 = 2.71828 | |1 |1/e = 0.36788 |
|2 |e2 = 7.3890 | |2 |1/e2 = 0.13534 |
3. จงหาค่าของ
1) [pic] = [pic] = [pic]
2) [pic] = (-243)[pic] = (-243)[pic] = -3
3) [pic] = [pic] = [pic] = [pic]
4) [pic](เมื่อ x = 2) = 32-5 = 3-3 = [pic] = [pic]
5) [pic] = [pic] = [pic] = [pic]
6) [pic] = [pic] = [pic] = 20 = 1
7) [pic] (เมื่อ x = 3) = [pic] (เมื่อ x = 3) = [pic]
8) [pic] = [pic] = [pic] = [pic]
4. จงคำนวณหาค่าโดยประมาณของค่าต่อไปนี้
1) e2 = e2 = (2.718)2 = 7.3875
2) e-3 = e-3 = [pic] = [pic] = 0.0498
3) e-2 = e-2 = [pic] = [pic] = 0.1354
4) e5 - 1 = e5-1 = (2.718)5-1 = 147.3362
แบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ 1.2
จงแสดงวิธีทำ
1. จงเปลี่ยนสมการในรูปแบบเลขยกกำลังให้อยู่ในสมการรูปแบบลอการิทึม
|สมการรูปแบบเลขยกกำลัง |สมการรูปแบบลอการิทึม |
|1) 103 = 1,000 |log101000 = 3 |
|2) 105 = 100,000 |log10100,000 = 5 |
|3) [pic] = 4 |log84 = [pic] |
|4) [pic] = 9 |log279 = [pic] |
|5) e3 = x |logex = 3 |
|6) e0.5 = y |logey = 0.5 |
2. จงเปลี่ยนสมการในรูปแบบลอการิทึมให้อยู่ในสมการรูปแบบเลขยกกำลัง
|สมการรูปแบบลอการิทึม |สมการรูปแบบเลขยกกำลัง |
|1) [pic]2401 = 4 |74 = 2401 |
|2) [pic] = -5 |3-5 = [pic] |
|3) [pic] = [pic] |491/2 = 7 |
|4) [pic] = -3 |(1/5)-3 = 125 |
|5) log 0.0001 = -4 |10-4 = 0.0001 |
|6) [pic] = 5 |e5 = x |
3. จงหาค่า x จากสมการลอการิทึมต่อไปนี้
1) log2x = 5
จะได้ x = 25 , ( x = 32
2) log3x = 0
จะได้ 30 = x , ( x = 1
3) log5x = -3
จะได้ x = 5-3 = [pic]
4) logx(6 + x) = 2
จะได้ x2 = 6 + x , x2 – x - 6 = 0
(x - 3)(x + 2) = 0 , x = -2, 3 ( x = 3
5) log 7 + log 4 = log x
จะได้ log (7(4) = log x , ( x = 28
6) 2 log x = log 100
จะได้ log x2 = log 100 , x2 = 100 , ( x = 10
7) ln (2x + 1) = ln (x + 6)
จะได้ 2x + 1 = x + 6 , ( x = 5
8) e3 ln x = 8
จะได้ ln e3 ln x = ln 8 , 3 ln x = ln 8
ln 8 = ln x3 , 23 = x3 , ( x = 2
4. จงหาค่าต่อไปนี้ (ตั้งแต่ข้อ 6 – 10 ให้ใช้เครื่องคำนวณ)
1) [pic] = log552 = 2 log55 = 2 ( 1 = 2
2) [pic] = log22-4 = -4 log22 = -4 ( 1 = -4
3) log 1000 = log103 = 3 log10 = 3 ( 1 = 3
4) [pic] = log225 = 5 log22 = 5 ( 1 = 5
5) [pic] = log5[pic] = [pic]log55 = [pic] ( 1 = [pic]
6) log 2 = 0.3010
7) log 1356 = 3.1323
8) log 0.000015 = [pic].1761
9) ln 13 = 1.0986
10) ln 15.42 = 2.7357
5. จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน y = [pic] และ y = [pic]
|x |y = f(x) | |x |f(x) = y |
|0.25 |-2 | |4 |-2 |
|0.50 |-1 | |2 |-1 |
|1 |0 | |1 |0 |
|2 |1 | |0.50 |1 |
|4 |2 | |0.25 |2 |
.
แบบแบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ 2
จงแสดงวิธีทำ
1. จงเปลี่ยนมุมให้มีหน่วยเป็นเรเดียน
1.1 45( = 45o ( [pic] = [pic]
1.2 135( = 135o ( [pic] = [pic]
1.3 210( = 210o ( [pic] = [pic]
2. จงเปลี่ยนมุมให้มีหน่วยเป็นองศา
2.1 [pic] = [pic] = 60o
2.2 [pic] = [pic] = 120o
2.3 [pic] = [pic] = 300o
3. จงแสดงวิธีการหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้
3.1 sin 120(
วิธีที่ 1 : 1. สร้างวงกลม 1 หน่วย
2. สร้างมุม 120o ลงในตำแหน่งมาตรฐาน
3. หาพิกัดที่จุดปลายส่วนโค้งที่รองรับมุม 120o ได้พิกัด (-0.5, 0.9)
( sin 120o = y = 0.9
วิธีที่ 2 : จากสูตร sin(180o-() = sin (
( sin 120o = sin (180o-60o) = sin 60o = 0.8660 ( 0.9
3.2 cos[pic]
วิธีที่ 1 : 1. สร้างวงกลม 1 หน่วย
2. สร้างมุม [pic] หรือ 240o ลงในตำแหน่งมาตรฐาน
3. หาพิกัดที่จุดปลายส่วนโค้งที่รองรับมุม [pic] หรือ 240o ได้พิกัด (-0.5, -0.9)
( cos [pic] = cos 240o = x = -0.5
วิธีที่ 2 : จากสูตร cos(( + () = -cos (
( cos [pic] = cos (( + [pic]) = -cos [pic] = -0.5
3.3 tan [pic]
1. สร้างวงกลม 1 หน่วย
2. สร้างมุม -[pic] ลงในตำแหน่งมาตรฐาน
3. หาพิกัดที่จุดปลายส่วนโค้งที่รองรับมุม -[pic] ได้พิกัด (-0.5, 0.9)
( tan(-[pic]) = [pic] = [pic] = -1.8
4. จงหาค่า x จากสมการต่อไปนี้
4.1 sin x = 1 เมื่อ 0 < x < 360(
เนื่องจาก sin 90o = 1 , ( x = 90o
4.2 cos x = -1 เมื่อ 0 < x < 360(
เนื่องจาก cos 180o = -1 , ( x = 180o
5. กำหนด sin ( = [pic] จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เหลือทั้งหมด
AC2 = AB2-BC2
= 402-132
= 1600-169
AC = 37.82856
cos ( = [pic] = 0.9457
tan ( = [pic] = 0.3437
cosec ( = [pic] = 3.0770
sec ( = [pic] = 1.0574
cot ( = [pic] = 2.9099
6. จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดของมุม 1955o เมื่อ cos 65( = 0.4226
วิธีทำ ( = 1955o, cos 65o = 0.4226
( = 1955o - 5(360o) = 1955o-1800o = 155o
cos ( = cos 155o = cos(180o-25o) = -cos25o = -0.9063
sin ( = sin 155o = [pic] = [pic] = 0.4226
tan ( = tan 155o = [pic] = [pic] = -0.4663
cot ( = cot 155o = [pic] = [pic] = -2.1446
sec ( = sec 155o = [pic] = [pic] = -1.1034
cosec ( = cosec 155o = [pic] = [pic] = 2.3663
7. จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดของมุม -1035(
วิธีทำ ( = -1035o
-1035 + 360 = -675
-675 + 360 = -315
-315 + 360 = 45
sin ( = [pic] , cos ( = [pic]
tan ( = 1 , cot ( = 1
sec ( = [pic] , cosec ( = [pic]
8. จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดของมุม [pic]
วิธีทำ ( = [pic]
[pic]-2( = [pic]
[pic]-2( = [pic]
sin ( = [pic] , cos ( = [pic]
tan ( = [pic] , cot ( = [pic]
sec ( = [pic] , cosec ( = 2
9. ช่างสำรวจจดบันทึกไว้ว่า จากจุด A มองไปจุด B ด้วยมุมก้ม 45o จากจุด C มองไปยังจุด B ด้วยมุมก้ม 60o ระยะจาก A ไปยัง C เท่ากับ 400 เมตร จงหาระยะจาก A ไป B และระยะจาก C ไป B
วิธีทำ
จาก ( ABC และ จากกฎของไซน์ จะได้ว่า
[pic] = [pic]
AB = [pic]
= [pic] = 1338.4853
และ [pic] = [pic]
BC = [pic]
= [pic] = 1092.8903
ระยะ AB ประมาณ 1338.49 เมตร
ระยะ BC ประมาณ 1092.89 เมตร
10. ช่างสำรวจจดบันทึกไว้ว่า จากจุด A มองไปยังจุด B ด้วยมุมก้ม 35( และจากจุด A มองไปยังจุด C ด้วยมุมก้ม 75( ระยะจาก A ไป B เท่ากับ 300 เมตร ระยะจาก A ไป C 400 เมตร จงหาระยะจาก B ไป C
วิธีทำ
จากกฎของโคไซน์ จะได้ว่า
BC2 = 4002 + 3002 - 2(400)(300) cos40o
= 160000 + 90000 - 240000(0.766044443)
= 250000 - 183850.6663
= 66149.33336
BC = 257.1951
( ระยะ BC ประมาณ 257.20 เมตร
11. นายบุรีอยู่บนยอดเขาสูง 800 เมตร มองไปทางทิศเหนือด้วยมุมก้ม 15( เห็นวัดพระนอน เมื่อมองไปทางทิศตะวันออกด้วยมุมก้ม 10o เห็นโรงพยาบาล จงหาระยะทางระหว่างวัดพระนอนกับโรงพยาบาล
วิธีทำ
จาก (ABC
BC = 800 ( tan 75o
= 800(3.73205) = 2985.64
จาก (ABD
BD = 800 ( tan 80o
= 800(5.67128) = 4537.02
จาก (BCD
CD = [pic] = [pic]
= 5431.26
ระยะทางระหว่างวัดพระนอนกับโรงพยาบาล ประมาณ 5431.26 เมตร
12. เมื่อเวลา 11 นาฬิกา เรือ B แล่นออกจากจุด A ไปทางทิศตะวันออกด้วยความเร็ว 40 กม./ชม. ต่อมาเมื่อเวลา 12 นาฬิกา เรือ C แล่นออกจากจุด A ไปทางทิศตะวันออกเฉียงใต้ด้วยความเร็ว 60 กม./ชม. จงหาระยะทางระหว่างเรือ B และเรือ C เมื่อเวลา 15 นาฬิกา
วิธีทำ
จากกฎของโคไซน์
BC2 = 1802 + 1602 - 2(180(160(cos45o
= 32400 + 25600 - 57600(0.7071)
= 58000 - 40728.96 = 17271.04
BC = 131.41932
เมื่อเวลา 15 นาฬิกา ระยะระหว่างเรือ B และเรือ C ประมาณ 131.42 กม.
13. จงเขียนกราฟของ y = [pic] sin (
วิธีทำ จาก y = [pic] sin (
( |-360 |-270 |-180 |-90 |0 |90 |180 |270 |360 |450 |540 |630 |720 | |y |0 |0.5 |0 |-0.5 |0 |0.5 |0 |-0.5 |0 |0.5 |0 |-0.5 |0 | |
14. จงเขียนกราฟของ y = 2 sec (
วิธีทำ จาก y = 2 sec (
( |-360 |-270 |-180 |-90 |0 |90 |180 |270 |360 |450 |540 |630 |720 | |y |2 |( |-2 |( |2 |( |-2 |( |2 |( |-2 |( |2 | |
15. จงหาค่าของ
15.1 arcsin 0 = 0
15.2 arccos 0 = 90o
15.3 arctan 0 = 0
15.4 arcsin 1 = 90o
15.5 arccos 1 = 0
15.6 arctan (-1) = -45o หรือ 135o
แบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ 3
จงแสดงวิธีทำ
1. จงหาค่าของ
1.1 3! + 5! = 3(2)(1) + (5)(4)(3)(2)(1) = 6 + 120 = 126
1.2 5! - 3! = (5)(4)(3)(2)(1) - (3)(2)(1) = 120 - 6 = 114
1.3 [pic] เมื่อ n = 3 = [pic] = (n - 1)(n - 2)
ถ้า n = 3 , [pic] = (n - 1)(n - 2) = (3 - 1)(3 - 2) = 2
1.4 [pic] เมื่อ n = 4 = [pic] = [pic]
ถ้า n = 4 , [pic] = [pic] = [pic]
1.5 [pic] = [pic] = [pic] = [pic]
= [pic] = 56
1.6 [pic] = [pic] = [pic] = [pic]
= [pic] = 56
1.7 [pic] = [pic] = [pic] = [pic]
= [pic] = 45
1.8 [pic] = [pic] = [pic] = [pic]
= [pic] = 45
2. จงกระจายทวินามต่อไปนี้ โดยใช้สามเหลี่ยมปาสกาล
2.1 (x + 3)6
วิธีทำ ส.ป.ส. ของ (a + b)6 คือ 1 6 15 20 15 6 1
( (x + 3)6 = 1(x6)(30) + 6(x5)(31) + 15(x4)(32) + 20(x3)(33) + 15(x2)(34) + 6(x1)(35) + 1(x0)(36)
= x6 + 18x5 + 135x4 + 540x3 + 1215x2 + 1458x + 729
2.2 (x + 4)6
วิธีทำ ส.ป.ส. ของ (a + b)6 คือ 1 6 15 20 15 6 1
( (x + 4)6 = 1(x6)(40) + 6(x5)(41) + 15(x4)(42) + 20(x3)(43) + 15(x2)(44) + 6(x1)(45) + 1(x0)(46)
= x6 + 24x5 + 240x4 + 1280x3 + 3840x2 + 6144x + 4096
2.3 (x - 2)5
วิธีทำ ส.ป.ส. ของ (a + b)5 คือ 1 5 10 10 5 1
( (x - 2)5 = 1(x5)(-2)0 + 5(x4)(-2)1 + 10(x3)(-2)2 + 10(x2)(-2)3 + 5(x1)(-2)4 + 1(x0)(-2)5
= x5 - 10x4 + 40x3 - 80x2 + 80x - 32
2.4 (x - 3)5
วิธีทำ ส.ป.ส. ของ (a + b)5 คือ 1 5 10 10 5 1
( (x - 3)5 = 1(x5)(-3)0 + 5(x4)(-3)1 + 10(x3)(-3)2 + 10(x2)(-3)3 + 5(x1)(-3)4 + 1(x0)(-3)5
= x5 - 15x4 + 90x3 - 270x2 + 405x - 243
2.5 (2x + 3y)4
วิธีทำ ส.ป.ส. ของ (a + b)4 คือ 1 4 6 4 1
( (2x + 3y)4 = 1(2x)4(3y)0 + 4(2x)3(3y)1 + 6(2x)2(3y)2 + 4(2x)1(3y)3 + 1(2x)0(3y)4
= 16x4 + 96x3y + 216x2y2 + 216xy3 + 81y4
2.6 (3x + 2y)4
วิธีทำ ส.ป.ส. ของ (a + b)4 คือ 1 4 6 4 1
( (3x + 2y)4 = 1(3x)4(2y)0 + 4(3x)3(2y)1 + 6(3x)2(2y)2 + 4(3x)1(2y)3 + 1(3x)0(2y)4
= 81x4 + 216x3y + 216x2y2 + 96xy3 + 16y4
2.7 (1 - 2x)8
วิธีทำ ส.ป.ส. ของ (a + b)8 คือ 1 8 28 56 70 56 28 8 1
( (1 - 2x)8 = 1(18)(-2x)0 + 8(17)(-2x)1 + 28(16)(-2x)2 + 56(15)(-2x)3 + 70(14)(-2x)4
+ 56(13)(-2x)5 + 28(12)(-2x)6 + 8(11)(-2x)7 + 1(10)(-2x)8
= 1 - 16x + 112x2 - 448x3 + 1120x4 - 1792x5 + 1792x6 - 1024x7 + 256x8
2.8 (1 - 3x)8
วิธีทำ ส.ป.ส. ของ (a + b)8 คือ 1 8 28 56 70 56 28 8 1
( (1 - 3x)8 = 1(18)(-3x)0 + 8(17)(-3x)1 + 28(16)(-3x)2 + 56(15)(-3x)3 + 70(14)(-3x)4
+ 56(13)(-3x)5 + 28(12)(-3x)6 + 8(11)(-3x)7 + 1(10)(-3x)8
= 1-24x + 252x2 - 1512x3 + 5670x4 - 13608x5 + 20412x6 - 17496x7 + 6561x8
3. จงกระจาย (2x + y2)5 โดยใช้สามเหลี่ยมของปาสกาล
วิธีทำ ส.ป.ส. ของ (a + b)5 คือ 1 5 10 10 5 1
( (2x + y2)5 = 1(2x)5(y2)0 + 5(2x)4(y2)1 + 10(2x)3(y2)2 + 10(2x)2(y2)3 + 5(2x)(y2)4
+ 1(2x)0(y2)5
= 32x5+80x4y2+80x3y4+40x2y6+10xy8+y10
4. จงกระจาย (x2 + y3)6 โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม
วิธีทำ (x2+y3)6 = [pic](x2)6(y3)0 + [pic](x2)5(y3)1 + [pic](x2)4(y3)2 + [pic](x2)3(y3)3
+ [pic](x2)2(y3)4 + [pic](x2)(y3)5 + ([pic](x2)0(y3)6
[pic] = 1 , [pic] = 6 , [pic] = [pic] = 15
[pic] = [pic] = 20 , [pic] = [pic] = 15
[pic] = 6 , [pic] = 1
( (x2 + y3)6 = (1)(x12) + (6)(x10)(y3) + (15)(x8)(y6) + 20(x6)(y9)
+ (15)(x4)(y12) + (6)(x2)(y15) + (1)(y18)
= x12 + 6x10y3 + 15x8y6 + 20x6y9 + 15x4y12 + 6x2y15 + y18
5. จงกระจายบททวินามต่อไปนี้ โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม
5.1 (x - 2)5
วิธีทำ (x - 2)5 = [pic](x5)(-2)0+[pic](x4)(-2) + [pic](x3)(-2)2 + [pic](x2)(-2)3+ [pic](x)(-2)4
+ ([pic](x0)(-2)5
[pic] = [pic] = 1 , [pic] = [pic] = 5 , [pic] = [pic] = 10
( (x - 2)5 = x5 - 10x4 + 40x3 - 80x2 + 80x – 32
5.2 (x - 3)5
วิธีทำ (x - 3)5 = [pic](x5)(-3)0 + [pic](x4)(-3) + [pic](x3)(-3)2 + [pic](x2)(-3)3
+ [pic](x)(-3)4 + ([pic](x0)(-3)5
[pic] = [pic] = 1 , [pic] = [pic] = 5 , [pic] = [pic] = 10
( (x - 3)5 = x5 - 15x4 + 90x3 - 270x2 + 405x - 243
5.3 (2x + y)4
วิธีทำ (2x + y)4 = [pic](2x)4(y0) + [pic](2x)3(y1) + [pic](2x)2(y2) + [pic](2x)(y3) + [pic](2x)0(y4)
[pic] = [pic] = 1 , [pic] = [pic] = 4 , [pic] = 6
( (2x + y)4 = 16x4 + 32x3y + 24x2y2 + 8xy3 + y4
5.4 (x + 2y)4
วิธีทำ (x + 2y)4 = [pic](x)4(2y)0 + [pic](x)3(2y)1 + [pic](x)2(2y)2 + [pic](x)(2y)3 + [pic](x)0(2y)4
[pic] = [pic] = 1 , [pic] = [pic] = 4 , [pic] = 6
( (x + 2y)4 = x4 + 8x3y + 24x2y2 + 32xy3 + 16y4
5.5 ([pic] + 2)6
วิธีทำ ([pic] + 2)6 = [pic](20) + [pic](21) + [pic](22) + [pic](23)
+ [pic](24) + [pic](25) + [pic](26)
[pic] = [pic] = 1 , [pic] = [pic] = 6
[pic] = [pic] = 15 , [pic] = 20
( ([pic] + 2)6 = [pic] + 20x3 + 60x2 + 96x + 64
5.6 (3 - [pic])6
วิธีทำ (3-[pic])6 = [pic]+[pic]+[pic]+[pic]
+[pic]+[pic]+[pic]
[pic] = [pic] = 1 , [pic] = [pic] = 6
[pic] = [pic] = 15 , [pic] = 20
( (3-[pic])6 = 729 - 729x + [pic]
5.7 จงหาพจน์ที่ 5 ของ (x - 2y3)10
วิธีทำ พจน์ที่ r + 1 = [pic]an-rbr
พจน์ที่ 5 = 4 + 1 = [pic](x)10-4 (-2y3)4
= [pic](x6)(16y12)
= 210x6(16y12)
= 3360x6y12
5.8 จงหาพจน์ที่ 6 ของ (x - 3y2)10
วิธีทำ พจน์ที่ r + 1 = [pic]an-rbr
พจน์ที่ 6 = 5 + 1 = [pic](x)10-5 (-3y2)5
= [pic](x5)(-243y10)
= 252x5(-243y10)
= -61236x5y10
6. จงหาค่าต่อไปนี้ โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม และให้ตอบทศนิยมไม่เกิน 4 ตำแหน่ง
6.1 (4.01)4
วิธีทำ (4.01)4 = (4 + 0.01)4
= [pic](44)(0.01)0 + [pic](43)(0.01)1 + [pic](42)(0.01)2 + [pic](41)(0.01)3
+ [pic](40)(0.01)4
[pic] = [pic] = 1 , [pic] = [pic] = 4 , [pic] = 6
( (4.01)4 = 256 + 2.56 + 0.0096 + 0.000016 + 0.00000001
= 258.5696
6.2 (9.99)6
วิธีทำ (9.99)6 = (10-0.01)6 = (10+(-0.01))6
= [pic](106)(-0.01)0 + [pic](105)(-0.01)1 + [pic](104)(-0.01)2 + [pic](103)(-0.01)3
+ [pic](102)(-0.01)4 + [pic](10)(-0.01)5 + [pic](100)(-0.01)6
[pic] = [pic] = 1 , [pic] = [pic] = 6
[pic] = [pic] = 15 , [pic] = 20
( (9.99)6 = 1000000 - 6(100000)(0.01) + 15(10000)(0.0001)
- 20(1000)(0.000001) + 15(100)(0.00000001)
- 6(10)(0.0000000001) + (0.000000000001)
= 994014.98
6.3 (2.04)5
วิธีทำ (2.04)5 = (2 + 0.04)5
= [pic](2)5(0.04)0 + [pic](2)4(0.04)1 + [pic](2)3(0.04)2
+[pic](2)2(0.04)3 + [pic](2)1(0.04)4 + [pic](2)0(0.04)5
[pic] = [pic] = 1 , [pic] = [pic] = 5 , [pic] = [pic] = 10
( (2.04)5 = 32 + 3.2 + 0.128 + 0.00256 + 0.0000256 + 0.000000102
= 35.3306
6.4 (2.05)7
วิธีทำ (2.05)7 = (2 + 0.05)7
= [pic](2)7(0.05)0 + [pic](2)6(0.05)1 + [pic](2)5(0.05)2 + [pic](2)4(0.05)3
+[pic](2)3(0.05)4 + [pic](2)2(0.05)5 + [pic](2)1(0.05)6 + [pic](2)0(0.05)7
[pic] = [pic] = 1 , [pic] = [pic] = 7 , [pic] = [pic] = 21
[pic] = [pic] = 35
( (2.05)7 = 128 + 22.4 + 1.68 + 0.07 + 0.001736 + 0.0000252
+ 0.000000219 + 0.00000000078
= 152.1518
แบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ 4.
จงแสดงวิธีทำ
1. จงบอกว่าฟังก์ชันตรรกยะต่อไปนี้ เป็นฟังก์ชันตรรกยะชนิดใด
1.1 [pic] = เป็นฟังก์ชันตรรกยะที่เป็นเศษส่วนแท้
1.2 [pic] = เป็นฟังก์ชันตรรกยะที่ไม่เป็นเศษส่วนแท้
1.3 [pic] = เป็นฟังก์ชันตรรกยะที่เป็นเศษส่วนแท้
1.4 [pic] = เป็นฟังก์ชันตรรกยะที่ไม่เป็นเศษส่วนแท้
1.5 [pic] = เป็นฟังก์ชันตรรกยะที่ไม่เป็นเศษส่วนแท้
2. จงแยกฟังก์ชันตรรกยะที่เป็นเศษส่วนแท้ต่อไปนี้เป็นเศษส่วนย่อย
2.1 [pic]
วิธีทำ [pic] = [pic] …(*)
= [pic]
= [pic]
= [pic]
8x - 19 = (A + B)x + (-5A + 2B)
A + B = 8 …(1)
-5A + 2B = -19 …(2)
(1) ( 2 2A + 2B = 16 …(3)
(3)-(2) 7A = 35 , A = 5
แทน A = 5 ใน (1)
5 + B = 8 , B = 3
แทน A = 5 และ B = 3 ใน (*)
ดังนั้น [pic] = [pic]
2.2 [pic]
วิธีทำ
(2x - 6)(x - 4) = 2(x - 3)(x - 4)
[pic] = [pic] …(*)
= [pic]
14 - 5x = Ax - 4A + 2Bx - 6B
= (A + 2B)x + (-4A - 6B)
A + 2B = -5 …(1)
-4A - 6B = 14 …(2)
(1) ( 4 , 4A + 8B = -20 …(3)
(2) + (3) , 2B = -6 , B = -3
แทน B = -3 ใน (1)
A + 2(-3) = -5 , A = -5 + 6 = 1
แทน A = 1 และ B = -3 ใน (*)
ดังนั้น [pic] = [pic] = [pic]
2.3 [pic]
วิธีทำ [pic]
[pic] = [pic] …(*)
= [pic]
( -2x - 9 = A(x - 4) + B(x - 3)
= Ax - 4A + Bx - 3B
= (A + B)x - (4A + 3B)
โดยการเทียบ ส.ป.ส. จะได้
A + B = -2 …(1)
4A + 3B = 9 …(2)
(1) ( 4 , 4A + 4B = -8 …(3)
(3) - (2) , B = -17
แทน B = -17 ใน (1) จะได้
A + (-17) = -2 , A = 15
แทน A = 15 และ B = -17 ใน (*) จะได้
[pic] = [pic]
2.4 [pic]
วิธีทำ [pic] = [pic] …(*)
= [pic]
2x2 + 14x + 8 = A(x2 + 8x + 15) + B(x2 + 4x-5) + C(x2 + 2x - 3)
= Ax2 + 8Ax + 15A + Bx2 + 4Bx - 5B + Cx2 + 2Cx - 3C
= (A + B + C)x2 + (8A + 4B + 2C)x + 15A - 5B - 3C
โดยการเทียบ ส.ป.ส. จะได้
A + B + C = 2 …(1)
8A + 4B + 2C = 14 …(2)
15A - 5B - 3C = 8 …(3)
(1) ( 8 , 8A + 8B + 8C = 16 …(4)
(4) - (2) , 4B + 6C = 2 …(5)
(2) ( 15 , 120A + 60B + 30C = 210 …(6)
(3) ( 8 , 120A - 40B - 24C = 64 …(7)
(6) - (7) 100B + 54C = 146 …(8)
(5) ( 25 100B + 150C = 50 …(9)
(9) - (8) , 96C = -96 , ( C = -1
แทน C = -1 ใน (5) จะได้
4B + 6(-1) = 2 , B = 2
แทน B = 2 และ C = -1 ใน (1) จะได้
A + (2) + (-1) = 2 , A = 1
แทน A = 1 , B = 2 และ C = -1 ใน (*)
[pic] = [pic] = [pic]
2.5 [pic]
วิธีทำ [pic] = [pic] …(*)
= [pic]
( 5 = A(x2 + 4x + 4) + B(x2 + x - 2) + C(x - 1)
= Ax2 + 4Ax + 4A + Bx2 + Bx - 2B + Cx - C
= (A + B)x2 + (4A + B + C)x + (4A - 2B - C)
โดยการเทียบ ส.ป.ส. จะได้
A + B = 0 …(1)
4A + B + C = 0 …(2)
4A - 2B - C = 5 …(3)
(2) + (3) , 8A - B = 5 …(4)
(1) + (4) , 9A = 5 , ( A = [pic]
แทน A = [pic] ใน (1) จะได้
[pic] + B = 0 , ( B = -[pic]
แทน A = [pic] , B = -[pic] ใน (2) จะได้
4([pic]) + (-[pic]) + C = 0 , ( C = -[pic]
แทน A = [pic] , B = -[pic] และ C = -[pic] ใน (*) จะได้
[pic] = [pic]
2.6 [pic]
วิธีทำ x3 + 8x2 + 21x + 18 = (x + 2)(x2 + 6x + 9) = (x + 2)(x + 3)(x + 3) = (x + 2)(x + 3)2
[pic] = [pic]
= [pic]
( x2 + 20x + 30 = A(x2 + 6x + 9) + B(x2 + 5x + 6) + Cx + 2C
= Ax2 + 6Ax + 9A + Bx2 + 5Bx + 6B + Cx + 2C
= (A + B)x2 + (6A + 5B + C)x + (9A + 6B + 2C)
โดยการเทียบ ส.ป.ส. จะได้
A + B = 1 …(1)
6A + 5B + C = 20 …(2)
9A + 6B + 2C = 30 …(3)
(2) ( 2 , 12A + 10B + 2C = 40 …(4)
(4) - (3) , 3A + 4B = 10 …(5)
(1) ( 4 , 4A + 4B = 4 …(6)
(5) - (6) , -A = 6 , ( A = -6
แทน A = -6 ใน (1) จะได้
-6 + B = 1 , ( B = 7
แทน A = -6 , B = 7 ใน (2) จะได้
6(-6) + 5(7) + C = 20 , ( C = 21
แทน A = -6 , B = 7 และ C = 21 ใน (*)
[pic] = [pic]
3. จงแยกฟังก์ชันตรรกยะที่ไม่เป็นเศษส่วนแท้ต่อไปนี้ เป็นเศษส่วนย่อย
3.1 [pic]
วิธีทำ [pic] แต่ x4+x2-2 = (x2+2)(x2-1) = (x2+2)(x+1)(x-1)
[pic] = [pic] …(*)
( x3 + 2x + 3 = A(x - 1)(x2 + 2) + B(x + 1)(x2 + 2) + (Cx + D)(x + 1)(x - 1)
ถ้า x = 1 , 6 = 6B , ( B = 1
ถ้า x = -1 , 0 = A(-2)(3) , ( A = 0
ถ้า x = 0 , 3 = 0 + (1)(1)(2) + D(1)(-1)
3 = 2-D , ( D = -1
ถ้า x = 2 , 15 = 0(1)(6) + 1(3)(6) + (2C-1)(1)(3)
15 = 18 + (2C-1)3
15 = 18 + 6c-3 , C = 0
( [pic] = [pic]
3.2 [pic]
X4 + 4X3 + 6X2 + 4X + 1 = (X + 1)4
[pic] = [pic] …(*)
4 - 3x + 2x2 - x3 = A(x + 1)3 + B(x + 1)2 + C(x + 1) + D
ถ้า x = -1 , 4 + 3 + 2 + 1 = D
D = 10
ถ้า x = 0 , 4 = A + B + C + 10
A + B + C = -6 …(1)
ถ้า x = 1 , 4 - 3 + 2 - 1 = 8A + 4B + 2C + 10
8A + 4B + 2C = -8
4A + 2B + C = -4 …(2)
ถ้า x = -2 , 4 + 6 + 8 + 8 = -A + B - C + 10
A - B + C = 10 - 26
A - B + C = -16 …(3)
(1) - (3) , 2B = 10
B = 5
(3) + (1) , A + C = -11 …(4)
จาก (2) , 4A + C = -14 …(5)
(5)-(4) , 3A = -3
A = -1
จาก (4) C = -11-A = -11+1 = -10
[pic] = [pic]
3.3 [pic]
วิธีทำ [pic] = 3+[pic]
นำ [pic] มาแยกเป็นเศษส่วนย่อย
x2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
[pic] = [pic] …(*)
[pic] = [pic]
( 1 = A(x - 1) + B(x + 2)
ถ้า x = 1 , 1 = 3B , ( B = [pic]
ถ้า x = -2 , 1 = -3A , ( A = -[pic]
( [pic] = 3-[pic]
3.4 [pic]
วิธีทำ [pic] = 3x + 4 + [pic]
นำ [pic] มาแยกเป็นเศษส่วนย่อย
x2 + x = x(x + 1)
[pic] = [pic] …(*)
[pic] = [pic]
( 1 - x = A(x + 1) + Bx
ถ้า x = -1 , 2 = 0 + B(-1) , ( B = -2
ถ้า x = 0 , 1 = A(1) , ( A = 1
( [pic] = 3x + 4 + [pic]
3.5 [pic]
วิธีทำ [pic] = x + 1 + [pic]
นำ [pic] มาแยกเป็นเศษส่วนย่อย
[pic] = [pic]
[pic] = [pic]
( 2x + 7 = A(x2 + x + 2) + (Bx + C)(x - 2)
ถ้า x = 2 , 11 = 8A , ( A = [pic]
ถ้า x = 0 , 7 = A(2) + C(-2)
2C = 2A - 7 …(1)
แทน A = [pic] ใน (1) จะได้
2C = 2([pic]) - 7 , C = -[pic]
ถ้า x = 1 , 9 = ([pic])(4) + (Bx1-[pic])(-1)
9 = [pic]
[pic] = [pic]-9 = [pic] = -[pic]
8B - 17 = -[pic]x8 = -28
B = [pic] = -[pic]
( [pic] = x + 1 + [pic]
= x + 1 + [pic]
3.6 [pic]
วิธีทำ [pic] = x2 + [pic]
นำ [pic] มาแยกเป็นเศษส่วนย่อย
x3+9x = x(x2+9)
[pic] = [pic] …(*)
[pic] = [pic]
( 1 = A(x2 + 9) + (Bx + C)(x)
ถ้า x = 0 , 1 = A(9) , ( A = [pic]
ถ้า x = 1 , 1 = [pic] (10) + (B + C)(1)
B + C = 1-[pic] = -[pic] …(1)
ถ้า x = 2 , 1 = ([pic])(13) + (2B + C)(2)
1 = [pic] + 4B + 2C
4B + 2C = 1-[pic] = -[pic] …(2)
(1) ( 2 , 2B + 2C = -[pic] …(3)
(2) - (3) , 2B = -[pic]+[pic] = -[pic]
B = -[pic]([pic]) = -[pic]
แทน B = -[pic] ใน (1) จะได้
-[pic]+C = -[pic] , ( C = 0
( [pic] = x2 + [pic]
= x2 + [pic]
แบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ 5
จงแสดงวิธีทำ
1. กำหนดให้
1.1 จงบอกขนาดของเมทริกซ์
วิธีทำ 1.1 A มีขนาด 3 ( 3 , B มีขนาด 3 ( 2 , C มีขนาด 2 ( 3
D มีขนาด 2 ( 2 , E มีขนาด 3 ( 1 , F มีขนาด 4 ( 4
G มีขนาด 1x3
1.2 เมทริกซ์ใดเป็นเมทริกซ์จัตุรัส A, F
1.3 เมทริกซ์ใดเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน D, F
1.4 เมทริกซ์ใดเป็นเมทริกซ์แถว G
1.5 จากเมทริกซ์ A จงหาสมาชิก a11 a23 และ a32 0, 7, 1
1.6 จากเมทริกซ์ F จงหาสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลัก 1, 2, 3, -1
2. จากสมการเมทริกซ์ต่อไปนี้ จงหาค่าตัวแปร
2.1 [pic]
วิธีทำ 2x = 6 , x = 3
y = -2
z = y + 3 , z = -2 + 3 , z = 1
w = 3
2.2 3[pic]
วิธีทำ 3(2x + y) = 12
6x + 3y = 12 …(1)
x + y = 1 …(2)
(2) ( 6 , 6x + 6y = 6 …(3)
(3) - (1) , 3y = -6 , y = -2
แทน y = -2 ใน (2) x = 3
( x = 3 , y = -2
3. กำหนดให้
A = [pic] B = [pic]
C = [pic] 0 = [pic]
3.1 จงหา A + B – C
วิธีทำ A + B - C = [pic]+[pic]-[pic]
= [pic]
= [pic]
3.2 จงแสดงว่า A + B = B + A
วิธีทำ A + B = [pic]+[pic] = [pic]
B + A = [pic]+[pic] = [pic]
( A + B = B + A
3.3 จงแสดงว่า A + (B + C) = (A + B) + C
วิธีทำ A + (B + C) = [pic]+[pic]
= [pic]+[pic]
= [pic]
(A + B) + C = [pic]+[pic]
= [pic]+[pic]
= [pic]
( A + (B + C) = (A + B) + C
3.4 จงแสดงว่า A + 0 = A
วิธีทำ A + 0 = [pic]+[pic]
= [pic] = A
( A + 0 = A
จากข้อ 4-7 จงหา AB และ BA
4. A = [-1 2 3] , B = [pic]
วิธีทำ AB = [ -1 2 3 ] [pic] = [ -3+2+12 ] = [ 11 ]
BA = [pic] [ -1 2 3 ] = [pic]
5. A = [pic] , B = [pic]
วิธีทำ AB = [pic] [pic] = [pic] = [pic]
BA = [pic][pic] = [pic] = [pic]
6. A = [pic] B = [pic]
วิธีทำ AB = [pic] [pic]
[pic] = [pic]
BA = หาผลคูณไม่ได้ เพราะจำนวนหลักของตัวตั้งไม่เท่ากับจำนวนแถวของตัวคูณ
7. กำหนด A = [pic] , B = [pic]
AB = [pic]
= [pic]
BA หาผลคูณไม่ได้ เนื่องจากจำนวนหลักของตัวตั้งไม่เท่ากับจำนวนแถวของตัวคูณ
8. กำหนดให้ A = [pic] , B = [pic]
C = [pic] , D = [pic]
8.1 จงหา A2
วิธีทำ A2 = A(A = [pic] [pic]
= [pic] = [pic]
8.2 จงแสดงว่า A(BC) = (AB)C
วิธีทำ A(BC) = [pic] [pic]
= [pic] [pic] = [pic]
(AB)C = [pic] [pic]
= [pic] [pic] = [pic]
( A(BC) = (AB)C
8.3 จงหา DC
วิธีทำ DC = [pic] [pic] = [pic]
8.4 จงแสดงให้เห็นจริงว่า (AB)T กับ BTAT เท่ากันหรือไม่ เพราะอะไร
วิธีทำ AB = [pic] [pic] = [pic]
(AB)T = [pic]
BTAT = [pic] [pic] = [pic]
( (AB)T = BTAT เพราะ เป็นไปตามสมบัติของเมทริกซ์
9. จงบอกเงื่อนไข ที่ทำให้ (AB)2 = A2B2
วิธีทำ เงื่อนไขที่ทำให้ (AB)2 = A2B2
1. A และ B ต้องมีมิติเท่ากัน
2. A และ B ต้องเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์เมทริกซ์หนึ่งหรือเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ทั้ง 2 เมทริกซ์
10. จงหาเมทริกซ์ผกผันสำหรับการคูณ
A = [pic]
วิธีทำ ให้ B = A-1 = [pic]
จะได้ AB = BA = I
( [pic] [pic] = [pic]
[pic] = [pic]
( 2a + 4c = 1 …(1)
-5a + 9c = 0 …(2)
2b + 4d = 0 …(3)
-5b + 9d = 1 …(4)
(1) ( 5 , 10a + 20c = 5 …(5)
(2) ( 2 , -10a + 18c = 0 …(6)
(5) + (6) , 38c = 5 , c = [pic]
แทน c = [pic] ใน (1) ได้ 2a + 4[pic] = 1 , a = [pic]
(3) ( 5 , 10b + 20d = 0 …(7)
(4) ( 2 , -10b + 18d = 2 …(8)
(7) + (8) , 38d = 2 , d = [pic]
แทน d = [pic] ใน (3) ได้ 2b+4[pic] = 0 , b = -[pic]
( A-1 = [pic]
แบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ 6
จงแสดงวิธีทำ
1. จงหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้
1.1 [15] = 15
1.2 [-3] = -3
1.3 [pic] = -5-8 = -13
1.4 [pic] = 2+12 = 14
1.5 [pic] = -2 + 0 - 16 – 2 - 4-0 = -24
1.6 [pic] = 8 + 0 + 3 - 0 - 1 - 8 = 2
2. จงหาค่าต่อไปนี้
2.1 [pic]
วิธีทำ [pic] = [pic] = [pic] = 2
2.2 [pic]
วิธีทำ [pic] = [pic] = [pic]
3. จงหาค่า a และ b
3.1 [pic] = -10
วิธีทำ [pic] = -10 , 2a - 12 = -10 , a = 1
3.2 วิธีทำ [pic] = 0
( 0 + 20 + 24 - 0 - 24 - 4b = 0
20 = 4b , b = 5
4. กำหนด A = [pic]
จงหา M11 , M23, C22 , และ C32
วิธีทำ M11 = [pic] = 9 - 10 = -1
วิธีทำ M23 = [pic] = 10 - 0 = 10
วิธีทำ C22 = (-1)2+2[pic] = (1)(6 + 1) = 7
วิธีทำ C32 = (-1)3+2 [pic] = (-1)(4 + 4) = -8
5. กำหนด A = [pic]
จงหา det.A โดยวิธีการกระจายโคแฟกเตอร์
วิธีทำ กระจายตามแถวที่ 2, det A = a21c21 + a22c22 + a23c23
c21 = (-1)2+1[pic] = (-1)(20 + 2) = -22
c23 = (-1)2+3[pic] = (-1)(2 - 12) = 10
det A = (-1)(-22) + 0 + (2)(10) = 42
6. จงใช้สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ อธิบายว่าสมการเป็นจริงอย่างไร
6.1 [pic] = 0
วิธีทำ สมการเป็นจริงตามสมบัติ ข้อ 1
6.2 [pic] = [pic]
วิธีทำ สมการเป็นจริงตามสมบัติ ข้อ 3
6.3 [pic] = -[pic]
วิธีทำ สมการเป็นจริงตามสมบัติ ข้อ 4
7. กำหนด A = [pic] จงหาค่า det.A
เลือกกระจายตามแถวที่ 3
วิธีทำ ( det A = a31c31 + a32c32 + a33c33 + a34c34
c32 = (-1)3+2[pic] = (-1)(0-4 + 0 - 0 + 1 + 4) = -1
c34 = (-1)3+4[pic] = (-1)(-3 + 0 - 4 + 12 - 0 + 2) = -7
( [pic] = 0 + 2(-1) + 0 + 2(-7) = -16
8. จงหา det.A จาก
A = [pic]
วิธีทำ กระจายตามแถวที่ 2 , det A = a21c21 + a22c22 + a23c23 + a24c24
= a21c21 + a22c22 + a24c24
c21 = (-1)2+1[pic] = (-1)(60 + 0 + 32 - 0 + 16 + 72) = -180
c22 = (-1)2+2[pic] = (1)(30 + 18 - 8 - 3 0 + 8 - 18) = 0
c24 = (-1)2+4[pic] = (1)(16 + 30 + 0 + 36 - 0 + 8) = 90
det A = 2(-180) + 1(0) + 4(90) = 0
9. จงหา det.B จาก
B = [pic]
วิธีทำ กระจายตามแถวที่ 3 , det B = a31c31 + a32c32 + a33c33 + a34c34 + a35c35
= a32c32 + a33c33 + a34c34
c32 = (-1)3+2[pic] , กระจายตามหลักที่ 2 จะได้
= (-1)(a22c22 + a42c42)
= (-1)[pic]
= (-1)[(2)(2 + 6 + 6 - 3 - 6 - 4) + 3(0 + 4 + 3 - 0 - 2 - 6)]
= (-1)[(2)(1) + (3)(-1)] = (-1)(-1) = 1
c33 = (-1)3+3[pic] , กระจายตามแถวที่ 2 จะได้
= (1)(a21c21 + a22c22 + a24c24)
= a21c21 + a22c22 + a24c24
= (1)[pic]
= (1)[(-1)(0)] + (-1)[(1)(1)] + (1)[(1)(-1)]
= 0 - 1 - 1 = -2
c34 = (-1)3+4[pic] , กระจายตามแถวที่ 1 จะได้
= (-1)(a11c11 + a12c12 + a14c14)
= (-1)[pic]
= (-1)[(2)(23) + 1 + (-3)(8)]
= (-1)(23) = -23
( det B = (1)(1) + (1)(-2) + (1)(-23) = -24
10. จงแสดงให้เห็นว่า
[pic] = 4 a2b2c2
วิธีทำ [pic]
= (b2 + ac)(2ac)(b2 + ac) + (bc)(bc)(a2) + (c2)(ab)(ab) - (a2)(2ac)(c2)
- (ab)(bc)(b2 + ac) - (b2 + ac)(ab)(bc)
= 2ab4c + 4a2b2c2 + 2a3c3 + a2b2c2 + a2b2c2 - 2a3c3 - (ab4c + a2b2c2) - (ab4c + a2b2c2)
= 4a2b2c2
แบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ 7
จงแสดงวิธีทำ
จากข้อ 1-4 จงหา adj (A)
1. A = [pic]
วิธีทำ A = [pic]
c11 = 5 , c12 = 4 , c21 = 1 , c22 = 1
adj(A) = [pic]
2. A = [pic]
วิธีทำ A = [pic]
c11 = [pic] = 4 c31 = [pic] = 2
c12 = (-1)[pic] = 1 c32 = (-1)[pic] = -1
c13 = [pic] = -2 c33 = [pic] = 2
c21 = (-1)[pic] = -4
c22 = [pic] = 2 adj(A) = [pic]
c23 = (-1)[pic] = 2
3. A = [pic]
วิธีทำ A = [pic]
c11 = [pic] = 0
c12 = (-1)[pic] = -8
c13 = [pic] = 8
c14 = (-1)[pic] = 4
c21 = (-1)[pic] = -6
c22 = [pic] = 0
c23 = (-1)[pic] = 0
c24 = [pic] = 6
c31 = [pic] = 3
c32 = (-1)[pic] = 0
c33 = [pic] = -6
c34 = (-1)[pic] = -3
c41 = (-1)[pic] = 0
c42 = [pic] = 4
c43 = (-1)[pic] = -4
c44 = [pic] = -8
adj(A) = [pic]
4. A = [pic]
วิธีทำ A = [pic]
c11 = [pic] = 0
c12 = (-1)[pic] = 0
c13 = [pic] = -12
c14 = (-1)[pic] = 0
c21 = (-1)[pic] = 4
c22 = [pic] = -12
c23 = (-1)[pic] = 6
c24 = [pic] = 2
c31 = [pic] = -6
c32 = (-1)[pic] = -6
c33 = [pic] = 12
c34 = (-1)[pic] = 0
c41 = (-1)[pic] = 2
c42 = [pic] = 6
c43 = (-1)[pic] = -6
c44 = [pic] = -2
adj(A) = [pic]
จากข้อ 5-9 จงหา A-1
5. A = [pic]
วิธีทำ A = [pic]
c11 = 4 , c12 = -2 , c21 = 1 , c22 = 3
adj(A) = [pic] , det.A = 12+2 = 14
A-1 = [pic] = [pic]
6. A = [pic]
วิธีทำ A = [pic]
det.A = [pic] = -21
c11 = [pic] = -4 , c12 = -[pic] = -(1 - 6) = 5
c13 = [pic] = 2 , c21 = -[pic] = -(-3 - 2) = 5
c22 = [pic] = -1 , c23 = -[pic] = -(4 + 9) = -13
c31 = [pic] = -6 , c32 = -[pic] = -3
c33 = [pic] = 3
adj(A) = [pic]
A-1 = [pic] = [pic]
7. A = [pic]
วิธีทำ A = [pic]
det.A = [pic] = [pic]
= (-2)[pic] = 4
c11 = [pic] = 1
c12 = (-1)[pic] = 2
c13 = [pic] = 2
c14 = (-1)[pic] = 0
c21 = (-1)[pic] = 0
c22 = [pic] = -4
c23 = (-1)[pic] = 0
c24 = [pic] = 4
c31 = [pic] = -1
c32 = (-1)[pic] = 2
c33 = [pic] = 2
c34 = (-1)[pic] = 0
c41 = (-1)[pic] = 1
c42 = [pic] = -6
c43 = (-1)[pic] = 2
c44 = [pic] = 4
adj(A) = [pic]
A-1 = [pic]
8. A = [pic]
วิธีทำ A = [pic]
det.A = [pic] = [pic]
= [pic] = (1)(-1)[pic] = 3
c11 = [pic] = 0
c12 = -[pic] = 0
c13 = [pic] = -3
c14 = -[pic] = -3
c21 = -[pic] = 2
c22 = [pic] = -5
c23 = -[pic] = 1
c24 = [pic] = -3
c31 = [pic] = 0
c32 = -[pic] = 3
c33 = [pic] = 0
c34 = -[pic] = 3
c41 = -[pic] = 1
c42 = [pic] = -4
c43 = -[pic] = 5
c44 = [pic] = 0
adj(A) = [pic]
A-1 = [pic]
9. A = [pic]
วิธีทำ A = [pic]
det.A = [pic] = [pic]
= [pic] = -2[pic] = -2[pic]
= -48[pic] = -48(8-2) = -288
c11 = [pic] = 0
c12 = -[pic] = [pic] = [pic]
= 16[pic] = 16(16-4) = 192
c13 = [pic] = -[pic] = -[pic]
= -32[pic] = -32(8-2) = -192
c14 = -[pic] = [pic] = [pic]
= -4[pic] = -4(16-4) = -48
c15 = [pic] = -[pic] = -[pic]
= 8[pic] = 8(8-2) = 48
c21 = -[pic] = 0
c22 = [pic] = -[pic] = -[pic]
= -16[pic] = -16(16 - 4) = -192
c23 = -[pic] = [pic] = [pic]
= 32[pic] = 32(-8 + 2) = -192
c24 = [pic] = -[pic] = -[pic]
= 4[pic] = 4(16 - 4) = 48
c25 = -[pic] = [pic] = [pic]
= -8[pic] = -8(-8 + 2) = 48
c31 = 0
c32 = -[pic] = [pic] = [pic]
= 2[pic] = 2(16 - 4) = 24
c33 = [pic] = -[pic] = -[pic]
= 2[pic] = 2(8 - 2) = 12
c34 = -[pic] = [pic] = [pic]
= -2[pic] = -2(16 - 4) = -24
c35 = [pic] = -[pic] = -[pic]
= -2[pic] = -2(8 - 2) = -12
c41 = 0
c42 = [pic] = -[pic] = -[pic]
= -2[pic] = -2(16 - 4) = -24
c43 = -[pic] = [pic] = [pic]
= -2[pic] = -2(-8 + 2) = 12
c44 = [pic] = -[pic] = -[pic]
= 2[pic] = 2(16 - 4) = 24
c45 = -[pic] = [pic] = [pic]
= 2[pic] = 2(-8 + 2) = -12
c51 = [pic] = [pic] = [pic]
= 8[pic] + 32[pic]
= 8[pic]+32[pic]
= 96 – 384 = -288
c52 = [pic] = (-1)[pic] = 2[pic] = 0
c53 = [pic] = [pic] = [pic]
= [pic]=[pic]=[pic]
= 12[pic] = 12[pic] = 12(32 - 2) = 360
c54 = [pic] = [pic] = 2[pic] = 0
c55 = [pic] = [pic] = [pic]
= -2[pic] -2[pic]
= 16[pic] -4[pic]
= 16(-8 + 2) -4(-8 + 2)
= -96 + 24 = -72
adj(A) = [pic]
A-1 = [pic]
จากข้อ 10-11 จงแก้ระบบสมการเชิงเส้น โดยใช้เมทริกซ์ผกผันสำหรับการคูณ
10. x1 + x2 + x3 = 0
x1 + 2x2 - 3x3 = 1
-2x1 + x2 + 2x3 = 0
วิธีทำ A = [pic] , det.A = [pic] = [pic]
= [pic] = [pic] = 4 + 12 = 16
c11 = [pic] = 4 + 3 = 7
c12 = [pic] = -(2 - 6) = 4
c13 = [pic] = 1 + 4 = 5
c21 = -[pic] = -(2 - 1) = -1
c22 = [pic] = 2 + 2 = 4
c23 = -[pic] = -(1 + 2) = -3
c31 = [pic] = -3 - 2 = -5
c32 = -[pic] = -(-3 - 1) = 4
c33 = [pic] = 2-1 = 1
adj(A) = [pic]
A-1 = [pic]
[pic] = A-1B = [pic] [pic] = [pic]
x1 = [pic] , x2 = [pic] และ x3 = [pic]
11. 4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 4
x1 - x2 + x3 + 3x4 = 0
-x1 + 2x2 + 3x3 - 4x4 = 0
2x1 + 3x2 - x3 - x4 = 2
วิธีทำ A = [pic]
det.A = [pic]=[pic]=[pic]
= [pic] = -[pic] = -32
c11 = [pic] = -36
c12 = -[pic] = 31
c13 = [pic] = -2
c14 = -[pic] = 23
c21 = -[pic] = 52
c22 = [pic] = -51
c23 = -[pic] = -6
c24 = [pic] = -43
c31 = [pic] = 20
c32 = -[pic] = -19
c33 = [pic] = -6
c34 = -[pic] = 11
c41 = -[pic] = 40
c42 = [pic] = -46
c43 = -[pic] = 4
c44 = [pic] = -30
adj(A) = [pic]
A-1 = [pic]
[pic] = A-1B = [pic] [pic] = [pic] = [pic] = [pic]
x1 = 2 , x2 = -1 , x3 = 0 และ x4 = -1
จากข้อ 12-13 จงแก้ระบบสมการเชิงเส้น โดยใช้กฎของคราเมอร์
12. 2x1 - x2 - x3 = 1
x1 + 3x2 + x3 = 0
-x1 + x2 + 2x3 = 4
วิธีทำ A = [pic] , B = [pic]
det.A = [pic] = 12 + 1 - 1 - 3 - 2 + 2 = 9
det.A1 = [pic] = 6 - 4 + 0 + 12 - 1 - 0 = 13
det.A2 = [pic] = 0 - 1 - 4 - 0 - 8 - 2 = -15
det.A3 = [pic] = 24 + 0 + 1 + 3 - 0 + 4 = 32
x1 = [pic] = [pic]
x2 = [pic] = [pic] = [pic]
x3 = [pic] = [pic] = [pic]
( x1 = [pic], x2 = [pic] และ x3 = [pic]
13. 2x1 + 3x2 + 2x3 - 3x4 = 1
x1 - x2 - x3 + x4 = 0
3x1 + 2x2 + x3 - x4 = 1
x1 + 2x2 + 2x3 - 2x4 = 0
วิธีทำ A = [pic], B = [pic]
det.A = [pic] = [pic]
= (-3) [pic] = (-3)(-1) = 3
det.A1 = [pic] = [pic]= 0
det.A2 = [pic] = (-1) [pic] + (-1) [pic]
= (-1)(0) + (-1)(-3) = 3
det.A3 = [pic] = (1) [pic] + (1) [pic]
= (1)(-3)+(1)(0) = -3
det.A4 = [pic] = (-1) [pic] + (-1) [pic]
= (-1)(3) + (-1)(-3) = 0
x1 = [pic] = [pic] = 0
x2 = [pic] = [pic] = 1
x3 = [pic] = [pic] = -1
x4 = [pic] = [pic] = 0
( x1 = 0 , x2 = 1, x3 = -1 และ x4 = 0
จากข้อ 14-15 จงแก้ระบบสมการเชิงเส้น โดยใช้เมทริกซ์แต่งเติม
14. x + 3y + z = 0
2x - y - z = 1
-x + y + 2z = 4
วิธีทำ [pic] ( [pic]
( [pic]
( [pic]
( [pic]
( [pic]
( [pic]
( [pic]
x = [pic] , y = -[pic] , z = [pic]
15. -2a + 3b - 2c - 2d = -2
a + 6b + c-5d = 1
-a - 5b - 3c + 4d = -5
a + 2b + c + d = 1
จะได้ [pic] ~ [pic]
~ [pic]
~ [pic]
~ [pic]
~ [pic]
~ [pic]
~ [pic]
~ [pic]
~ [pic]
~ [pic]
~ [pic]
~ [pic]
~ [pic]
~ [pic]
~ [pic]
~ [pic]
~ [pic]
( a = -1, b = 0, c = 2, d = 0
16. จงแก้ระบบสมการเชิงเส้น
x1 + 2x2 + x3 = 2
2x1 - 3x2 - 2x3 = 0
-3x1 + x2 + 4x3 = 1
วิธีทำ A = [pic]
det.A = [pic] = -21
C11 = [pic] = -12 + 2 = -10
C12 = (-1)[pic] = -(8 - 6) = -2
C13 = [pic] = 2 - 9 = -7
C21 = (-1)[pic] = -(8 - 1) = -7
C22 = [pic] = 4 + 3 = 7
C23 = (-1)[pic] = -(1 + 6) = -7
C31 = [pic] = -4 + 3 = -1
C32 = (-1)[pic] = -(-2 - 2) = 4
C33 = [pic] = -3-4 = -7
Adj(A) = [pic]
A-1 = [pic] = [pic]
[pic] = A-1B = [pic] [pic] = [pic]
x1 = 1 , x2 = 0 และ x3 = 1
แบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ 8
จงแสดงวิธีทำ
จากข้อ 1-4 จงหาระยะระหว่างจุด A และ B
1. A(-3, 2) ; B(5, 8)
A(-3, 2) ; B(5, 8) : d = [pic]
= [pic]
= [pic] = [pic] = 10
2. A(-2, 3) ; B(-3, 3)
A(-2, 3) ; B(-3, 3) : d = [pic]
= [pic]
= [pic] = 1
3. A(7, 2) ; B(-2, -2)
A(7, 2) ; B(-2, -2 : d = [pic]
= [pic]
= [pic] = [pic]
4. A(a - b, a + b) ; B(0, 0)
A(a-b, a+b) ; B(0, 0) : d = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
5. จงแสดงว่าสามเหลี่ยมที่มีมุมทั้งสามอยู่ที่จุด (-1, 4), (2, 5) และ (0, 1) เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
ให้จุด A คือ (-1, 4) , B คือ (2, 5) และจุด C คือ (0, 1)
จาก d = [pic]
dAB = [pic]
= [pic] = [pic]
dBC = [pic]
= [pic] = [pic]
dAC = [pic]
= [pic] = [pic]
เนื่องจาก ([pic])2 = ([pic])2+([pic])2 , ( BC2 = AB2+AC2
ดังนั้น จะได้ ABC เป็นรูป ( มุมฉาก
โดยมีมุม A เป็นมุมฉาก
นั่นคือ สามเหลี่ยมที่มีมุมทั้งสามอยู่ที่จุด (-1, 4)
(2, 5) และ (0, 1) เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
6. จงแสดงว่าสามเหลี่ยมที่มีมุมทั้งสามอยู่ที่จุด (-2, 3), (3, -2) และ (2, 5) เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
ให้จุด A คือ (-2, 3) , B คือ (3, -2) และ C คือ (2, 5)
จาก d = [pic]
dAB = [pic]
= [pic] = [pic]
dBC = [pic]
= [pic] = [pic]
เนื่องจากด้าน AB = BC ดังนั้น ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
นั่นคือ สามเหลี่ยมที่มีมุมทั้งสามอยู่ที่จุด (-2, 3) , (3, -2) และ (2, 5) เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
จากข้อ 7-8 จงหาจุดกึ่งกลางระหว่างจุด 2 จุด ต่อไปนี้
7. A(2, 4) ; B(3, -5)
จาก [pic] = [pic] = [pic] = [pic]
[pic] = [pic] = [pic] = -[pic]
( จุดกึ่งกลาง คือ [pic]
8. A(-3, -9) ; B(-5, 10)
จาก [pic] = [pic] = [pic] = -[pic] = -4
[pic] = [pic] = [pic] = [pic]
( จุดกึ่งกลาง คือ [pic]
9. จงแสดงว่า เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีมุมทั้งสี่อยู่ที่จุด
P(1, 3) , Q(6, 5) , R(10, 4) และ S(5, 2) แบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน
วิธีทำ จุดกึ่งกลางของ PR = [pic] = [pic]
จุดกึ่งกลางของ QS = [pic] = [pic]
จุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมทั้งสองของ PQRS เป็นจุดเดียวกัน คือ [pic]
นั่นคือ เส้นทแยงมุมของ PQRS แบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน
10. จงหาจุดบนแกน y ซึ่งอยู่ห่างจากจุด (0, 5) และ (0, -1) เป็นระยะทางเท่ากัน
วิธีทำ เนื่องจากจุด (0, 5) และ (0, -1) อยู่บนแกน y ทั้ง 2 จุด
จุดที่อยู่ห่างจากจุด 2 จุดนี้เท่ากัน คือ จุดกึ่งกลางระหว่างจุด 2 จุดนี้
ดังนั้น จุดกึ่งกลางระหว่าง 2 จุด = [pic] = (0, 2)
จากข้อ 11-14 จงหาความชันของเส้นตรง เมื่อมีมุมเอียงหรือผ่านจุดดังนี้
11. ( = 60o
วิธีทำ จาก m = tan ( = tan 60o = [pic] = 1.732
12. ( = [pic]
วิธีทำ จาก m = tan ( = tan[pic] = tan 120o = -tan60o = -1.732
13. (-1, 3) , (2, 5)
วิธีทำ จาก m = [pic] = [pic] = [pic]
14. (4, -5) , (-2, -5)
วิธีทำ จาก m = [pic] = [pic] = [pic] = 0
15. จงหาความชันของเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรงที่ต่อจุด A(4, -3) และ B(-2, 5)
วิธีทำ จาก m = [pic] = [pic] = [pic] = -[pic]
นั่นคือ ความชันของเส้นตรงที่ต้องการ คือ -[pic]
16. จงหาความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรงที่ต่อจุด P(1, 1) และ Q(5, -1) พร้อมทั้งวาดรูปด้วย
วิธีทำ จาก m1 = [pic] = [pic] = [pic] = -[pic]
เนื่องจาก m1m2 = -1
[pic]m2 = -1
m2 = -1[pic] = 2
นั่นคือ ความชันของเส้นตรงที่ต้องการ คือ 2
17. จงแสดงให้เห็นจริงว่า เส้นตรงที่ผ่านจุด A(1, -2) , B(3, 4) และ C(2, 1) เป็นเส้นตรงเดียวกัน
วิธีทำ จุด A, B, C อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ก็ต่อเมื่อ mAB = mAC
mAB = [pic] = [pic] = 3
mAC = [pic] = [pic] = 3
เนื่องจาก mAB = mAC
จะได้จุด A, B และ C อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
18. จงหาขนาดของมุม จากเส้นตรง L1 ที่ผ่านจุด (2, -3) และ (5, 4) ไปยังเส้นตรง L2 ซึ่งผ่านจุด (2, 5) และ (3, 4)
วิธีทำ ให้ m1 เป็นความชันของ L1
m2 เป็นความชันของ L2
จาก m = [pic]
m1 = [pic] = [pic]
m2 = [pic] = -[pic] , = -1
ให้ ( เป็นมุมจากเส้นตรง L1 ไปยัง L 2
จาก tan ( = [pic]
= [pic]
= [pic] = [pic]
= [pic] = 2.5
จะได้ tan ( = 2.5
นั่นคือ ( = tan-1 2.5 = 68.20o
( = 68.20o
19. จงหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(-3, 2) และ B(4, -1) พร้อมทั้งวาดรูปด้วย
วิธีทำ จาก [pic] = [pic]
[pic] = [pic] = -[pic]
7(y - 2) = -3(x + 3)
7y - 14 = -3x - 9
นั่นคือ สมการของเส้นตรง คือ 3x + 7y - 5 = 0
20. จงหาสมการของเส้นตรงที่มีความชัน –[pic] และผ่านจุด A(4, 1) พร้อมทั้งวาดรูปด้วย
วิธีทำ จาก y-y1 = m(x - x1)
y - 1 = -[pic](x - 4)
3(y - 1) = -2(x - 4)
3y - 3 = -2x + 8
นั่นคือ สมการของเส้นตรง คือ 2x + 3y - 11 = 0
21. จงหาสมการของเส้นตรงที่มีความชัน [pic] และมีจุดตัดแกน y เป็น -[pic] พร้อมทั้งวาดรูปด้วย
วิธีทำ จาก y = mx + b
y = [pic]x + [pic]
5y = 2x - 3
นั่นคือ สมการของเส้นตรง คือ 2x - 5y - 3 = 0
22. จงหาสมการของเส้นตรงที่มีจุดตัดแกน x เป็น -2 และมีจุดตัดแกน y เป็น [pic] พร้อมทั้งวาดรูปด้วย
วิธีทำ จาก [pic] = 1
[pic] = 1
[pic] + 3y = 1
-x+6y = 2
นั่นคือ สมการเส้นตรง คือ x - 6y + 2 = 0
23. จงหาสมการของเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรง 2x - 3y + 5 = 0 และผ่านจุด (2, -3)
วิธีทำ จาก 2x - 3y + 5 = 0
3y = 2x + 5
y = [pic]
เส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรง 2x-3y+5 = 0 มีความชัน = [pic] และผ่านจุด (2, -3)
จาก y - y1 = m(x - x1)
y + 3 = [pic] (x - 2)
3(y + 3) = 2(x - 2)
3y + 9 = 2x - 4
นั่นคือ สมการเส้นตรง คือ 2x - 3y - 13 = 0
24. จงหาสมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรง x + 2y - 3 = 0 และผ่านจุด (3, -2)
วิธีทำ จาก x + 2y - 3 = 0
2y = -x + 3
y = [pic]
จะได้เส้นตรง x + 2y - 3 = 0 มีความชัน -[pic] = m1
จาก m1m2 = -1
-[pic]m2 = -1
m2 = 2
ดังนั้น เส้นตรงที่ตั้งฉากกับ x + 2y - 3 = 0 มีความชัน = 2 และผ่านจุด (3, -2)
จาก y - y1 = m(x - x1)
y + 2 = 2(x - 3)
y + 2 = 2x - 6
นั่นคือ สมการของเส้นตรง คือ 2x - y - 8 = 0
25. จงหาระยะทางจากจุด P(4, 3) ไปยังเส้นตรง 6x - 8y + 10 = 0
วิธีทำ จาก d = [pic]
= [pic]
= [pic] = 1
นั่นคือ จะได้ระยะที่ต้องการ คือ 1 หน่วย
26. จงหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดตัดของเส้นตรง x + y - 4 = 0 กับเส้นตรง 2x - y + 5 = 0 และตั้งฉากกับเส้นตรง 3x+4y-7 = 0
วิธีทำ 1. หาจุดที่เส้นตรง x + y - 4 = 0 กับเส้นตรง 2x - y + 5 = 0 ตัดกันก่อน
ให้ x + y = 4 …(1)
2x - y = -5 …(2)
(1) + (2) 3x = -1 , x = -[pic]
นำ x = -[pic] แทนใน (1) จะได้
-[pic] + y = 4 , y = 4 + [pic] = [pic]
ดังนั้น จุดที่เส้นตรงทั้งสองตัดกัน คือ [pic]
2. หาความชัน (m2) ของเส้นตรงที่ผ่านจุด [pic] และตั้งฉากกับเส้นตรง 3x + 4y - 7 = 0 ซึ่งมีความชัน m1
จาก 3x + 4y - 7 = 0
4y = -3x+7
y = [pic]
จะได้ m1 = -[pic]
จาก m1m2 = -1
-[pic]m2 = -1
m2 = -1[pic] = [pic]
3. หาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด [pic] และมีความชัน [pic]
จาก y - y1 = m1(x - x1)
y - [pic] = [pic]
y - [pic] = [pic]
นำ 9 คูณตลอด 9y - 39 = 12x + 4
นั่นคือ สมการของเส้นตรงที่ต้องการ คือ 12x-9y+43 = 0
27. จงหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดกึ่งกลางของเส้นตรงที่ต่อจุด A(2, 3) และ B(-3, 5) และผ่านจุดตัดของเส้นตรง 4x - y + 8 = 0 และเส้นตรง x + y - 2 = 0
วิธีทำ 1. หาจุดกึ่งกลางของ (2, 3) และ (-3, 5)
จาก [pic] = [pic] = -[pic]
[pic] = [pic] = 4
( จุดกึ่งกลางคือ (-[pic], 4) ซึ่งเป็นจุดที่เส้นตรงผ่าน
2. หาจุดตัดของเส้นตรง 4x-y+8 = 0 และเส้นตรง x+y-2 = 0
ให้ 4x - y = -8 …(1)
x + y = 2 …(2)
(1) + (2) 5x = -6 , x = -[pic]
แทน x = -[pic] ใน (2) จะได้
-[pic]+y = 2 , y = 2 + [pic] = [pic]
( จุดที่เส้นตรงทั้งสองตัดกัน คือ [pic]
3. หาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด [pic]และ [pic]
จาก [pic] = [pic]
[pic] = [pic]
[pic] = [pic] = [pic]
7(y - 4) = 8(x + [pic])
7y - 28 = 8x + 4
นั่นคือ สมการของเส้นตรง คือ 8x - 7y + 32 = 0
28. จงหาระยะทางระหว่างเส้นตรง 3x - 4y - 9 = 0 และเส้นตรง 3x - 4y + 11 = 0
วิธีทำ หาจุดบนเส้นตรง 3x - 4y - 9 = 0
กำหนด x = 0 จะได้ 0 - 4y - 9 = 0 , y = -[pic]
จะได้จุด (0, -[pic]) อยู่บนเส้นตรง 3x - 4y - 9 = 0
หาระยะจากจุด (0, -[pic]) มายังเส้นตรง 3x - 4y + 11 = 0
จาก d = [pic]
= [pic]
= [pic] = [pic] = 4
นั่นคือ ระยะระหว่างเส้นตรงทั้งสอง เท่ากับ 4 หน่วย
แบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ 9
จงแสดงวิธีทำ
เรื่อง : วงกลม
1. จงหาสมการวงกลมและส่วนของวงกลมต่อไปนี้
1.1 จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด รัศมียาว 7 หน่วย
วิธีทำ x2 + y2 = r2
x2 + y2 = 72 = 49
สมการวงกลม คือ x2 + y2 - 49 = 0
1.2 จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (5, 6) และเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 16 หน่วย
วิธีทำ สมการวงกลม (x - h)2 + (y - k)2 = r2
(x - 5)2 + (y - 6)2 = 82
x2 + y2 - 10x - 12y - 3 = 0
1.3 สมการวงกลม x2 + y2 - 4x + 10y - 20 = 0 มีจุดศูนย์กลางและรัศมีเท่าใด
วิธีทำ x2 + y2 - 4x + 10y - 20 = 0
(x2 - 4x) + (y2+ 10y) = 20
(x - 2)2 + (y + 5)2 = 20 + 4 + 25
(x - 2)2 + (y + 5)2 = 49 = 72
จุดศูนย์กลางคือ (2, -5) และรัศมี 7 หน่วย
2. กำหนดให้วงกลมมีจุดศูนย์กลาง (5, 6) และมีเส้นตรง 6x – 8y – 2 = 0 เป็นเส้นสัมผัส
จงตอบคำถามข้อ 2.1 – 2.3
2.1 จงหารัศมีของวงกลมที่กำหนด
วิธีทำ สูตร d = [pic]
d = [pic]
= [pic] = 2
รัศมี = 2 หน่วย
2.2 จงหาสมการวงกลมที่กำหนด
วิธีทำ สูตรสมการวงกลม (x - h)2 + (y - k)2 = r2
(x - 5)2 + (y - 6)2 = 22
x2 + y2 - 5x - 12 y + 57 = 0
2.3 ความชันของรัศมีของวงกลมที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัส 6x - 8y - 2 = 0
วิธีทำ สมการ 6x - 8y - 2 = 0
มีความชัน = [pic] = [pic]
จากรูปรัศมี (r) จะตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเสมอ
ดังนั้น ความชันเส้นสัมผัส ( ความชันของรัศมี = -1
[pic] ( ความชันของรัศมี = -1
ความชันของรัศมี = [pic]
2.4 จงหาสมการของวงกลมที่ผ่านจุด (1, -1), (-3, -3) และ (0, 1) พร้อมทั้งหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของ วงกลมด้วย
วิธีทำ วงกลมผ่านจุด (1, -1), (-3, -3) และ (0, 1)
x2 + y2 + Cx + Dy + E = 0
1 + 1 + C - D + E = 0
C - D + E = -2 …(1)
และ 9 + 9 - 3C - 3D + E = 0
3C + 3D - E = 18 …(2)
และ 0 + 1 + D + E = 0
D + E = -1 …(3)
(2) - 3(1) 6D - 4E = 24 …(4)
(3) ( 4 4D + 4E = -4 …(5)
(4)+(5) 10D = 20
D = 2
จาก (3) , E = -3
จาก (1) C = -2 + D - E
= -2 + 2 + 3 = 3
สมการของวงกลม คือ x2 + y2 + 3x + 2y - 3 = 0
x2 + 3x + y2 + 2y = 3
x2 + 3x + [pic] + y2 + 2y + 1 = 3 + [pic] + 1
(x + [pic])2 + (y + 1)2 = [pic]
(x + [pic])2 + (y + 1)2 = [pic]
จุดศูนย์กลาง คือจุด (-[pic], -1) , รัศมียาว [pic] หน่วย
เรื่อง : พาราโบลา
จากข้อ 3-7 จงหาสมการของพาราโบลาพร้อมทั้งวาดรูปทุกข้อ
3. จุดโฟกัส คือ จุด (0, 5) จุดยอด คือ (0, 0)
วิธีทำ F(0, 5) และ V(0, 0)
จาก x2 = 4(c(y
= 4(5(y
= 20y
ดังนั้น สมการพาราโบลา คือ x2 = 20y
4. จุดโฟกัส คือ จุด (-6, 0) จุดยอด คือ (0, 0)
วิธีทำ F(-6, 0) และ V(0, 0)
จาก y2 = -4(c(x
= -4(-6(x
= -24x
ดังนั้น สมการพาราโบลา คือ y2 = -24x
5. จุดโฟกัส คือ จุด (4, -3) จุดยอด คือ (4, -1)
วิธีทำ F(4, -3) และ V(4, -1)
จาก (x-h)2 = -4(c((y - k)
(x - 4)2 = -4(2((y + 1)
x2 - 8x + 16 = -8y-8
x2 - 8x + 8y + 24 = 0
ดังนั้น สมการพาราโบลา คือ x2 - 8x + 8y + 24 = 0
6. จุดโฟกัส คือ จุด (-2, -1) ไดเร็กทริกซ์ คือ y = -5
วิธีทำ F(-2, -1) และไดเร็กทริกซ์ คือ y = -5
จาก (x - h)2 = 4(c((y - k)
(x + 2)2 = 4(2((y + 3)
x2 + 4x + 4 = 8y + 24
x2 + 4x - 8y - 20 = 0
7. จุดโฟกัส คือ จุด (3, 4) ไดเร็กทริกซ์ คือ x = 5
วิธีทำ F(3, 4) และไดเร็กทริกซ์ คือ x = 5
จาก (y - k)2 = -4(c((x - h)
(y - 4)2 = -4(1((x - 4)
y2 - 8y + 16 = -4x + 16
y2 - 8y + 4x = 0
จากข้อ 8-9 จงหาจุดยอด จุดโฟกัส ไดเร็กทริกซ์ แกนของพาราโบลา และความยาวของ เลตัสเร็กตัม
8. x2 + 2x + 4y - 6 = 0
วิธีทำ x2 + 2x + 4y - 6 = 0
x2 + 2x = -4y + 6
x2 + 2x + 1 = -4y + 7
(x + 1)2 = -4(y - [pic])
h = -1 , k = [pic] และ c = 1
จุดยอด คือ V(-1, [pic]) , จุดโฟกัส คือ F(-1, [pic])
ไดเร็กทริกซ์ คือ y = [pic] , เลตัสเร็กตัมยาว 4 หน่วย
9. y2 + 6y + 4x - 12 = 0
วิธีทำ y2 + 6y + 4x - 12 = 0
y2 + 6y = -4x + 12
y2 + 6y + 9 = -4x + 21
(y + 3)2 = -4(x - [pic])
h = [pic] , k = -3 และ c = 1
จุดยอด คือ V([pic], -3) , จุดโฟกัส คือ F([pic], -3)
ไดเร็กทริกซ์ คือ x = [pic] , เลตัสเร็กตัมยาว 4 หน่วย
เรื่อง : วงรี
จากข้อ 10-13 จงหาสมการของวงรี ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด
10. ความยาวของแกนหลักเท่ากับ 8 หน่วย และความยาวของแกนรองเท่ากับ 4 หน่วย โดยมีแกนหลักขนานกับแกน x
วิธีทำ 2a = 8 และ 2b = 4
a = 4 และ b = 2
c = [pic] = [pic] = [pic]
[pic] = 1
4x2 + 16y2 = 64
ดังนั้น สมการของวงรี คือ x2 + 4y2 - 16 = 0
11. จุดยอดอยู่ที่จุด (0, 5) และจุด (0, -5) และโฟกัสอยู่ที่จุด (0, 3) และ (0, -3)
วิธีทำ V1(0, 5) , V2(0, -5) , F1(0, 3) และ F2(0, -3)
a = 5 , C = 3
b = [pic] = 4
[pic] = 1
25x2 + 16y2 = 400
ดังนั้น สมการของวงรี คือ 25x2 + 16y2 - 400 = 0
12. จุดโฟกัสอยู่ที่จุด (4, 0) และจุด (-4, 0) และมีค่า e = 0.8
วิธีทำ F1(4, 0) , F2(-4, 0) และ e = 0.8
c = 4
e = [pic] = 0.8
a = [pic] = [pic] = 5
b = [pic] = 3
[pic] = 1
9x2 + 25y2 = 225
ดังนั้น สมการของวงรี คือ 9x2 + 25y2 - 225 = 0
13. จงหาจุดโฟกัสค่า e ความยาวของแกนหลัก และความยาวของแกนรองของวงรีที่มีสมการ
12x2+16y2-192 = 0
วิธีทำ 12x2 + 16y2 - 192 = 0
12x2 + 16y2 = 192
[pic] = 1
a = 4 , b = 2[pic]
c = [pic] = 2
จุดโฟกัส คือ F1(2, 0) และ F2(-2, 0)
e = [pic] = [pic] = 0.5
ความยาวของแกนหลัก = 8 หน่วย
ความยาวของแกนรอง = 4[pic] หน่วย
จากข้อ 14-17 กำหนดให้วงรีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h, k)
14. จงหาสมการของวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (4, 1) จุดโฟกัสอยู่ที่จุด (1, 1) และจุด (7, 1) และมีความยาวคงตัวเท่ากับ 12 หน่วย
วิธีทำ C(4, 1) , F1(7, 1) , F2(1, 1) และ 2a = 12
c = 3 และ a = 6
b = [pic] = [pic] = 3[pic]
[pic] = 1
27(x2 - 8x + 16) + 36(y2 - 2y + 1) = 972
27x2 + 36y2 - 216x - 72y + 432 + 36 = 972
ดังนั้น สมการของวงรี คือ 27x2 + 36y2 - 216x - 72y - 504 = 0
15. จงหาสมการของวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (-3, 2) จุดโฟกัสอยู่ที่จุด (-7, 2) และจุด (1, 2) และมีค่า e = 0.8
วิธีทำ C(-3, 2) , F1(1, 2) , F2(-7, 2) และ e = 0.8
c = 4 , [pic] = 0.8
a = [pic] = 5
b = [pic] = 3
[pic] = 1
9(x2 + 6x + 9) + 25(y2 - 4y + 4) = 225
9x2 + 54x + 81 + 25y2 - 100y + 100 = 225
ดังนั้น สมการของวงรี คือ 9x2 + 25y2 + 54x - 100y - 44 = 0
16. จงหาสมการของวงรีที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (-1, 7) และจุด (-1, -3) และมีค่า e = 0.6 พร้อมทั้งหาจุดศูนย์กลางและโฟกัส
วิธีทำ V1(-1, 7) , V2(-1, -3) และ e = 0.6
a = 5 , [pic] = 0.6
c = 3 , b = [pic] = 4
จุดศูนย์กลาง คือ (-1, 2)
จุดโฟกัส คือ F1(-1, 5) และ F2(-1, -1)
[pic] = 1
25(x2 + 2x + 1) + 16(y2 - 4y + 4) = 400
25x2 + 16y2 + 50x - 64y - 311 = 0
ดังนั้น สมการของวงรี คือ 25x2 + 16y2 + 50x - 64y - 311 = 0
17. จงหาจุดศูนย์กลาง จุดโฟกัส จุดยอด ค่า e ความยาวของแกนหลัก ความยาวของแกนรองของวงรี
5x2 + 12y2 - 30x + 24y - 3 = 0
วิธีทำ 5x2 + 12y2 - 30x + 24y = 3
5(x2 - 6x) + 12(y2 + 2y) = 3
5(x2 - 6x + 9) + 12(y2 + 2y + 1) = 3 + 45 + 12
[pic] = 1
h = 3 , k = -1 , a = [pic] และ b = [pic]
c = [pic] = [pic]
จุดศูนย์กลาง คือ (3, -1)
จุดโฟกัส คือ จุด F1(3+[pic], -1) และ F2(3-[pic], -1)
e = [pic] = [pic] ( 0.764
จุดยอด คือ V1(3+2[pic], -1) และ V2(3-2[pic], -1)
ความยาวของแกนหลัก = 4[pic] หน่วย
ความยาวของแกนรอง = 2[pic] หน่วย
เรื่อง : ไฮเพอร์โบลา
จากข้อ 18-19 กำหนดให้จุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลาอยู่ที่จุดกำเนิด
18. จงหาสมการของไฮเพอร์โบลา จุดยอด สมการเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลาที่มีจุดโฟกัสอยู่ที่จุด (-4, 0) และ (4, 0) และมีค่าคงที่เป็น 6 พร้อมทั้งวาดรูป
วิธีทำ F1(4, 0) , F2(-4, 0) และ 2a = 6
a = 3
c = 4
b = [pic] = [pic]
e = [pic] = 1.33
[pic] = 1
สมการของไฮเพอร์โบลา คือ 7x2 - 9y2 - 63 = 0
จุดยอด คือ V1(3, 0) และ V2(-3, 0)
สมการของเส้นกำกับ คือ y = [pic]x
19. จงหาสมการของไฮเพอร์โบลา สมการเส้นกำกับ ค่า e ของไฮเพอร์โบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (0, -3) และจุด (0, 3) และมีจุดโฟกัสอยู่ที่จุด (0, -5) และ (0, 5)
วิธีทำ V1(0, 3) , V2(0, -3) และ F1(0, 5) , F2(0, -5)
c = 5
a = 3
b = [pic] = [pic] = 4
จาก [pic] = 1
[pic] = 1
16y2 - 9x2 = 144
16y2 - 9x2 - 144 = 0
สมการของไฮเพอร์โบลา คือ 16y2 - 9x2 - 144 = 0
สมการของเส้นกำกับ คือ y = +[pic]x
e = [pic] = [pic]
20. จงหาจุดยอด จุดโฟกัส สมการของเส้นกำกับไฮเพอร์โบลาที่มีสมการเป็น 9x2-4y2-36 = 0
วิธีทำ 9x2 - 4y2 - 36 = 0
9x2 - 4y2 = 36
[pic] = 1
a = 2
b = 3
c = [pic] = [pic]
จุดยอด คือ V1(2, 0) และ V2(-2, 0)
จุดโฟกัส คือ F1([pic], 0) และ F2(-[pic], 0)
สมการเส้นกำกับ คือ y = +1.5x
21. จงหาสมการของไฮเพอร์โบลา จุดศูนย์กลาง จุดยอด สมการของเส้นกำกับไฮเพอร์โบลาที่มีจุดโฟกัสอยู่ที่จุด (2, -3) และ (8, -3) และค่า e = 1.5
วิธีทำ F1(8, -3), F2(2, -3) และ e = 1.5
c = 3
[pic] = 1.5
a = [pic] = 2
b = [pic] = [pic]
จุดศูนย์กลาง คือ C(5, -3)
h = 5 และ k = -3
จุดยอด คือ V2(3, -3) และ V1(7, -3)
[pic] = 1
5(x2 - 10x + 25) - 4(y2 + 6y + 9) = 20
5x2 - 50x + 125 - 4y2 - 24y - 36 = 20
สมการของไฮเปอร์โบลา คือ
5x2 - 4y2 - 50x - 24y + 69 = 0
สมการของเส้นกำกับ คือ
y + 3 = [pic](x-5)
2y + 6 = [pic]x - 5[pic]
[pic]x - 2y - 6 - 5[pic] = 0
และ 2y + 6 = -[pic]x + 5[pic]
[pic]x + 2y + 6 - 5[pic] = 0
22. จงหาสมการของไฮเพอร์โบลา สมการของเส้นกำกับ จุดศูนย์กลาง ค่า e ของไฮเพอร์โบลาที่มีจุดโฟกัสอยู่ที่จุด (-4, 2) และจุด (6, 2) และมีจุดยอดอยู่ที่ (-3, 2) และจุด (5, 2)
วิธีทำ F1(6, 2), F2(-4, 2), V2(-3, 2) และ V1(5, 2)
a = 4 และ c = 5
b = [pic] = 3
e = [pic] = 1.25
จุดศูนย์กลาง คือ C(1, 2)
h = 1 และ k = 2
[pic] = 1
9(x2 - 2x + 1) - 16(y2 - 4y + 4) = 144
9x2 - 16y2 - 18x + 64y + 9 - 64 = 144
สมการของไฮเปอร์โบลา คือ
9x2 - 16y2 - 18x + 64y - 199 = 0
สมการของเส้นกำกับ คือ
y - 2 = [pic](x - 1)
4y - 8 = 3x-3
3x - 4y + 5 = 0
และ -4y + 8 = 3x-3
3x + 4y - 11 = 0
แบบฝึกหัด ที่ ผู้เรียนเทียบโอนต้องทำ
ทวินาม แบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ 3 หน้า 14-21
เมทริกซ์ แบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ 5 หน้า 31-37
ดีเทอร์มิแนนต์ แบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ ุ 6 หน้า 38-43
การแก้สมการเชิงเส้น แบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ ุ 7 หน้า 44-73
เส้นตรง แบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ ุ 8 หน้า 74-85
ภาคตัดกรวย แบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ ุ 9 หน้า 85-101
-----------------------
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
-----------------------
[pic]
................
................
In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.
To fulfill the demand for quickly locating and searching documents.
It is intelligent file search solution for home and business.