1 Compléments de trigonométrie

r?sum?s de cours

1 Compl?ments de trigonom?trie

exercices

FORMULES D'ADDITION

cosa b cosa cos b sin a sin b cosa b cosa cos b sin a sin b sin a b sin a cos b cosa sin b sin a b sin a cos b cosa sin b

cos2a cos2 a sin2 a 2 cos2 a 1 1 2sin2 a sin 2a 2sin a cosa

FORMULES DE LIN?ARISATION

cos2 a sin2 a

1 1 cos2a

2

1 1 cos2a

2

contr?les

corrig?s

 Exercice 1

PLQ

Donner les expressions suivantes en fonction de sin x, sin y, cos x et cos y.

A sin x y sin x y

B cosx y cosx y

C sinx y u sin x y

D cosx y u cosx y

Exercice 2

PLQ

1. Calculer cos 3x en fonction de cos x, en d?duire la r?solution dans >0 ; 2 @

de l'?quation 8cos3 x ? 6 cos x ? 1 0 .

2. R?soudre dans >0 ; 2 @ les ?quations et in?quations suivantes :

a) 4sin x cos x 1 0 .

b) 2 cos2 x 1 sin 3x .

c) sin 2x cos x ? sin x cos2x 3 . 2

d) cos3x cos x sin 3x sin x t 2 . 2

Exercice 3

PLQ

Sachant que

, d?terminer les valeurs exactes de sin et cos .

3 4 12

12

12

Exercice 4

x est un r?el v?rifiant x >0 ; 2 @ .

PLQ

1. On donne cos x 2 3 , calculer cos2x , en d?duire x. 2

2. On donne cos x 5 1 , en d?duire la valeur de cos2x puis celle de 4

cos 4x . Comparer les r?sultats obtenus. Peut-on alors d?terminer x ?

6

1. Compl?ments de trigonom?trie

r?sum?s de cours

Exercice 5

Dans chacun des cas suivants, lin?ariser fi (x) :

1. f1(x) 3sin2 2x .

2. f2 (x) 2 cos4x .

3. f3(x)

sin2

? ??

x

3

? ??

.

4. f4 (x) sin2x cos2x .

PLQ

Exercice 6

PLQ

On consid?re la fonction f d?finie sur >0 ; 2 @ par : f(x) cos x 3 sin x .

1. Montrer que pour tout x >0 ; 2 @ , f(x)

2

cos ???

x

3

? ??

.

2. Calculer fc(x) . D?terminer le signe de la d?riv?e, en d?duire les variations

de la fonction f.

3. Dresser le tableau de variation de f.

4. D?terminer une ?quation de la tangente T ? la courbe au point d'abscisse S.

5. Tracer la courbe C repr?sentative de f et la tangente T dans un rep?re orthogonal.

Exercice 7 A

PLQ

exercices

contr?les

corrig?s

O a

C

B

H

Un triangle ABC isoc?le, de sommet principal A est inscrit dans un cercle de

centre O et de rayon 1. H est le pied de la hauteur issue de A. Soit a la mesure en radians de l'angle Hn OB ; on suppose 0 d a d .

2

1. Compl?ments de trigonom?trie

7

1. a) Exprimer BC et AH en fonction de a.

b) En d?duire, en fonction de a, l'aire $du triangle ABC.

2.

On consid?re la fonction f d?finie sur

???0 ;

? 2 ??

par :

f (a )

sin a 1 cosa .

Calculer la d?riv?e fc de la fonction f.

3. a) V?rifier que fc(a) 2 cos2 a cosa 1 cos2a cosa .

b)

En d?duire le signe de

f c(a )

sur l'intervalle

???0 ;

? 3 ??

puis sur

? ?? 3

;

2

? ??

.

c) ?tablir le tableau de variation de la fonction f.

4. Montrer qu'il existe une valeur de a, que l'on d?terminera, pour laquelle l'aire du triangle ABC est maximale. Pr?ciser ce maximum. Quelle est alors la nature du triangle ABC ?

8

1. Compl?ments de trigonom?trie

r?sum?s de cours

exercices

PLQSRLQWV

Exercice 1

SRLQWV

D?terminer les valeurs exactes de cos 7 et sin 7 en utilisant l'?galit?

12

12

7 . 12 4 3

Exercice 2

Simplifier les expressions suivantes : A(x) cos3x cos x sin 3x sin x .

B(x) sin 4x cos2x sin 2x cos 4x .

C(x)

sin 3x cos3x pour x sin 2x cos2x

? ?

0

;

4

? ??

.

SRLQWV

Exercice 3 Lin?ariser : f(x) 2 cos2 x ? 3sin2 x ? 4 . g(x) sin x cos x ? 5cos2 x .

SRLQWV

Exercice 4

R?soudre dans >0 ; 2 @ :

1.

2

cos2

? ??

x

? 4 ??

1 sin x .

2.

sin

? ??

x

3

? ??

cos ???

x

3

? ??

t

1 4

.

SRLQWV

Exercice 5

Soit la fonction h d?finie sur >0 ; @ par h(x) 2sin2 x 3 .

SRLQWV

1. Montrer que hc(x) 2sin 2x .

2. D?terminer sur >0 ; @ le signe de hc(x) , en d?duire les variations de h.

3. Tracer, dans un rep?re orthogonal, la courbe repr?sentative de la fonction h.

4. D?terminer une ?quation de la tangente T ? la courbe repr?sentative de h au

point A d'abscisse x . 6

contr?les

corrig?s

1. Compl?ments de trigonom?trie

9

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