Ricard Peiró i Estruch

[Pages:14]Ricard Peir? i Estruch

Equacions trigonom?triques de la selectivitat russa.

1.- Resoleu l'equaci?:

cos 5x + cos x + 2cos 3x sin 2x = 12 cos 3x . Selectivitat russa 1971 1.1.

Soluci?: cos 5x + cos x + 2cos 3x sin 2x = 12 cos 3x . Transformant sumes amb productes. 2 cos 3x sin 2x + 2 cos 3x sin 2x = 12 cos 3x . 4 cos 3x sin 2x = 12 cos 3x .

cos 3x sin 2x = 3 cos 3x .

cos 3x(sin 2x - 3) = 0 .

cos 3x = 0 , 3x = + k , x = + k , k Z .

2

63

sin 2x = 3 , no t? soluci? real.

Solucions en radians en la primera volta de circumfer?ncia: x = , , 5 , 7 , 3 , 11 .

62 6 6 2 6 Solucions en sistema sexagesimal, en la primera volta de circumfer?ncia: x = 30? , 90?, 150?, 210? , 270? , 330? .

2.- Resoleu l'equaci?:

cos 2x + 4 sin x cos 2 2x - 2 sin x cos 4x = 0 . Selectivitat russa 1971 2.1.

Soluci?:

cos 2x + 4 sin x cos 2 2x - 2 sin x cos 4x = 0 . Raons angle doble.

( ) cos 2x + 4 sin x cos2 2x - 2 sin x cos2 2x - sin2 2x = 0 .

cos 2x + 4 sin x cos 2 2x - 2 sin x cos 2 2x + 2 sin3 2x = 0 .

( ) cos 2x + 2sin x cos2 2x + sin2 2x = 0 .

cos 2x + 2 sin x = 0 . Raons angle doble. 1- 2 sin 2 x + 2 sin x = 0 . Resolent l'equaci? de segon grau en sin x .

sin x = 1 - 3 . 2

x

=

arcsin

1

- 2

3

+

2k ,

x

=

-

arcsin

1- 2

3

+ 2k

,

kZ

Solucions aproximades en el sistema sexagesimal, en la primera volta de circumfer?ncia:

arcsin

1

- 2

3

-21?28'15"

x 201?28'15", 338?31'45" .

1

Ricard Peir? i Estruch

3.- Resoleu l'equaci?:

cos 3x sinx + 2cos2 - x = 1. 4

Selectivitat russa 1972 1.1.

Soluci?:

cos 3x sinx + 2cos2 - x = 1. 4

cos 3x sinx = 1 - 2cos2 - x . Raons angle doble: 4

cos 3x sinx = - cos - 2x . Raons angles complementaris: 2

cos 3x sin x = - sin 2x .

cos 3x sin x + sin 2x = 0 . Raons angle doble:

cos 3x sin x + 2 sin x cos x = 0 .

sin x(cos 3x + 2 cos x) = 0 . sin x(cos( x + 2x) + 2 cos x ) = 0 . sin x(cos x cos 2x - sin 2x sin x + 2 cos x) = 0 . Raons angle doble:

( ) sin x cos x cos2x - 2 sin2 x cos x + 2 cos x = 0 . ( ) sin x cos x cos2x - 2 sin2 x + 2 = 0 . Raons angle doble: ( ) sin x cos x 1- 2 sin2 x - 2 sin2 x + 2 = 0 . ( ) sin x cos x 3 - 4 sin2 x = 0 . Raons angle doble:

( ) 1 sin2x 3 - 4 sin2 x = 0 .

2 sin 2x = 0 . 2x = k , x = k , k Z .

2

3 - sin 2 x = 0 , sin x = ? 3 . x = ? + 2k , x = ? 5 + 2k , k Z .

2

3

3

Solucions en radians en la primera volta de circumfer?ncia:

x = 0, , , 2 , , 4 , 3 , 5 . 32 3 3 2 3

Solucions en sistema sexagesimal, en la primera volta de circumfer?ncia: x = 0? , 60?, 90? , 120?, 180?, 240?, 270? , 300? .

2

Ricard Peir? i Estruch

4.- Resoleu l'equaci?:

cos 3x - cos x = 3(1 + cos x) .

2

2

Selectivitat russa 1972 2 .1.

Soluci?:

cos 3x - cos x = 3(1 + cos x) . Raons de l'angle meitat:

2

2

cos 3x - cos x = 3 2 cos2 x . Transformant sumes amb productes:

2

2

2

- 2sin x sin x = 6 cos2 x . Raons de l'angle doble:

2

2

- 2 2 sin x cos x sin x = 6 cos2 x .

2 22

2

- 4 sin2 x cos x = 6 cos2 x .

22

2

2 sin2 x cos x + 3 cos2 x = 0

22

2

2 sin2 x + 3 cos x + cos x = 0 . Relacions fonamentals:

2

2 2

2 - 2 cos2 x + 3 cos x + cos x = 0 .

2

2 2

2 cos2 x - 3 cos x - 2cos x = 0 .

2

2 2

cos x = 0 , x = + k , x = + 2k , k Z .

2

22

2 cos2 x - 3 cos x - 2 = 0 . Resolent l'equaci?:

2

2

cos x = - 1 , x = ? 2 + 2k , x = ? 4 + 4k , k Z .

2 22 3

3

Solucions en radians en la primera volta de circumfer?ncia: x = 2 , , 4 .

33 Solucions en sistema sexagesimal, en la primera volta de circumfer?ncia: x = 120?, 180? , 240? .

3

Ricard Peir? i Estruch

5.- Resoleu l'equaci?:

2 sin x + cos 2x = 1. Selectivitat russa 1973 1.1.

Soluci?: 2 sin x + cos 2x = 1. Raons de l'angle doble: 2 sin x + cos 2 x - sin2 x = 1. sin x - sin2 x = 0 .

sin x(1- sin x) = 0 .

sin x = 0 . x = k , k Z . sin x = 1. x = + 2k , k Z .

2

Solucions en radians en la primera volta de circumfer?ncia: x = 0, , .

2 Solucions en sistema sexagesimal, en la primera volta de circumfer?ncia: x = 0? , 90? , 180? .

6.- Resoleu l'equaci?:

2 cos x - ctgx = 0 .

Selectivitat russa 1973 2.1.

Soluci?: 2 cos x - ctg x = 0 .

2 cos x - cos x = 0 , aleshores, x k , k Z . sin x

2 cos x sin x - cos x = 0 . cos x(2 sinx - 1) = 0

cos x = 0 , x = + k , k Z . 2

sin x = 1 , x = + 2k , x = 5 + 2k , k Z .

2

6

6

Solucions en radians en la primera volta de circumfer?ncia:

x = , , 5 , 3 . 62 6 2

Solucions en sistema sexagesimal, en la primera volta de circumfer?ncia: x = 30? , 90?, 120?, 270? .

4

Ricard Peir? i Estruch

7.- Resoleu l'equaci?:

ctgx = 2 + tg2x . cos 2x Selectivitat russa 1974 1.1.

Soluci?: Els domini d'exist?ncia de solucions ?s: x k , k Z ja que ctg(k) = .

2x + k , k Z ja que cos + k = 0 , tg + k = .

2

2

2

Aleshores, x k, + k , k Z . 42

ctgx = 2 + tg2x . cos 2x

cos x = 2 cos2x + cos 2x tg2x . sin x

cos x = 2 cos2x + sin 2x . sin x cos x = 2 sin x cos 2x + sin x sin 2x . Transformacions productes amb sumes:

cos x = 2 sin x cos 2x + 1 cos x - 1 cos3x .

2

2

1 (cos x + cos3x) = 2 sin x cos 2x . Transformant sumes amb productes:

2 cos 2x cos x = 2 sin x cos 2x .

cos 2x(cos x - 2 sin x) = 0 , cos 2x 0

cos x - 2 sin x = 0 .

tgx = 1 . 2

x = arctg 1 + k , k Z . 2

Solucions aproximades en el sistema sexagesimal, en la primera volta de circumfer?ncia:

arctg 1 26?33'54" 2

x 26?33'54", 206?33'54" .

5

Ricard Peir? i Estruch

8.- Resoleu l'equaci?:

ctg x + 5 = ctgx - 1. 4

Selectivitat russa 1974 2.1.

Soluci?:

ctg( + ) = ctg ctg - 1 .

ctg + ctg

El domini de les solucions ?s: x k , k Z ja que ctg(k) = .

x + 5 k , k Z ja que ctg(k) = .

4

ctg x + 5 = ctgx - 1. 4

ctgx - 1 = ctgx - 1. ctgx + 1

ctgx -1 = (ctgx - 1)(ctgx - 1). (ctgx - 1)ctgx = 0 .

ctgx = 0 , x = + k , k Z . 2

ctgx = 1, x = + k , k Z . 4

Solucions en radians en la primera volta de circumfer?ncia: x = , , 5, 3 .

42 4 2 Solucions en sistema sexagesimal, en la primera volta de circumfer?ncia: x = 45?, 90? , 225? , 270? .

9.- Resoleu l'equaci?:

sin(x + 7) + sin(3x - 1) = cos(x - 4) .

Selectivitat russa 1975 1.1.

Soluci?: sin(x + 7) + sin(3x - 1) = cos(x - 4) . Transformant sumes amb productes:

2 sin(2x + 3) cos(x - 4) = cos(x - 4) .

cos( x - 4)(2 sin(2x + 3) - 1) = 0 .

cos(x - 4) = 0 , x - 4 = + k . Aleshores, x = 4 + + k k Z .

2

2

sin(2x + 3) = 1 , 2x + 3 = + 2k , 2x + 3 = 5 + 2k , k Z .

2

6

6

x = - 3 + + k , x = - 3 + 5 + k , k Z .

2 12

2 12

6

Ricard Peir? i Estruch

10.- Resoleu l'equaci?:

2 sin(2x - 3) cos(x + 1) - sin(3x - 2) = 0 . Selectivitat russa 1975 2.1.

Soluci?: 2 sin(2x - 3) cos(x + 1) - sin(3x - 2) = 0 . Transformant productes amb sumes: sin(x - 4) + sin(3x - 2) - sin(3x - 2) = 0 sin(x - 4) = 0 . x - 4 = k , k Z . x + 4 + k, k Z .

11.- Resoleu l'equaci?:

1- 2 2 cos3 3x + cos 6x = 0 . Selectivitat russa 1976 1.1.

Soluci?:

1- 2 2 cos3 3x + cos 6x = 0 . Raons angle doble: 1- 2 2 cos3 3x + 2 cos2 3x - 1 = 0 .

- 2 cos3 3x + cos2 3x = 0 .

( ) - 2 cos 3x + 1 cos 2 3x = 0 .

cos 3x = 0 , 3x = + k , x = + k , k Z .

2

63

cos 3x = 2 , 3x = ? + 2k , x = ? + 2 k , k Z .

2

4

12 3

Solucions en radians en la primera volta de circumfer?ncia: x = , , , 7 , 3 , 5 , 5 , 17 , 23 .

12 6 2 12 4 6 4 12 12 Solucions en sistema sexagesimal, en la primera volta de circumfer?ncia: x = 15? , 30?, 90? , 105? , 135?, 150?, 225? , 255? , 345? .

7

Ricard Peir? i Estruch

12.- Resoleu l'equaci?:

16 cos 5 2x - cos 4x = 1. Selectivitat russa 1976 2.1.

Soluci?: 16 cos 5 2x - cos 4x = 1. Raons angle doble:

( ) 16 cos5 2x - 2 cos2 2x -1 = 1.

8 cos 5 2x - cos 2 x = 0 .

( ) 8cos3 2x - 1 cos2 x = 0 .

cos x = 0 , x = + k , x = + k , k Z .

2

2

cos3 2x = 1 . 8

cos 2x = 1 . 2

cos 2x = 1 , 2x = ? + 2k , x = ? + k , k Z .

2

3

6

Solucions en radians en la primera volta de circumfer?ncia: x = , , 5 , 7 , 3 , 11 .

62 6 6 2 6 Solucions en sistema sexagesimal, en la primera volta de circumfer?ncia: x = 30? , 90?, 150?, 210? , 270? , 330? .

13.- Resoleu l'equaci?:

cos2 x = 1 . 4

Selectivitat russa 1977 1.1.

Soluci?:

cos2 x = 1 . 4

cos x = ? 1 . 2

Si cos x = 1 , x = ? + 2k , k Z .

2

3

Si cos x = - 1 , x = ? 2 + 2k , k Z .

2

3

Solucions en radians en la primera volta de circumfer?ncia: x = , 2 , 4 , 5 .

33 3 3 Solucions en sistema sexagesimal, en la primera volta de circumfer?ncia: x = 60? , 120? , 240? , 300? .

8

 ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download