5. TRIGONOMETRISKAS, LOGARITMISKAS UN EKSPONENTFUNKCIJAS

[Pages:32]5. TRIGONOMETRISKAS, LOGARITMISKAS UN EKSPONENTFUNKCIJAS

Temata apraksts Skolnam sasniedzamo rezulttu cevedis Uzdevumu piemri Stundas piemrs

M_10_SP_05_P1 M_10_UP_05_P1 M_10_LD_05

Trigonometrisko funkciju grafiku konstrusana Funkciju grafiki Pulkstea rdtju kustba

Krtjais vrtsanas darbs Nobeiguma vrtsanas darbs

1.variants 2.variants Vrtsanas kritriji

Skolna darba lapa Skolna darba lapa Skolna darba lapa

Lai atvru dokumentu aktivjiet saiti. Lai atgrieztos uz so satura rdtju, lietojiet taustiu kombinciju CTRL+Home.

TRIGONOMETRISKAS, LOGARITMISKAS UN EKSPONENTFUNKCIJAS

TRIGONOMETRISKAS, LOGARITMISKAS UN EKSPONENTFUNKCIJAS

TEMATA APRAKSTS

Lai apraksttu maingus procesus, nepieciesamas ar tdas funkcijas, k ekspo-

nentfunkcijas, logaritmisks un trigonometrisks funkcijas, jo ne vienmr to var iz-

dart ar linerm funkcijm, kvadrtfunkcijm un pakpes funkcijm,. oti daudzus

dabas procesus, piemram, baktriju skaita izmaias, radioaktvo elementu daudzu-

ma atkarbu no laika, raksturo eksponentfunkcija.

Saj temat tiek definti daudz jauni jdzieni: n ? ts pakpes sakne, pakpe ar

racionlu kpintju, logaritms. Darbbas ar saknm un logaritmiem tiks apskattas

12. klases tematos "Eksponentviendojumi un neviendbas" un "Logaritmiskie vie-

ndojumi un neviendbas". Papildus jau apgtajiem jdzieniem, kas saistti ar funk-

ciju: defincijas un vrtbu apgabals, funkcijas nulles, augsanas un dilsanas intervls,

72

vislielk, vismazk vrtba, paritte, tiek ieviests jdziens funkcijas periodiskums.

Td tiek akcentta prasme saskatt periodiskumu dazdos procesos, piemram,

svrstbas, vii, Saules lktu laiks, Mness fzu maia. Pirms trigonometrisko funk-

ciju apguves, papildus skolnam jau pazstajai lea mrsanai grdos, jlieto jauna

lea lieluma mrvienba ? radins.

Nepieciesams nostiprint prasmi saskatt funkciju kopgs un atsirgs pas-

bas, saistot ts ar jaunm funkcijm (eksponentfunkciju, logaritmisko funkciju un

trigonometriskm funkcijm) un to grafiku konstrusanu, ptsanu, tai skait, pa-

rametru ietekmi uz funkcijas grafiku. Parametru ietekme uz funkciju grafikiem tiek

ptta, izmantojot informcijas tehnoloijas. Grafiku transformciju iegaumsana

netiek prasta, svarga ir izpratne par transformciju veidosanos. Tiek aplkota ti-

kai to parametru ietekme, kas nepieciesama apgstot fiziku, risinot praktiska satura

uzdevumus.

oti svarga ir spja formult matemtiskos faktus, preczi un pareizi lietojot ma-

temtiskos terminus. Vlams mcties to, saskatot funkcijas pasbas, dazdus faktus

par parametru ietekmi uz funkcijas grafiku.

TRIGONOMETRISKAS, LOGARITMISKAS UN EKSPONENTFUNKCIJAS

MATEMTIKA 10. klase

STANDART

CEVEDIS

Galvenie skolnam sasniedzamie rezultti

Izprot funkcijas un ar to saisttos jdzienus; lieto dazdus funkcijas uzdosanas veidus (grafiski, analtiski, ar tabulu); pazst lineru funkciju, kvadrtfunkciju, pakpes funkciju ar veselu kpintju, eksponentfunkciju, logaritmisko funkciju, trigonometrisks funkcijas, virkni k naturla argumenta funkciju.

Nosaka funkciju un to kompozciju pasbas, izmantojot grafiku un analtiski, lieto funkciju pasbas.

Formul, argument, pamato viedokli (tai skait ? matemtiskas sakarbas, faktus, sava darba rezulttus) un ciena citu viedokli.

Izmanto IT informcijas apkoposanai, sakrtosanai, prveidosanai un apriniem.

Saskata matemtikas saikni ar dabas un humanitrajm zintnm.

? Uzzm funkciju y = ax,

? Izprot periodiskuma

? Formul saskatts

? Lieto IT, aprinot funkciju ? Saskata periodiskumu dazdos

y = logax, y = asinbx, y = acosbx, y = atgbx,

jdzienu, pc funkcijas

funkciju pasbas, faktus

vrtbas, konstrujot funkciju procesos, piemram, svrstbas,

73

grafika nosaka, vai funkcija par parametru ietekmi uz grafikus un ptot parametru vii, Saules lktu laiks, Mness

y = actgbx grafikus, izmantojot

ir periodiska, periodiskai

funkcijas grafiku.

ietekmi uz funkciju

fzu maia, konstru un

zinsanas par funkciju pasbm un funkcijai nosaka perioda

y = asinbx, y = acosbx,

izmanto atbilstoso funkciju

konkrtas vrtbas.

garumu.

y = abx grafikiem.

grafikus, raksturojot sos

procesus.

? Lieto eksponentfunkcijas,

logaritmisks funkcijas un

? Izprot, ka daudzi reli procesi

trigonometrisko funkciju

ir eksponencili, piemram,

pasbas.

razosanas izmaksas, pasaules

iedzvotju skaita izmaias,

baktriju vairosans,

kondensatora izldsans,

aprina to raksturlielumus.

Uzdevumu risinsana. SP. Trigonometrisko funkciju grafiku konstrusana.

Problmu risinsana. SP. Trigonometrisko funkciju grafiku konstrusana.

Uzdevumu risinsana. SP. Trigonometrisko funkciju grafiku konstrusana.

Izpte. LD. Pulkstea rdtju kustba.

VM. Trigonometrisko funkciju grafiki.

KD. Funkciju grafiki un nosaukumi. KD. Funkciju grafiku zmsana.

VM. Eksponentfunkciju grafiki. VM. Logaritmisko funkciju grafiki.

PROGRAMM

STUND

TRIGONOMETRISKAS, LOGARITMISKAS UN EKSPONENTFUNKCIJAS

UZDEVUMU PIEMRI

Sasniedzamais rezultts I

II

Izprot jdzienus: n?ts pakpes sakne, logaritms, decimllogaritms, naturllogaritms, pakpe ar daveida kpintju, aprina logaritma un n?ts pakpes saknes vrtbu, izmantojot definciju.

1. Izteiksmi a?5 prveido par pakpi ar pozitvu kpintju!

4

2. Izteiksmi 73 uzraksti k sakni!

3. No viendbas 34=81 izsaki skaitli 4!

4. Pabeidz teikumu!

Izteiksmes 3 10 vrtba ir skaitlis, kuru kpinot .............. iegst .............

5. Aprini!

Aprini!

a) log2 2

b) log1125 5

c) log3lg10

d) 2 5 1024

2

e) 1253

f)

5?2

1

?log6

16?

g) 82? 2

a) log264

74

b) log71

c) lne3

d) 5 32

e) logaa, ja a>0, a1 f ) loga1, ja a>0, a1

III

1. Izsaki savus apsvrumus, kpc logaritms netiek defints pie bzes 1!

2. Starp kuriem blakus esosiem veseliem skaitiem atrodas dotais skaitlis? a) 4 30 b) log335 c) ln35

TRIGONOMETRISKAS, LOGARITMISKAS UN EKSPONENTFUNKCIJAS

MATEMTIKA 10. klase

Sasniedzamais rezultts I

II

III

Atpazst

1. Kdu funkciju sauc par eksponentfunkciju? Ieguldot naudu bank, svargi aprint

Dots kvadrts. Pirmaj sol to sagriez cetros

eksponentfunkciju,

Uzskic ts grafiku gadjum, ja bze ir lielka noguldjuma vrtbu pc noteikta gadu

viendos kvadrtos. Otraj sol katru iegto

logaritmisko funkciju un trigonometrisks funkcijas, ja ts uzdotas analtiski vai grafiski, izprot to defincijas un vrtbu apgabalus.

nek 1 un gadjum, ja bze ir lielka nek 0 un mazka nek 1!

2. Nosaki, kdas funkcijas grafiks ir attlots zmjum! Nosaki ts vrtbu apgabalu!

y

1

0,5

0

?

?

2 3

?2

?3

-0,5

2

3

2

3

-1

skaita. To aprina ar salikto procentu formulu

A

(

t

)

=

A?(1+

r 100

)t

,

kur

A?

?

noguldts

naudas

apjoms (Ls), r ? bankas procentu likme, t ? laiks

(gados), A(t) ? noguldjuma summa (Ls) pc t

gadiem.

a) Bank tika noguldti Ls 500 ar procentu likmi 5 %. Uzraksti izteiksmi, kas apraksta noguldjuma summu pc 15 gadiem!

kvadrtu sagriez cetros viendos kvadrtos. Tresaj sol katru iegto kvadrtu sagriez cetros viendos kvadrtos utt. Vai sagriesanas rezultt iegto kvadrtu skaitu var aprakstt ar funkciju? Ja var, uzraksti ss funkcijas analtisko izteiksmi!

3. Zmjum doti divi eksponentfunkcijas y=ax grafiki. Atrodi bzes vrtbu un uzraksti

b)

Vai

sakarba

A

(

t

)

=

A?(1+

r 100

)t

ir funkcija? Ja

ir, tad kura no tev zinmajm funkcijm t

katram grafikam atbilstosu funkcijas analtisko

ir? Nosaki ts defincijas apgabalu!

izteiksmi!

y

A

3

B

75

2

1

0

x

?3 ?2 ?1 0 1 2 3

?1

?2

Zina sakarbu starp grdiem un radiniem, priet no vienm lea lieluma mrvienbm uz otrm.

1. Prveido grdos!

a)

6 ?

;

b)

2; 3

c)

7

2. Prveido radinos!

a) 45?; b) 150?; c) 1080?

1. Nosaki izteiksmes cos5 zmi!

2. Saldzini! sin3 ... sin200?

Situcija klas: Krltis kdu laiku nebija sekojis stundai. Paskatjies uz tfeli, vis ieraudzja rindiu =180?. "Skolotj, es tomr te kaut ko nesaprotu, vai tad viendba 3,14=180? ir pareiza?" K tu atbildtu uz so jautjumu?

TRIGONOMETRISKAS, LOGARITMISKAS UN EKSPONENTFUNKCIJAS

Sasniedzamais rezultts

Lieto eksponentfunkcijas, logaritmisks funkcijas un trigonometrisko funkciju pasbas.

I

1. Nosaki, kuras no funkcijm y=2x, y=log2x, y=sinx un y=cos2x ir pra funkcijas!

2. Kuras no funkcijm y=0,3x, y=log x, y=ex 3 un y=log1x ir tikai augosas un kuras tikai 5 dilstosas?

3. Kuras no funkcijm y=2x, y=tgx, y=1?2x,

y=cosx, y=log3x ir periodiskas? Kds ir to periods?

II

1. Vienkrso! sin(?x)+cos(?x)tgx

2. Nosaki funkcijas y=0,5x lielko un mazko vrtbu intervl [?2;2]!

3. Pamato izteiksmes prveidojumus! sin(?480?)=?sin480?=?sin120?=? 3 2

III

1. Kurai no tev zinmajm funkcijm vienlaikus piemt sdas pasbas: a) funkcija ir periodiska; b) funkcijai ir gan pozitvas, gan negatvas vrtbas; c) funkcija ir augosa vis defincijas apgabal?

2. Vai dot funkcija ir pra? Atbildi pamato! a) y=sin2x b) y=log22x

76

Izprot periodiskuma

Uzskic grafiku periodiskai funkcijai, kuras

jdzienu, pc funkcijas periods ir 2!

grafika nosaka, vai

funkcija ir periodiska,

periodiskai funkcijai

nosaka perioda garumu.

Uzzm funkciju y=ax; y=logax; y=asin(bx); y=acos(bx); y=tgx; y=ctgx grafikus, izmantojot zinsanas par funkciju pasbm un konkrtas vrtbas.

1. Uzzm funkcijas

y=

1 3

x

grafiku, preczi

atliekot vismaz 3 punktus!

2. Uzskic funkciju grafikus! a) y=log3x b) y=cosx

Lieto funkcionlo simboliku, aprinot parametru vrtbas, ja dotas argumenta un funkcijas vrtbas.

Vai dotie punkti pieder funkcijas y=log0,25x grafikam?

a) (0,5;2) b) (4;?1) c) (0;1) d) (1;0)

3. Cik kopgu punktu ir funkciju y=sinx un y=tgx

grafikiem intervl

?2;

2

? Atbildi pamato!

1. Funkcijas y=f(x) periods ir 3. Aprini f(57), ja f(0)=1, f(1)=3, f(2)=5, f(3)=1!

2. Uzzm grafiku funkcijai

y=

1, ja x[2n;2n+1) , nZ! 0, ja x[2n+1;2n+2)

Ja t ir periodiska, tad nosaki ts periodu!

Uzzm funkcijas y=?2sinx grafiku intervl [?2;2]!

Ar {x} tiek apzmta skaita x daveida daa (piemram, {5,8}=0,8; {4}=0). Uzzm funkcijas y={x} grafiku, ja x0! Nosaki ts periodu!

Darba lap (M_10_UP_05_P1) doti cetru funkciju grafiki. Iezm x un y asis (lapas var grozt plakn) t, lai vien no zmjumiem btu funkcijas y=2x grafiks, vien funkcijas y=0,5x grafiks, vien funkcijas y=log2x grafiks un vien funkcijas y=log0,5x grafiks! Vienba ir 2 rtias.

1. Funkcijas y=a3x grafiks krusto ordintu asi punkt (0;2). Aprini a vrtbu!

2. Funkcijas y=acosx grafikam pieder punkts 23;?3 . Aprini a vrtbu!

Funkcijas y=abx grafikam pieder punkti (1;6) un (3;24). Aprini a un b vrtbas!

TRIGONOMETRISKAS, LOGARITMISKAS UN EKSPONENTFUNKCIJAS

MATEMTIKA 10. klase

Sasniedzamais rezultts I

II

III

Raksturojot funkciju pasbas, konstrujot un lasot funkciju grafikus, lieto jdzienus: defincijas apgabals, vrtbu apgabals, funkcijas nulles, augosa un dilstosa, periodiska, pra funkcija, nepra funkcija, augsanas un dilsanas intervls, lielk un mazk vrtba.

Vrdiski raksturo dots funkcijas pasbas, izmantojot ts grafiku!

-4 -3

y

2

1

0

-2 -1

01

-1

x

23 4

-2

K, konstrujot funkcijas y=cosx grafiku, var izmantot to, ka s funkcija ir pra funkcija un periodiska funkcija?

Par funkciju f(x) ir zinms, ka D(f )=R; E(f )=(0;+); funkcija ir augosa vis defincijas apgabal; funkcijas grafika krustpunkts ar y asi ir (0;1); funkcijai nav lielks un mazks vrtbas. Uzskic iespjams funkcijas grafiku! Kda vartu bt ss funkcijas analtisk izteiksme?

Saldzina izteiksmju vrtbas, izmantojot

1. Nosaki izteiksmes 21,5 aptuveno vrtbu, izmantojot funkcijas y=2x grafiku! Pc tam

1. Izmantojot funkcijas y=0,5x grafiku, saldzini izteiksmju 0,5?3,5 un 0,5?4,5 vrtbas!

Sakrto izteiksmes logaa, loga3 un loga5 augos secb, ja a>0, a1!

funkciju pasbas.

ar kalkulatoru prbaudi iegts atbildes

precizitti!

2.

Saldzini

izteiksmju

log2

1 3

un

log4

1 3

vrtbas,

77

2. Nosaki izteiksmju cos90?, sin390?, sin3

neizmantojot kalkulatoru!

vrtbas, neizmantojot kalkulatoru!

3. Nosaki izteiksmes 3+2cosx lielko un mazko

vrtbu visiem xR!

Saskata kopgs un atsirgs funkciju pasbas.

1. Ar kdm parametra a vrtbm funkcijas y=logax un y=ax ir augosas?

2. Uzraksti formulas trim eksponentfunkcijm, kuras ir dilstosas!

Ar ko atsiras funkciju y=sinx un y=cosx grafiki? Raksturo funkciju y=3x; y=tgx; y=x3 kopgs un Nosaki funkciju y=sinx un y=cosx kopgs un atsirgs pasbas! atsirgs pasbas intervl [?2;2]!

Formul saskatts funkciju pasbas, faktus par parametru ietekmi uz funkciju grafiku.

Formul teikumu/us, kas matemtiski korekti un preczi raksturotu funkcijas y=sinx:

a) zmi vis defincijas apgabal,

b) augsanas un dilsanas intervlus vis defincijas apgabal!

Uzraksti su ststjumu, kur saldzintas funkciju y=cosx un y=?cosx pasbas!

Formul teikumu/us, kas matemtiski korekti un preczi raksturotu funkcijas y=asinx (a0) pasbas atkarb no a!

Sadarbojas, risinot problmuzdevumus par parametru ietekmi uz funkciju grafiku.

Uzdevums skolnu grupai. Dotas funkcijas y=sinx un y=cosx. Katrs no pra dalbniekiem uzskic vienas funkcijas grafiku un uzraksta ts pasbas. Izmantojot funkciju grafikus un pasbas, formuljiet so funkciju kopgs un atsirgs pasbas intervl [?2;2]!

Uzdevums skolnu grupai.

Dotas y=sin

funkcijas x. 4

y=sin2x,

y

=sin4x,

y=sin

x 2

,

Katrs no grupas dalbniekiem uzzm vienu no

doto funkciju grafikiem un nosaka funkcijas

periodu. Apspriezoties grup, nosakiet funkcijas

y=sinbx periodu!

Uzdevums skolnu grupai. Izveidojiet plnu funkciju y=asinbx un y=acosbx grafiku zmsanai!

TRIGONOMETRISKAS, LOGARITMISKAS UN EKSPONENTFUNKCIJAS

Sasniedzamais rezultts

Lieto IT, aprinot funkciju vrtbas, konstrujot funkciju grafikus, ptot funkciju pasbas un parametru ietekmi uz funkciju y = asinbx, y = acosbx, y = abx grafikiem.

I

1. Ar kalkulatoru aprini log344 ar precizitti

ldz

0,1,

izmantojot

sakarbu

logab=

lnb lna

!

2. Vien koordintu sistm uzzm funkciju y=sinx, y=0,5sinx un y=2sinx grafikus (katru sav krs)! Uzraksti so funkciju:

a) defincijas apgabalus,

b) vrtbu apgabalus,

c) augsanas, dilsanas intervlus,

d) periodu!

II

III

1. Raksturo, k, mainot parametru a (a0),

1. Viena banka piedv procentu likmi 6 %, bet

mains funkcijas y=cosx grafiks un pasbas!

otra banka 8 %.

2. K mains pasbas funkcijai y=a2x, mainoties parametram a (a0)?

a) Neizdarot aprinus, novrt, k atsirsies ieguldts summas vrtba pc 25 gadiem, ja iegulds Ls 500!

3. Konstru funkciju y=sinx, y=4sinx un y=sin4x grafikus, izmantojot programmu Excel! Izmantojot iegtos grafikus, prognoz funkciju y=0,5sin2x un y=2sin3x grafiku aptuvenu novietojumu koordintu sistm un uzskic tos!

b) Aprini ieguldto summu vrtbas,

izmantojot salikto procentu formulu

A

(

t

)

=

A?(1+

r 100

)t

!

c) Iegtos rezulttus saldzini ar savu

piemumu!

3. Vro (M_10_UP_05_VM2, VM3, VM4, VM5) un raksturo, k mains funkciju y=ax un y=logax grafiki, mainoties a vrtbai!

78

2. Izpti un raksturo, k mainoties b vrtbai, mains funkcijas y=sinbx periods! Izmanto iegts zinsanas un nosaki parametra b vrtbu funkcijai y=2sinbx, kuras periods ir 4!

Saskata periodiskumu dazdos procesos, pie-

Novrt, kuri no nosauktajiem procesiem ir periodiski: Zemes kustba ap Sauli, marsruta

Uzzm grafiku, kas raksturo periodisku dabas Izvrt, ar ko atsiras periodiskuma jdziena procesu (piemram, saullkta laiks (ordintu ass) lietosana matemtik un relu procesu

mram, svrstbas, vii, autobusa kustba, mness fzu maia,

atkarb no gada dienas (abscisu ass))!

aprakstos!

Saules lktu laiks, Mness lietusgzes Rg! fzu maia, konstru un izmanto atbilstoso funk-

ciju grafikus, raksturojot

sos procesus.

Izprot, ka daudzi reli procesi ir eksponencili, piemram, razosanas izmaksas, pasaules iedzvotju skaita izmaias, baktriju vairosans, kondensatora izldsans, aprina to raksturlielumus.

1. Pasaules iedzvotju skaits 35 gadu laik divkrsojas. 1940. gad tas bija aptuveni 2 miljardi. Uzzm grafiku, kas ilustrtu prognozjamo pasaules iedzvotju skaitu ldz 2080. gadam, ja iedzvotju skaita pieauguma tendence saglabsies!

2. Jaunas automasnas cena katru gadu samazins par 20 %. Aizpildi tabulu, nosakot automasnas cenu A(t) pc t gadiem! Uzskic grafiku funkcijai, kas attlo automasnas cenu atkarb no laika!

t 012345

A(t) 10000

1. Dazas au sugas oti strauji attsts. Noteiktos apstkos atkarb no laika x (diennakts) to garums y (cm) pieaug eksponencili, atbilstosi formulai y=abx. Attstoties aei, kuras skotnjais garums ir 2,4 cm, ts garums vien diennakt ir pieaudzis ldz 2,88 cm. Cik gara bs s ae pc 10 diennaktm?

2. Piens ir laba baktriju barotne. Konstant temperatr baktriju skaits y atkarb no laika x (min) pieaug eksponencili atbilstosi formulai y=abx . Piemram, 24?C temperatr baktriju skaits dubultojas ik pc 30 mintm. Virtuv, kuras temperatra ir 24?C, novieto 1 litru piena, kur ir 50 baktrijas. Uzraksti formulu, kas raksturo so konkrto procesu! Cik baktriju pien bs pc 5 stundm?

Rdija pussabruksanas periods ir 1600 gadi (t laik radioaktv elementa masa samazins tiesi 2 reizes). Uzraksti formulu funkcijai, kas parda rdija masas m izmaiu atkarb no laika t (gados), ja t skotnj masa ir 1 kg!

 ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download