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Truy cp ti t?i liu hc tp, b?i ging min ph?

C?u : Gii c?c phng tr?nh sau:

1). 1 2 sin x 2 sin 2x 2 cos x cos 2x 3 1 cos x

2 sin x 1 2). cos 2x tan2 x cos2 x cos3 x 1

cos2 x

3).

4 cos2

x 2

2

cos2

7 4

x

3 cos 2x 3 3

0

1 2 sin x

4). sin x.sin 2x 2 sin x.cos2 x sin x cos x 6 cos 2x

sin

x

4

5). 1 cot 2x 4 sin2 x 1 cos 4x

6). cos 2x 3 1 sin x 2 cos x 2 sin 2x 2 sin x 1

2 cos x 1

2 3 sin 2x 1 cos 2x 4 cos 2x.sin2 x 3

7).

0

2 sin 2x 1

8). sin2 x (1 cos 2x)2 2 cos 2x 2 sin 2x

LI GII

1). 1 2 sin x 2 sin 2x 2 cos x cos 2x 3 1 cos x

2 sin x 1

LI GII

iu

kin:

2 sin

x

1

0

sin

x

1 2

x x

k2 6 5 k2 6

,k

?

? tng: C?c bn ?: t ca v tr?i, t s ph?n t?ch c th?nh nh?n t chung, v? r?t gn c mu...ta l?m nh sau:

1 2 sin x 4 sin x cos x 2 cos x cos 2x 3 1 cos x

2 sin x 1

2 sin x 1 2 cos x2 sin x 1

cos 2x

3 1 cos x

2 sin x 1

Truy cp ti t?i liu hc tp, b?i ging min ph?

Truy cp ti t?i liu hc tp, b?i ging min ph?

2 sin x 11 2 cos x

cos 2x

3 1 cos x

2 sin x 1

1 2 cos x 2 cos2 x 1 3 3 cos x

2 cos2 x 2 3 cos x 3 0 cos x 3 cos x 1 2

Vi cos x 3 cos x cos x k2,k Z

2

6

6

Vi cos x 1 x k2 k Z.

Kt hp vi iu kin nghim ca phng tr?nh: x k2; x k2,k Z.

6

2).

cos 2x tan2 x

cos2 x cos3 x 1 cos2 x

LI GII

iu kin: cos x 0.

? tng: Bin i VP ta r?t gn c tan2 x ....

cos

2x

tan2

x

cos2 cos2

x x

cos2 cos2

x x

1 cos2

x

cos

2x

tan2

x

1

cos

x

1 cos2

x

cos 2x tan2 x 1 cos x 1 tan2 x

2 cos2 x 1 cos x 0 2 cos2 x cos x 1 0 cos x 1 hoc cos x 1 . 2

So vi iu kin cos x 0 hai gi? tr n?y u nhn.

Vi cos x 1 x k2 k Z.

Vi cos x 1 cos x cos 2 x 2 k2 k Z.

2

3

3

Nghim ca phng tr?nh: x k2; x 2 k2; x 2 k2,k Z.

3

3

3).

4 cos2

x 2

2

cos2

7 4

x

3 cos 2x 3 3

0

1 2 sin x

LI GII

Truy cp ti t?i liu hc tp, b?i ging min ph?

Truy cp ti t?i liu hc tp, b?i ging min ph?

iu kin: 1 2 sin x 0 sin x 1 sin x sin

2

6

x x

k2

6

,k

5 k2

6

Z.

? tng: H bc, sau ? r?t gn...

Ta c?: g 4 cos2 x 4. 1 cos x 2 1 cos x.

2

2

g

2

cos2

7 4

x

1

cos

7 2

2x

1

cos

3

2

2x

1

cos

2

2x

1

sin

2x.

2 1 cos x 1 sin 2x 3 cos 2x 3 0

3 cos 2x sin 2x 2 cos x 0 3 cos 2x sin 2x 2 cos x

3 cos 2x 1 sin 2x cos x cos 2x.cos sin 2x.sin cos x

2

2

6

6

cos

2x

6

cos

x

x

5 k2 18 3

hoc

x 7 k2,k Z

6

Biu din nghim

-

7 5

6 17

6

18

5 18

6

29 18

Ta thy hai u m?t 7 v? 5 tr?ng nhau, vy nghim x 7 k2 loi.

6

6

6

C?n nghim x 5 k2 c biu din ba u m?t 5 , 17 , 29 u kh?c hai u m?t v? 5 .

18 3

18 18 18

66

Vy nghim x 5 k2 nhn. 18 3

Kt lun nghim phng tr?nh x 5 k2 . 18 3

Truy cp ti t?i liu hc tp, b?i ging min ph?

Truy cp ti t?i liu hc tp, b?i ging min ph?

bit nghim

x k2 ,k, n ? , c? bao nhi?u u m?t,

n

ta ly

k2

:

k2 n

n

vy nghim n?y

c? n u m?t, sau ? chn k = 0,1, 2, 3,..., n ? 1.

4). sin x.sin 2x 2 sin x.cos2 x sin x cos x 6 cos 2x

sin

x

4

LI GII

iu

kin:

sin

x

4

0

x

4

k

x

4

k,

k

?

2 sin2 x.cos x 2 sin x.cos2 x sin x cos x 6 cos 2x

sin

x

4

2 sin x.cos x sin x cos x sin x cos x

sin

x

4

6 cos 2x

sin x cos x1 2 sin x cos x 3 cos 2x sin x cos x

1 2 sin x cos x 3 cos2 x sin2 x

sin x cos x2 3 sin x cos xsin x cos x

sin x cos x 3 sin x cos x

1 3 sin x 3 1 cos x

3 1

tan x

tan x tan 5 x 5 k,k Z.

1 3

12

12

So vi iu kin nghim ca phng tr?nh x 5 k,k Z

12

5). 1 cot 2x 4 sin2 x

1 cos 4x

LI GII

iu

kin:

sin 2x 0 1 cos 4x

0

sin 2x cos 4x

0 1

Truy cp ti t?i liu hc tp, b?i ging min ph?

Truy cp ti t?i liu hc tp, b?i ging min ph?

1

cos 2x sin 2x

4 sin2 x 2 sin2 2x

sin 2x cos 2x 2 sin2 x

sin 2x

sin2 2x

sin 2x cos 2x sin 2x 1 cos 2x

sin2 2x 1 sin 2x cos 2x cos 2x 0

sin 2x 1sin 2x 1 cos 2xsin 2x 1 0

sin 2x 1sin 2x 1 cos 2x 0

sin 2x 1 0 sin 2x cos 2x 1 0

Vi sin 2x 1 0 sin 2x 1 (nhn) 2x k2 x k.

2

4

Vi

sin 2x

cos 2x

1

cos

2x

4

cos

4

x k hoc x k . 4

Ta thy

x k th? 4

sin

2x

sin

2

k2

1

0

v?

cos 4x cos k4 1 0 . Vy

nghim

x k nhn. 4

Tng t thay 2 nghim x k , x k th? nghim x k l?m sin 2x = 0, n?n nghim n?y b loi. 4

So vi iu kin nghim ca phng tr?nh: x k; x kk Z

4

4

6). cos 2x 3 1 sin x 2 cos x 2 sin 2x 2 sin x 1

2 cos x 1

LI GII

iu kin: 2 cos x 1 0 cos x 1 x k2,k Z.

2

3

Ph?n t?ch t s ca VP th?nh nh?n t, sau ? r?t gn...

cos 2x 3 1 sin x 2 cos x 1 2 sin x2 cos x 1

2 cos x 1

cos 2x 3 1 sin x 2 cos x 11 2 sin x

2 cos x 1

1 2 sin2 x 3 3 sin x 1 2 sin x

Truy cp ti t?i liu hc tp, b?i ging min ph?

Truy cp ti t?i liu hc tp, b?i ging min ph?

2 sin2 x 2 3 sin x 3 0 sin x 3 hoc sin x 1 . 2

Vi sin x 3 sin x sin x k2 hoc x 2 k2,k Z

2

3

3

3

Vi sin x 1 x k2,k Z

2

So vi iu kin nghim ca phng tr?nh: x 2 k2; x k2,k Z.

3

2

7). 2 3 sin 2x 1 cos 2x 4 cos 2x.sin2 x 3 0

2 sin 2x 1

LI GII

iu kin: 2 sin 2x 1 0 sin 2x 1 2

2x 2x

k2 6 5 k2 6

x x

12 5 12

k

,k

k

Z.

2 3 sin 2x 2 3 sin 2x cos 2x 2 cos 2x 1 cos 2x 3 0

2 3 sin 2x 2 cos 2x 3 sin 4x 2 cos2 2x 3 0 2 3 sin 2x 2 cos 2x 3 sin 4x 1 cos 4x 3 0

2 3 sin 2x cos 2x 3 sin 4x cos 4x 2 0

2

3 2

sin

2x

1 2

cos

2x

3 sin 4x 1 cos 4x 1 0

2

2

2

sin

2x.

cos

6

cos

2x.

sin

6

sin

4x. sin

3

cos

4x.

cos

3

1

0

2

sin

2x

6

cos

4x

3

1

0

Ta c?

4x 3

2

2x

6

?p dng c?ng thc nh?n ?i, ta c:

2

sin

2x

6

1

2

sin2

2x

6

1

0

2

sin

2x

6

1

sin

2x

6

0

sin

2x

6

0

sin

2x

6

1

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Vi

sin

2x

6

0

x k hoc x 7 k ,k Z

12

12

Vi

sin

2x

6

1

2x

6

2

k2

x

3

k

kZ.

So vi iu kin nghim ca phng tr?nh: x 7 k; x k,k Z.

12

3

8). sin2 x (1 cos 2x)2 2 cos 2x 2 sin 2x

iu kin sin 2x 0

1 cos2 x 4 cos4 x 2(2 cos2 x 1) cot x.cos2 x 5 cos2 x 3 4 sin x.cos x

Chia hai v cho cos2 x ( da v?o iu kin cos x 0 )

1 tan

x

5

3 cos2

x

1 5 3(1 tan2 x) 3 tan3 x 2 tan x 1 0 tan x

tan x 1 x k (k ? ) 4

So vi iu kin nghim ca phng tr?nh x k (k ? ) 4

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