Vzorce pre dvojnásobný argument

[Pages:22]Ma-Go-14-T

Vzorce pre dvojn?sobn? argument

RNDr. Mari?n Macko

List 1

U: Predstav si, ze by sme mali za ?lohu nacrtn? graf funkcie f : y = 2 sin x cos x. Co by si pri riesen? vyuzil?

Z: Asi by som n?sobil hodnoty funkci? s?nus a kos?nus pre niekoko hodn?t argumentu x.

U: Uk?zeme si, ze existuje in?, jednoduchs? predpis tejto funkcie. Tento predpis bude s?visie iba s hodnotami jednej goniometrickej funkcie.

Z: Ako sa k nemu dopracujeme?

U: V?chodiskom n?m bud? s?ctov? vzorce. Pripomeme si najsk?r, ako sa d? vyjadri sin(x + y) pomocou hodn?t sin x, sin y, cos x a cos y.

Z: Plat?:

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y.

U: Co dostaneme, ak oba argumenty v tomto vzorci bud? rovnak?? Teda y = x.

Z: Namiesto y dosad?m premenn? x a dost?vam

sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin x.

Ale oba sc?tance na pravej strane s? rovnak?, lebo v druhom sc?tanci m?zem zameni poradie n?sobenia.

sin(x + x) = sin x cos x + sin x cos x

U: Takze si dostal v?raz 2 sin x cos x, ktor? s?vis? s nasou ?lohou. Poda ?prav, ktor? si previedol, tento v?raz nahr?dza hodnotu funkcie s?nus pre dvojn?sobok argumentu x.

Z: Aha! Ak som dobre porozumel, tak predpis funkcie f : y = 2 sin x cos x nahrad?m tvarom f : y = sin 2x .

U: ?no. Preto grafom zadanej funkcie bude s?nusoida. Najmensou peri?dou funkcie bude c?slo . To co je z riesenia tejto ?lohy d?lezit? je vzorec:

sin 2x = 2 sin x cos x.

Tento vzorec si treba pam?ta. Vyuzijes ho pri riesen? r?znych als?ch ?loh.

Z: Predpoklad?m, ze druh?m d?lezit?m vzorcom bude vyjadrenie hodnoty funkcie kos?nus pre dvojn?sobok argumentu.

Ma-Go-14-T

List 2

U: Ak vyuzijes s?ctov? vzorec

cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y,

tak jeho odvodenie nebude n?rocn?. Z: Stac? mi dosadi do s?ctov?ho vzorca x za premenn? y a dost?vam

cos(x + x) = cos x cos x - sin x sin x.

S?cin dvoch rovnak?ch hodn?t cos x cos x nahrad?m druhou mocninou hodnoty funkcie kos?nus. Rovnako budem postupova aj pri s?cine sin x sin x. U: Dostanes druh? d?lezit? vzorec:

cos 2x = cos2 x - sin2 x.

Z: Dos sa podob? na z?kladn? vzorec cos2 x + sin2 x = 1. U: Preto d?vaj pozor, aby si ich nedoplietol.

U: Uk?zeme si vyuzitie tohto vzorca pri riesen? jednej ?lohy. M?me vypoc?ta hodnotu funkcie kos?nus pre 120 stupov.

Z: M?te na mysli zap?sa 120 stupov ako dvojn?sobok 60 stupov?

U: Vid?m, ze ti riesenie nebude robi probl?m. Pokracuj.

Z: Dosad?m do vzorca

cos 2x = cos2 x - sin2 x

za premenn? x 60 stupov a dost?vam

cos 120 = cos (2 ? 60) = cos2 60 - sin2 60.

U: Hodnoty funkci? kos?nus a s?nus pre 60 stupov patria medzi zn?me:

Z: Po dosaden? m?m

cos 60 =

1 ,

sin 60 =

3 .

2

2

cos 120 = cos2 60 - sin2 60 =

12 -

2 3 .

2

2

Zlomky umocn?m a potom odc?tam. Dost?vam

13 2 - =- .

44 4 1 U: V?sledok je - . 2 ?loha by sa dala vyriesi este viacer?mi sp?sobmi. Napr?klad vyuzit?m s?ctov?ho vzorca pre funkciu kos?nus. 120 stupov sa d? vyjadri aj ako s?cet 90 a 30 stupov.

Ma-Go-14-T

List 3

Z: Dobr? n?pad. Potom do s?ctov?ho vzorca cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y stac? za x dosadi 90 stupov a za y 30 stupov, takze

cos(90 + 30) = cos 90 cos 30 - sin 90 sin 30.

U: alej vieme, ze cos 90 = 0, cos 30 =

3 ,

sin 90

= 1,

sin 30 =

1 .

2

2

Z: Dosad?m a m?m

3

1

0? -1? .

2

2

1 Op? sme dostali v?sledok - .

2

U: Nakoniec odvod?me vzorec aj pre hodnotu funkcie tangens dvojn?sobn?ho argumentu. Nasou snahou bude dosta v?raz, ktor? obsahuje iba hodnoty funkcie tangens premennej x. Zacneme defin?ciou funkcie tangens.

Z: Poda defin?cie je tangens podielom hodn?t funkci? s?nus a kos?nus. Preto plat?

sin 2x

tg2x =

.

cos 2x

U: Po dosaden? v?razov 2 sin x cos x za sin 2x a cos2 x - sin2 x za cos 2x dost?vame

sin 2x 2 sin x cos x

tg2x

=

cos 2x

=

cos2

x

-

sin2

. x

Z: Aj to si treba pam?ta?

U: Nie sme este na konci odvodenia. Nas?m cieom je, aby vo v?raze na pravej strane boli iba

hodnoty funkcie tangens premennej x. Preto vydel?me citatea aj menovatea v?razom cos2 x, tak ako to vid?s v r?mceku.

2 sin x cos x

2 sin x cos x cos2 x - sin2 x

=

cos2 x cos2 x - sin2 x

cos2 x

Z: V citateli zlozen?ho zlomku m?zem kr?ti v?raz cosx.

U: ?no a s ?pravou zlomku v menovateli zlozen?ho zlomku ti pom?zem. Zlomok

cos2 x - sin2 x

cos2 x sin2 x

rozdel?me na rozdiel dvoch zlomkov

-

, tak ako to vid?s v

cos2 x

cos2 x cos2 x

alsom r?mceku.

2 sin x

cos x cos2 x sin2 x cos2 x - cos2 x

Ma-Go-14-T

List 4

cos2 x

Z: V?raz

m?zeme nahradi c?slom 1.

cos2 x

sin x

sin2 x

U: A podiel cos x vyjadruje hodnotu funkcie tangens. Preto v?raz cos2 x nahrad?me druhou

mocninou funkcie tangens a m?me

2tgx 1 - tg2x .

Dostali sme v?sledn? vzorec

2tgx tg2x = 1 - tg2x .

Ten plat? iba za urcit?ch podmienok.

Z: Hodnoty funkcie kos?nus nesm? by rovn? nule. To preto, lebo v?raz cos x je v menovateli zlomku.

U: T?to podmienka z?rove urcuje definicn? obor funkcie tangens. Vyries ju.

Z: Kos?nus nadob?da nulov? hodnoty, ak x je nep?rnym celoc?seln?m n?sobkom c?sla , 2

preto

x = (2k + 1) , 2

kde k je cel? c?slo.

U: Podobn? podmienka plat? aj pre definicn? obor funkcie tg2x, takze

2x = (2k + 1) .

2

Po vydelen? c?slom 2 dost?vame

x = (2k + 1) .

4

Spojen?m oboch podmienok dost?vame, ze

xR-

(2k + 1) , 2

(2k + 1) ; 4

kZ

.

Ma-Go-14-1

List 5

Pr?klad 1: Bez urcenia hodnoty x urcte hodnoty sin 2x, cos 2x, tg2x, cotg2x, ak plat? cos x = 4

=- 5 3

a x ; . 2

Z: Hodnotu sin 2x by som vypoc?tal poda vzorca sin 2x = 2 sin x cos x. Ale nepozn?m hodnotu funkcie s?nus.

U: Na jej urcenie pouzijeme z?kladn? vzorec:

sin2 x + cos2 x = 1.

Dosa za v?raz cos x.

Z: Po dosaden? dost?vam

sin2 x +

4 -

2

= 1.

5

Umocn?m

sin2 x + 16 = 1 25

16 a od v?razov na oboch stran?ch rovnice odc?tam c?slo . Teraz m?m rovnicu

25

sin2

x

=

1

-

16 .

25

9 Na pravej strane dostanem c?slo , teda

25

sin2 x =

9 .

25

U: Odmocnen?m v?razov na oboch stran?ch rovnice z?skame

3 | sin x| = .

5 3

Poda zadania argument x patr? do intervalu ; . Pre tak?to re?lne c?sla je 2

hodnota funkcie s?nus z?porn?, preto

3 sin x = - .

5

U: M?zes vypoc?ta hodnotu v?razu sin 2x.

Ma-Go-14-1

List 6

3

Z: Pouzijem teda vzorec sin 2x = 2 sin x cos x. Za v?raz sin x dosad?m c?slo - a za kos?nus

5

4

c?slo - . Dost?vam

5

3

4

sin 2x = 2 ? - ? - .

5

5

24 Dve z?porn? c?sla daj? v s?cine kladn? c?slo. V?sledkom bude c?slo .

25 U: Ani v?pocet hodnoty cos 2x nebude n?rocn?. Stac? pouzi vzorec

cos 2x = cos2 x - sin2 x.

Z: Dosad?m hodnoty za s?nus a kos?nus

cos 2x = cos2 x - sin2 x =

42 --

32 -

5

5

a ke zlomky umocn?m, m?m rozdiel

16 9 -.

25 25

16 9

7

U: V?sledkom po odc?tan? zlomkov a bude zlomok .

25 25

25

7 cos 2x =

25

Zost?va n?m vypoc?ta hodnoty tg2x a cotg2x.

Z: To bude jednoduch?. Tangens je pomer hodn?t funkci? s?nus a kos?nus. Preto

sin 2x

tg2x =

.

cos 2x

24

7

Dosad?m za sin 2x vypoc?tan? hodnotu a za cos 2x c?slo . Dost?vam

25

25

24

tg2x =

25 7

=

24 .

7

25

7 U: Keze kotangens je prevr?tenou hodnotou funkcie tangens, cotg2x bude rovn? c?slu , t.

24 j.

7 cotg2x = .

24

Ma-Go-14-2

List 7

3

Pr?klad 2: Bez urcenia hodnoty x urcte hodnoty sin x a cos x, ak plat? cos 2x = a

4

2x 0; .

2

Z: Keze pozn?m cos 2x a m?m vypoc?ta hodnotu funkcie kos?nus premennej x, pouzijem

vzorec

cos 2x = cos2 x - sin2 x.

Ale nepozn?m hodnotu funkcie s?nus. U: Vyuzijes in? vzah medzi hodnotami funkci? s?nus a kos?nus. Vieme, ze plat?

sin2 x + cos2 x = 1.

Vyjadri odtia druh? mocninu hodnoty funkcie s?nus a dosa do vzorca, ktor? si uviedol ako prv?.

Z: Od v?razov na oboch stran?ch rovnice odc?tam druh? mocninu hodnoty funkcie kos?nus premennej x a m?m sin2 x = 1 - cos2 x.

Dosad?m do vzorca pre hodnotu funkcie kos?nus dvojn?sobn?ho argumentu. Dost?vam

cos 2x = cos2 x - sin2 x = cos2 x - 1 - cos2 x ,

co po odstr?nen? z?tvorky d? v?sledok cos 2x = 2 cos2 x - 1.

U: Vyjadr?me odtia hodnotu cos x. Pripoc?tame c?slo 1 1 + cos 2x = 2 cos2 x,

predel?me dvomi

cos2 x

=

1

+

cos 2x .

2

Nakoniec odmocn?me. Pozor na to, aby si nezabudol na absol?tnu hodnotu

1 + cos 2x

| cos x| =

.

2

Z: Ako odstr?nime absol?tnu hodnotu?

Ma-Go-14-2

List 8

U: Zohadn?me zadanie ?lohy. Vieme, ze v zadan? je uveden?, ze 2x

x 0; . Pre tak?to hodnoty argumentu x je cos x kladn? c?slo. Teda 4

0; . Preto

2

1 + cos 2x

cos x =

.

2

Stac? dosadi zadan? hodnotu a upravi c?seln? v?raz. 3

Z: Za cos 2x dosad?m hodnotu , v?raz pod odmocninou uprav?m na spolocn?ho menovatea 4

a nakoniec zjednodus?m zlozen? zlomok. Dost?vam

3

7

cos x =

1+ 4=

4=

7 .

2

2

8

U: V?sledok uprav?me tak, ze c?slo 8 v menovateli ciastocne odmocn?me. V menovateli

dostaneme 2 2.

77 7

= = .

8 8 22

Odstr? este odmocninu z menovatea.

Z: Vyn?sob?m citatea a menovatea zlomku c?slom 2. Potom

cos x = 7 ? 2 =

14 .

22 2 4

U: Hodnotu funkcie s?nus premennej x vypoc?tame zo vzorca

sin2 x = 1 - cos2 x.

14

Z: Za v?raz cos x dosad?m vypoc?tan? hodnotu

a dost?vam

4

2

sin2 x = 1 - cos2 x = 1 -

14

14 2

=1- = .

4

16 16

U: Aj hodnota funkcie s?nus bude kladn? c?slo, lebo x patr? do intervalu 2

sin x = . 4

0; . Preto

4

 ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download