BAB II - Dwipurnomoikipbu's Blog
BAB II
PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT SATU
Sebagaimana telah dijelaskan pada bab I, persamaan differensial tingkat satu derajat satu adalah persamaan yang memuat turunan tertinggi yaitu turunan tingkat satu ([pic]). Secara umum persamaan differensial tingkat satu derajat satu ditulis dalam bentuk: M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
[pic][pic] [pic]
[pic] [pic] = F(x,y)
[pic]F(x,y,[pic]) = 0.
Bentuk umum di atas mengakibatkan jenis persamaan differensial tingkat satu derajat satu bervariasi. Untuk lebih memudahkan dalam menentukan primitif atau selesaiaan umum persamaan, maka persamaan differensial tingkat satu derajat satu dikelompokkan menjadi:
1) persamaan differensial variabel terpisah (persamaan separable),
2) persamaan yang dapat direduksi ke persamaan variabel terpisah,
3) persamaan differensial homogen,
4) persamanaan differensial tidak homogen,
5) persamaan differensial eksak,
6) persamaan differensial tidak eksak, dan
7) persamaan differensial yang berbentuk y f(xy) dx + x g(xy) dy = 0.
Jenis dan macam masing-masing persamaan differensial mempunyai spesifikasi yang berbeda-beda. Prinsip utama yang digunakan adalah sedapat mungkin memisahkan dan mengelompokkan masing-masing koefisien differensial. Khusus untuk persamaan yang tidak dapat dipisahkan variabelnya, maka cara lain (tabel, teorema) akan sangat membantu.
Berikut ini disajikan cara menentukan selesaian persamaan differensial tingkat satu derajat satu.
1. Persamaan Differensial Variabel Terpisah (Separable)
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu yang mempunyai bentuk umum M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat dikategorikan sebagai persamaan differensial variable terpisah jika bentuk umum tersebut dapat dinyatakan dengan f(x) dx + g(y) dy = 0. Dengan kata lain masing-masing differensial dalam persamaan berpasangan dengan variabel yang sejenis.
Contoh:
1. x dx + 2 y dy = 0
2. y2 dx – x dy = 0
[pic] [pic] - [pic]= 0
3. y’ = y[pic]
[pic][pic]dx - [pic]= 0
4. x dx – sin y dy = 0
Karena tanda differensial persamaan di atas dx dan dy berpasangan dengan variable yang sejenis, maka untuk menentukan selesaian umum persamaan cukup dengan mengintegralkan masing masing bagian.
Perhatikan beberapa contoh di bawah ini!
Tentukan selesaian umum persamaan diffrensial:
1. x dx + 2 y dy = 0
[pic][pic]x dx + [pic]2y dy = C
[pic] [pic]x2 + y2 = C
[pic] x2 + 2y2 = C (primitive, persamaan keluarga kurva, SUPD)
2. [pic] - 3 [pic] = 0
[pic]x dx – 3y dy = 0
[pic][pic]x dx - [pic]3y dy = C
[pic][pic]x2 - [pic]y2 = C
[pic]x2 – 3y2 = C
3. 3y dx + 2x dy = 0
[pic]3[pic] + 2[pic]= 0
[pic] [pic]3[pic] + [pic]2[pic] = C
[pic] 3 Ln │x │+ 2 Ln │ y │= C
[pic] Ln │x3y2 │= C
[pic] x3y2 = C
4. x dx + 2 y dy = 0
[pic][pic]x dx + [pic]2 y dy = C
[pic][pic]x2 + y2 = C
[pic] x2 + 2y2 = C
5. sin x dx + (1-y) dy = 0 dengan y([pic]) = 1
[pic][pic]sin x dx + [pic](1-y) dy = C
[pic]- cos x + y - [pic]y2 = C
[pic]- 2 cos x + 2y - y2 = C
Karena y([pic]) = 1 maka diperoleh C = 3, sehingga selesaian khusus persamaan adalah -2 cos x + 2y – y2 = 3
Latihan soal
Tentukan selesaian umum persamaan differensial:
1. y2 dx – x dy = 0
2. (1+2y) dx – (4-x) dy = 0
3. cos y dx + (1+e-x) dy = 0
4. dx + (1-x2) cot y dy = 0
5. [pic][pic]= 1-sec x
6. (1-x2)y’ = 2
7. (1+2y) dx - (4-x) dy = 0
8. xdy – ydx = 0 dengan y(1) = 1
9. (1-x) dx – 2y2 dy = 0 dengan y(0) = 1
10. y’= x3(1-y) dengan y(0) = 3
11. [pic]= 2x cos2y dengan y(0) = [pic]
12. y’ = 2x3e-2y dengan y(1) = 0
Catatan
Yang perlu diingat bahwa persamaan diferensial dengan variable terpisah memiliki ciri spesifik yaitu koefisien differensial berupa variable sejenis berkumpul dengan differensialnya, dengan kata lain dapat dinyatakan dalam bentuk sederhana f(x) dx + g(y) dy = 0.
2. Persamaan yang dapat Direduksi ke Persamaan Variabel Terpisah
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat dikategorikan sebagai persamaan differensial yang dapat direduksi menjadi persamaan differensial variable terpisah jika bentuk umum
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
[pic]f1(x)g1(y) dx + f2(x)g2(y) dy = 0
[pic][pic]dx + [pic]dy = 0
[pic] F(x) dx + G(y) dy = 0.
Untuk selanjutnya bentuk pembagian [pic]disebut faktor integrasi. Selesaian umum persamaan differensial yang dapat direduksi menjadi persamaan variable terpisah dapat ditentukan dengan cara mengintegralkan masing-masing bagian setelah variable yang sejenis dikelompokkan dengan differensialnya.
Contoh:
Tentukan selesaian umum persamaan dibawah ini:
1. 2(y+3) dx – xy dy = 0
[pic]2 [pic] - [pic]= 0
[pic] [pic]2 [pic] - [pic][pic]= C
[pic] [pic]2 [pic] - [pic]( 1- [pic]) dy = C
[pic] [pic]2 [pic] - [pic]1 dy + [pic][pic] dy = C
[pic]2 Ln │x │- y + 3 Ln │y+3│= C
[pic] Ln │x2(y+3)3│ = C + y
[pic] x2(y+3)3 = e(C + y) = cey
[pic] x2(y+3)3 = cey
2. [pic]= [pic]
[pic]x(y-3) dy = 4y dx
[pic]4y dx - x(y-3) dy = 0
[pic]4[pic] - [pic]dy = 0
[pic][pic][pic] - [pic][pic]dy = C
[pic] 4 Ln │x│– y + 3 Ln │y│= C
[pic] x4y3 = ec+y = cey
3. xy dy = (y+1)(1-x) dx dengan y(1) = 0
[pic][pic] - xy dy = 0
[pic][pic] [pic] dx - [pic]dy = 0
[pic][pic] - dx – dy + [pic]= 0
[pic][pic][pic] - [pic]dx – [pic]dy + [pic][pic]= C
[pic]Ln │x│ - x – y + Ln │y + 1│= C
[pic]Ln │x(y+1)│ = C + x + y
[pic]x(y+1) = ec+x+y
Karena y(1) = 0 maka 1(0+1) = ec+1+0. Diperleh c = -1 sehingga diperoleh selesaian khusus persamaan x(y+1) = ex+y-1.
Sebagai latihan, tentukan selesaian umum persamaan di bawah ini:
1. dx + (1-x2) cotg y dy = 0
2. cos y dx + (1+e-x) sin y dy = 0
3. xy dx + (1+x2) dy = 0
4. x2(y-4) dx + y(x2-1) dy = 0
5. [pic]= [pic]
6. [pic]= [pic]
7. y-1 + y’ ecos x sin dx = 0
8. x [pic]= [pic]
9. y’ = [pic]
10. y’ = y(2+sin x)
11. [pic]= 8x2e-3y dengan y(1) = 0
12. [pic]= [pic] dengan y(0) = -1
2.3 Persamaan Differensial Homogen
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu M(x,y) dx + N(x,y) dy= 0 disebut persamaan differensial homogen jika M(x,y) dan N(x,y) fungsi homogen berderajat sama.
Definisi:
1. F(x,y) disebut fungsi homogen jika F(x,y) = G([pic]) atau F(x,y) = H([pic])
2. Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen berderajat-n jika memenuhi syarat F(tx,ty) = tn F(x,y).
Contoh:
1. F(x,y) = [pic] adalah fungsi homogen, karena
F(x,y) = [pic]= [pic]= H([pic])
2. F(x,y) = x + y
= 1 + [pic]
= [pic] + 1
3. F(x,y) = 1 – xy, bukan fungsi komogen karena 1-xy tidak dapat dinyatakan dengan bentuk G([pic]) atau H([pic])
4. F(x,y) = 3x2 – 2xy + y2.
Adalah fungsi homogen karena dapat dinyatakan dalam dengan H([pic]) atau G([pic])
5. F(x,y) = y sin x, bukan fungsi homogen.
6. F(x,y) = [pic], bukan fungsi homogen.
7. F(x,y) = x + y, fungsi homogen berderajat 1, karena:
F(tx,ty) = (tx) + ty
= t(x+y)
= t1 F(x,y)
8. F(x,y) = [pic], fungsi homogen berderajat 0, karena
F(x,y) = [pic]
= [pic]
= [pic][pic]
= to [pic]
= to F(x,y)
9. Dengan cara yang sama, F(x,y) = x3 – 2x2y + 3xy2 adalah fungsi homogen berderajat 3 dan G(x,y) = x[pic] fungsi homogen berderajat 2.
10. F(x,y) = sin (x+y) bukan fungsi homogen, karena F(tx,ty) [pic]tn F(x,y)
Jika M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 diketahui sebagai persamaan differensial homogen, maka selesaian umumnya dapat ditentukan dengan cara menyatakan M(x,y) dan dan N(x,y) dalam bentuk M([pic]) atau M([pic]). Demikian pula untuk N(x,y). Dengan kata lain M(x,y) dan N(x,y) dibagi dengan koefisien differensial yang berpangkat tertinggi.
Setelah dilakukan pembagian, selanjutnya gunakan transformasi yu = x atau xv = y. Jika yang digunakan transformasi yu = x maka dx = ydu + udy. Sebaliknya jika yang digunakan transformasi xv = y maka dy = xdv + vdx. Akhirnya dx atau dy (tidak keduanya) disubstitusikan dalam persamaan differensial semula sehingga,
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
[pic]M([pic])dx + N([pic])dy = 0 atau M([pic]) dx + N([pic])dy = 0.
Dengan memilih transformasi dy = xdv + vdx maka
[pic]M([pic]) dx + N([pic])(xdv + vdx) = 0.
[pic]M(v) dx + N(v)(xdv + vdx) = 0.
Bentuk terakhir persamaan di atas adalah persamaan differensial yang dapat direduksi ke persamaan variabel terpisah. Setelah variabelnya dipisahkan dan dengan mengintergralkan masing-masing bagian didapat selesaian umum persamaan yang dicari.
Perhatikan contoh berikut:
Tentukan selesaian umum persamaan:
1. (y2 – x2) dx + xy dy = 0
Persamaan di atas adalah persamaan differensial homogen, karena M(x,y) dan N(x,y) adalah persamaan homogen yang berderajat sama yaitu dua.
[pic]([pic]- 1) dx + [pic]dy = 0
Dengan transformasi xv = y dan dy = xdv + vdx, diperoleh
[pic](v2 – 1)dx + v(xdv + vdx) = 0
[pic](v2 + v2 – 1)dx + vxdv = 0
[pic][pic]+ [pic]= 0
[pic][pic][pic]+ [pic][pic]= C
[pic] Ln │x│+ ¼ Ln │(2v2 – 1)│= ln C
[pic](x4(2v2-1)) = C
[pic](x4([pic]) = C
[pic]2x2y2 – x4 = C
2. (3x – 2y) [pic]- 3y = 0 dengan y(1) = 1
Persamaan di atas adalah persamaan differensial homogen, karena M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi homogen berderajat sama yaitu satu.
[pic](3x – 2y)dy – 3ydx = 0
[pic](3[pic]– 2)dy – 3dx = 0
Dengan transformasi x = uy dan dx = udy + ydu
[pic](3u – 2)dy – 3(udy + ydu) = 0
[pic](3u – 2 – 3u)dy – 3ydu = 0
[pic] 2[pic] + 3 du = 0
[pic] [pic]2 [pic] + [pic]3 du = C
[pic] 2 Ln │y│+ 3u = C
[pic] Ln y2 = C-3u
[pic] y2 = ec-3y/x
Karena y(1) = 1 maka 12 = ec-3(1)/(1) didapat C = 3 sehingga selesaiannya dinamakan selesaian khusus (integral khusus) yaitu y2 = e3-3y/x
Latihan soal
1. Selidiki apakah fungsi berikut homogen, jika homomogen tentukan derajatnya.
a. f(x,y) = x + 2y
b. f(x,y) = ex/y
c. f(x,y) = [pic]
d. f(x,y) = sin(x+y) + cos2(xy)
e. f(x,y) = xy – y2 + 3x2
f. f(x,y) = [pic]
g. f(x,y) = x + y cosx.[pic]
2. Tentukan selesaian persamaan differensial homogen berikut ini.
a. (xy + y2) dx – x2 dy = 0 dengan y(2) = 1
b. [pic]= [pic]
c. (2x-5y) dx + (4x-y) dy = 0, dengan y(1) = 1
d. (x-y) dx + x dy = 0, dengan y(0) = 0
e. (x3+y3) dx – 3xy2 dy = 0
f. x dy – y dx - [pic]= 0
g. [pic]= [pic]- tgn [pic]
h. y’ = [pic][pic][pic] dengan y(2) = 1
jawab : 2x[pic]- y[pic] = cy[pic] karena y(2) = 1 maka C = 7.
i. y’ = [pic] dengan y(1) = 3
j. [pic]= [pic]
k. y2 dx + (x2 –y2) dy = 0 dengan y(2) = 0
4. Persamaan M(x,y) dan N(x,y) Linear, tetapi Tidak Homogen
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, disebut persamaan differensial linear tidak homogen jika M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi linear. Sehingga berbentuk (ax+by+c) dx + (px + qy + r ) dy = 0.
Contoh :
1. (x+y+2) dx + (2x + 2y + 4) dy = 0
2. (x+y+1) dx + (2x+2y+3) dy = 0
3. (3y – 7x +7) dx + (7y – 3x + 3) dy = 0
4. (3x + 2y + 1) dx – ( 3x+2y-1) dy = 0
Berdasarkan contoh di atas, maka persamaan differensial tidak homogen dengan M(x,y) dan N(x,y) fungsi linear dapat dikelompokkan menjadi 3 jenis yaitu:
a. Bentuk [pic] = [pic] = [pic] = [pic] (parameter), sehingga
a = [pic], b = [pic]q, dan c = [pic]r
Contoh
(x+y+2) dx + (2x + 2y + 4) dy = 0
b. Bentuk [pic] = [pic] = [pic] (parameter) [pic] [pic]
Sehingga a = [pic], b = [pic]q
Contoh
(x+y+1) dx + (2x+2y+3) dy = 0
(3x+2y+1) dx + (3x-2y-4) dy = 0
c. Bentuk selain di atas.
(3y – 7x +7) dx + (7y – 3x + 3) dy = 0
(3x - 2y + 1) dx – ( 3x+2y) dy = 0
Karena bentuknya berbeda-beda, maka selesaian umum persamaan differensial linear tidak homogen harus menyesuaikan dengan bentuknya.
a. Bentuk [pic] = [pic] = [pic] = [pic].
Karena [pic] = [pic] = [pic] = [pic], maka diperoleh
a = [pic] b = [pic]q, dan c = [pic]. Sehingga persamaan semula
(ax + by + c) dx + (px +qy + r) dy = 0
[pic]([pic]+ [pic] + [pic]dx + (px + qy + r) dy = 0
[pic][pic](px + qy + r ) dx + (px + qy + r) dy = 0
[pic][pic]dx + dy = 0
[pic][pic][pic]dx + [pic]dy = C
[pic][pic]x + y = C (persamaan linear)
b. Bentuk [pic] = [pic] = [pic].
Persamaan bentuk [pic] = [pic] = [pic] dapat diselesaikan dengan cara menggunakan transformasi ax + by = u atau px + qy = v. Berdasarkan transformasi tersebut, dengan mendifferensialkan masing variabel, sehingga diperoleh:
d(ax) + d(by) = d(u)
[pic]a dx + b dy = du
[pic]a dx = du – b dy
dx = [pic], atau
[pic]a dx + b dy = du
[pic]b dy = du – a dx
dy = [pic]
Dengan cara yang sama jika yang digunakan transformasi px + qy = v, diperoleh bentuk
dx = [pic], atau
dy = [pic]
Pilih dx atau dy akan tetapi tidak keduanya, dan substitusikan ke persamaan differensial semula.
(ax + by + c) dx + (px + qy + r)dy = 0
(u +c) dx + ([pic]u + r) dy = 0
[pic](u+c) ([pic]) + ([pic]u + r) dy = 0
Persamaan di atas adalah persamaan yang dapat direduksi ke persamaan differensial dengan variable terpisah (PD separable).
Contoh:
1. Tentukan primitif dari (x+y+1) dx + (2x+2y+3) dy = 0 dengan y(0) = 0
Jawab
Dari persamaan (x+y+1) dx + (2x + 2y + 3) dy = 0, diperoleh
a = 1, b = 1, c = 1, p = 2, q = 2, dan r = 3. Sehingga [pic]= [pic].
Selanjutnya gunakan transformasi
x + y = u atau 2x + 2y = v.
Jika transformasi yang digunakan x + y = u. maka diperoleh
(u+1) dx + (2u + 3) dy = 0.
Selanjutnya bentuk transformasi x + y = u didefferensialkan
dx + dy = du dan diperoleh dx = du – dy atau dy = du – dx.
Cara I
(u+1) dx + (2u + 3) dy = 0.
[pic](u+1) (du – dy) + (2u + 3) dy = 0
[pic](u+1) du + (2u +3 – u – 1) dy = 0
[pic](u+1) du + (u +2) dy = 0 (direduksi menjadi PD Separable)
[pic] dy + [pic] du = 0
[pic] [pic]dy + [pic]1 du - [pic][pic] du = 0
[pic] y + u - Ln │u + 2│= C
[pic] y + (x+y) - Ln │x + y + 2│= C
[pic] x + 2y – C = Ln │x + y + 2 │
[pic]e(x+2y-c) = (x+y+2)
Karena y(0) = 0, maka selesaian khusus persamaan e(x+2y-ln [pic]) = (x+y+2)
Cara II
(u+1) dx + (2u + 3) (du – dx) = 0.
[pic](u+1 – 2u -3) dx + ( 2u + 3) du = 0
[pic](-u -2 ) dx + ( 2u + 3) du = 0
[pic](u+1) du + (u +2) dy = 0
[pic] du + [pic] dy = 0
[pic] [pic]du + [pic]1 dy + [pic][pic] dy = 0
[pic] (x+y) + y + Ln │x + y + 1 │= C
[pic] x + 2y – C = Ln │x + y + 1 │
[pic] (x+y+1) = e x + 2y – C
Karena y(0) = 0 maka didapat c = ln 2.
4. (3x+2y+1) dx - (3x+2y-1) dy = 0 (jenis 2)
Jawab
Transformasikan 3x + 2y = u, sehingga 3 dx + 2 dy = u dan diperoleh:
dx = [pic] , atau dy = [pic]
(u+1) dx – (u-1) dy = 0
Pilih dx atau dy, lalu substitusikan ke dalam persamaan dan diperoleh
(u+1) ([pic]) – (u-1) dy = 0
[pic] (u+1) (du – 2dy) – 3(u-1) dy = 0 dstnya.
[pic] (u+1) du – (2u+2+3u-3) dy = 0
[pic][pic]du – dy = 0
[pic][pic][pic] du + [pic][pic]- [pic]= C
[pic]1/5 u + 6/25 Ln │5u -1│- y = C
[pic]/5 (3x+3y) + 6/25 Ln │5(3x+3y) -1 │ - y = C
Bentuk yang ketiga adalah selesaian bentuk selain persamaan 1 dan 2. Dalam menentukan selesaiannya gunakan transformasi ax + by + c = u dan
px + qy + r = v.
Selanjutnya differensialkan kedua bentuk transformasi di atas sehingga diperoleh
d(ax) + d(by) + d(c) = d(u) dan d(px) + d(qy) + d(r) = d(v)
[pic]a dx + b dy = du dan p dx + q dy = dv. Eleminasikan dx dan dy pada hasil differesial yang diperoleh secara berurutan yaitu:
a dx + b dy = du x p
p dx + q dy = dv x a, sehingga
ap dx + bp dy = p du
ap dx + aq dy = a dv
--------------------------- -
(bp-aq) dy = p du – a dv
dy = [pic]
Dengan cara yang sama diperoleh
dx = [pic]
Substisusikan dx dan dy dalam persamaan semula, yaitu:
(ax + by + c) dx + (px +qy + r ) dy = 0
[pic]u [pic]+ v [pic]= 0
Persamaan di atas menjadi persamaan baru dengan tanda differensial du dan dv, dan termasuk dalam persamaan differensial homogen. Primitifnya dapat ditentukan dengan menggunakan metode PD homogen.
Contoh
1. Tentukan selesaian umum persamaan (3y – 7x +7) dx + (7y – 3x + 3) dy = 0
Jawab
Transformasikan
(3y-7x+7) = u dan (7y-3x+3) = v
Dengan mendifferensialkan masing-masing peubah, diperoleh:
3 dy – 7 dx = du dan 7 dy – 3 dx = dv.
Elimasikan dx dan dy berurutan
3 dy – 7 dx = du x 3
7 dy – 3 dx = dv x 7, didapat
9 dy – 21 dx = 3 du
49 dy – 21 dx = 7 dv
----------------------- -
-40 dy = 3 du – 7 dv
dy = [pic]
Dengan cara yang sama diperoleh
dx = [pic]
Substitusikan kepersaman semula, sehingga diperoleh
(3y – 7x +7) dx + (7y – 3x + 3) dy = 0
u ([pic]) + v ([pic]) = 0
[pic]40u(3dv-7du) + 40v(7dv-3du) = 0 (PD homogen)
[pic](3u + 7v) dv – (7u + 3v) du = 0
Bagi persamaan dengan v, diperoleh
(3[pic] + 7) dv -(7[pic] + 3 ) du = 0
Transformasikan [pic]= t atau u = vt
Sehingga du = v dt + t dv
Persamaan di atas adalah PD yang dapat direduksi ke persamaan variable terpisah.
(3t +7) dv – (7t+3)(vdt + tdv) = 0
[pic](3t+7-7t2-3t) dv –(7t+3)vdt = 0
[pic][pic]- [pic]dt = 0
[pic][pic][pic]- [pic][pic]dt = C
[pic]Ln │v│ + ½ Ln │1-t2│+ 3/7 Ln [pic] = 0
Dengan mensubstitusi v = 7y – 3x + 3 dan t = [pic] , diperoleh selesaian umum persamaan (3y – 7x +7) dx + (7y – 3x + 3) dy = 0
2. Tentukan selesaian umum persamaan ( 3x - 2y + 1) dx – ( 3x+2y) dy = 0
Jawab.
Transformasikan
3x – 2y + 1 = u dan 3x+2y = v
• 3 dx – 2 dy = du dan 3 dx + 2 dy = dv diperoleh
• 3 dx – 2 dy = du
3 dx +2 dy = dv
------------------- -
-4 dy = du – dv
dy = ¼ (dv-du) dan dx = dx = 1/6 ( du+dv).
Substitusikan dy dan dx ke persamaan semula dan diperoleh
( 3x - 2y + 1) dx – ( 3x+2y) dy = 0
[pic]u (1/6)(du+dv) – v(1/4)(dv-du) = 0
[pic]4u(du+dv) – 6v(dv-du)
[pic](4u + 6v) du + (4u -6v) dv = 0
[pic](4 + 6 [pic]) du + (4 – 6 [pic]) dv = 0
Transformasikan [pic]= p [pic]v = up sehingga dv = u dp + p du
Substitusikan kepersamaan di atas, diperoleh
(4+6p) du + (4-6p)(u dp + p du) = 0
[pic](4+6p+4p-6p2) du + (4-6p)u dp = 0
[pic][pic]+ [pic] = 0
[pic][pic][pic]+ [pic][pic] = C
[pic]Ln │u │- [pic]dp = C
[pic]Ln │3x – 2y +1│+ 18/5 Ln │6p + 2 │+ 8/5 Ln │p-2│+ C
[pic] Ln │3x – 2y +1│+ 18/5 Ln │6([pic]) + 2 │+ 8/5 Ln │([pic]) - 2│+ C
5. Persamaan Differensial Eksak (PDE)
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 disebut persamaan differensial eksak jika dan hanya jika memenuhi syarat:
[pic] = [pic][pic]
Contoh
1. (x+y) dx + (x-y) dy = 0 adalah PD eksak karena
M(x,y) = (x+y) [pic] [pic] = 1 dan N(x,y) = (x-y) [pic] [pic] = 1
2. ( x + y Cos x) dx + Sin x dy = 0, adalah PD eksak karena
M(x,y) = x + y Cos x [pic] [pic] = Cos x
N(x,y) = Sin x [pic] [pic] = Cos x
3. y(x-2y) dx – x2 dy = 0, bukan persamaan differensial eksak,
M(x,y) = xy – 2y2 [pic] [pic] = x – 4y
N(x,yk) = -x2 [pic] [pic] = [pic]2-2x
[pic] [pic] [pic][pic][pic][pic][pic] [pic][pic]
Dengan cara yang sama, persamaan dibawah ini adalah persamaan tidak eksak karena [pic] [pic][pic].
1. (x2+y2) dx + xy dy = 0 --( PD Homogen
2. dx - [pic][pic]dy = 0 ---( PD yang dapat direduksi ke PD Separable
3. (x+y+1) dx - (x-y+3) dy = 0 ---> PD Tidak homogen
[pic]
Persamaan differensial eksak mempunyai selesaian umum F(x,y) = C.
Menurut definisi differensial total untuk F(x,y) = C, diperoleh:
d(C) = dF(x,y)+ dF(x,y)
0 = [pic]dx + [pic]dy.
Berdasarkan bentuk M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dan
0 = [pic]dx + [pic]dy
[pic] = M(x,y) dan [pic] = N(x,y)
Berdasarkan kesamaan di atas, maka untuk menentukan selesaian persamaan differensial eksak yang berbentuk F(x,y) = C dapat dilakukan dengan dua cara.
Cara I
[pic] = M(x,y) dan [pic]= N(x,y)
Dari kesamaan di atas diperoleh
[pic] = M(x,y) [pic] F(x,y) = [pic]M(x,y) dx
= [pic]dx + G(y)
[pic] = N(x,y) [pic][pic][pic][pic]dx + G(y) = N(x,y)
[pic][pic]dx + G’(y) = N(x,y)
G’(y) = N(x,y) - [pic][pic]dx
G(y) = [pic](N(x,y) - [pic][pic]dx ) dy
Substitusikan G(y) dalam F(x,y) = [pic]dx + G(y) yang merupakan selesaian umum persamaan differensial
Cara II
[pic]= N(x,y) dan [pic] = M(x,y)
Dari kesamaan di atas di peroleh
[pic]= N(x,y) [pic] F(x,y) = [pic] N(x,y) dy
= [pic]N(x,y) dy + F(x)
[pic]= M(x,y) [pic][pic] [pic]N(x,y) dy + F(x) = M(x,y)
[pic][pic]N(x,y) dy + F’(x) = M(x,y)
F’(x) = [pic]M(x,y) - [pic][pic]N(x,y) dy
F(x) = [pic]M(x,y) - [pic][pic]N(x,y) dy ) dx
Substitusikan F(x) ke dalam F(x,y) = [pic]N(x,y) dy + F(x) yang merupakan selesaian umumnya.
Contoh [pic]
1. Tentukan selesaian persamaan differensial eksak berikut ini:
(2x +3y+4) dx + (3x+4y+5) dy = 0.
Jawab
M(x,y) = (2x+3y+4) [pic][pic]= 3 dan
N(x,y) = (3x+4y+5) [pic][pic]= 3
Berarti persamaan di atas adalah eksak.
Selesaian PD di atas adalah F(x,y) = C. Untuk mendapatkan F(x,y) = C dapat digunakan kesamaan
[pic]= N(x,y) dan [pic] = M(x,y).
[pic][pic] = (3x+4y+5)
[pic] F(x,y) = [pic]
= 3xy + 2y2 + 5y + F(x)
[pic] = M(x,y).
[pic] [pic]3xy + 2y2 + 5y + F(x)) = (2x +3y +4)
[pic] 3y + F’(x) = 2x + 3y + 4
[pic] F’(x) = 2x + 4 [pic]
[pic] F(x) = x2 + 4x + C
Primitif persamaan adalah F(x,y) = 3xy + 2y2 + 5y + x2 + 4x + C
2. (x + y Cos x) dx + sin x dy = 0
Jawab
M(x,y) = x + y Cos x [pic] [pic]= Cos x dan [pic]
N(x,y) = sin x [pic][pic]= Cos x
Berarti persamaan di atas adalah persamaan diferencial eksak. Sehingga selesaiannya dapat dinyatakan dalam bentuk F(x,y) = C. Untuk mendapatkan F(x,y) = C digunakan kesamaan
[pic]= M(x,y) dan [pic] = N(x,y)
[pic]= x + y Cos x [pic]F(x,y) = [pic](x + y Cos x) dx
= [pic]x2 + y Sin x + G(y) [pic]
[pic] = sin x
[pic][pic]( [pic]x2 + y Sin x + G(y) ) = sin x
[pic][pic]Sin x + G’(y) = sin x
[pic] g’(y) = 0
[pic] g(y) = C
Diperoleh selesaian umum persamaan F(x,y) = [pic]x2 + y Sin x + C
[pic] x2 + 2y Sin x = C [pic]
Soal-soal
A. Selidiki apakah persamaan di bawah ini eksak atau tidak
1. (3x+2y) dx + (2x+y) dy = 0
2. (y2 + 3) dx + (2xy-4) dy = 0
3. (6xy + 2y2 – 5) dx + (3x2+4xy-6) dy = 0
4. [pic] dx + [pic] dy = 0
5. (cos x cos y + y)y’ + tgn x = sin x sin y
6. (5xy + 4y2 + 1) dx + (x2+2xy) dy = 0[pic]
7. x dx + y dy = (x2+y2) dx
8. l(y2 - [pic] +2) dx + ([pic]+ 2y(x+1))dy = 0
9. 2(x2 + xy) dx + (x2+y2) dy = 0[pic]
10. ( [pic]+ [pic]) dx + ( [pic]) dy = 0 [pic]
B. Tentukan selesaian umum persamaan 1-10 di atas, jika diketahui eksak.
2.6 Persamaan Differensial Tidak Eksak (PDtE)
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah persamaan differensial tingkat satu derajat satu disebut persamaan differensial tidak eksak jika dan hanya jika:
[pic] [pic] [pic].
Persamaan differenial tidak eksak dapat diselesaikan dan ditentukan primitifnya dengan cara mencari faktor integral dari persamaan tersebut. Setelah ditentukan faktor integralnya, maka persamaan differensial tidak eksak tersebut menjadi persamaan differensial eksak. Faktor integral persamaan differensial tidak eksak dinyatakan dengan [pic](x,y). Setelah diketahui faktor integralnya , maka persamaan tidak eksak ditulis dalam bentuk:
[pic](x,y)[M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0]
[pic][pic](x,y)M(x,y) dx + [pic](x,y)N(x,y) dy = 0 (PD eksak)
[pic]M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 -( PD tingkat satu derajat satu
Dengan M(x,y) = [pic](x,y)M(x,y) dan N(x,y) = [pic](x,y)N(x,y)
Sehingga diperoleh persamaan yang merupakan persamaan differensial tingkat satu berupa persamaan differensial eksak yang memenuhi sifat
[pic]
dengan
M(x,y) = [pic](x,y)M(x,y), dan N(x,y) = [pic](x,y)N(x,y)
Persamaan baru tersebut dinamakan persamaan differensial eksak, sehingga selesaiannya dapat ditentukan dengan menggunakan metode persamaan differensial eksak. [pic][pic]
Bagaimana menentukan faktor integral persamaan tidak eksak?
Karena [pic](x,y)[M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0] persamaan eksak, maka:
[pic] = [pic][pic]
[pic][pic][pic] + M [pic] = [pic][pic][pic] + N [pic]
[pic][pic][pic] - [pic][pic] = ( N[pic] - M [pic])
[pic]([pic] - [pic]) = [pic][pic][pic]( N[pic] - M [pic])
dalam hal ini dapat kita tinjau dari beberapa kasus:
a. Misal [pic](x,y) = [pic](x) yaitu fungsi bervariabel x saja, maka [pic]= 0 dan
[pic]= [pic], sehingga [pic]
([pic] - [pic]) = [pic][pic][pic]( N[pic]- M.0 )
[pic][pic] = [pic]
Jika [pic] suatu fungsi dari x atau f(x), maka dari
[pic][pic]= [pic] didapat
[pic][pic]= f(x) atau [pic] = f(x) dx
Ln [pic] = [pic]f(x) dx
[pic] = e [pic]----( faktor integral yang dicari
b. Misal [pic] = [pic](y) yaitu fungsi bervariabel y saja maka [pic]= 0 dan
[pic][pic]= [pic], sehingga [pic]
([pic] - [pic]) = [pic][pic][pic]( N[pic]- M [pic])
([pic] - [pic]) = [pic][pic][pic]( N.0 - M [pic])
[pic][pic] = [pic]
Jika [pic] suatu fungsi dari y atau g(y), maka dari
[pic][pic]= [pic] didapat[pic]
[pic][pic]= -g(y) atau [pic] = -g(y) dy
Ln [pic] = [pic]-g(y) dy[pic]
[pic] = e [pic]
c. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah persamaan differensial homogen dengan
x M(x,y) + y N(x,y) [pic]0, maka faktor integral [pic](x,y) = [pic]
d. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat ditulis y f(xy) dx + x g(xy)dy = 0 dengan
f(xy) [pic]g(xy) maka [pic](x,y) = [pic] = [pic]
e. Seringkali faktor integral [pic](x,y) dapat diperoleh dengan pemeriksaan, hal ini akan tampak setelah pengelompokkan kembali suku-suku persamaannya. Dengan mengenal kelompok suku-suku tertentu merupakan suatu bagian dalam persamaan differensial eksak.
Contoh
Tentukan selesaian umum persamaan differensial berikut dengan terlebih dahulu menentukan faktor integrasinya.
1. (x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0
Jawab
M(x,y) = x2 + y2 + x [pic][pic]= 2y
N(x,y) = xy [pic][pic]= y
Sehingga persamaan di atas tidak eksak karena [pic] [pic][pic]
Selanjutnya dicari [pic](x,y) sebagai faktor integrasi
Karena [pic]= [pic]= [pic]= f(x)
Maka [pic](x,y) = e[pic] = e ln x = x.
Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan differensial eksak yaitu x{(x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0}
(x3 + xy2 + x2) dx + (x2y) dy = 0
Dengan menggunakan metode persamaan eksak diperoleh selesaian umumnya
3x4 + 4x3 + 6x2y2 = C
2. (2xy4ey + 2xy3 + y) dx + (x2y4ey – x2y2 – 3x) dy = 0
Jawab
[pic]= (8xy3ey + 2xy4) + 6xy2 + 1
[pic]= 2xy4ey – 2xy2 - 3
Sehingga persamaan di atas tidak eksak.
Selanjutnya dicari [pic](x,y) sebagai faktor integrasi
Karena [pic]= [pic]= -g(y)
Maka [pic](x,y) = e[pic] = [pic]
Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan differensial eksak yaitu [pic](2xy4ey + 2xy3 + y) dx + (x2y4ey – x2y2 – 3x) dy = 0
Dengan menggunakan metode persamaan eksak diperoleh selesaian umumnya
x2ey + [pic] + [pic] = C
Latihan
Tentukan faktor integral dan selesaiaan umum persamaan
a. (x4 + y4) dx – xy3 dy = 0
b. y(x-2y) dx – x2 dy = 0
c. x dy – y dx = x2ex dx
d. y2 dy + y dx – x dy = 0
e. 3x2y2 dx + 4(x3y-3) dy = 0
2.7 Persamaan Bentuk y F(xy) dx + x G(xy) dy = 0
Persamaan y F(xy) dx + x G(xy) dy = 0, juga disebut persamaan differensial tingkat satu derajat satu karena bentuknya M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
Selesaiannya dapat ditentukan dengan menggunakan transformasi xy = z, sehingga y = [pic]. Dengan menurunkan masing-masing variable diperoleh
dy = [pic]. [pic]
Substitusikan bentuk dy = [pic] ke persamaan semula
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
[pic]M(x, [pic])dx + N(x,[pic])([pic]) = 0
[pic] M(x,z) dx + N(x,z) dz = 0
Bentuk terakhir merupakan persamaan yang dapat dipisahkan variabel-variabelnya.
Contoh.
Tentukan selesaian umum persamaan
1. (xy2+y) dx + (x+x2y+x3y2) dy = 0
Jawab
(xy2+y) dx + (x+x2y+x3y2) dy = 0
[pic]y(xy+1) dx + x(1+xy+x2y2)dy = 0
Transformasikan y = [pic], dengan menurunkan masing-masing variable diperoleh dy = [pic].[pic]
Sehingga persamaan semula menjadi
[pic](z+1) dx + x(1+z+z2)([pic]) = 0
[pic]z3 dx – x(1+z+z2) dz = 0
[pic][pic] – [pic]dz = 0
[pic][pic] – [pic] - [pic] + [pic]= 0
[pic] [pic][pic] – [pic][pic] - [pic][pic] + [pic][pic]= C
[pic] Ln │x │+ [pic] + [pic] + Ln │z │= c [pic]
Dengan mensubstitusikan xy = z diperoleh selesaian persamaan
2x2y2 Ln │y │- 2xy - 1 = Cx2y2
Sebagai latihan, tentukan selesaian umum persamaan
1. y(xy+1)dx + x(1+xy + x2y2) dy = 0
2. (y-xy2) dx – (x +x2y) dy = 0
3. (1-xy+x2y2) dx + (x3y – x2) dy = 0 dengan y(1) = 0
4. y(1+2xy) dx + x(1-xy) dy = 0 dengan y(0) = 0
5. y(1-xy) dx + x (xy + 3) dy = 0
2.8 Trayektori Ortogonal
Suatu kurva yang memotong setiap persamaan keluarga kurva atau dari sebaliknya dengan sudut tetap [pic]disebut trayektori [pic]dari persamaan differensial yang diketahui. Jika besar sudut [pic]= 90o maka disebut trayektori ortogonal, sedangkan jika besar sudut [pic][pic]90º maka diebut trayektori isogonal.
a. Trayektori Isogonal
Integral kurva dari persamaan f(x,y, [pic]) = 0 adalah trayektori isogonal dengan sudut tetap [pic]dari persamaan differensial f(x,y,y’) = 0
b. Trayektori Ortogonal
Jika [pic]= 90º maka trayektorinya disebut trayektori ortogonal Integral kurva dari persamaan differensial f(x,y, [pic]) = 0 adalah trayektori orthogonal dari persamaan f(x,y,y’) = 0.
Jika dinyatakan dalam koordinat polar, integral kurva dari persamaan diferencial f(r,[pic],r2[pic]) = 0 adalah trayektori ortogonal dari integral kurva f(r,[pic], [pic])
Jika suatu persamaan hendak ditentukan trayektorinya, maka beberapa langkah yang ditempuh adalah.
1. Tentukan persamaan differensial dari persamaan keluarga kurva yang diketahui . Jika persamaan yang diketahui masih terdapat parameter [pic]maka parameter [pic]harus dieliminir terlebih dahulu.
2. Tentukan persamaan differensial dari trayektorinya.
a. Bila trayektorinya ortogonal dilakukan penggantian [pic] dengan -[pic] pada persamaan differensialnya.
b. Bila trayektori isogonal dengan sudut tetap [pic][pic] maka lakukan penggantian [pic] dengan [pic] pada persamaan differensialnya.
c. Bila trayektori [pic] = 45º maka lakukan penggantian [pic]dengan
[pic] pada persamaan differensialnya.
d. Bila trayektorinya dalam koordinat polar maka lakukan penggantian [pic]dengan –r2[pic].
3. Selesaikan persamaan differensial baru tersebut dengan metode yang sesuai sehingga diperoleh persamaan trayektori yang diminta.
Contoh
Tentukan trayektori ortogonal persamaan keluarga kurva x2 + 2y2 = C, C[pic] Real.
Jawab
Persamaan differensial dari persamaan x2 + 2y2 = C adalah
d(x2 ) + d( 2y2 ) = d(C)
2x dx + 4y dy = 0
[pic]2x + 4y [pic]= 0.
Untuk mendapatkan trayektori ortogonal adalah mengganti [pic] dengan - [pic], sehingga
2x + 4y [pic]= 0.
[pic]2x + 4y [pic]= 0
[pic]2x dy – 4y dx = 0
[pic]2 [pic] – 4 [pic]= 0
[pic]2 [pic] [pic] – 4 [pic][pic]= C
[pic] 2 Ln (y│- 4 Ln │x│= C
[pic] Ln [pic] = C
[pic] y2 = Cx4
Latihan
1. Tentukan trayektori ortogonal dari persamaan keluarga kurva
a. x2 + y2 – 2Cx = 0
b. y2 + 3x2 – Cx = 0
c. y2 – x2 – C = 0
d. (x2 + y2)2 = Cxy
e. y = x – 1 + Ce-x
f. r = C Cos [pic]
g. y2 = [pic]
2. Tentukan trayektori isogonal dengan sudut tetap [pic]= 45º dari persamaan keluarga kurva
a. x2 + y2 = 2C(x+y)
b. x2 + y2 = C2
2.9 Soal-soal
A. Dengan menggunakan metode yang sesuai, tentukan selesaian umum persamaan differensial di bawah ini.
1. y’ = [pic][pic]
2. y’ + y = 2x + 1
3. (2xy – y + 2x) dx + (x2- x) dy = 0
4. y’ = [pic]
5. ([pic]+ x2) dx + [pic]= 0
6. (2x sin xy + x2y cos xy) dx + x2 cos xy dy = 0
7. y’ = xy2 + 2xy
8. (y+y2) dx + (y2-x2-xy) dy = 0
9. y’ = [pic]
10. (2x+y+1) dx + (x+3y+2)dy = 0
B. Tentukan selesain masalah nilai awal
1. y’ = (1+y2) tgn x dengan y(0) = [pic]
2. b. [pic] = 2x cos2y dengan y(0) = [pic]
3. (x2 + 3y2) dx – 2xy dy = 0 dengan y(2) = 6
4. (2xy – 3) dx + (x2+4y) dy = 0 dengan y(1) = 2
5. ([pic]) dx + ([pic]) dy = 0
C. Tentukan M(x,y) dan A sedemikian sehingga persamaan berikut eksak.
1. (x3 + xy2) dx + M(x,y) dy = 0
2. ([pic] + [pic]) dx + M(x,y) dy = 0
3. (x2+3xy) dx + (Ax2 + 4y) dy = 0
4. ([pic]) dx + ([pic]) dy = 0
5. ([pic]) dx + ([pic]) dy = 0
D. Tentukan Faktor integrasi persamaan di bawah ini dan tentukan selesaiannya
1. x dy + y dx = (x2 + y2) dx
2. (2y-3x) dx + x dy = 0
3. (x-y2) dx + 2xy dy = 0
4. x dy + y dx = 3x2 (x2 + y2) dx
5. y dx – x dy + ln x dx = 0
6. (3x2+y2) dx – 2 xy dy = 0
7. (x+y) dx – (x-y) dy = 0
8. y(x+y) dx – x2 dy = 0
[pic][pic][pic][pic]
................
................
In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.
To fulfill the demand for quickly locating and searching documents.
It is intelligent file search solution for home and business.