BAB III - Dwipurnomoikipbu's Blog



BAB III

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINEAR

3.1 Bentuk Umum

Persamaan differensial linear dikategorikan sebagai persamaan differensial tingkat satu derajat satu, sehingga bentuk umum persamaan differensial linear dapat dinyatakan dengan M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0. Dalam hal yang lebih khusus persamaan differensial linear tingkat satu dinyatakan dalam bentuk umum

p1(x) [pic] + po(x) y = q(x)

dimana p1(x) [pic] 0, po(x), q(x) adalah fungsi x yang tidak bergantung kepada y.

Jika masing-masing bagian pada persamaan differensial linear di atas diballgi dengan p1(x) maka diperoleh bentuk:

[pic]+ [pic][pic] y = [pic]

[pic][pic] + P(x) y = Q(x), dimana P(x) = [pic] dan Q(x) = [pic]

P(x) dan Q(x) kontinu dalam suatu interval I [pic] Real.

Contoh

1. [pic] 2xy = 4x, P(x) = 2x, Q(x) = 4x

2. [pic] y = (2+2x), P(x) = 1, Q(x) = (2+2x)

3. x[pic][pic] (2-3x[pic])y = x[pic]

[pic], P(x) = [pic], Q(x) = 1

4. y ln y dx + (x-ln y) dy = 0

[pic][pic][pic]

[pic], P(y) = [pic], Q(y) = [pic]

5. sin x [pic] (cos x) y = x2 sin x

[pic][pic], P(x) = cot x, Q(x) = x[pic]

Contoh persamaan 1-5 di atas adalah persamaan differensial linear (tingkat 1). Selanjutnya perhatikan persamaan differensial tingkat satu derajat satu di bawah ini.

6. [pic] 3xy2 = sin x, karena ada y2

7. [pic] (sin x) y3 = ex + 1, karena ada [pic]

8. [pic] - y = xy[pic], karena Q(x) tergantung selain x, yaitu y[pic]

9. [pic] + y = x2y, karena Q(x) tergantung selain x, yaitu y.

10. x dy + y[pic]x dx = 0.

Contoh 6-10 di atas bukan persamaan differensial linear karena Q(x) bukan fungsi x yang tidak bergantung pada y sebagaimana syarat yang disebutkan dalam bentuk umum dan tidak sesuai dengan bentuk [pic] + P(x) y = Q(x).

3.2 Cara Menentukan Selesaian Persamaan Liner

Persamaan differensial linear [pic] + P(x) y = Q(x) dapat ditentukan selesaian umumnya dengan beberapa cara. Masing-masing cara menggunakan pendekatan yang berbeda, walaupun pada akhirnya diperoleh bentuk umum selesaian yang sama. Cara tersebut adalah: 1) faktor integral, 2) metode Lagrange, 3) mengubah menjadi PD eksak, dan 4) persamaan Bernoulli.

1. Cara Faktor Intregral

Misal selesaian [pic] + P(x) y = Q(x) adalah y = uv, dimana u dan v masing-masing fungsi dari x sehingga y’ = u’v + uv’. Dengan mensubstitusikan y dan y’ ke persamaan

[pic] + P(x) y = Q(x).

[pic](u’v + uv’) + P(x) uv = Q(x)

[pic]v(u’ + P(x)u) + uv’ = Q(x)

Jika dimisalkan u’ + P(x)u = 0 maka uv’ = Q(x), Akibatnya untuk u’ + P(x) u = 0 diperoleh [pic] = - P(x)u

[pic][pic] = -P(x) dx

[pic][pic][pic] = - [pic]P(x) dx

[pic]Ln u = - [pic]P(x) dx

[pic]u = [pic]

Substitusikan u ke uv’ = Q(x), sehingga didapatkan

v’ = [pic]

[pic][pic] = [pic]

[pic] dv = [pic]

[pic]v = [pic][pic]

= [pic] + C

= [pic][pic]

v = [pic]Q(x) [pic] dx + C

Karena selesaiannya y = uv, maka selesaian umum (primitif) persamaan differensial linear

[pic] + P(x) y = Q(x) adalah

y = [pic] ([pic]Q(x) [pic] dx + C )

[pic] y [pic] = [pic]Q(x) [pic] dx + C

selanjutnya [pic] dinamakan faktor integral (I)

Contoh soal

[pic]Tentukan selesaian umum persamaan differensial liner di bawah ini

1. [pic] y = (2+2x)

Jawab

P(x) = 1 dan Q(x) = (2+2x)

Faktor integralnya I = [pic] = e[pic]

Sehingga selesaian umumnya persamaan [pic] y = (2+2x) adalah

ye[pic] = [pic]) e[pic]dx

y =[pic][pic] [pic]e[pic] dx + e[pic] [pic]2e[pic]x dx

= [pic] ( 2e[pic]+C ) + 2e[pic] (xe[pic]- e[pic]+C)

= 2 + Ce[pic]+ 2x – 2 + Ce[pic]

= 2x + 2ce[pic]

= 2x + ce[pic]

2. y ln y dx + (x-ln y) dy = 0

Jawab

y ln y dx + (x-ln y) dy = 0

[pic][pic] + [pic]x = [pic]

P(y) = [pic] dan Q(y) = [pic]

Faktor integral e[pic] = e[pic] = e[pic]= Ln y

Selesaian umumnya

xe[pic] = [pic] dy

x Ln y = [pic]y dy

= [pic]y d(ln y)

= ½ ln[pic] + c

Persamaan linear y ln y dx + (x-lny) dy = 0 mempunyai selesaian umum

2x Ln y = Ln[pic] + c[pic][pic][pic]

3. x[pic][pic] (2-3x[pic]) y = x[pic]

Jawab

Persamaan di atas dibagi dengan x[pic] diperoleh persamaan linear baru

[pic] + ([pic]) y = 1

P(x) = ([pic]) dan Q(y) = 1

Sehingga faktor integralnya e[pic] = e[pic] = e[pic]

Selesaian umumnya

ye[pic] = [pic]dx

= [pic][pic]1.e[pic]dx

= [pic]e[pic]e[pic] dx

y e[pic]= (1/2 e [pic] + c)

Persamaan differensial linear x[pic][pic] (2-3x[pic]) y = x[pic] mempunyai selesaian

y e[pic]= (1/2 e [pic] + c)

2. Cara LAGRANGE

Menyelesaikan persamaan differensial linear [pic] + P(x) y = Q(x) dapat juga dilakukan dengan Cara Lagrange. Cara ini dilakukan dengan mengubah persamaan linear sehingga ruas kanan sama dengan 0 dan mengubah konstanta C menjadi fungsi dari x atau C(x).

Perhatikan kembali persamaan

[pic] + P(x) y = Q(x)

[pic] y’ + P(x)y = Q(x)

Ambil y’ + P(x)y = 0, maka

[pic][pic]= -P(x)y

[pic][pic] = -P(x) dx

[pic][pic][pic] = [pic]-P(x) dx

[pic] ln y = [pic]-P(x) dx

[pic] y = e[pic]

[pic] y = e[pic]

[pic] y = e[pic].e[pic]

[pic] y = c(x) e[pic]

Selanjutnya akan dicari fungsi c(x) dari persamaan [pic]y = c(x) e[pic], maka

Ln y = ln (c(x) e[pic])

[pic] ln y = ln c(x) + Ln e[pic]

[pic] ln y = ln c(x) - [pic]

Jika persamaan di atas didefferensialkan terhadap x, diperoleh:

[pic] = [pic]

[pic][pic]y ([pic])

[pic] [pic]= [pic]

Dari persamaan y = c(x) e[pic] diperoleh:

[pic] P(x) y = [pic]

[pic] Q(x) = e[pic][pic]

[pic] [pic]= Q(x) e[pic]

[pic]c(x) = [pic] Q(x) e[pic] dx

Dengan mensubtitusikannya ke dalam y = c(x) e[pic] maka diperoleh selesaian umum persamaan dengan metode Lagrange

y = e[pic] ([pic] Q(x) e[pic] dx )

Contoh soal

Tentukan selesaian umum persamaan

1. [pic]+ y Cotgn x = 5e[pic][pic]

Jawab

P(x) = cotgn x dan Q(x) = 5ecos x

Sehingga faktor integralnya e[pic]= eln sin x = sin x.

Selesaian umum persamaan yang dicari adalah:

ye[pic] = [pic] dx

[pic]y sin x = [pic]sin x dx

[pic] y sin x = [pic]d(-cos x)

[pic]y sin x = 5(-e[pic]) + C

2. (x-2) [pic] = y + 2(x-2)[pic]

Jawab

Persamaan dibagi dengan (x-2) diperoleh:

[pic] - [pic] = 2(x-2)[pic]

P(x) = [pic] dan Q(x) = 2(x-2)[pic]

Faktor integral e[pic] = e[pic] = e[pic] = [pic]

Selesaian umum persamaan diperoleh [pic]+ y Cotgn x = 5e[pic]

ye[pic] = [pic] dx

[pic][pic] = [pic][pic] dx

[pic][pic] = 2 [pic]dx

[pic]

3. Cara Mengubah menjadi Persamaan Differensial Eksak.

Karena [pic] + P(x) y = Q(x) atau (P(x)y – Q(x)) dx + dy = 0 belum merupakan persamaan differensial eksak untuk P(x) [pic]0, maka perlu mencari faktor integralnya.

Misal u(x) faktor integral, maka

u(x)[ (P(x)y – Q(x)) dx + dy = 0 ]

[pic][u(x)P(x)y – u(x)Q(x)] dx + u(x) dy = 0 merupakan persamaan differensial eksak.

Berdasarkan syarat persamaan differensial eksak diperoleh

[pic] = u(x)P(x) dan [pic]= [pic]

sehingga [pic] = u(x)P(x)

[pic][pic]= P(x) dx

[pic] [pic][pic]= [pic]P(x) dx

[pic] ln u(x) = [pic]P(x) dx

[pic]u(x) = e[pic]

Selanjutnya jika nilai u(x) dikalikan dengan [pic] + P(x) y = Q(x), diperoleh

u(x) [pic] + u(x) P(x) y = u(x) Q(x)

Karena [pic]= u(x) P(x), maka

u(x) [pic] + [pic]= u(x) Q(x)

[pic][pic](u(x)y) = u(x)Q(x)

Dengan mengintegralkan persamaan terakhir terhadap x diperoleh

[pic][pic](u(x)y) = [pic]u(x)Q(x) dx

[pic]u(x) y = [pic]

[pic]y = u(x)[pic] [pic]

[pic]y = e[pic][pic] adalah selesaian umumnya.

Karena u(x) = e[pic] maka diperoleh

y = e[pic][pic]e[pic]dx

Contoh

Tentukan selesaian umum persamaan

1. [pic]- [pic] = x cos x

Jawab

Kalikan persamaan dengan x, sehingga didapat

[pic] - [pic]= x[pic]cos x

P(x) = [pic] dan Q(x) = x[pic]cos x

u(x) = e[pic]

= e[pic]

= [pic]

Jika persamaan [pic] - [pic]= x[pic]cos x dikalikan dengan u(x) = [pic] diperoleh

x[pic] [pic] - 2yx[pic] = cos x

[pic][pic] = cos x

[pic] x[pic]y = [pic]x dx

[pic] y = x[pic]sin x + cx[pic][pic]

2. y[pic]dx + (3xy-1) dy = 0

Jawab

y[pic]dx + (3xy-1) dy = 0

[pic][pic]+ [pic] = [pic]

P(y) = [pic] Q(y) = [pic]

u(x) = e[pic] = y[pic]

Selesaian umum persamaan di atas

xe[pic] = [pic]dy

xy[pic] = [pic]y[pic] dy

xy[pic] = ½ y[pic] + c[pic]

4. Persamaan BERNOULLI

Persamaan differensial linear disebut persamaan Bernoulli jika bentuk umumnya

[pic] + P(x) y = y[pic]Q(x),

[pic]y[pic][pic] + P(x) y[pic] = Q(x)

Untuk menentukan selesaian umumnya misalkan y[pic]= v.

Dengan menurunkan terhadap variabel x, diperoleh

(1-n)[pic][pic] = [pic]

[pic]y[pic][pic]= [pic][pic]

Substitusikan y[pic] = v dan y[pic][pic]= [pic][pic] ke persamaan

y[pic][pic] + P(x) y[pic] = Q(x) diperoleh

[pic][pic] + P(x)v = Q(x)

[pic][pic] + (1-n)P(x) v = (1-n)Q(x)

Bentuk terakhir adalah persamaan differensial linear yang selesaian umum dapat dicari dengan metode faktor integral atau metode Lagrange atau metode Pengubahan persamaan differensial eksak.

Misal (1-n)P(x) = p(x) dan (1-n)Q(x) = q(x)

Maka selesaian umumnya adalah v = e[pic] ([pic] q(x) e[pic] dx )

Contoh soal

Tentukan selesaian umum persamaan

1. [pic]- y = xy[pic]

Jawab

[pic]- y = xy[pic]

[pic][pic] - y[pic] = x

Misal y[pic] = v maka -2y[pic] = [pic]

[pic][pic] [pic] = - [pic]

Substitusikan ke persamaan semula, didapat:

-[pic] - v = x

[pic] [pic] + 2v = -2x

dimana p(x) = 2 , q(x) = -2x dan faktor integral (I) = e[pic]= e[pic][pic][pic]

selesaian umumnya

ve[pic] = [pic]q(x)e[pic] dx

ve[pic]= [pic]dx

[pic][pic]= -xe[pic]+ ½ e[pic]+ c

2. [pic]+ y = y[pic](Cos x - Sin x)

Jawab

[pic][pic] + y[pic] = (cos x - sin x)

[pic][pic] + y[pic] = (cos x - sin x)

Misal y[pic] = v maka -y[pic] = [pic]

[pic][pic] [pic] = - [pic]

Substitusikan ke persamaan semula, didapat:

-[pic] + v = (cos x - sin x)

[pic] [pic] - v = -(cos x - sin x)

dimana p(x) = -1 , q(x) = (sin x - cos x) dan factor integral e[pic]= e[pic][pic][pic][pic]

selesaian umumnya

ve[pic] = [pic]q(x)e[pic] dx

ve[pic]= [pic]dx

[pic][pic]= -e[pic]sin x + C adalah selesaian umumnya.

3. Soal-soal

A. Selidiki apakah persamaan differensial tingkat satu derajat satu dibawah ini termasuk persamaan differensial linear.

1. [pic]- 2y = 3 – 3x

2. x dy – 2y dx = (1+x)e[pic]dx

3. y dx + (xy + x – 3y) dy = 0,

[pic][pic]

[pic], P(y) = 1, Q(y) = 3 - [pic],

y dx + (xy + x – 3y) dy = 0,

[pic]

4. x dy – y dx = x[pic] dy

5. (1+sin y) dx = [2y cos y – x(sec y + tgn y)] dy

6. (2xy[pic]y) dx + 2x dy = 0

7. [pic]+ 2xy = 5x[pic]y[pic]

8. (x[pic]+1) [pic] + xy = x

9. [pic] - y = y[pic]x

10. xy’ = 2y + x[pic]e[pic][pic]

B. Tentukan selesaian umum persamaan linear berikut dengan menggunakan cara yang sesuai.

1. [pic]+ 3xy = 2

2. [pic] = [pic] + 2x + 1

Jawab

[pic] = [pic] + 2x + 1

[pic]

Didapat P(x) = [pic], Q(x) = (2x+1)

Faktor integral (I) = e[pic]

= e[pic]

= e[pic]

= [pic]

[pic] Primitif dari [pic] = [pic] + 2x + 1 adalah

Iy = [pic]

[pic]y = x[pic]

[pic]y = x [pic]

[pic]y = x(2x +ln[pic]

[pic]

y’ = 4x + (ln[pic]+1) +C

3. [pic]+ 2xy = 5y[pic]

4. [pic]+ 3y = 3x[pic]e [pic]

5. Cos [pic] dr + ( r sin [pic]- cos[pic][pic]) d[pic]= 0

6. y[pic]dx + (3xy-1) dy = 0

[pic] 7. r dt – 2t dr = (r-2)e[pic]dr

8. [pic]- 6y = 10 sin 2x

P(x) = -6, Q(x) = 10 sin 2x

I = e[pic]

Primitifnya

Iy = [pic]dx

y = e[pic]

= 10 e[pic]

e[pic] = -5 cos 2x – 15 sin 2x – 15e[pic][pic]

25[pic] = -5 cos 2x – 15 sin 2x

[pic] =[pic] (-5 cos 2x – 15 sin 2x+C)

Didapatkan primitif

Y = [pic] (-5 cos 2x – 15 sin 2x+C)

9. dy + (2y cos x + sin 2x) dx = 0

10. (1+y[pic]) dx = ( arc tan y – x) dy

C. Tentukan selesaian masalah nilai awal

1. [pic]- [pic]= xe[pic] dengan y(1) = [pic]

2. [pic] 4y - e[pic] = 0 dengan y(0) = [pic]

3. [pic]xy = sin 2t dengan x(0) = 0

4. [pic]+ y tan x = cos[pic]x dengan y([pic]) 1

5. sin x [pic]+ y cos x = x sin x dengan y([pic]) = 2

................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download