73



BAB III.

TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

3.1 FUNGSI IMPLISIT

Selain fungsi eksplisit y =f(x) dikenal juga bentuk fungsi implisit yaitu f(x,y) = 0.

Untuk mencari turunan fungsi implisit ada dua cara yang biasa di tempuh :

a. jika fungsi implisit {f(x,y) = 0} dapat diselesaikan ke-y atau dapat dengan mudah diubah menjadi fungsi eksplisit y = f(x) maka untuk mendapatkan dy/dx dengan cara yang sudah dibicarakan yaitu :

d/dx (y) = d/dx {f (x)}

contoh : -2xy + x² - 1 = 0 (implisit)

y = x2 – 1 (eksplisit)

2 x

b. Jika fungsi implisit {f (x,y) = 0} sulit diselesaikan ke dalam y atau diubah menjadi fungsi eksplisit maka perlu dibicarakan bagaimana mencari turunan fungsi implisit seperti yang akan dibahas berikut ini.

3.2 TURUNAN PERTAMA FUNGSI IMPLISIT

Dari persamaan f (x,y) = 0 ruas kiri dan ruas kanan sama-sama diturunkan (di deferensialkan) terhadap x dengan pengertian bahwa y adalah fungsi x. d/dx f (x,y) = d/dx (0). Turunan ruas kiri akan mengandung dy/dx dengan penyelesaian lebih lanjut akan didapatkan nilai dy/dx.

Contoh :

(1). Tentukan dy/dx dari fungsi implisit

x2y + 2xy2 + 3 = 0

Penyelesaian :

d/dx (x2y) + d/dx (2xy2) + d/dx (3) = d/dx (0)

1 2 3 4

Untuk mempermudah penyelesaian dicari turunan masing-masing Suku.

1. d/dx (x2y) = d/dx (x2) . y + d/dy (y) dy/dx. x2

= 2xy + x2 dy/dx.

2. d/dx (2xy2) = d/dx (2x) . y2 + d/dy (y2) dy/dx. 2x

= 2y2 + 2y. dy/dx . 2x

= 2y2 + 4xy dy/dx.

3. d/dx (3) = 0 dan d/dx (0) = 0.

❖ 2xy + x2 dy/dx + 2y2 + 4xy dy/dx = 0

❖

dy/dx = - 2y (x+y)

x (x+4y)

(2). x sin y + y cos x + xy = 0

d/dx (x sin y) + d/dx (y cos x) + d/dx (xy) = 0

(sin y + x cos y dy/dx) + (cos x dy/dx – y sin x) +

(y + x dy/dx) = 0

❖ dy/dx = - sin y + y sin x - y

x cos y + cos x + x

3.3 TURUNAN KE-DUA FUNGSI IMPLISIT

Jika turunan pertama f (x,y) = 0 ada dan turunan ini di turunkan lagi

dengan pengertian y adalah fungsi x maka turunan ini disebut turunan ke-2 dari f (x,y) = 0

Contoh :

Tentukan d2y/dx2 dari fungsi di bawah ini !

1. x2 + xy – y = 0

d/dx (x2) + d/dx (xy) – d/dx (y) = 0

2x + d/dx (x) . y + d/dy (y) . dy/dx . x – d/dy . (y) dy/dx

• 2x + y + x dy/dx – dy/dx = 0

dy/dx = - 2x - y

x-1

• d/dx (2x)+ d/dy(y)dy/dx+ d/dx (x) dy/dx+ d/dx (dy/dx).x– d/dx(dy/dx) = 0

2 + dy/dx +dy/dx + x.d2y/dx2 – d2y/dx2 = 0

2 + 2(- 2x - y ) + d2y/dx2 (x-1) = 0

x - 1

d2y/dx2 = - 2 +4x+2y

(x-1)2

2. x + xy + y – 2 = 0

d/dx (x) + d/dx (xy) + d/dx (y) = 0

1 + y + x . dy/dx + dy/dx = 0

• 1 + y + (x+1) dy/dx = 0

dy/dx = - 1 - y

x + 1

• d/dx (0) + dy/dx + d/dx (dy/dx) . (x+1) + d/dx (x+1) . dy/dx = 0

dy/dx + d2y/dx2 (x+1) + dy/dx = 0

2 (dy/dx) + d2y/dx2 (x+1) = 0

2 ( -1 – y ) + d2y/dx2 (x+1) = 0

x + 1

d2y/dx2 = 2 + 2y

(x + 1)2

SOAL :

1. X²Y² + XY1/2 + XY – 2Y = 0

2. X/Y + In Y² + Sin Y = 0

3. Sin Y + 2 Cos XY – 2 Y² = 0

4. exy + alog X²Y = 0

5. ex+y + ex-y = 0

6. Ye-xy = Sin X

7. XIn y + YIn x = X + Y

8. e2x+y + Cos (X – 2Y) = 0

9. X² Y – X Y² + X²+ Y² = 0

10. X³ Y + X Y³ = 2 dan X = 1

................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download