Exo7 - Exercices de mathématiques

Exo7

Trigonom?trie

Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur maths-france.fr

* tr?s facile ** facile *** difficult? moyenne **** difficile ***** tr?s difficile I : Incontournable T : pour travailler et m?moriser le cours

Exercice 1 *IT R?soudre dans R puis dans [0, 2] les ?quations suivantes :

1. sin x = 0, 2. sin x = 1, 3. sin x = -1, 4. cos x = 1, 5. cos x = -1, 6. cos x = 0, 7. tan x = 0, 8. tan x = 1.

Correction

[005063]

Exercice 2 *IT

R?soudre dans R puis dans [0, 2] les ?quations suivantes :

1.

sin x =

1 2

,

2. sin x = - 1 ,

2

3. tan x = -1,

4. tan x = 1 ,

3

5.

cos x =

3 2

,

6. cos x = - 1 .

2

Correction

[005064]

Exercice 3 **IT R?soudre dans R puis dans I les ?quations suivantes :

1.

sin(2x) =

1 2

,

I = [0, 2],

2. sin

x 2

=

- 1 ,

2

I

=

[0, 4],

3. tan(5x) = 1, I = [0, ],

4. cos(2x) = cos2 x, I = [0, 2],

5. 2 cos2 x - 3 cos x + 1 = 0, I = [0, 2],

6. cos(nx) = 0 (n N),

7. | cos(nx)| = 1,

8. sin(nx) = 0,

9. | sin(nx)| = 1,

1

10. sin x = tan x, I = [0, 2], 11. sin(2x) + sin x = 0, I = [0, 2], 12. 12 cos2 x - 8 sin2 x = 2, I = [-, ].

Correction

[005065]

Exercice 4 **IT

R?soudre dans I les in?quations suivantes :

1. cos x

1 2

,

I

=

[-, ],

2. sin x

- 1 ,

2

I

=

R,

3.

cos

x

>

cos

x 2

,

I = [0, 2],

4. cos2 x cos(2x), I = [-, ],

5. cos2 x

1 2

,

I

=

[0, 2],

6.

cos

x 3

sin

x 3

,

I

=

[0, 2].

Correction

[005066]

Exercice 5 *I

Calculer

cos

8

et

sin

8

.

Correction

[005067]

Exercice 6 *I

Calculer

cos

12

et

sin

12

.

Correction

[005068]

Exercice 7 *** Montrer que cos (?a1 ? a2 ? ... ? an) = 2n cos a1 cos a2... cos an (la somme comporte 2n termes).

Correction

[005069]

Exercice 8 ***I

1. Calculer nk=1 cos

a 2k

pour a ?l?ment donn? de ]0, [ (penser ? sin(2x) = 2 sin x cos x).

2.

D?terminer limn+ nk=1 ln

cos(

a 2k

)

.

Correction

[005070]

Exercice 9 ** R?soudre dans R l'?quation 24cos2 x+1 + 16.24sin2 x-3 = 20.

Correction

[005071]

Exercice 10 ***

Soit a un r?el distinct de 1 et - 1 .

3

3

1. Calculer tan(3 ) en fonction de tan .

2. R?soudre dans R l'?quation :

3x - x3 3a - a3 1 - 3x2 = 1 - 3a2 . On trouvera deux m?thodes, l'une alg?brique et l'autre utilisant la formule de trigonom?trie ?tablie en 1).

2

Correction

[005072]

Exercice 11 **** On veut calculer S = tan 9 - tan 27 - tan 63 + tan 81.

1. Calculer tan(5x) en fonction de tan x. 2. En d?duire un polyn?me de degr? 4 dont les racines sont tan 9, - tan 27, - tan 63 et tan 81 puis la

valeur de S.

Correction

[005073]

Exercice 12 *** Combien l'?quation

tan x + tan(2x) + tan(3x) + tan(4x) = 0,

poss?de-t-elle de solutions dans [0, ] ?

Correction

[005074]

Exercice 13 **I

On

veut

calculer

cos

2 5

et

sin

2 5

.

Pour

cela,

on

pose

a

=

2 cos

2 5

,

b

=

2 cos

4 5

et

z

=

e2i /5 .

1. V?rifier que a = z + z4 et b = z2 + z3.

2. V?rifier que 1 + z + z2 + z3 + z4 = 0.

3.

En

d?duire

un

polyn?me

de

degr?

2

dont

les

racines

sont

a

et

b

puis

les

valeurs

exactes

de

cos

2 5

et

sin

2 5

.

Correction

[005075]

Exercice 14 **I Calculer une primitive de chacune des fonctions suivantes :

1. x cos2 x, 2. x cos4 x, 3. x sin4 x, 4. x cos2 x sin2 x, 5. x sin6 x, 6. x cos x sin6 x, 7. x cos5 x sin2 x, 8. x cos3 x.

Correction

[005076]

Exercice 15 **

Calculer I =

/3 /6

cos4

x

sin6

x

dx

et

J

=

/3 /6

cos4

x

sin7

x

d

x.

Correction

[005077]

Exercice 16 **

D?montrer les identit?s suivantes, en pr?cisant ? chaque fois leur domaine de validit? :

1.

1-cos x sin x

=

tan

x 2

,

2.

sin

x

-

2 3

+ sin x + sin

x

+

2 3

= 0,

3. tan

4

+x

+ tan

4

-

x

=

2 cos(2x)

,

3

4.

1 tan x

- tan x

=

2 tan(2x)

.

Correction

Exercice 17 *** Soit k un r?el distinct de -1 et de 1.

1.

Etudier les variations de

fk

:

x

sin x 1-2k cos

x+k2

.

2.

Calculer

0

fk(x)

dx.

Correction

Exercice 18 ***I Calculer les sommes suivantes :

1. nk=0 cos(kx) et nk=0 sin(kx), (x R et n N donn?s).

2.

n

k=0

cos2(kx)

et

n

k=0

sin2

(kx),

(x

R

et

n

N

donn?s).

3.

n

k=0

n k

cos(kx)

et

n

k=0

n k

sin(kx), (x R et n N donn?s).

Correction

Exercice 19 *** R?soudre le syst?me

Correction

cos a + cos b + cos c = 0 sin a + sin b + sin c = 0

o? a, b et c sont trois r?els.

Exercice 20 **

Montrer

que

cos4

8

+ cos4

3 8

+ cos4

5 8

+ cos4

7 8

=

3 2

.

Correction

Exercice 21 ***

1. R?soudre dans R l'?quation cos(3x) = sin(2x).

2. En d?duire les valeurs de sin x et cos x pour x ?l?ment de

10

,

5

,

3 10

.

Correction

[005078] [005079]

[005080] [005081] [005082] [005083]

4

Correction de l'exercice 1

1. sin x = 0 x Z. De plus, S[0,2] = {0, , 2}.

2.

sin x = 1 x

2

+

2 Z.

De

plus,

S[0,2 ]

=

2

.

3.

sin

x

=

-1

x

-

2

+

2 Z.

De

plus,

S[0,2 ]

=

3 2

.

4. cos x = 1 x 2Z. De plus, S[0,2] = {0, 2}.

5. cos x = -1 x + 2Z. De plus, S[0,2] = {}.

6.

cos x = 0 x

2

+ Z.

De

plus,

S[0,2 ]

=

2

,

3 2

.

7. tan x = 0 x Z. De plus, S[0,2] = {0, , 2}.

8.

tan x = 1 x

4

+ Z.

De

plus,

S[0,2 ]

=

4

,

5 4

.

Correction de l'exercice 2

1.

sin x =

1 2

x

6

+

2 Z

5 6

+ 2Z

. De plus, S[0,2] =

6

,

5 6

.

2. sin x = - 1 x

2

-

4

+

2 Z

-

3 4

+ 2Z

. De plus, S[0,2] =

-

4

,

-

3 4

.

3.

tan

x

=

-1

x

-

4

+

Z.

De

plus,

S[0, ]

=

3 4

.

4.

tan x =

1 3

x

6

+ Z.

De

plus,

S[0, ]

=

6

.

5. cos x =

3 2

x

-

6

+

Z

6

+Z

. De plus, S[0,2] =

6

,

11 6

.

6. cos x = - 1 x

2

-

3 4

+Z

3 4

+Z

. De plus, S[0,2] =

3 4

,

5 4

.

Correction de l'exercice 3

1.

sin(2x)

=

1 2

2x

6

+

2 Z

5 6

+ 2Z

x

12

+

Z

5 12

+

Z

. De plus, S[0,2] =

12

,

5 12

,

13 12

,

17 12

.

2.

sin

x 2

= - 1

2

x 2

5 4

+

2 Z

7 4

+

2 Z

x

5 2

+ 4Z)

(

7 2

+

4 Z

.

De

plus,

S[0,4 ]

=

5 2

,

7 2

.

3.

tan(5x) = 1 5x

4

+

Z

x

20

+

5

Z.

De

plus,

S[0, ]

=

20

,

4

,

9 20

,

13 20

,

17 20

.

4.

cos(2x)

=

cos2

x

cos(2x)

=

1 2

(1

+

cos(2x))

cos(2x)

=

1

2x

2 Z

x

Z.

De

plus,

S[0,2 ]

=

{0, , 2}.

5.

2 cos2

x - 3 cos

x+1

=

0

(2 cos x

-

1)(cos x

- 1)

=

0

cos x

=

1 2

ou

cos x

=

1

x

-

3

+

2 Z

3

+

2 Z

2Z. De plus, S[0,2] =

0,

3

,

5 3

,

2

.

6.

cos(nx) = 0 nx

2

+

Z

x

2n

+

n

Z.

7.

| cos(nx)| = 1 nx Z x

n

Z.

8.

sin(nx) = 0 nx Z x

n

Z.

9.

| sin(nx)| = 1 nx

2

+Z x

2n

+

n

Z.

10.

sin x

=

tan x

sin x

-

sin x cos x

=

0

sin

x

cos x-1 cos x

= 0 sin x = 0 ou

cos x = 1 x Z. De plus, S[0,2] =

{0, , 2}.

11.

sin(2x) + sin x = 0 sin(2x) = sin(x + ) (k Z/ 2x = x + + 2k) ou (k Z/ 2x = -x + 2k)

(k

Z/

x

=

+

2k

)

ou

(k

Z/

x

=

2k 3

)

De

plus,

S[0,2 ]

=

{0,

2 3

,

,

4 3

,

2 }.

5

 ................
................

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